4 Geometrie 23

Signification des icônes

1. Introduction à la géométrie

1. Définition et historique

2. Géométrie et raisonnement

3. Construire une théorie

4. Représenter des objets géométriques

C'est le moment de rassembler tiges de dimensions diverses, figures planes, modèles 3D. C'est aussi le moment de s'approprier la production de figures géométriques avec plusieurs outils numériques

Nombreux liens sur https://www.jeuxmath.be/liens/geometrie-et-trigonometrie/

Etymologiquement, géométrie signifie "mesure de la terre". On peut dire que c'est la science des figures de l'espace Dans la civilisation mésopotamienne (Babylone) comme en Egypte, la géométrie est utilisée comme un outil pour effectuer des mesures et construire des bâtiments, mais aussi pour étudier l'astronomie. Les Grecs raisonnent davantage sur des figures en introduisant les notions de démonstration, de théorème, de définition et d'axiome. Ils donnent un sens plus philosophique à la géométrie. De nombreux mathématiciens de cette époque sont toujours célèbres : Thalès (-600), Pythagore (-500), Platon (-400), Aristote (-350) et surtout Euclide (-300) avec un ouvrage extraordinaire : "Les éléments", qui reprend toutes les connaissances de l'époque en géométrie. Avec Descartes (1600), la géométrie analytique (relation entre quantités variables, coordonnées, représentation graphique) apparaît. La nécessité de représenter sur un plan des figures de l'espace amène les mathématiciens à se poser des questions sur les projections et la perspective, et à dégager la notion de transformation linéaire. On parle alors de géométrie projective. On se pose alors des questions sur la géométrie euclidienne (qui conserve les mesures, et satisfont l'axiome d'Euclide sur les parallèles) et on crée alors des géométries non euclidiennes. Enfin, la géométrie des transformations se développe de plus en plus et permettent d'analyser les figures de l'espace sous l'angles des symétries, rotations et affinités.

La géométrie est un domaine privilégié pour exercer bien des compétences mathématiques : - Modéliser, c'est à dire prendre en compte certains indices et en négliger d'autres. - Classer et définir, en dégageant des caractéristiques géométriques essentielles des figures que l'on observe. - Déduire et raisonner sur des propriétés - Construire et représenter avec précision, à l'aide d'outils géométriques - Développer la rigueur et la précision dans les termes, mais aussi dans l'argumentation et les liens logiques

Dans une théorie mathématique, il y a toujours : - des termes primitifs (point de départ), qui ne peuvent être définis avec précision (en géométrie : point et droite, en numération : nombre, en probabilité : événement, ...) - ensuite, des axiomes, propriétés qui ne peuvent être démontrées (comme l'axiome d'Euclide, qui dit qu'étant donnés une droite et un point extérieur à la droite, il n'existe qu'une seule parallèle à la droite donnée passant par le point donné) - des propriétés (théorèmes), de nouvelles définitions, de nouvelles propriétés, ... : les propriétés sont des conjectures (en sciences, on dirait hypothèses) que l'on va justifier en les démontrant.

Dès l'école maternelle, observer son environnement fait partie des activités de l'école. Verbaliser des positions, des liens entre la disposition des objets, et progressivement la forme des objets eux-mêmes amène à acquérir un vocabulaire spatial puis géométrique. En géométrie, il y a toujours une certaine abstraction entre l'objet concret et ses propriétés vues sous l'angle de la géométrie.

Pour aborder un concept en géométrie, on va en général retrouver les étapes suivantes : - une observation d'objets (bien choisis par l'enseignant pour refléter la diversité des possibles) - un ou des classements qui vont permettre de dégager des caractéristiques essentielles ou des propriétés - une formalisation : définition, propriété dont on laissera des traces (constructions géométriques ou schémas, phrases, parfois formules pour les grandeurs géométriques) Il y a une gradation dans le niveau de raisonnement utilisé : "Monstrations" - Pliages, découpages, superposition par transparence, puzzles - Mesures (sur des objets différents), arguments visuels Démonstration rigoureuse (sera abordée au secondaire)

Se constituer une banque d'outils de représentation. Se familiariser avec GeoGebra, avec les formes sur le TBI et sur Word.

Un des problèmes constants en géométrie sera de représenter des objets géométriques. Historiquement, les principaux outils utilisés ont été : - d'abord, la règle et le compas (source de nombreux problèmes géométriques) - l'angle droit a été privilégié dans la vie quotidienne pour des raisons physiques évidentes - ensuite, on a affiné la mesure d'angles, avec l'astrolabe en astronomie, et le rapporteur. Avec l'utilisation du numérique, on a vu l'apparition d'outils généraux : - simple insertion de formes avec le traitement de texte, les présentations, les tableaux, le tableau numérique - utilisation de Geoboard, et de Pattern Shapes, applications basiques mais pouvant aider à la représentation d'objets. - utilisation de photos ou de banques d'images. Plusieurs logiciels sont dédiés aux constructions mathématiques, et existent aussi sous forme d'applications pour tablette - Apprenti Géomètre (plus simple, mais moins performant) - GeoGebra (accès en ligne : https://www.geogebra.org/classic?lang=fr) - Cabri (accès en ligne : http://cabricloud.com/cabriexpress/)

Dans les apprentissages géométriques, on trouve la familiarisation avec la représentation des objets géométriques. On peut établir une gradation depuis la manipulation simple d'objets à l'utilisation d'outils scientifiques : - la manipulation des objets, et l'abstraction à partir de ceux-ci - la photo ou une image fidèle des objets, du matériel - l'utilisation de représentations d'objets géométriques : dessin des formes du Tangram par exemple - l'utilisation de gabarits, première production des enfants - représentation sur du papier quadrillé en s'aidant des carrés, utilisation du géoplan - représentation sur papier pointé, avec l'utilisation de la latte - représentation sur papier pointé, puis sur une feuille blanche, avec utilisation de l'équerre - utilisation simple du compas - utilisation du rapporteur - constructions plus complexes au compas Parallèlement à cela, utiliser et faire progressivement utiliser des outils numériques sont un plus à la formation : - simple insertion de formes avec le traitement de texte, les présentations, les tableaux, le tableau numérique - utilisation de Geoboard, et de Pattern Shapes, applications basiques mais pouvant aider à la représentation d'objets. - utilisation de photos ou de banques d'images. Plusieurs logiciels sont dédiés aux constructions mathématiques, et existent aussi sous forme d'applications pour tablette - Apprenti Géomètre (plus simple, mais moins performant) - GeoGebra (accès en ligne : https://www.geogebra.org/classic?lang=fr) - Cabri (accès en ligne : http://cabricloud.com/cabriexpress/) Enfin, programmer et faire dessiner l'ordinateur développent d'autres compétences également très utiles.

2. Relations spatiales ou topologie

1. Vocabulaire élémentaire

2. Voir dans le plan

3. Voir dans l'espace

- Quel vocabulaire introduire ? - Comment aider à "Voir dans le plan" ? - Comment aider à "Voir dans l'espace" ?

Le site https://www.jeuxmath.be/fiches-des-jeux/geometrie/ regorge de propositions de jeux pour s'orienter dans l'espace et dans le plan.

http://www.jeuxmath.be/wp-content/uploads/2020/01/3JeuxOrientation2020Jan.pdf pour des jeux aidant à s'orienter dans le plan et dans l'espace

Identifier la direction des déplacements (gauche, droite, avant, arrière), le positionnement des corps dans l'espace (face à face, côte à côte, l'un derrière l'autre, en ligne, en cercle), les niveaux de déplacement (haut, moyen, bas), (ECA, P2) (S')orienter/se situer en faisant référence au vocabulaire adéquat des repères (FHGES, P1) Utiliser des termes et des repères pour indiquer la position d'un élément par rapport à un autre (FHGES, P1) Marquer, à l'aide de repères, des éléments remarquables ou des occupations du sol sur un croquis cartographique (FHGES, P1) Marquer, à l'aide de repères, des observations du terrain sur une photographie, une maquette, un croquis cartographique (FHGES, P1) Placer des éléments observés sur le terrain sur un plan ou une photographie verticale (FHGES, P2) Se déplacer en tenant compte de points de repère concrets (obstacles, objets et personnes fixes ou mobiles), (EPS, P1, P2) Placer du matériel en fonction de repères concrets (EPS, P1, P2) Trouver un point de repère de l'espace connue en fonction de sa représentation (EPS, P2))

Pour exprimer des relations spatiales, il existe de nombreux mots : - sur, sous, dessus, dessous, en haut, en bas - derrière, devant, plus près, plus loin, entre, ... - à côté, en face, face à face, dos à dos, à droite, à gauche - à l'intérieur, dedans, à l'extérieur, dehors, à la frontière

Visualiser dans le plan, c'est dégager visuellement certaines caractéristiques, certaines figures géométriques en en négligeant d'autres. C'est aussi progressivement pouvoir prendre plusieurs points de vue différents et pas uniquement le sien. C'est une compétence qui se construit à long terme, par des activités régulières, en profitant des possibilités de la vie quotidienne. L'utilisation de tableaux et progressivement de graphiques et de coordonnées aide également à mieux voir dans le plan.

Voir dans l'espace, c'est dégager visuellement certaines caractéristiques, certaines figures géométriques en en négligeant d'autres. C'est aussi progressivement pouvoir prendre plusieurs points de vue différents et pas uniquement le sien. C'est une compétence qui se construit à long terme, par des activités régulières, en profitant des possibilités de la vie quotidienne.

Le vocabulaire spatial est à introduire dès la maternelle en exploitant les situations de la vie quotidienne. Notons que la gauche et la droite sont des concepts complexes, qui se construisent dès la maternelle mais que certains enfants ne maîtrisent qu'au premier degré de l'école primaire. Souvent, des images aident à mémoriser les mots, surtout pour les enfants ne maîtrisant pas bien la langue.

La maternelle accorde beaucoup de place à la psychomotricité, qui aide l'enfant à se situer et à situer des objets. Ces activités méritent d'être prolongées l'école primaire en manipulant des objets à trois dimensions et en les utilisant dans des contextes divers. Des jeux de placement de pièces comme Puissance 4 à 3 dimensions, ou simplement de photos et de points de vues sont des outils précieux.

Vidéo RTBF « Repérages spatiaux 1P et 2P et autres activités » : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2810298

Vidéo « Tableau de distances » : https://www.rtbf.be/auvio/detail_dechiffrer-les-distances-avec-un-index?id=2719007

Se situer dans l’espace : jeu en ligne : https://jeuxtravaillenligne.fr/se-situer-dans-lespace/ Vidéo « Tableau de distances » : https://www.rtbf.be/auvio/detail_dechiffrer-les-distances-avec-un-index?id=2719007 Vidéo RTBF « Repérages spatiaux 1P et 2P et autres activités » : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2810298 Repérage dans l’espace (secondaire inférieur, vidéo française) : https://www.lumni.fr/video/reperage-dans-un-parallelepipede-rectangle-et-sur-une-sphere Origamaths : géométrie et origamis : https://origamaths.wordpress.com

Relations spatiales

Comprendre / utiliser le vocabulaire spatial (à préciser) pour se situer, pour situer une personne ou un objet.
Comprendre / utiliser les mots « intérieur, extérieur, frontière ».
Effectuer / représenter un déplacement dans le plan ou dans l’espace selon des consignes (orales ou codées avec des flèches).
Décrire un parcours effectué, comparer plusieurs parcours.
Donner des consignes pour effectuer un déplacement dans le plan ou dans l’espace.
Se déplacer / déplacer un objet dans un labyrinthe en comprenant son principe ; passer à la représentation sur papier.
Reproduire un tracé en respectant les consignes données (orales ou codées).

Perspective

Passer d’une image à 2 dimensions à un objet à 3 dimensions à l’aide d’une photo, d’une image.
Associer un objet à 3 dimensions et sa photo en précisant l’angle d’où elle a été prise.
Dessiner en perspective cavalière un objet à 3 dimensions.

Visions de l'espace : - Utiliser le vocabulaire relatif à des positions absolues (P1) - Utiliser le vocabulaire exprimant des positions ordinales (P1) - Utiliser le vocabulaire exprimant des positions relatives (P2) Déplacements : - Utiliser le vocabulaire décrivant un déplacement (P1, déjà en M1-M2) Utiliser le vocabulaire lié aux quadrillages (P2), aux éléments d'un repère orthonormé (S1) Ecrire les coordonnées d'un points, avec le symbolisme adéquat (S1) Situer ou placer un objet ou soi-même avec le vocabulaire adéquat dans l'espace 3D (réel vécu, miniaturisé) (P1, déjà en M1-M2) et 2D (dessin, croquis, photo) (P2), plan (P3), selon le point de vue de l'élève (P2) ou d'une autre personne (P3) Se déplacer ou déplacer un objet dans l'espace 3D (réel vécu, miniaturisé) en suivant deux (P1), trois (P2) consignes orales consécutives. Expliquer oralement un déplacement vécu à l'aide du vocabulaire adéquat (M1-M2), en identifiant 2 (P1) ou 3 (P2) points de repère. Tracer sur un plan un déplacement vécu (P3), en suivant un enchaînement de consignes orales ou écrites (P4) Situer un objet sur une bande orientée (P1), placer un objet sur une bande orientée (jeux de parcours) (P1) Déplacer un objet ou soi-même d'une quantité donnée sur une bande orientée (P1) Situer un objet dans un quadrillage non codé (P2), codé (P4) Placer un point dans un quadrillage non codé (P2) ou codé (P3) selon des consignes ou un modèle observé (P2), en utilisant le codage (P4) Déterminer les coordonnées d'un point placé dans un repère orthonormé (S1) et placer un point dont les coordonnées sont données (S1) Reconnaître et assembler entre 5 et 7 solides selon un modèle donné en 3D (M1-M2) Réaliser dans un espace connu un agencement de minimum 4 (P1), 6 (P2) objets correspondant à une photo donnée vue de face (P1), du dessus (P2) Repérer, sur un plan local sur quadrillage, des points de repère observés lors d'un déplacement et y indiquer l'itinéraire suivi. (P3) Tracer, sur un plan élaboré selon un quadrillage codé, un itinéraire effectué, en respectant au moins 4 points de repère pertinents identifiés (P4), avec des points de départ et d'arrivée définis (P5) Se déplacer dans l'espace 3D en suivant un trajet donné sur un plan (P5)

Visions de l'espace : Positions : - sur, sous, dans, devant, derrière, à côté de (M1-M2), - loin de, près de, à l'intérieur de, à l'extérieur de, entre, en face de, contre (M3) Positions absolues : - à côté de, contre, à l'intérieur, à l'extérieur, entre, sous, sur, dans, hors, autour (P1) - face à face, dos à dos (P2) Positions ordinales : - premier, deuxième, 3e, ..., dernier (P1) - au début, à la fin, avant, après (P1) Positions relatives : - devant, derrière, à droite, à gauche, en haut, en bas, au-dessus, en-dessous, en face de (P2) - de dos, de profit (P4) Déplacements : - avancer, reculer, monter, descendre (M1-M2) - faire demi-tour, s'éloigner de, se rapprocher de (M3) - monter, descendre, avancer, reculer, s'éloigner, se rapprocher, faire demi-tour (P1) Quadrillages : colonnes, lignes, cases (P1) Repère orthonormé : axes perpendiculaires, unités, origine, abscisse, ordonnée, coordonnées (S1)

3. Points, droites, plans

1. Vocabulaire

2. Espaces physique et géométrique

3. Types de lignes, de surfaces

4. Positions relatives

- Comment définir point, droite, plan ? ligne, surface ? - Quels sont les différents types de ligne ? - Comment définir des droites perpendiculaires et des angles droits sans mesurer ? - Pourquoi faut-il varier la disposition des objets géométriques proposés aux enfants ? - Est-ce que des droites confondues sont parallèles ? - Est-ce que des droites perpendiculaires sont des droites sécantes ? - Qu'est-ce que des droites gauches ? - Peut-on parler de plans gauches ?

Avoir du matériel concret : pailles, plaques transparentes sera bien utile pour aider à visualiser. Le jeu Puissance 4 à 3D mérite le détour !! Faire prendre des positions à un robot (jambes, bras), Psychomotricité pour les plus jeunes. Liens avec la géographie à privilégier (cartes)

Voir http://www.jeuxmath.be/liens/geometrie-et-trigonometrie/

Utiliser des contextes variés, et en particulier la psychomotricité pour avoir une approche vécue corporelle.

Tracer des lignes et des contours caractérisés à l'aide des outils graphiques élémentaires (ECA, P1) Utiliser des techniques et des outils pour tracer, pour mesurer (FMTT, P1) Arts plastiques Reconnaître - Reproduire - Créer avec contraintes Mondrian et droites parallèle, droites perpendiculaires Artistes Franz Marc, Kerly Rosanes, Kandinsky Architecture

Un point peut appartenir à une droite, à un plan. Si ce n'est pas le cas, on dira qu'il est en dehors ou extérieur à la droite (ou au plan). Deux droites du plan sont d'office coplanaires. Elles peuvent avoir 0 ou une infinité de points communs d'une part, ou un seul point commun d'autre part : on dira qu'elles sont parallèles (strictes ou confondues) ou sécantes. Si elles se coupent (et sont donc sécantes) en formant 4 parties superposables, elles sont perpendiculaires. Des droites sécantes sont donc soit perpendiculaires, soit non perpendiculaires. Dans l'espace, des droites peuvent aussi être gauches, c'est à dire disjointes mais non parallèles. (Si elles forment un angle droit, on parle de droites orthogonales). Deux plans de l'espace peuvent être parallèles (stricts ou confondus) ou sécants (ils ont alors une droite de points communs. Ils ne peuvent pas être gauches. Une droite peut être parallèle (strictement ou incluse) à un plan, ou être sécante en un point avec un plan.

Un point peut être vu comme une position de l'espace : il n'a pas d'épaisseur. (Ça n'a donc pas de sens en mathématique de parler de "gros" point !!) Une droite peut être vue comme un fil tendu entre deux points, qui se prolongerait indéfiniment dans les deux sens. La partie de la droite située entre deux points A et B est un segment. Il peut être ouvert, semi-ouvert ou fermé selon que l'on prend ou non les extrémités. Si on prend un des deux points et que l'on prolonge le segment indéfiniment au-delà de l'autre extrémité du segment, on parle de demi-droite (notion essentielle quand on introduira les angles). Une ligne peut être vue comme un fil quelconque, fini ou infini. Un plan peut être vu comme la surface déterminée par trois points non alignés, qui se prolongerait indéfiniment dans toutes les directions. Une partie finie du plan est une surface plane. Une surface peut aussi être incurvée (donc pas plane).

Dans la vie de tous les jours, les segments sont souvent horizontaux (penser aux niveaux d'eau) ou verticaux (d'où l'utilisation de fil à plomb), et les surfaces sont souvent horizontales ou verticales : nous vivons dans un espace physique. En mathématique, ce sont les propriétés des objets géométriques qui importent, pas leur disposition : un carré reste un carré même disposé sur sa pointe ou "en oblique", un prisme à base triangulaire reste un prisme, même placé sur l'une de ses faces latérales. Voir dans l'espace en mathématique demande donc de pouvoir changer son point de vue de façon à mieux percevoir les propriétés de l'objet observé.

Une ligne peut être : - droite (elle est comme un fil tendu entre deux points, et se prolonge ou pas) - courbe (elle n'est jamais droite) - brisée (elle se compose alors de plusieurs segments consécutifs) - finie (la ligne est limitée et on peut déterminer ses deux extrémités) - infinie (on ne connaît pas au moins une de ses extrémités) - fermée (ses deux extrémités sont confondues, elle sera d'office finie) - ouverte (les extrémités ne sont pas confondues, elle peut être finie ou infinie) - verticale (au sens réel, dans un plan vertical, ou par convention, dans un plan horizontal) - horizontale (valable dans un plan vertical ou horizontal ; on peut donner l'image de l'horizon) - oblique (dans les autres cas)

On peut jouer à imaginer une position de l'espace pour se représenter le point. Parfois, on fait aussi imaginer la pointe d'une aiguille pour faire comprendre qu'un point n'a pas d'épaisseur. On peut effectuer un classement de lignes en proposant des lignes courbes, brisées ou droites (ou autres si c'est un mélange) finies ou infinies (ou finies d'un côté, infinies de l'autre) Une fois ce classement effectué, on peut faire l'analogie (pour faciliter la compréhension) avec un classement de surfaces courbes ou droites ou autres, finies ou infinies (ou finies pour une partie et infinies pour l'autre)

En tant qu'enseignant, il est important de prendre conscience de l'importance de varier la disposition des objets. Nous sommes naturellement portés à privilégier les quadrillages, avec horizontales et verticales. A nous d'y penser constamment lorsqu'on aborde la géométrie avec les enfants. De nombreuses erreurs d'enfants proviennent de cette influence des horizontales et des verticales dans notre vie quotidienne : il est donc important d'entraîner les enfants à surmonter cette difficulté. Pour les plus jeunes, les mots "horizontale" et "verticale" utilisés dans les mots croisés doivent d'abord prendre du sens, en utilisant un plan vertical pour les expliquer.

Observer différents types de lignes aide à affiner le vocabulaire géométrique. Cela peut se faire à partir de photos, d'oeuvres d'art, de trajets sur une carte imagée ou non. Il est aussi possible de les classer, selon différents critères.

Avec les plus jeunes, il est important d'utiliser déjà le vocabulaire correct, dont l'apprentissage se fera d'abord passivement. On rencontrera des rails (lignes parallèles), des segments parallèles, des angles (dits parfois coins) droits entre deux côtés d'un rectangle par exemple. Au moment du classement de paires de droites, il est essentiel de faire comprendre que des droites confondues sont un cas particulier de droites parallèles, que des droites perpendiculaires sont un cas particulier de droites sécantes. Plus tard, ces relations d'inclusions seront particulièrement utiles dans des démonstrations et recherches de cas particuliers.

Tracé de parallèles (vidéo française) : https://www.lumni.fr/video/tracer-des-paralleles

Droite : Genially français de fin de primaire (attention, certaines notations sont différentes de ce qui se fait en Belgique) : https://view.genial.ly/602a91fe5de9320d84b2de7e/interactive-content-defi-droites et https://view.genial.ly/5f4ba947033a890d1cc221c9?fbclid=IwAR1WbOo1d3HMDS3mSxT9G6grAsNSM1rKa3139e3hxEBrGtFO49zSoyL1oVs Pouvoir résoudre des problèmes variés d'école primaire utilisant des transformations géométriques Maîtriser les constructions géométriques relatives aux transformations du plan. Pouvoir introduire une transformation géométrique à l'école primaire, en lui donnant du sens.

Points - Lignes et droites - (Plans à ajouter)

Comparer différents types de lignes, les classer, les nommer, les tracer
Découvrir des angles droits, des droites parallèles, des droites perpendiculaires par observation ou par pliage Comprendre / utiliser la notion d’horizontale et de verticale, comprendre la convention des mots croisés.
Classer les paires de droites du plan avec les deux cas particuliers (droites parallèles confondues, droites sécantes perpendiculaires)
Classer les paires de droites de l’espace

Eléments Identifier les éléments du plan : droite, segment de droite (P4-5-6) Associer un segment de droite à un côté d'une figure (P4) Désigner les composantes des figures travaillées : côtés (longueur, largeur (P2), base (P4)), sommets, angles (droits (P2), aigus et obtus (P4)); centre, rayon et diamètre (P5) Symbolisme Associer la symbole à sa signification : - // signifie parallèle (P4) - ⊥ signifie perpendiculaires (P4) - A désigne le point A (P5) - a désigne la droite a (P5) - [AB] désigne le segment dont les extrémités sont les points A et B (P5) - Associer un symbole à l'objet qu'il désigne : point, segment, demi-droite, droite, angle, droites parallèles, droites perpendiculaires (S1) Utiliser des symboles : // et ⊥ (P4), A, a, [AB] (P5) Lire, interpréter et utiliser les notations, les symboles et le codage géométrique. (S1) Représenter une situation géométrique décrite à l'aide des notations, des symboles ou codage géométriques. (S1) Tracer : Tracer des figures à main levée, en repassant sur des "segments de droite" formés par des faisceaux de droite donnés. (P1) Utiliser la latte pour tracer, sur papier vierge, une droite sans contrainte (P1), passant par 1 puis 2 points donnés (P2). Utiliser l'équerre pour tracer un angle droit sur papier vierge (P3) Utiliser la latte pour tracer des droits parallèles sur papier tramé. (P4) Utiliser l'équerre et la latte pour tracer, sur papier vierge, des droites perpendiculaires (P4), perpendiculaires et parallèles, avec et sans contraintes (P5)

Côté, longueur, largeur, sommet, angle (P2) Base (P4) Droite, segment de droite (P4) Angle droit (P2), aigu, obtus (P4) Parallèle, perpendiculaire (P4) Point, droite, segment (P5) Centre, rayon, diamètre (P5) Demi-droite (S1)

4. Distances et angles

1. Distances

2. Angles

3. Angles et mesures

- Comment introduire la notion de distance et pour quels concepts intervient-elle ? - Qu'est-ce qu'un angle et comment l'introduire à l'école primaire ? - Quel est le vocabulaire lié au concept d'angles et comment introduire chacun de ces mots ? - Quelles sont les applications des concepts d'angles et de distance au niveau de l'école primaire et au niveau du secondaire inférieur ?

Un matériel simple du type Geostix est assez utile.

Constructions avec un compas : http://avecuncompas.free.fr/?fbclid=IwAR2KgjLG9G618BeIC_lyubdR6Ha74n3wv0GJHdNmHyu7EqaU961imM412fs Cercles : diverses propriétés illustrées avec GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/xtnjcbb8?fbclid=IwAR2VI41BGAscMZdAv4KuAJHqZZy4jE9udKVWzIdBJwG1n7TjQ0t4mDQdrkM Fiche outil : https://www.fichier-pdf.fr/2021/02/15/fiche-outil-mesurer-un-angle-1/fiche-outil-mesurer-un-angle-1.pdf ou, sous forme de Genially : https://view.genial.ly/6072acdccdeba90d10056925/presentation-comment-utiliser-le-rapporteur Angles : Genially de révision : https://view.genial.ly/5fb17d13adefec0d0e85ac68/presentation-angles-sixieme Fiche outil : https://www.fichier-pdf.fr/2021/02/15/fiche-outil-mesurer-un-angle-1/fiche-outil-mesurer-un-angle-1.pdf ou, sous forme de Genially : https://view.genial.ly/6072acdccdeba90d10056925/presentation-comment-utiliser-le-rapporteur Types d’angles : https://www.geogebra.org/m/bsmcmaz7?fbclid=IwAR2_SKDZubKgzuf-WQeEinlA431vrfwltX55mSROCVSykIAgEWLX7eL-Koo Construire un angle : explication avec GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/cgvcxxkc

Associer une mesure sur la carte à une distance sur le terrain, et inversement, sur la base de l'échelle graphique (FHGES, P5) Arts plastiques Zelliges (travail de l’APMEP, régionale de Lorraine)

A l'école primaire, la distance entre deux points est la mesure de la longueur du segment ayant pour extrémité ces deux points. Pour le mathématicien, il s'agit d'une application qui associe à deux points un nombre réel, mesure de leur distance, dans un repère bien défini. Le milieu d'un segment est le point qui partage ce segment en deux segments isométriques (de même longueur) La distance entre un point et une droite est la mesure de la longueur du segment abaissé du point perpendiculairement à la droite. On définit de façon similaire la distance entre un point et un plan. La distance entre deux droites parallèles est la distance d'un point d'une des deux droites à l'autre. Remarquons que la distance entre deux droites sécantes est toujours nulle !! La médiatrice d'un segment est la perpendiculaire (au segment) passant par le milieu de ce segment. On peut aussi la voir comme l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. Cette seconde affirmation est en général vue comme propriété de la médiatrice d'un segment.

Plusieurs concepts différents se cachent derrière la notion d'angle : - Un angle absolu est une figure déterminée par deux demi-droites de même origine : les deux demi-droites sont les côtés de l'angle, et l'origine commune est le sommet de l'angle.(C'est à cet angle qu'on s'intéresse à l'école primaire) - La mesure de l'ouverture d'un angle est son amplitude. - Un angle découpe le plan en deux parties appelées secteurs angulaires, qui sont des figures planes, l'une convexe et l'autre concave (voir plus loin) - Les physiciens, et les mathématiciens lorsqu'ils s'intéressent aux rotations, ajoutent un sens et parlent alors d'angle orienté. Les angles particuliers sont les angles nuls, droits, plat et plein (0°, 90°, 180°, 360°). Un angle aigu est un angle compris entre l'angle nul et l'angle droit. Un angle obtus est un angle compris entre l'angle droit et l'angle plat. On parle alors d'angles saillants (convexes) : ce sont ceux que l'on rencontre le plus souvent à l'école primaire. Les angles compris entre l'angle plat et l'angle plein sont dit rentrants (non convexes).

Pour mesurer les angles, l'unité utilisée à l'école primaire est le degré. Un angle droit mesure 90°. Remarquons que plus tard, une autre unité collera plus à la réalité "physique" de l'angle : le radian, amplitude de l'angle obtenu en reportant sur le cercle son rayon et en joignant les deux points obtenus au centre du cercle. L'outil utilisé pour mesurer les angles en degrés est le rapporteur (souvent celui de l'équerre Aristo, mais il y en a d'autres !) On dispose alors de plusieurs procédés pour vérifier que deux angles sont égaux (superposition ou mesure), pour calculer leur somme (les placer comme deux angles de même sommet, ayant un côté commun et situés de part et d'autre du côté commun, c'est à dire en angles adjacents puis déterminer l'angle somme ou bien mesurer) Deux angles dont la somme vaut 90° sont dits complémentaires. Deux angles dont la somme vaut 180° sont dits supplémentaires. La bissectrice d'un angle est la droite qui partage un angle en deux angles adjacents égaux. Elle peut s'obtenir par pliage en superposant les côtés de l'angle. Notons que les points de la bissectrice sont situés à égale distance des deux côtés de l'angle.

La notion de distance entre deux points est à la base de la notion de mesure de longueur. Pour la distance d'un point à une droite (ou à un plan), on fait chercher le "plus court chemin" du point à la droite (ou au plan) et on remarque qu'il est situé sur la perpendiculaire au segment. Ceci peut aussi se montrer facilement avec des pliages. C'est en général l'occasion de tracer une perpendiculaire à une droite passant par un point donné avec l'équerre, éventuellement avec le compas. La notion de médiatrice prend tout son sens avec l'idée de lieu de points situés à même distance des extrémités d'un segment. Là aussi, un pliage est utile. La médiatrice d'un segment est facile à construire avec le compas ou avec la latte. Dans les deux cas, il est important d'expliquer mathématiquement ce qui est fait ("Pourquoi ça marche ?"), pour éviter l'application de techniques qui n'auraient pas de sens pour l'élève.

On rencontre des angles lorsqu'on s'intéresse à des formes géométriques, mais aussi dans la vie quotidienne : ouverture d'une porte, d'une fenêtre, tours en gymnastique, ... Une première étape consiste à dégager la notion d'angle, les angles particuliers et l'angle droit. Des matériels sont privilégiés : géostix, tiges et plasticine, ... Il est important de faire comprendre que la longueur des côtés d'un angle n'a pas d'importance en faisant comparer des angles (inégalité), trouver des angles égaux (égalité), On trouve les premiers cas particuliers : angle nul, plat, (plein). Un premier repère est l'angle droit, qui permettra de classer les angles (saillants) en 3 catégories : aigus, droits et obtus, et de prolonger en parlant d'angle saillant ou rentrant. A ce stade, il n'y a pas encore de mesure, et seule est maîtrisé l'angle droit, qui sert de référence.

Pour apprendre à mesurer un angle avec le rapporteur, une façon de faire est de commencer par partager un angle plat (en papier) en 4, 8, 16 parties et mesurer avec ce gabarit un peu particulier, complété au fur et à mesure : ceci permet de fixer l'importance du sommet de l'angle et d'un côté comme point de départ de la mesure. Ensuite, on passe au rapporteur, où l'on apprend aussi à utiliser l'information pertinente. Des angles opposés par le sommet sont égaux. Calculer la somme d'angles permet d'aborder la notion d'angles adjacents (qui servira plus tard pour calculer la somme des angles d'un triangle par exemple). La bissectrice d'un angle peut être introduite d'abord par pliage, avant de passer à la mesure. Le report d'un angle peut se faire de plusieurs façons : privilégier les procédés qui ont du sens pour l'élève. et commencer par le concept avant la mesure.

Vidéo française : problèmes sur les distances etc : https://www.lumni.fr/video/geometrie-cercle-mediatrice-problemes-de-distance-3-avril

Vidéo RTBF : Angle droit et formes (P1-P2) : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2715778 Construction d’angles avec GeoGebra : https://www.youtube.com/watch?app=desktop&fbclid=IwAR2MCEkdgoe-uoV88AbBRxtVv1k87soPb_v4iUH4thXkDj7e7z5KuqOURTA&v=3IW5GEksGkM&feature=youtu.be Vidéo française en 2 parties sur les angles : https://www.lumni.fr/video/angles-6-avril et https://www.lumni.fr/video/les-angles-2-2-10-avril Vidéo RTBF « Tracé de spirale d’or et autres activités » : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2808028

Angles : Genially de révision : https://view.genial.ly/5fb17d13adefec0d0e85ac68/presentation-angles-sixieme Mesurer des angles avec un rapporteur : https://view.genial.ly/609407752e2ba00d84d47f78/interactive-content-6e-angles-mesurer01?fbclid=IwAR1OQuXzWl-e7IrT4gjmzWPkmo-cHOAlcC-TxYdKONxBdXEKhUlH9tOF4JY Angles niveau collège : exercices :https://view.genial.ly/6075ecc93291850dd60c4a01/interactive-content-copie-les-angles-5e?fbclid=IwAR0v0QlU7VTz9Hf7JwmO1jvlzOZ5mpMHgvT5XwgjYdaBWDPhPwirO7mEZDM Angles et Saint Valentin : https://view.genial.ly/61f158eafea1fa0011191209/interactive-content-angles-cupidon?fbclid=IwAR0h-yjTMSxHGvyAFt4L-LKQ12_SWFXWCpfOORwNevik_Gt5UcKHENY2F1o (mars 22) Un exercice original : Dessiner un cercle à main levée : https://vole.wtf/perfect-circle/ et aussi : Jeu en ligne “Le bon angle” : construction d’angle avec estimation : https://www.jeuxmaths.fr/jeu-de-math-lebonangle.html

Distances et angles

Classer les angles (aigus, obtus, droits, saillants / rentrants) et connaître les cas particuliers (angle nul, angle plat)
Tracer des droites parallèles, des droites perpendiculaires avec l’équerre (avec le compas)
Mesurer un angle
Tracer, reporter un angle

(à développer plus)

Eléments Identifier un angle aigu et un angle obtus par comparaison à l'angle droit (P4) Associer aux angles particuliers (droit, aigu, obtus, plat, plein) leurs amplitudes (S1) Enoncer des caractéristiques des figures travaillées : le nombre de côtés (P2), les côtés isométriques (P2), les côtés parallèles ou perpendiculaires (P4), le nombre d'angles droits (P2) d'angles aigus ou obtus (P4), les angles isométriques (P3) Identifier et définir la médiatrice d'un segment (S1), la bissectrice d'un angle (S1) Tracer : Utiliser l'équerre pour tracer un angle droit sur papier vierge. (P3) Mesurer l'amplitude d'un angle à l'aide du rapporteur (S1) Construire un angle dont l'amplitude est donnée (S1) Construire la médiatrice d'un segment, la bissectrice d'un angle (S1) Lieux géométriques Lire, interpréter et utiliser l'écriture symbolique de la distance. (S2) Définir la distance entre deux points, entre deux droites parallèles, entre un point et une droite. (S2) Définir les parallèles à une droite, la médiatrice d'un segment, la bissectrice d'un angle et le cercle comme lieu géométrique. (S2) Enoncer la condition d'existence d'un triangle (inégalité triangulaire. (S3) Vérifier si 3 longueurs de segment données permettent de construire un triangle. (S3) Enoncer le théorème de Pythagore en langage courant (S3). Ecrire le théorème de Pythagore en langage courant (S3). Ecrire les relations de Pythagore relatives à un triangle rectangle donné. (S3) Angles et propriétés Identifier des angles complémentaires, supplémentaires, opposés par le sommet (S1), des angles correspondants, des angles alternes internes, des angles alternes-externes (S2) Enoncer la propriété de la somme des amplitudes des angles intérieurs d'un triangle et d'un quadrilatère (S2). Enoncer les propriétés qui lient les angles déterminés par deux droites parallèles et une sécante (S2). Propriétés et mesure d'une grandeur Déterminer l'amplitude d'un angle en utilisant les propriétés des angles complémentaires, supplémentaires et opposés par le sommet (S1). Déterminer l'amplitude d'un angle en utilisant la propriété relative à la somme des amplitudes des angles intérieurs d'un triangle et d'un quadrilatère (S1), d'un polygone (S2) et aux droites parallèles coupées par une sécante (S2). Calculer la longueur d'un segment à partir d'une configuration de Thalès ou de triangles semblables (S3). Rechercher l'ensemble des longueurs possibles du troisième côté d'un triangle (S3). Calculer des longueurs de côtés d'un triangle rectangle (S3). Calculer la distance entre deux points (un repère orthonormé étant donné) (S3). Calculer la longueur de la diagonale d'un rectangle, d'un cube, d'un parallélépipède rectangle (S3). Construire et justifier Représenter la distance entre deux droites parallèles ou entre un point et une droite (S2) Construire un lieu géométrique de points répondant à une contrainte sur la distance (S2) Justifier l'amplitude d'un angle en utilisant ses propriétés (S1) Justifier le parallélisme de deux droites à partir de mesures de longueur données (S3). Justifier le parallélisme de deux droites à partir de mesures de longueur données (S3). Justifier la constructibilité d'un triangle (S3). Justifier qu'un triangle est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore (S3). Justifier qu'un triangle n'est pas rectangle en utilisant la contraposée du théorème de Pythagore (S3) Résolution de problème Résoudre un problème mobilisant des propriétés relatives aux angles et justifier (S1). Résoudre un problème nécessitant le recherche de lieux géométriques (S2). Résoudre un problème utilisant le théorème de Thalès, le théorème de Pythagore (S3)

5. Figures planes

1. Convexité

2. Polygones et non polygones

3. Cercle et disque

4. Polygones

5. Polygones réguliers

- Quand dit-on qu'une figure est convexe ? - Comment classer des figures planes ? des polygones ? - Quel est le vocabulaire à introduire quand on parle de cercle, de disque ? - Quels angles sont importants dans un polygone ? Quelles droites remarquables sont intéressantes ici ? - Qu'est-ce qu'un polygone régulier , Pourquoi cette notion est-elle essentielle ?

Le matériel Geostix ou géorègles est particulièrement utile lorsqu'on parle de polygones. L'application Geoboard correspond au géoplan (planche avec des élastiques).

Parcours d'initiation à GeoGebra : http://juliette.hernando.free.fr/ateliers6.php?fbclid=IwAR1JIxw2kjU3f3KKnumQ8avEiT865srdalQJmB8SbArUVU8uRBVJmaJNZK4 Maths et origami : https://origamaths.wordpress.com Réflexion sur les origamis au cours de maths : https://afdm.apmep.fr/rubriques/ouvertures/des-origamis-en-cours-de-math/

Identifier des formes géométriques (ex cercle, carré, triangle, ..) (ECA, P1) Utiliser des formes variées pour produire un visuel (ECA, P1) Utilise des formes géométriques et organiques au départ de techniques variées (ECA, P3) Arts plastiques Reconnaître - reproduire - créer avec contrainte Rosaces, et reproduction ou création avec le compas (et histoire) Polygones ou disques : Anny Robin Deshayes, Delaunay, Vasarely, Kandinsky, Yayoi Kusama, …

Une fois dégagés du classement général, les polygones (convexes) méritent une attention plus soutenue. Affinissons la définition, en observant ses constituants : Un polygone est une figure plane contenant un ensemble de n points distincts (n : naturel ≥ 3) numérotés cycliquement ("on revient au point de départ") et tels que 3 points consécutifs sont non alignés. Ces points sont appelés sommets. Les segments de droite déterminées par deux points consécutifs sont appelés côtés. On peut nommer les polygones à partir du nombre de leurs côtés (3 - triangle, 4 - quadrilatère, 5 - pentagone, 6 - hexagone, 7 - heptagone, 8 - octogone, 9 - ennéagone, 10 - décagone, 12 - dodécagone, ..., 20- icosagone, n - n-gone), d'où l'idée d'accepter le critère de nombre de côtés pour le classement des figures planes. Une diagonale d'un polygone est un segment déterminé par deux sommets non consécutifs. Les angles intérieurs d'un polygone sont les angles formés par deux côtés consécutifs du polygone. Moins utilisés, les angles extérieurs d'un polygone sont les angles formés par un côté du polygone et le prolongement du côté suivant. Un angle intérieur et l'angle extérieur correspondant sont supplémentaires.

Un polygone convexe est régulier si et seulement si tous ses côtés sont isométriques et tous ses angles ont même amplitude. Exemples : triangle équilatéral, carré, hexagone régulier, ... Contre exemples : losange non carré (angles d'amplitudes différentes), rectangle non carré (côtés non isométriques). Attention : un polygone régulier peut être inscrit dans un cercle MAIS un polygone inscriptible dans un cercle n'est pas forcément régulier (penser aux triangles, au rectangle par exemple). L'angle au centre mesure 360°/n(Le centre est le centre du polygone, et le centre du cercle dans lequel est inscrit le polygone) L'angle entre deux côtés consécutifs mesure 180° - 360°/n L'apothème est la distance du centre à un côté du polygone.

A l'école primaire, on s'intéresse essentiellement aux figures planes "en un seul morceau" ou connexes. Un premier critère de classement des figures planes est la convexité. Une figure plane est convexe lorsque tout segment joignant deux de ses points est situé à l'intérieur de cette figure. Ceci signifie que dès que l'on peut tracer un segment joignant deux points de la figure qui sort de la figure, on pourra dire qu'elle est non convexe ou concave. A l'école primaire, les principales figures planes étudiées sont convexes. Remarquons que ces définitions se généraliseront à l'espace avec les solides.

Outre le critère de convexité, on retrouve un classement qui fera apparaître les polygones. Un polygone est mathématiquement une ligne brisée fermée. Souvent, on simplifiera la définition lors du classement en disant que c'est une figure plane fermée dont tous les côtés sont droits. Les non polygones peuvent dès le départ se classer en deux catégories : - les figures courbes dont tous les côtés sont courbes (cercle, ovale, ellipse, ...) - les figures hybrides dont au moins un côté est droit et au moins un côté est courbe. (demi disque par exemple) Parfois, on regroupe ces deux catégories, les séparer fera apparaître plus facilement, dans l'espace, les solides de révolution.

Quel que soit l'âge des élèves, l'enseignant doit faire correctement la distinction entre les deux ! Le cercle est l'ensemble des points situés à une distance R d'un point appelé centre. C'est une ligne courbe fermée. Le disque est l'ensemble des points situés à une distance ≤ R d'un point appelé centre. On peut le voir aussi comme la surface intérieure au cercle, cercle compris. Un arc de cercle est une partie du cercle. Un secteur circulaire est une partie du disque délimitée par un arc de cercle et les deux rayons passant par ses extrémités. Le segment qui joint le centre à un point situé sur le cercle (ou sur le bord du disque) est appelé rayon. Le segment joignant deux points opposés du cercle (ou du bord du disque) est un diamètre. Le segment joignant deux points opposés du cercle est appelé corde : le diamètre est donc une corde particulière. Un angle au centre est un angle qui a son sommet au centre du disque. Un angle inscrit au cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent le cercle.

La convexité est abordée plutôt en primaire. A l'école maternelle, les enfants remarquent qu'une figure "a été mangée" ou "est découpée" ou autres mots de ce genre, par exemple quand on rencontre une étoile, on peut dire qu'elle n'est pas convexe. Au premier degré de l'école primaire, on pourra retrouver des classements de figures planes : penser à ce moment-là à proposer des figures convexes et des figures non convexes (concaves). Par la suite, on reviendra à ce critère ponctuellement, en prévision du classement de solides.

Les enfants peuvent proposer de nombreux critères de classement originaux. Le premier sera très souvent la convexité, mais ce critère peut aussi apparaître dans un deuxième temps. La difficulté sera de refuser les critères "non mathématiques" se focalisant sur des aspects non géométriques : couleur, type de trait pour le contour, .... Certains critères sont intéressants, "mais plus tard", comme par exemple le nombre de côtés, le fait que les "côtés soient pareils" : les accepter, mais ne pas les reprendre dans la synthèse écrite (trace au cahier), en disant qu'on en reparlera plus tard. (Le nombre de côtés apparaîtra pour nommer les polygones, les côtés isométriques apparaîtront quand on abordera les polygones réguliers). Comme dit dans la théorie, trois ensembles (en distinguant les figures hybrides) est plus intéressant que deux (si on a en tête les solides de révolution, que l'on trouve en faisant tourner une figure plane autour d'un axe, dans l'espace.

Dès l'école maternelle, il est important d'utiliser le vocabulaire correct : un cercle est le contour extérieur d'un disque. Le cercle peut se tracer avec un compas, ce qui permet de fixer la notion de rayon, qui sera l'ouverture à donner au compas. Le point fixe est le centre du cercle. Tout ceci peut se faire avec une ficelle, en plus grand, pour mieux s'approprier le concept avant d'utiliser le compas. Souvent, l'image d'une route de vélo aide à introduire le vocabulaire pour l'image du rayon. Il y a pas mal de vocabulaire ici, qui peut aussi s'introduire à l'occasion d'un tracé artistique (pour les plus grands, penser aux livres "la géométrie pour le plaisir" avec des figures à reproduire. Il s'agit davantage d'introduire les mots quand ils se présentent que de faire du bourrage de crâne, et pour les plus grands, d'étendre progressivement le vocabulaire, même passivement dans un premier temps.

Les noms des polygones à 3,4,5,6,8,10,12,20 côtés serviront aussi dans le classement des solides (penser aux divers dés existant). Certains sujet permettent de conjecturer (émettre des hypothèses), vérifier puis essayer de "trouver pourquoi" c'est-à-dire démontrer : - Mesurer puis anticiper la somme des angles intérieurs d'un polygone à n côtés ((n-2) . 180°) - Compter le nombre de diagonales d'un polygone à n côtés( n (n-3)/2)

La notion de polygone régulier servira notamment pour les calculs de grandeurs géométriques (périmètre, aires). L'amplitude de l'angle intérieur d'un polygone régulier pourra servir à construire des pavages du plan à l'aide de polygones réguliers, en mettant en évidence qu'en chaque sommet, la somme des angles doit valoir 360°. On peut aussi construire des polygones étoilés à partir d'un polygone régulier à n côtés en "prenant" un sommet sur k, k étant un nombre premier avec n et ≥ 3 . Par exemple, à partir d'un octogone régulier, on peut construire 2 polygones étoilés. Il peut aussi être intéressant d'utiliser des logiciels de géométrie comme Geogebra en fin de primaire.

Explications : https://view.genial.ly/5f9290724726f70d80f13cca/interactive-content-testdndcercle

Figures planes et drapeaux : https://www.sbpm.be/wp-content/uploads/2015/05/drapeaux.pdf

Figures planes (surfaces)

Reproduire un modèle réalisé à l’aide de figures planes.
Comparer différents types de figures planes (à préciser), les classer, les nommer : polygones et non polygones, surfaces convexes et non convexes (concaves)
Utiliser le vocabulaire relatif aux figures planes : sommet, côté courbe, côté droit, convexe, associer nombre de côtés et nom du polygone
Retrouver la présence d’une figure plane donnée dans son environnement.
Nommer une figure plane et justifier l’appellation par des propriétés géométriques.
Classer des polygones, des polygones réguliers
Tracer un cercle et en connaître les éléments essentiels
Tracer des figures planes à l'aide de matériel varié, combiner ou plier des figures planes pour en créer de nouvelles.
Utiliser des outils pour tracer des figures : gabarit, latte, quadrillage, rapporteur

Identifier Identifier carré, rectangle, triangle, disque (P1), cercle (P2), des quadrilatères, des triangles rectangles isocèles, équilatéraux (P3), losange, parallélogramme (P4), trapèze, trapèze isocèle, trapèze rectangle (P5), triangles acutangles, rectangles, obstusangle, scalènes, isocèles, équilatéraux (P5), des polygones réguliers : pentagone, octogone, décagone (P6). Identifier des figures simples (triangles, quadrilatères) sur la base de caractéristiques : côtés (nombre, longueur, parallélisme, perpendicularité), angles (amplitude) (S1) Identifier des polygones réguliers sur la base des caractéristiques : côtés (nombres longueur), angles (amplitude) (S1). Identifier diagonale, médiane, axe de symétrie (P3), hauteur (P4) Tracer (Voir aussi triangles et quadrilatères) Tracer un cercle au compas (P5) Tracer un triangle équilatéral ou un hexagone régulier inscrit dans un cercle (P6) Symétrie Matérialiser un axe de symétrie d'un dessin ou d'une image symétrique par pliage (P2) Produire une forme symétrique par découpage, à partir d'une feuille pliée en deux. (P2) Tracé complexe (voir aussi triangles et quadrilatères) Tracer, sur papier tramé, une figue composée de figures travaillées en suivant les consignes de construction (P3). Construire une figure complexe (composée de figures simples), les étapes de construction étant données (S1) Rédiger les étapes de construction d'une figure complexe donnée. (S1) Terminer la construction d'une figure simple restant des contraintes sur les droites remarquables (S1). Terminer la construction d'une figure simple respectant des contraintes sur les axes et centre de symétrie (S1) Justifier Justifier chacune des étapes d'une construction en utilisant une propriété relative aux côtés, aux angles, aux droites remarquables, aux axes ou au centre de symétrie (S2). Justifier, en articulant le langage courant et le langage mathématique, les étapes de la résolution d'un problème à l'aide des propriétés adéquates (S3).

forme carrée, ronde, triangulaire, rectangulaire (M1-M2) carré, rectangle, triangle, disque (P1) cercle (P2) quadrilatère, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral (P3) losange, parallélogramme (P4) trapèze, trapèze isocèle, trapèze rectangle (P5) triangles acutangles, obtusangles, scalènes (P5) polygones réguliers : pentagone, hexagone, octogone, décagone (P6)

6. Triangles

1. Classement et vocabulaire

2. Propriétés des triangles

3. Tr. rectangle et théorème de Pythagore

4. Droites particulières et utilité

5. Triangles et symétrie

- Un triangle équilatéral est-il isocèle ? - Etant donné trois mesures, peut-on toujours construire un triangle dont les côtés ont respectivement chacune de ces trois mesures ? - Faut-il parler du théorème de Pythagore à l'école primaire ? - A quoi servent les médianes, les bissectrices, les hauteurs, les médiatrices d'un triangle ? - Comment peut-on les construire ? - A quoi peut servir la notion de symétrie ici ?

Un triangle est un polygone ayant trois sommets et trois côtés. Un premier classement des triangles peut se faire à l'aide des angles. Un triangle dont tous les angles sont aigus est un triangle acutangle. Un triangle possédant un angle droit est un triangle rectangle. Dans ce triangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. Un triangle possédant un angle obtus est un triangle obtusangle. Un deuxième classement des triangles peut se faire en s'intéressant à la longueur des côtés. Un triangle dont tous les côtés sont inégaux est un triangle scalène. Un triangle ayant (au moins) deux côtés isométriques est un triangle isocèle. Un triangle ayant trois côtés isométriques est un triangle équilatéral. Remarquons qu'un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle. Il est possible de rassembler ces deux classements dans un tableau : attention à bien faire remarquer qu'un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle.

Une façon de faire apparaître les différents triangles est de donner des tiges (ou baguettes ou pailles), par exemple de longueur en cm : 3, 4, 5, 5, 5, 8, 9 et de demander de construire en petits groupes le plus possible de triangles différents, puis de les classer. Cette approche permet aussi de constater qu'on ne peut pas toujours construire un triangle avec 3 tiges, ce qui permettra d'introduire l'inégalité triangulaire. Il est aussi possible de proposer des gabarits d'angles à la place de gabarits de côtés. Pour gagner du temps, on propose parfois directement des enveloppe avec les différents triangles déjà tracés. Quelle que soit la façon de faire, l'important sera de garder une trace des différents classements (1 critère, puis un 2e critère, puis les deux ensemble) : faire des photos des classements des différents groupes peut être utile ! Ne pas oublier de signaler qu'un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle !

Les géorègles, les pliages, les miroirs sont des outils très efficaces !

Classement de triangles en Genially : https://view.genial.ly/606970edccc9790cde5a1c84/video-presentation-triangles-synthese

Droites remarquables et GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/fqtsrh4u?fbclid=IwAR0s1ODV_sdTBch12FcyKidNB9pfW_ALg7fmnT0kauihQrUn1UC5zq-h-_Q

Voir "Figures planes"

La notion de symétrie axiale (dite aussi orthogonale) peut aider à illustrer les notions suivantes : - médiatrice : la médiatrice est un axe de symétrie d'un côté (et d'un segment en général) - bissectrice : la bissectrice d'un angle est un axe de symétrie de cet angle. - triangle isocèle : un triangle isocèle est un triangle qui a un axe de symétrie.(Cet axe de symétrie est à la fois médiane, médiatrice, bissectrice et hauteur). - triangle équilatéral : un triangle équilatéral est un triangle qui a 3 axes de symétrie (Chaque axe de symétrie est à la fois médiane, médiatrice, bissectrice et hauteur).

Concernant les côtés : inégalité triangulaire La somme des mesures de deux côtés d'un triangle est toujours strictement supérieure à la mesure du troisième. (Ou : la mesure d'un côté est toujours strictement inférieure à la somme des mesures des deux autres côtés) Ceci permettra d'anticiper si la construction d'un triangle est possible. Le cas limite est le cas d'égalité : on obtient alors un segment et pas un triangle, les trois sommet sont alignés (exemple mesures 3 cm, 5 cm et 8 cm). Concernant les angles : la somme des angles d'un triangle mesure 180° (ou est un angle plat). Ceci peut se démontrer de plusieurs façons : - on peut tout d'abord se convaincre en mesurant les angles. - on peut "déchirer" deux angles d'un triangle en papier, et construire trois angles adjacents à partir du troisième angle : on constate que la somme vaut un angle plat. - plus joli (sans découpage) : on plie le triangle parallèlement à un côté en plaçant un sommet sur son côté opposé, puis les deux autres angles pour obtenir un angle plat superposé à une partie de côté. - en secondaire, on utilisera les propriétés des angles (correspondants et alternes internes situés sur une sécante qui coupe deux droites parallèles) pour démontrer cette propriété.

Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l'hypoténuse est égal à la somme des mesures des deux autres côtés. Cette formule servira à trouver l'apothème de polygones réguliers connaissant la mesure du rayon et d'un côté. Une démonstration (dite chinoise) par puzzle est assez jolie : prévoir 4 triangles rectangles identiques, et trois carrés dont les côtés respectifs correspondent à chacun des côtés du triangle rectangle. On peut remplir le même carré avec les 4 triangles et les 2 plus petits carrés, ou avec les 4 triangles et le grand carré.

Lorsqu'on a parlé de segment, on a abordé la notion de milieu de segment. Une médiane d'un triangle est un segment (et par extension une droite) joignant un sommet au milieu du côté opposé. L'intersection des médianes est le centre de gravité du triangle, c'est à dire le point d'équilibre physique du triangle. Une médiatrice d'un côté du triangle est l'ensemble des points équidistants aux extrémités de ce côté. A l'aide d'une deuxième médiatrice, on trouve comme point d'intersection un point situé à la même distance des trois sommets du triangle, qui est le centre du cercle circonscrit ("écrit autour") au triangle. En abordant les angles, on a parlé de bissectrice d'un angle. Les points de la bissectrice d'un angle sont situés à la même distance des deux côtés de l'angle. (Ceci peut se voir par pliage par exemple) En traçant les bissectrices de deux angles du triangle, on trouve un point situé à la même distance des trois côtés du triangle, qui est le centre du cercle inscrit au triangle. La notion de hauteur est à ce stade moins utile, mais prendra tout son sens quand on abordera l'aire du triangle. Une hauteur d'un triangle est un segment perpendiculaire à un côté passant par le sommet opposé. Moins utile, l'intersection des trois hauteurs d'un triangle est appelé orthocentre du triangle.

Pour l'inégalité triangulaire, on peut donner des tiges de longueur différente permettant ou non de construire un triangle. C'est le moment d'utiliser Geogebra (logiciel de géométrie dynamique) pour faire construire un triangle en variant les dimensions des côtés et en voyant facilement dans quels cas c'est possible ou pas. Pour la somme des angles d'un triangle, il est important de dépasser le cap de la mesure sur un triangle, qui n'assure pas que la propriété est toujours vraie, et d'inciter à trouver des raisonnements ("monstruations"), préludes aux démonstrations du secondaire. Là aussi, une première approche avec GeoGebra permet de faire varier les angles et de montrer que la somme vaut toujours 180°.

Pour motiver le théorème, on peut donner des mesures de triangles et demander si les triangles sont rectangles. Il existe aussi quelques vidéos sur le sujet. La démonstration par puzzle est très visuelle.

Pour les médianes, la motivation est physique : trouver le point d'équilibre du triangle, par exemple en donnant un triangle en carton ou plastique et en demandant de le faire tenir en équilibre sur son doigt. On peut faire de même avec les médiatrices et faire tracer un cercle passant par les 3 sommets du triangle. Après quelques essais-erreurs, la notion de médiatrice prendra tout son sens ! Pour les bissectrices, on peut faire tracer un cercle à l'intérieur du triangle, touchant les 3 côtés du triangle. Attention, comme il s'agit de la distance d'un point à une droite, le rayon se trouve sur la perpendiculaire à un côté passant par le point d'intersection trouvé. La notion de hauteur est un peu "gratuite" à ce stade, mais prendra son sens après : on le verra comme occasion de se rappeler que la perpendiculaire à un côté passant par un point donné peut nécessiter de prolonger un côté. On peut se poser la question de savoir si le point d'intersection est toujours situé à l'intérieur de la figure ou pas dans les 4 situations. A nouveau, une animation GeoGebra permettra d'éviter de nombreux tracés et de voir "bouger le point d'intersection" selon le type de triangle.

Les pliages et la notion de symétrie vont aider à faire percevoir la régularité des triangles isocèles et isocèles équilatéraux.

Triangles et quiz à la télé : https://www.youtube.com/watch?v=MuFdqw2lDuE

Géométrie du triangle (secondaire) : vidéo : https://www.lumni.fr/video/geometrie-du-triangle-8-juin

Triangles :

Classer des triangles
Comprendre / utiliser les termes géométriques (médiane, …), tracer ces segments, en connaître les propriétés selon la figure considérée.
Construire des bissectrices d’angles, des médiatrices de segments, le cercle inscrit ou circonscrit à une figure donnée.

Identifier Identifier triangle (P1), des triangles rectangles isocèles, équilatéraux (P3), triangles acutangles, rectangles, obtusangle, scalènes, isocèles, équilatéraux (P5). Identifier des figures simples (triangles) sur la base de caractéristiques : côtés (nombre, longueur, perpendicularité), angles (amplitude) (S1) Identifier médiane, axe de symétrie (P3), hauteur (P4) Identifier et définir les droites remarquables d'un triangle (S1). Enoncer les propriétés des droites remarquables dans le triangle (S1). Tracer Tracer des triangles à la latte, en repassant sur des "segments de droite" formés par des faisceaux de droite donnés (P2). Tracer un triangle (sauf triangle équilatéral) à la latte sur papier tramé, avec et sans contraintes (P3) Tracer un triangle inscrit dans un carré ou un rectangle (P3), dans un quadrilatère (P4) Tracer un triangle à la latte et à l'équerre, avec et sans contraintes, sur papier tramé et sur papier vierge (P5) Tracer au compas un triangle isocèle et un triangle équilatéral sur papier, avec et sans contraintes (P5) Tracer un triangle équilatéral inscrit dans un cercle (P6) Construire un triangle connaissant : - la longueur d'un côté et l'amplitude de ses deux angles adjacents ; - la longueur de deux côtés et l'amplitude de l'angle compris entre eux ; - la longueur des trois côtés (S1). Construire un triangle isocèle ou équilatéral à la latte et au compas, à la latte et au rapporteur (S1). Tracé complexe Construire le cercle inscrit et le cercle circonscrit à un triangle (S1) Construire un triangle dont deux médiatrices et un sommet sont donnés (S1) Construire un triangle dont deux bissectrices, un sommet (appartenant à l'une d'elles) et l'amplitude de l'angle en ce sommet sont donnés (S1). Construire un triangle isocèle dont une médiatrice (ou une bissectrice) et un sommet ou l'amplitude d'un angle ou la longueur d'un côté sont donnés (S1) Construire un triangle équilatéral dont une médiatrice (ou une bissectrice) et un sommet ou la longueur d'un côté sont donnés (S1). Justifier Justifier la constructibilité d'un triangle (S3). Justifier qu'un triangle est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore (S3). Justifier qu'un triangle n'est pas rectangle en utilisant la contraposée du théorème de Pythagore (S3).

forme triangulaire, (M1-M2) triangle, (P1) triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral (P3) triangles acutangles, obtusangles, scalènes (P5) Plus précisément, sans les années : : triangle acutangle, rectangle, obtusangle triangle scalène, isocèle, équilatéral médiane, centre de gravité médiatrice, cercle circonscrit à un triangle bissectrice, cercle inscrit à un triangle hauteur, (orthocentre) inégalité triangulaire théorème de Pythagore

7. Quadrilatères

1. Découverte

2. Définitions classiques

3. Droites particulières

4. Nouvelles définitions

5. Quadrilatères et symétries

- Un carré est-il un rectangle ? un losange ? - Quels sont les quadrilatères et comment les classer ? - A quoi servent les médianes, les diagonales d'un quadrilatère ? - Existe-t-il plusieurs définitions pour un quadrilatère ? - A quoi peut servir la notion de symétrie ici ?

Dès la maternelle, l'enfant rencontre des blocs, à trois dimensions, mais souvent vus comme des figures planes (ce qui demande une certaine "abstraction" de la réalité !). D'une façon générale, on peut retrouver les figures planes comme des empreintes de solides dans le sable, la farine, la peinture. Cela fait partie du passage de 3D à 2D, de l'espace qui nous entoure à la feuille de papier. Justifier le nom donné aux formes va faire apparaître assez vite l'idée que des côtés peuvent se superposer, que des angles sont parfois pareils, droits.

Les quadrilatères apparaissent d'abord comme des surfaces planes que l'on rencontre à diverses occasions. Le carré et le rectangle sont parmi les premières figures planes abordées avec les enfants. On peut les retrouver comme trace de cube ou de boîte. Une difficulté est de faire apparaître le carré comme "super rectangle", qui, en plus de quatre angles droits, possède des côtés superposables (ou de même longueur ou isométriques) Le losange et le parallélogramme, après avoir été rencontrés dans des activités comme des puzzles ou assemblages de formes, apparaîtront comme construits avec des tiges, ou en supposant deux bandes parallèles, de largeur différente ou non. Le trapèze et ses cas particuliers, apparaissent souvent plus tard, à l'exception du trapèze isocèle, que l'on retrouve souvent comme "demi hexagone régulier".

Tiges ou pailles, bandes transparentes, miroirs permettent des manipulations. Geoboard permet d'exploiter les quadrillages pour retrouver les différents quadrilatères. En fin de primaire, (faire) utiliser GeoGebra est une belle aventure pour les élèves, et les prépare au secondaire où cette application sera utilisée.

Tangram et TBI : https://exchange.smarttech-prod.com/share/163f6162-e7dd-4a52-8bda-105f73e4d581?src=notebook

Révisions sur les figures planes : https://fr.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geometry-shapes Construire le plus de quadrilatères de types différents à l'aide de 4 triangles isométriques dont les angles mesurent 90°, 60° et 30°. Quel est le quadrilatère le plus général possédant deux côtés isométriques et une médiane axe de symétrie ?

Quadrilatères et classement : https://view.genial.ly/5eb7f228d5423b0d0d83e9b8?fbclid=IwAR05s6Q7wICLM7HvrCnE-G1PcNzCArUZwI_R0XTJxgwiYYI_3f6E6RbRUYY et https://view.genial.ly/6047cb3abe31770d88ce40dd/video-presentation-quadrilateres-synthese?fbclid=IwAR0vKje26MV9qUvHpF8aG50hbHqejMQNgBB1nhll4RNx00Uv27TGT3QhvrU Un must : l'exercice de reconnaissance de triangles et quadrilatères en ligne : Puzzles mathématiques pour s'amuser à reconnaître les quadrilatères et triangles...Tout d'abord qu'est ce que c'est qu'un puzzle Zukei? Et bien, voici un exemple : Il s'agit de relier les points pour trouver la figure demandée. Il...Mathixhttp://mathix.org/linux/archives/9434 On peut aussi essayer de trouver le quadrilatère le plus général possédant certaines propriétés. Quiz à la télé : https://mathix.org/linux/archives/15709?fbclid=IwAR0v77LMoJeoH0qhgyYJ4eQbO84ruP8vjaqwBPXPHXfuk1w5EW2qvSCnpeY Parallélogramme : divers : https://view.genial.ly/601d07951892760d0964e58d?fbclid=IwAR1BJPRZHjtIl30ebXJt6plLOtdgbotDV9qOjLfYeR8rWsqy609LXQk5Tck et https://view.genial.ly/60787d9e4411d30d7f81221a?fbclid=IwAR2LrWF9NeFQKpdT6Bwp7CZQEmABfDFtR2YyCfY_wTTbBvVLOx2x4d5qhSo https://cursus.edu/fr/20603/enseigner-les-figures-planes-en-geometrie-au-cycle-3 Enseigner les figures planes en Géométrie au cycle 3Formations Les propriétés géométriques ne sont pas toujours simples à enseigner, on vous l'accorde. Alors si vous êtes en panne d'idées, voici un...Cursus Autre cours, assez sommaire, avec quiz : https://www.maxicours.com/se/cours/les-proprietes-des-figures-geometriques/ Les propriétés des figures géométriques - MaxicoursLe carré est un quadrilatère qui possède : * 4 angles droits et 4 côtés égaux ; * des côtés opposés parallèles ; * ses diagonales sont de même...MAXICOURS

Voir "Figures planes"

Les notions d'axe et de centre de symétrie permettent de classer facilement les quadrilatères. Un parallélogramme est un quadrilatère possédant un centre de symétrie. Un trapèze isocèle est un quadrilatère dont une médiane est axe de symétrie (Un cerf-volant est un quadrilatère possédant une diagonale axe de symétrie) Un losange est un quadrilatère dont les diagonales sont des axes de symétrie. Remarquons qu'il possède un centre de symétrie. Un rectangle est un quadrilatère dont les médianes sont des axes de symétrie. Remarquons qu'il possède un centre de symétrie. Un carré est un quadrilatère dont les médianes et les diagonales sont des axes de symétrie. Remarquons qu'il possède un centre de symétrie.

Plusieurs critères de classement se combinent pour pouvoir classer les quadrilatères : - le parallélisme des côtés Un trapèze est un quadrilatère qui a une paire de côtés parallèles. Un parallélogramme est un quadrilatère qui a deux paires de côtés parallèles - l'isométrie des côtés Un losange est un quadrilatère dont les côtés sont isométriques - les angles droits Un rectangle est un quadrilatère dont les angles sont droits. Un carré est un quadrilatère dont les angles sont droits et dont les côtés sont isométriques. Remarques : Un quadrilatère est un rectangle dès que 3 angles sont droits. Un quadrilatère est un carré dès qu'il a 3 angles droits et deux côtés consécutifs sont isométriques. Classement des trapèzes : Un trapèze rectangle est un trapèze qui a deux angles droits. (dès qu'il en a un, il en a deux !). Un trapèze isocèle est un trapèze ayant deux paires d'angles consécutifs égaux. OU Un trapèze isocèle est un trapèze ayant un axe de symétrie. OU Un trapèze isocèle est un trapèze ayant deux côtés non consécutifs égaux.

Dans un quadrilatère, - une diagonale joint deux sommets opposés, - une médiane joint les milieux de deux côtés opposés Dans un quadrilatère, les médianes se coupent toujours en leur milieu Dans un trapèze, une médiane est parallèle à 2 côtés. Dans un trapèze isocèle, les médianes sont perpendiculaires, et les diagonales se coupent en deux paires de segments égaux. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, et les médianes sont parallèles aux côtés. Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, et les médianes sont isométriques. Dans un rectangle, les diagonales, sont isométriques et se coupent en leur milieu, et les médianes sont perpendiculaires. Dans un carré, les diagonales sont isométriques, se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires, et les médianes sont isométriques et sont perpendiculaires. La hauteur permet de mesurer la distance entre deux côtés parallèles.

Il est possible de définir les quadrilatères à partir des propriétés de leur diagonales et/ou de leurs médianes. Rappelons que dans une définition, on essaie de donner le moins possible de propriétés vérifiées par le quadrilatère que l'on veut définir.

On peut sensibiliser les élèves aux différents quadrilatère en les faisant superposer des bandes transparents, ou en faisant découper des quadrilatères à partir de bandes de papier. On peut aussi utiliser le géoplan (ou l'application Geoboard) pour trouver les différents types de quadrilatères, ou encore proposer des tiges (ou baguettes ou pailles ...) La difficulté est de faire comprendre l'inclusion entre les différents quadrilatères, d'où la représentation fréquente sous forme ensembliste, plus adéquate que l'organigramme où le carré figue sur deux branches, ce qui est une incohérence si on veut programmer la reconnaissance d'un quadrilatère. L'idée de "super" rectangle pour un carré ... est en général assez efficace.

Diagonales et médianes interviennent dans des pliages (origamis), dans des constructions de quadrilatères, mais aussi dans des recherches de quadrilatères. Des activités du types qui est-ce ou des défis où il faut définir un quadrilatère en utilisant deux mots clés (exemple : définir losange en utilisant les mots parallélogramme et diagonale). Les bissectrices d'un parallélogramme forment un rectangle. C'est aussi le moment de comparer la définition de médiane et d'essayer de la généraliser à n'importe quel polygone : la définition dépend de la parité du nombre de côtés. On peut faire la même chose pour la notion de diagonale.

Il est possible de jouer à définir les différents quadrilatères de différentes façons, par exemple à l'aide d'un jeu de Qui est-ce (avec éventuellement des mots imposés). La rédaction de cartes d'identité peut être un support intéressant, dans un premier temps, pour rassembler un maximum d'informations sur les différents quadrilatères, et ensuite pour construire des définitions originales, que l'on peut expliquer facilement à l'aide d'un matériel comme des tiges ou pailles.

Ceci peut s'introduire avec l'idée de pliage ou de miroir. Les élèves essaient de retrouver les différents quadrilatères à l'aide de tiges (pailles, ...) et d'un miroir. L'intérêt est de retrouver des figures connues, mais aussi d'en découvrir d'autres, comme le cerf-volant, qui n'est en général pas un parallélogramme.

Vidéo RTBF « Quadrilatères » et autres activités : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2709938 Vidéo RTBF « Tracés géométriques et autres activités » : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2778532 Constructions géométriques (rectangles) : vidéo française (transition primaire – secondaire) : https://www.lumni.fr/video/constructions-geometriques

Quadrilatères :

Classer des quadrilatères
Comprendre / utiliser les termes géométriques (diagonale, médiane, …), tracer ces segments, en connaître les propriétés selon la figure considérée.

Identifier Identifier carré, rectangle (P1), des quadrilatères, (P3), losange, parallélogramme (P4), trapèze, trapèze isocèle, trapèze rectangle (P5). Identifier des figures simples (quadrilatères) sur la base de caractéristiques : côtés (nombre, longueur, parallélisme, perpendicularité), angles (amplitude) (S1) Identifier les quadrilatères admettant un ou des axes de symétrie, un centre de symétrie (S1). Enoncer les propriétés des diagonales et des médianes d'un carré et d'un rectangle (P3), d'un parallélogramme et d'un losange (P4). Tracer Tracer des quadrilatères à la latte, en repassant sur des "segments de droite" formés par des faisceaux de droite donnés (P2). Tracer un rectangle, un carré à la latte sur papier tramé, avec et sans contraintes (P2), idem pour parallélogramme et losange (P4), idem pour les quadrilatère, sur papier tramé ou sur papier vierge (P5) Tracer un parallélogramme à partir d'un triangle (P4), Tracer un losange inscrit dans un rectangle, un rectangle à partir d'un losange (P5) Construire un losange connaissant la longueur du côté et l'amplitude d'un angle (S1) Construire un parallélogramme connaissant la longueur de deux côtés et l'amplitude de l'angle compris entre eux (S1). Symétrie Matérialiser par pliage d'un rectangle ou d'un carré : les axes de symétrie ; les médianes et les diagonales (P3) Tracer dans un carré, un rectangle, un parallélogramme et un losange : les axes de symétrie ; mes médianes et diagonales (P4) idem pour un quadrilatère en général (P5) Comparer Comparer, selon les côtés et les angles, les caractéristiques d'un carré et d'un rectangle (P2), d'un parallélogramme et d'un rectangle (P4), d'un losange et d'un carré (P4), de deux quadrilatères (P5) Tracé complexe Construire un carré, un rectangle (P1), un triangle (P2) en assemblant deux figures données (rectangles, carrés, triangles). Construire un quadrilatère (carré, rectangle, losange, parallélogramme) dont une diagonale ou une médiane est donnée (S1).

Dans le Référentiel : forme carrée, rectangulaire (M1-M2) carré, rectangle (P1) quadrilatère (P3) losange, parallélogramme (P4) trapèze, trapèze isocèle, trapèze rectangle (P5) D'une façon générale : quadrilatère convexe, carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, quadrilatère quelconque trapèze rectangle, trapèze isocèle, trapèze quelconque médiane, diagonale (hauteur) axe de symétrie, centre de symétrie

8. Grandeurs et figures planes

1. Notions de périmètre et d'aire

2. Périmètre de figures planes

3. Aire de figures planes

4. Problèmes d'application

- Qu'est-ce exactement qu'un périmètre ? qu'une aire ? Comment les distinguer ? - Quelles sont les formules de périmètre et d'aire importantes enseignées à l'école primaire et comment les enseigner ? - Comment (faire) résoudre des problèmes liés aux grandeurs géométriques de figures planes ?

Un outil très intéressant pour les quadrilatères est le puzzle à trois pièces, qui permet d'établir la plus grande partie des formules de périmètre et d'aires. Document sur le sujet : http://jeuxmath.be/wp-content/uploads/2011/03/EMELMathPuzzle3pieces3.pdf Voir l'application pour tablettes PhET : "Constructeur d'Aire Idées à prendre, comme la bataille des périmètres dans les produits vendus sur le site https://www.monrevedemaitresse.com/boutique/cycle-3/mathematiques/le-perimetre/ D'une façon générale, disposer de la figure dont on recherche une grandeur. Pour la notion d'aire, prévoir des découpages et/ou utiliser des vidéos. Pour les problèmes, penser aux exerciseurs du type calcul@TICE.

Informations diverses sur le site https://www.jeuxmath.be/liens/geometrie-et-trigonometrie/ Puzzle à 3 pièces et aires de triangles et quadrilatères : http://jeuxmath.be/wp-content/uploads/2011/03/EMELMathPuzzle3pieces3.pdf Aires et périmètres : https://view.genial.ly/6077faacdd59e20d8a0e78cb/presentation-introduction-perimetre-et-aire?fbclid=IwAR2opQ7mBu_emckbyMC9Yd1Xi12okSQDwwKJcpNcyq-DCWjPa_vdsodfO0o Aire du disque : https://www.geogebra.org/m/xUfmVG9t Outil visuel : https://www.geogebra.org/t/plane-figures?lang=fr

Les problèmes liés aux grandeurs géométriques se caractérisent par la nécessité de lire ou représenter des données sous forme d'une construction géométrique parfois très précise.

Le périmètre d'une figure plane est la longueur de son contour. L'aire d'une figure plane est la mesure de sa surface. Le résultat de base pour la notion d'aire est l'aire du rectangle : A : Longueur x largeur = Base x hauteur. La base sera le côté de référence, et la hauteur la perpendiculaire à celle-ci. La hauteur n'a de sens que dans un triangle ou, pour un quadrilatère, si elle est prise entre deux côtés parallèles. C'est la deuxième formulation qui sera utile pour généraliser la notion à l'aire d'autres surfaces.

Pour trouver le périmètre d'une figure plane, il suffit d'additionner les longueurs de ses différents côtés (droits ou courbes). Dans le cas de certaines figures, le résultat peut s'écrire à l'aide d'une formule simple : - Rectangle : P = 2.L + 2.l = 2 . (L + l) - Carré : P = 4.C ; Triangle équilatéral P = 3 . C, .... (C : longueur d'un côté) - Polygone régulier à n côtés : P = n . C (généralise les formules précédentes) - Disque : P= 2π.R = π. D (En classe, on fait mesurer le diamètre et le périmètre (longueur de la circonférence) pour plusieurs disques, on rassemble les résultats dans un tableau, et on observe que le périmètre vaut un peu plus de 3 fois le diamètre) Pour rappel, π est un nombre réel qui ne peut pas s'exprimer sous la forme d'une fraction. π vaut environ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 ....

Le point de départ est la notion d'aire, et l'aire du rectangle qui se calcule à l'aide deA = B x h On obtient progressivement d'autres formules à partir de celle-là : - Carré (cas particulier) : A = C^2 - Parallélogramme : A = B x h (et pas L x l !!!) - Triangle (demi-parallélogramme) : A = (B x h) / 2 - Losange (demi-rectangle, mais on privilégie les diagonales) : A = (D x d) / 2 - Trapèze (demi-parallélogramme en utilisant 2 trapèzes) : A = (B + b) x h / 2 Les polygones réguliers à n côtés se décomposent en n triangles identiques, dont la hauteur sera appelée apothème, ce qui donne A = n x C x a / 2 = P x A / 2 Pour le disque, on arrive à A = P x r / 2 = 2π r x r / 2 = π r^2

Il est essentiel d'insister sur la grandeur quand on parle du périmètre (qui est une longueur) ou d'une aire. Pour aider à différencier les deux, on peut essayer de construire : - des figures ayant un très grand périmètre, mais une aire très petite - la figure ayant la plus grande aire pour un périmètre donné - une figure ayant un périmètre très grand / très petit pour une aire donnée Un matériel intéressant parmi d'autres : le Curvica

Il est important de faire comprendre d'abord le sens de la notion de périmètre comme mesure de la longueur du contour, dans des situations très variées. Les formules ne sont que des façons d'arriver au résultat plus rapidement, il est important qu'elles aient du sens pour chaque élève, quitte à s'en passer au début.

La majorité des formules se retrouvent à l'aide de découpages, qui peuvent parfois être différents. L'idée est toujours de se ramener à quelque chose que l'on connaît déjà. Un outil intéressant pour l'aide des quadrilatères est le puzzle 3 pièces. Pour le triangle quelconque, on peut construire la formule en juxtaposant deux triangles ou en découpant celui-ci à mi-hauteur. C'est assez semblable pour le trapèze quelconque. Pour les polygones réguliers, on découpe en triangles. Le disque apparaît comme un prolongement, où on découpe en secteurs que l'on place tête bêche. Remarquons que ce procédé peut aussi s'utiliser pour des polygones réguliers, en obtenant un parallélogramme dont la longueur est le demi-périmètre de la forme initiale et la hauteur est l'apothème ou le rayon selon la forme de départ.

Ces problèmes peuvent se présenter sous différentes formes : - du texte avec des informations à reprendre sur une construction géométrique, ce qui nécessite de bien maîtriser le vocabulaire géométrique - une construction géométrique dont il faut repérer tous les éléments Changer la langue mathématique, le type de représentation aide à comprendre le problème. Pour résoudre un problème, repérer le bon outil (formule à utiliser, forme importante) demande une bonne vision géométrique et la connaissance des différentes formules. Estimer avant de calculer, vérifier la plausibilité d'un résultat permettent à l'élève d'être plus autonome.

Vidéo RTBF « Périmètre du rectangle » : https://www.rtbf.be/auvio/detail_calculer-le-perimetre-d-un-rectangle?id=2634858

Aires et périmètres : vidéo française : https://www.lumni.fr/video/aire-et-perimetre-20-avril Aire du disque : vidéo : https://www.lumni.fr/video/aires-unites-daires-et-aire-du-disque-19-mai

Problèmes de géométrie sur les aires (secondaire inférieur) : vidéo française : https://www.lumni.fr/video/utiliser-les-aires-pour-resoudre-des-problemes-de-geometrie

Bel exercice de sériation avec le matériel curvica : https://view.genial.ly/5f467dc73fb7340d42de40d5 Pouvoir introduire une formule à l'école primaire, en lui donnant du sens. Exercices sur aires et périmètres : https://view.genial.ly/603fa4cfead6200f87f35cf5?fbclid=IwAR1Y19rh_gfbATOOZxuaR_v3BXWPFplqm1zSiuceLL8m1xT4Fi4M-CkNWGo mais aussi https://view.genial.ly/60648fedccc9790cde59bd74/interactive-content-partage-6e-perimetres-et-aires-formules Exercice de synthèse : Reprendre d'une part des figures planes et d'autre part des formules. Associer pour chaque figure plane en trait plein la formule conseillée, et en pointillé chaque formule correcte mais moins utilisée (pouvoir justifier oralement) Pouvoir résoudre des problèmes variés d'école primaire utilisant des figures planes et une grandeur géométrique (périmètre ou aire). Reprendre des problèmes de CEB et CE1D sur le sujet et proposer au groupe ceux qui vous paraissent difficiles ou que vous ne pourriez pas expliquer.

Quadrilatères :

Classer des quadrilatères
Comprendre / utiliser les termes géométriques (diagonale, médiane, …), tracer ces segments, en connaître les propriétés selon la figure considérée.

Voir "Grandeurs" - "Grandeurs spécifiques"

Voir partie "grandeurs"

9. Solides

1. Notion de solide

2. Classements de solides

3. Comptages sur des polyèdres

4. Représentations de solides

Prolongement : impression 3D

- Qu'est-ce exactement qu'un solide ? - Quels solides proposer aux élèves ? - Quel est le vocabulaire important ? - Quels sont les classements possibles ? ceux à privilégier avec les élèves ? - Comment représenter un solide ? - Comment trouver une section plane d'un solide ? Concrètement et par des constructions géométriques.

Les objets à 3 dimensions tels que les blocs de construction, les emballages sont précieux. Les polydrons restent une valeur sûre, notamment par la possibilité de passer du solide à son développement. Il existe aussi des solides transparents vendus avec le développement en papier coloré à l'intérieur. Pour la perspective, du matériel comme le Structuro, "Regarder et Construire" ("Schauen und bauen"), des jeux comme Blokus 3D, La Boca, Utopia et autres Gratte-ciels sont particulièrement intéressants, d'autant plus qu'une bonne vision dans l'espace ne se construit pas en un jour ! Des puzzles à 3 dimensions comme le cube Soma sont aussi très intéressants. Manipulation de solides : https://mathigon.org/polypad Générateur de solides : https://www.geogebra.org/m/suyfuprz?fbclid=IwAR111Pejn1T1J-3j07HoKIgm1yP0VgxjANmLVd191xaOWUB19c0jMs_e3iA Solides de révolution avec GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/x8rdbx45?fbclid=IwAR2vRduv7Lu3f34OE89BUbuRV8JOBfdQVva_TPECw0aQFJMqfdb03GpdVj0 Visualisation de polyèdres : https://micetf.fr/polyedres/#JMQ et https://mathigon.org/polypad Sections planes : application XSection pour tablettes

Proposer un classement de solides faisant apparaître un prisme à base carrée, une pyramide droite de même base et le solide constitué des deux solides précédents collés sur une base. Construire ensuite le développement de ce dernier solide en précisant les mesures choisies. Dessiner si possible le solide le plus général qui soit - pyramide carrée et polyèdre régulier / prisme à base carrée et prisme régulier - prisme régulier à base octogonale / polyèdre régulier à faces hexagonales - pyramide non régulière dont la base est un carré - hexaèdre dont les 6 arêtes sont isométriques.

Exposé "Explorer l'espace avec des cubes" : http://jeuxmath.be/wp-content/uploads/2013/07/ExplorerEspaceCubeTipaza02.pdf Parallélépipède rectangle et autres solides : https://view.genial.ly/5eb693337199c50d8c4172ea/learning-experience-didactic-unit-parallelepipede-rectangle-6eme Genially particulièrement intéressant : https://view.genial.ly/5fa6bf3acb9a580cfa4a6200/presentation-solides-6eme Visualisation de polyèdres : https://micetf.fr/polyedres/#JMQ Jeu Genially sur les solides : https://view.genial.ly/6055d90418a1a10d2f0aeff0?fbclid=IwAR1s6cC6r0ghRN_-uroFCJyzjGFxVLmXfBMwJiywCl8z1kNUUMXoWXSc7eg Pour se détendre : Donald au pays des Mathémagiques : https://www.youtube.com/watch?v=iAFBvdmywio

Pour mieux voir dans l'espace : - http://www.jeuxmath.be/wp-content/uploads/2019/11/SAME-Outils-pour-voir-dans-lespace-v01.pdf - Pour aider à passer du 2D au 3D : des jeux d'alignements : http://jeuxmath.be/wp-content/uploads/2013/07/AlignementsTipaza03.pdf

Recherches : - Stratégie gagnante ou plus efficace au jeu Cube duel - Recherche sur les sections planes de solides - Construire des solides à l'aide d'une imprimante 3D (logiciels Tinkercad, Open Scad)

Localiser des observations sur une carte à échelle de la commune (FHGES, P3) Se déplacer en fonction de points de repère concrets fixes ou mobiles (obstacles, objets et personnes fixes ou mobiles) (EPS, P3, P4) Se repérer dans l'espace connu en fonction de sa représentation (lecture de schémas, plans, circuits ... ) et inversement représenter le cheminement réalisé (EPS, P3, P4, P5) Placer du matériel en fonction d'un plan (EPS, P3, P4) Créer une production (en 2D ou en 3D) associant diverses textures de matières naturelles et/ou artificielles (ECA, P4) Catégoriser les formes en 3D (relief) (ECA, S2) Expériementer la 2D et la 3D avec des outils (y compris numériques) et des supports variés (ECA, S2) Représenter en 2D(dessin) ou en 3D (maquette) un objet technologique, en incluant la schématisation des mouvements (flèches), en traduisant son fonctionnement et l'action produite (FMTT, P6) Expliciter les informations d'un dessin technique (FMTT, S2) A ne pas manquer : le film de Disney : "Donald au pays des mathématiques" : même si le film a vieilli, il mérite le détour ! Arts et histoire Analyse de monuments (Reconnaître et reproduire des solides) Châteaux-forts, châteaux classiques, temples, Atomium Egypte et pyramides Artistes : Georges Van Tongerloo, Paul Klee, Picasso, Représentation de solides Perspective : comparaison de la perspective cavalière utilisée en mathématiques et de la perspective utilisée en arts, avec les points de fuite Artistes : Pietro de la Francesca, Vincent Van Gogh, … Squelette de solides et Atomium Cube en perspective à partir d’un cercle Stabile de Calder, Vasarely

Il y a plusieurs façons de représenter un solide. Développement d'un solide (en France, "patron" d'un solide) L'idée est de construire une sorte d'emballage minimum du solide, de "découper" le solide pour le représenter à plat, en faisant se toucher des faces adjacentes. On y retrouve chaque face. S'il est facile de trouver un développement d'un prisme ou d'une pyramide, l'opération peut être difficile pour des solides plus complexes, et on peut aussi se poser la question de trouver toutes les façons de faire pour des solides simples, le cube par exemple (qui possède 11 développements différents). Le développement du cylindre et surtout du cône méritent une attention particulière. En effet, dans le cas du cône, l'aire latérale est un secteur, tel que la longueur de l'arc correspond au périmètre de la base. L'angle vaut 360° x R / a. Représentation en perspective. Une autre démarche consiste à représenter le solide en utilisant la perspective cavalière, particulièrement utilisée en mathématique. Notons ses caractéristiques essentielles : - Cette perspective conserve la notion de parallélisme, mais pas toutes les longueurs ni l'amplitude de tous les angles - Les parties cachées sont souvent représentées en pointillés

Un solide est un objet non réformable à trois dimensions. Il est constitué de faces incurvées ou planes et peut posséder des arêtes droites ou courbes et des sommets. Les solides sont omniprésents dans la vie quotidienne, sous des formes très diverses que nous allons essayer de catégoriser. Nous essayerons ensuite d'en construire une image, de les représenter, avec la difficulté de passer de trois dimensions à deux. Enfin, nous nous intéresserons aux grandeurs qui les caractérisent.

Cette activité est l'une des plus complexes mais aussi une des plus intéressantes mathématiquement. Un premier classement permet de distinguer solides convexes et solides non convexes (dits aussi concaves). Un second classement permet de distinguer les polyèdres (solide dont les faces sont des polygones), les corps ronds (solides dont aucune face n'est un polygone), et les solides hybrides (ayant au moins une face polygone et une face non polygone). Il y a alors plusieurs classements de polyèdres possibles. Le plus simple est celui qui est lié au nombre de faces, qui permettra de nommer des polyèdres : tétraèdres, pentaèdres, hexaèdres, heptaèdres, octaèdres, .... L'incontournable est celui qui est lié à la mise en évidence d'une ou deux faces qui vont jouer un rôle privilégié, On y retrouve les pyramides, constituées d'un polygone, d'un sommet extérieur au plan de ce polygone et toutes les arêtes joignant le sommet aux sommets du polygone. On a les prismes, constitués de deux polygones isométriques parallèles, reliés par des arêtes parallèles. Il ne faut pas oublier la troisième catégorie : des polyèdres qui ne sont ni prismes ni pyramides : c'est là que nous retrouverons des emballages de la vie de tous les jours, et les dés à plus de 6 faces. Parmi les prismes d'une part, et les pyramides d'autre part, on distinguera ceux dont les faces latérales sont plus régulières, et parmi ceux-là ceux dont une base est un polygone régulier. On retrouvera pour les primes une distinction entre prismes droits (dont les faces latérales sont des rectangles) et prismes obliques (dont les faces latérales ne sont pas des rectangles), et parmi les prismes droits les prismes (droits) réguliers (dont les bases sont des polygones réguliers). On retrouvera pour les pyramides une distinction entre pyramides droites (dont les faces latérales sont des triangles isocèles) et prismes obliques (dont au moins une face latérale n'est pas un triangle isocèle), et parmi les pyramides droites les pyramides (droites) régulières (dont les bases sont des polygones réguliers). Un autre classement de polyèdres est celui qui distingue les polyèdres réguliers. Un polyèdre régulier est un polyèdre dont toutes les faces sont des polygones réguliers isométriques et dont tous les sommets sont reliés au même nombre d'arêtes. Il n'existe que 5 polyèdres réguliers : le tétraèdre régulier, le cube, l'octaèdre régulier, le dodécaèdre régulier et l'icosaèdre régulier. Remarquons qu'il existe encore un classement de solides dont les faces sont constituées de parallélogrammes : les parallélépipèdes. Ils peuvent être losanges (si toutes leurs faces sont des losanges) ou rectangles (si toutes leurs faces sont des rectangles). Parmi les corps ronds, on peut remarquer que les plus connus sont des solides de révolution : il suffit de faire tourner une figure plane autour d'un de ses côtés, dans l'espace, pour créer le solide. En faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés, on obtient ainsi un cylindre. En faisant tourner un triangle autour d'un de ses côtés, on obtient ainsi un cône. En faisant tourner un demi-disque autour de son diamètre, on obtient ainsi une sphère.

Un polyèdre se caractérise par des faces planes, des arêtes et des sommets. Lorsqu'on compte ces éléments pour un polyèdre convexe et qu'on rassemble les résultats dans un tableau, on trouve un lien entre ces 3 éléments. Parallélépipède rectangle, cube, prime régulier à base carrée : F = 6, A = 12, S = 8 Tétraèdre : F = 4, A = 6, S = 4 Prisme à base hexagonale : F = 8, A = 18, S = 12 Relation d'Euler : F + S = A + 2 Cette relation peut se démontrer, à un niveau supérieur.

Pour aborder la notion de solide dans toute sa généralité, il est important de disposer d'un matériel varié, à réfléchir en fonction de tout ce que l'on veut introduire. Si quelque chose nous manque, nous le construirons nous-mêmes ! Dès la maternelle, les enfants utilisent déjà des balles, des cônes en psychomotricité, des cubes, des boîtes de toutes sortes, des cylindres. L'utilisation de dés dans des jeux de calcul mental comme Mathador sont l'occasion de rencontrer des solides dont toutes les faces sont isométriques, que nous analyserons.

Cette activité mérite qu'on lui consacre du temps tout au long de l'école fondamentale. En maternelle et au début de l'école primaire, les enfants se familiarisent avec les premiers solides. Notons que ce que nous appelons en Belgique "parallélépipède rectangle" s'appelle en France "pavé droit", sans doute plus simple à écrire et à expliquer !! Lorsque l'on fait classer des solides, souvent surgissent des critères non géométriques : matière avec laquelle est construite le solide, couleur, .... C'est alors l'occasion de rappeler de mettre les "lunettes géométriques" et que la géométrie s'intéresse aux formes et pas au décor (cela fait partie de son caractère abstrait). Faire des photos des classements trouvés est particulièrement efficace pour corriger les erreurs et recommencer si nécessaire : c'est vraiment un sujet qui doit mûrir. Très peu d'enseignants osent proposer un matériel suffisamment varié (par exemple avec des pyramides obliques) : avoir en tête la suite de la matière (explication de la formule du volume de la pyramide) et les liens possibles (par exemple avec les polyèdres réguliers comme le sont les dés à 8, 12, 20 faces) devrait guider chaque enseignant. Quelques suggestions méthodologiques : réaliser des cartes d'identité de solides à différents moments : en introduction, après les avoir classés, en y ajoutant des comptages de sommets, arêtes et/ou faces ou une représentation soit en perspective, soit avec du matériel varié (polydrons ou lokons, tiges et plasticine ou boules pour les sommets), soit encore sous la forme d'un développement.

Une façon de voir ce que les enfants connaissent et d'enrichir le vocabulaire géométrique consiste à faire établir des cartes d'identité pour différents polyèdres. De cette activité vont se dégager : - des comptages de sommets, d'arêtes et de faces - des descriptions des faces - des essais de nomenclature du solide - des essais de représentations de solides, qui nous serviront par la suite En prolongement, on peut proposer le cylindre, le cône, la sphère, ... qui pourront poser des problèmes pour la représentation.

Représenter un solide peut de faire de différentes façons : - dès l'école maternelle, en prenant des photos et en jouant à changer de point de vue - en découpant un solide (emballage de la vie quotidienne par exemple) - en utilisant le développement d'un solide pour réaliser un bricolage - en essayant de construire un solide avec des polydrons (ou équivalent) et en faisant la photo du solide et de son développement pour en garder une double trace Parmi les solides à développer, il est important d'avoir abordé au moins un prisme, une pyramide, un cylindre, un cône, et de se rendre compte que la sphère n'est pas développable. Notons la difficulté spécifique du cône : on obtient un secteur pour l'aire latérale, et l'angle de ce secteur est lié à la base du cône, puisque la longueur de l'arc correspond au périmètre de la base. Aborder quelques exemples et construire progressivement la formule aidera à lui donner du sens. L'angle vaut 360° x R / a.

Prismes et cylindres : vidéo française (collège) : https://www.lumni.fr/video/solides-de-lespace-prismes-et-cylindres Pyramides et cônes : vidéo française (collège) : https://www.lumni.fr/video/solides-de-lespace-pyramides-et-cones Cours : https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-solides-m1228 Cours assez voire trop basique : https://www.maxicours.com/se/cours/les-solides-definitions-et-proprietes/

Relation d'Euler : https://lexique.netmath.ca/relation-deuler/ http://www.cellulegeometrie.eu/documents/pub/pub_12.pdf https://science-et-vie-junior.fr/biblio/survivre-grace-aux-maths/les-maths-par-scienticfiz/solides-polyedres-quest-relation-deuler-70833.html

Vidéo RTBF : construction du squelette d’un solide et autres activités : https://www.rtbf.be/auvio/detail_y-a-pas-ecole-on-revise?id=2732270 Vidéo française : développements de solides : https://www.lumni.fr/video/solides-de-lespace-cube-et-parallelepipede-12-mai Padlet de développements : https://padlet.com/cotelouise/gmqlkt2spmk9twwhttp://portaileduc.net/website/dynamic-paper-creez-vos-patrons-de-solides-et-dautres-supports-mathematiques/ Patrons de solides (NL) : https://www.templatemaker.nl/fr/?fbclid=IwAR3j-xkALYm2nVHZ6RNA_2OtKrSl1nLV1EjCASdKN-hC6Pc7s7EINPhQMBU et en français : https://www.monclasseurdemaths.fr/profs/des-patrons-de-solides/générateur-de-patrons/

Pouvoir réaliser des classements de solides, établir une carte d'identité précise pour un solide, la plus complète possible, donner le nom le plus précis d'un solide. Pouvoir visualiser des solides dans l'espace. Retrouver des sections planes en primaire, avec matériel, en secondaire, par construction géométriques. Exercices et Genially : Jeu Genially sur les solides : https://view.genial.ly/6055d90418a1a10d2f0aeff0?fbclid=IwAR1s6cC6r0ghRN_-uroFCJyzjGFxVLmXfBMwJiywCl8z1kNUUMXoWXSc7eg Solide défi : le cube peint : https://docs.google.com/document/d/1FP-Ulxe1gUlRyRV7tnP4SdO_ytN4S8Np/mobilebasic

Solides :

Utiliser le vocabulaire relatif aux solides : sommet, arête, face.
Reproduire un modèle à l'aide de matériel varié.
Comparer différents types de solides (à préciser), les classer, les nommer.
Retrouver la présence d’un solide donné dans son environnement.
Pouvoir nommer un solide et justifier l’appellation par des propriétés géométriques.
Utiliser le développement de solides simples (cube, parallélépipède) dans un contexte fonctionnel.

(A continuer !)

Liens entre 3D et 2D Associer les empreintes produites par les faces d'un solide aux figures géométriques (carré, rectangle, disque triangle) (P1) et réciproquement (P2). Reconnaître les figures possibles correspondant aux faces des solides observés (P3), d'un assemblage de maximum 3 cubes (P5), 5 cubes (P6). Dessiner le contour de toutes les faces d'une boîte parallélépipédique ou cubique donnée (P1). Représenter le développement d'un cube en dessinant le contour de toutes ses faces (P3), idem pour un parallélépipède rectangle (P4), idem sur papier tramé (P5). Associer à un cube un développement correct parmi des développements donnés (P3), idem pour un parallélépipède rectangle (P4), pour un prisme droit (P5). Relier les différentes représentations planes (vues, coordonnées, perspective cavalière) d'un solide, d'un solide cube, parallélépipède, pyramide (base carrée, rectangulaire, triangulaire), assemblage de solides (S2). Représenter un cube, parallélépipède, pyramide en perspective cavalière (S2). Représenter une des vues coordonnées d'un prisme droit à partir de sa représentation en perspective cavalière (S2). Déterminer la nature de la section (par un plan // à une face ou passant par au moins 3 sommets) d'un cube ou d'un parallélépipède rectangle (S2). Représenter en vraie grandeur un carré, un rectangle, un triangle apparaissant sur une des faces, suite à une section donnée d'un cube ou d'un parallélépipède rectangle (S2). Représenter une des vues coordonnées d'un assemblage de prismes droits, à partir de sa représentation en perspective cavalière (S2).

cube (M1-M2) Cube, parallélépipède rectangle, prisme, pyramide, polyèdre, polyèdre régulier Cylindre, cône, sphère, boule

Jeux et activités à partir de la pyramide aztèque : https://www4.ac-nancy-metz.fr/circos_meuse/ien-commercy/IMG/pdf/2018_forum_maths_apmep_pyramide_azteque_activites_ver2a.pdf

10. Grandeurs et solides

1. Cube et parallélépipède rectangle

2. Prismes droits et cylindre

3. Pyramides régulières et cône

4. Et la sphère ?

5. Applications

- Quelles sont les formules essentielles à connaître ? - Comment introduire chaque formule ? - Quelles sont les formules utiles et dans quels contextes les utiliser ? - Comment résoudre des problèmes liés aux solides et à leur aire ou leur volume ?

Pour le cube, L'aire totale vaut 6 fois l'aire d'une face (6 x C^2). Le volume vaut le cube de la mesure d'une arête (CxCxC = C^3). Pour le parallélépipède rectangle, L'aire latérale se trouve rapidement en calculant le produit du périmètre de la base et de la hauteur (ceci se voit facilement en développant la surface latérale). Pour l'aire totale, il suffit d'ajouter le double de l'aire de la base. Le volume se calcule par le produit L x l x hauteur, que l'on généralisera progressivement par : Volume d'un parallélépipède rectangle = Aire de la base x hauteur.

Le cube et le parallélépipède rectangle Le cube est un cas assez particulier pour les calculs d'aire. Pour l'aire latérale, il est important d'arriver à l'idée du produit du périmètre de la base et de la hauteur : c'est cette formule qui se généralisera. Le volume du parallélépipède rectangle va servir de point de départ pour les formules de volume, comme l'aire du rectangle avait servi de point de départ pour les aires des figures planes. Il est important d'écrire la formule sous la forme aire de la base x hauteur : c'est cette formule qui se généralisera. Au moment de les aborder, l'enseignant doit avoir en tête "la suite de l'histoire", 'est-à-dire le calcul de l'aire latérale et de l'aire totale d'un prisme droit quelconque. Notons que les formules d'aire ne s'appliquent que pour des prismes droits. Par contre, Cavalieri (avec le Principe de Cavalieri) a montré que le volume du prime oblique était égal au volume du prime droit correspondant. L'image que l'on peut donner est celle d'un jeu de cartes (ou autre superposition de parallélépipèdes identiques de faible hauteur) : si on fait pivoter les cartes pour construire un prisme oblique, le volume ne change pas.

Voir Grandeurs

Volume et contenance du parallélépipède rectangle (début secondaire) : https://www.lumni.fr/video/volumes-et-contenances

Une firme possède en stock 40 panneaux en bois dont la base est un disque de 0,3 m de diamètre et dont la hauteur mesure 1,2 cm. Elle décide de découper le plus grand hexagone possible dans chaque disque de base de façon à obtenir 40 panneaux en forme de prisme régulier à base hexagonale. Quel sera le poids des déchets, sachant que 1 mètre cube de bois pèse 500 kg ? Une piscine dont les parois sont verticales a une profondeur qui augmente régulièrement sur toute la longueur de 1,1 m à 2,5 m. La surface de l'eau qui affleure forme un rectangle de 20 m de long sur 6 m de large. Quel est le prix à payer pour carreler la piscine, à raison de 4 € par dm2 ? Détailler le raisonnement.

Volumes des solides et GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/k7xvj5dq?fbclid=IwAR3DNCJMCRMIpnpyr4ReM3FuyiAn70i6QF30L9CONWkEyebcHFl_kiHvZwc Volumes de solides : https://view.genial.ly/605df1f822e8260d25453c31/interactive-content-4e-calculs-volumes https://www.jeuxmath.be/liens/geometrie-et-trigonometrie/

"L'objet du jour" : analyser, et mesurer : longueurs, aires et volume, masse.

Définir le volume d'un objet comme étant l'espace occupé par l'objet (Sciences, P5) Réaliser des mesures de masse et de volume de liquides différents afin de comparer les masses de deux liquides de volume identique, les volumes de deux liquides de masse identique (Sciences, P5) Montrer qu'un dm3 d'eau correspond à un litre d'eau (Sciences, P5) Réaliser un croquis à main levée (FMTT, P4) Représenter en 2D (dessin) ou en 3D (maquette) un objet technologique (FMTT, P6) Modéliser numériquement un objet et le réaliser, à l'aide d'un outil de fabrication numérique (imprimante 3D, découpeuse Laser), FMTT, S2

A suivre, repris dans Solides pour le moment

Les problèmes liés aux grandeurs géométriques nécessitent bien souvent une représentation de la situation, l'utilisation de formule(s) et l'adaptation au contexte pour rédiger la réponse, sans oublier d'en contrôler la validité par une estimation.

Pour les primes droits, l'idée est de généraliser ce qui a été fait pour le parallélépipède rectangle. Pour les aires, le développement du solide va aider à visualiser les formules. L'aire latérale se calcule par le produit : Périmètre de la base x hauteur Pour l'aire totale, il suffit d'ajouter le double de l'aire de la base. Aire totale = Aire latérale + 2 x Aire d'une base Le volume du prisme se calcule par le même produit : Aire de la base x hauteur Notons que cette formule s'applique à tous les prismes. Pour le cylindre, le développement aide à faire l'analogie. Comme pour le disque, on utilisera π (qui vaut environ 3,141592653589793) Le périmètre de la base sera celui d'un disque de rayon R, soit 2πR L'aire latérale = 2πR x hauteur L'aire de la base vaut πR^2 L'aire totale vaut donc 2πRh + 2πR^2 Le volume du cylindre vaut Aire de la base x hauteur = πR^2 x h

Pour les pyramides régulières, l'idée est de généraliser ce qui a été fait précédemment. Pour les aires, le développement du solide aide à nouveau à visualiser les formules. Dans le cas des pyramides régulières, les faces latérales sont des triangles isométriques dont la hauteur est appelée apothème (qui est masculin !). L'aire latérale se calcule par le produit : Périmètre de la base x apothème /2 (En effet, il s'agit ici de triangles et plus de rectangles !) Pour l'aire totale, il suffit d'ajouter l'aire de la base. Aire totale = Aire latérale + Aire de la base. Pour introduire le volume de la pyramide, une manipulation aide à comprendre que le volume de la pyramide vaut le tiers du volume du prime correspondant. Le volume de la pyramide se calcule par le produit : Aire de la base x hauteur / 3. Notons que cette formule s'applique à toutes les pyramides. Pour le cône, le développement se présente sous la forme d'un secteur. Le périmètre de la base sera celui d'un disque de rayon R, soit 2πR. L'aire latérale = πR x apothème. L'aire de la base vaut πR^2. L'aire totale vaut donc πRa + πR^2. Le volume du cône vaut Aire de la base x hauteur / 3 = πR^2 x h / 3

La sphère n'est pas développable mathématiquement, même s'il existe des approximations. L'aire de la sphère vaut 4πR^2 Le volume de la sphère vaut (4πR^3) / 3 Le raisonnement pour démontrer ces formules fait appel à des notions inaccessibles en primaire (calcul intégral).

Le développement des prismes droits d'une part, et du cylindre d'autre part aide à faire l'analogie. Comme pour les aires, si on a pris le temps d'utiliser le vocabulaire utile pour le parallélépipède rectangle, la suite coule de source.

Le développement des pyramides régulières d'une part, et du cône d'autre part aide à faire l'analogie pour les calculs d'aires. Pour l'aire latérale de la pyramide régulière, la similitude des triangles est essentielle à la construction de la formule, et la notion d'apothème est obligatoire ici. Le fait de diviser par deux pour la pyramide (Aire latérale = P x a / 2) vient du fait que l'aire du triangle est base x hauteur / 2. Le passage au cône se fait par analogie. Le point le plus délicat est d'expliquer que le volume de la pyramide vaut le tiers du volume du prisme correspondant. Montrer ceci de diverses façons va aider les élèves à s'approprier les formules, utiles dans les applications. Voici les possibilités qui me semblent les plus intéressantes : - Si on dispose de solides transparents que l'on peut remplir d'eau, montrer qu'il faut trois contenus de pyramides pour remplir un prisme de même base et de même hauteur. - Proposer un "cube en puzzle" composé de trois pyramides obliques identiques, à base carrée et de même hauteur que le cube : c'est une visualisation particulièrement intéressante, mais elle demande d'avoir parlé de pyramide oblique avant !! - Proposer un "cube en puzzle" composé de 6 pyramides régulières à base carrée ayant pour hauteur la moitié d'une arête du cube : cette visualisation permet de se limiter aux pyramides régulières, mais il faut expliquer la décomposition en 6 et pas en 3 (la hauteur est deux fois plus petite). - Il existe d'autres "découpages" de cube ou de prime. A nouveau, le passage au cône se fait par analogie.

La sphère n'est pas développable mathématiquement, même s'il existe des approximations. Le lien avec la géographie et les différentes projections utilisées pour réaliser des cartes mérite d'être abordé avec les élèves. L'aire de la sphère vaut 4πR^2 Le volume de la sphère vaut (4πR^3) / 3 Souvent, on n'insiste pas sur la mémorisation de ces formules, difficiles à expliquer à ce niveau et on les donne en aide, l'idée étant que les élèves puissent utiliser une formule donnée.

Dans la majorité des problèmes proposés, il est intéressant de séparer les difficultés : - compréhension de l'énoncé - représentation des données sur un ou plusieurs schémas, en tenant compte de la réalité - choix des formules à utiliser et plan de résolution - résolution numérique - écriture de la réponse à chaque question - vérification ou estimation de la plausibilité du résultat

A suivre

Volume de la pyramide à partir de celui du cube : découpage en 6 pyramides : http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Volumen_Piramide_Cubo.html ;

A suivre

Pouvoir représenter un solide en perspective, construire son développement, calculer aire latérale, aire totale et volume, résoudre des problème d'application variés en rédigeant des explications claires. Solides et grandeurs : https://view.genial.ly/61e8a2fd0be6c10013c0d2a2/interactive-content-ninja-quiz-solidessemblables

Voir grandeurs

Voir Grandeurs - Grandeurs spécifiques

Voir grandeurs

11. Transformations (2D et 3D)

1. Transformations du plan

2. Symétrie axiale / orthogonale

3. Symétrie centrale

4. Rotation

5. Translation

6. Compléments

Les différentes transformations du plan étudiées à l'école primaire sont : - la symétrie axiale (dite aussi orthogonale) - la symétrie centrale - les rotations (dont la symétrie centrale est un cas particulier) - les translations Ces transformations sont ce qu'on appelle des isométries : elles conservent les longueurs des segments, d'où leur intérêt en mathématique. Sous une autre forme, on aborde aussi - les homothéties (vues comme agrandissements / réductions) Il en existe d'autres, comme par exemple les étirements, qui ne conservent pas les proportions.

A l'école primaire, on s'intéresse essentiellement aux transformations qui conservent les longueurs, que l'on peut dans un premier temps isoler des autres. Dans un premier temps, on y associe des mouvements : Retourner pour la symétrie axiale Tourner d'un demi tour pour la symétrie centrale, tourner pour les rotations en général Glisser pour la translation Essayer de créer des frises différentes à partir d'un objet non symétrique (L par exemple, ou une main) est l'occasion de verbaliser ces transformations.

Pour découvrir les symétries axiales du plan, le jeu SpiegelTangram est particulièrement intéressant. Un outil très intéressant pour les quadrilatères est le puzzle à trois pièces, qui permet d'utiliser différentes transformations géométriques pour passer d'une figure à l'autre. Les jeux Vitrail, Switch, Copy right méritent le détour. Environnement en ligne sur https://micetf.fr et jeux intéressants sur https://www.jeuxmaths.fr/jeux-de-maths-en-ligne.html Explications sur plusieurs jeux concernant les transformations : http://www.jeuxmath.be/wp-content/uploads/2020/01/5JeuxTransformations2020Jan.pdf

Document de synthèse pour l'enseignant : http://www.cellulegeometrie.eu/documents/pub/pub_19.pdf ou https://apprendre.auf.org/wp-content/uploads/2021/08/Transformation-2.pdf ou encore un document personnel : http://www.jeuxmath.be/wp-content/uploads/2013/12/Transformations-du-plan-Document-Enseignants-01_17.pdf Vidéo d'introduction : https://www.youtube.com/watch?v=1AQEyPyBod8 Le cours d'Yvon Monia : https://www.youtube.com/watch?v=4hACSwA1cn4

Pour s'entraîner au primaire : https://fr.khanacademy.org/math/cycle-4-v2/xd933de08ca5f2cb4:espace-et-geometrie-les-transformations

Genially sur les transformations du plan : https://view.genial.ly/6220d7206344990012d35b31/interactive-content-copie-quiz-translations-symetries?fbclid=IwAR01KQBh9naz28lo6kwY6SOS965hIHiFccZtezwWDq9Ude_0pj5vTaB3bpQ Transformations : pavages et Alhambra : https://www.monclasseurdemaths.fr/tc/un-pavage-de-l-alhambra/ Un exposé d'il y a quelques années, sur "Miroirs et symétries" http://www.jeuxmath.be/ressource/exposes/

Illustrer la représentation en miroir (ECA, P3) Expérimenter la symétrie ou l'asymétrie à partir de pliages, de collages, de tracés ou logiciels graphiques (ECA, P4) Réaliser une composition symétrique ou asymétrique à partir de pliages, de collages, de tracés ou logiciels informatiques graphiques (ECA, P4) Arts : Analyser, Reconnaître, Reproduire, Créer Frises, mandalas, rosaces Zelliges Pavages (arts et maths) Histoire : Éléments de symétrie en architecture Artistes Vasarely

Deux figures sont translatées l’une de l’autre si l’une est obtenue par glissement de l’autre dans une direction donnée, sans changement de taille ni d’orientation. les deux figures sont superposables.

Homothéties (agrandissement ou réduction) Cette transformation n’est pas une isométrie, c’est-à-dire qu’elle ne conserve en général pas les longueurs. Une homothétie est une transformation du plan qui permet d’agrandir ou de réduire une figure donnée.Elle est caractérisée par un point fixe o appelé centre et un nombre r appelé rapport. Elle multiplie les longueurs de la figure par la valeur absolue du rapport.

Intuitivement, deux figures sont symétriques par rapport à une droite D si elles se recouvrent exactement par un seul pliage le long de cette droite. La droite D est un axe de symétrie. L’axe de symétrie est donc une droite qui partage une figure en deux parties égales et superposables exactement par pliage le long de cette droite. Définition : Soit une droite D et un point p. Le point p’ est l’image de p par la symétrie d’axe D ssi D est la médiatrice du segment [pp’]. Vocabulaire : Au lieu de symétrie « axiale », on dit souvent symétrie « orthogonale » pour rappeler que tout segment déterminé par un point et son image est « orthogonal » (càd ici perpendiculaire) à l’axe de symétrie.

Certaines figures, comme le parallélogramme, restent pareilles lorsqu'on les fait tourner d'un demi-tour autour d'un point particulier appelé centre. Intuitivement, deux figures sont symétriques par rapport à un point o si elles se recouvrent exactement par un double pliage selon deux droites perpendiculaires, passant par le point o. Le point o est centre de symétrie. Cela correspond à une rotation d’un demi-tour. Définition : Le symétrique d’un point m par rapport à un point o estle point m’ tel que o soit le milieu du segment [mm’], si m est distinct de o,le point m lui-même, si m et o sont confondus.

La rotation associe à toute figure son image obtenue par rotation autour d’un point fixe o (centre de la rotation) d’un angle â donné. Chaque point-image p’ est obtenu par déplacement du point p sur un cerclede centre o et de rayon |op|, suivant un angle â. La figure de départ et son image par rotation sont superposables. La rotation fait également appel à un mouvement que l’on ne voit pas. On ne s’intéresse en général qu’à la figure de départ et à son image obtenue par la rotation. Le sens de la rotation est dit positif s'il est anti horlogique, négatif s'il est horlogique. En général, à l'école primaire, on s'intéressera aux rotations de fractions simples de tour.

Pour introduire la notion de symétrie, on dispose de plusieurs méthodes : - En salle de psychomotricité, jouer au "jeu du miroir" - Chercher où placer un miroir pour découper une figure en deux parties symétriques, ou pour retrouver une figure complète. - Plier une feuille de papier sur elle-même, en deux parties égales, découper, déplier la feuille et observer le résultat. - Utiliser un calque ou de la peinture pour reproduire une figure de part et d'autre d'une droite particulière, qui sera appelée l'axe de la symétrie. - Retrouver parmi plusieurs images celles qui possèdent un axe de symétrie et le vérifier à l'aide d'un miroir (par exemple). Ce qui est important, c'est de dégager le rôle de l'axe, qui partage le dessin en deux parties identiques, que l'on peut superposer en retournant l'une sur l'autre : cette idée de retournement est essentielle.

Observer que le parallélogramme, quand on lui fait faire un demi-tour, reste pareil. Il possède un centre de symétrie. Ce procédé est utilisé pour les images des jeux de cartes, avec l'idée que l'on puisse prendre la carte "à l'envers ou à l'endroit" et qu'elle soit pareille. Cette notion est surtout développée dans le secondaire, mais elle joue un rôle intéressant dans le classement des quadrilatères, ou la conception de frises, ou la reproduction de dessins.

En psychomotricité, il est courant d'effectuer un demi-tour ou un quart de tour. Les aiguilles d'une horloge tournent d'un tour en 12h ou 1h ou 1 minute. Les rotations sont souvent abordées en fonction des projets de la classe à l'école primaire.

Pour construire une frise, un pavage, on utilise souvent un motif que l'on fait glisser de façon uniforme. A nouveau, cette transformation sera étudiée plus en profondeur en secondaire.

Si l'homothétie n'est pas étudiée pour elle-même à l'école primaire, l'idée d'agrandissement et de réduction apparaîtra dans des problèmes d'échelles, qui sont une des situations classiques de proportionnalité directe.

Vidéo RTBF : Axes de symétries : https://www.rtbf.be/auvio/detail_l-axe-de-symetrie-d-une-figure?id=2636596 Symétrie axiale au début du secondaire : vidéo française : https://www.lumni.fr/video/la-symetrie-axiale-8-avril Autre vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=LRTl8l6fuK8

Symétrie centrale au début du secondaire : vidéo : https://www.lumni.fr/video/la-symetrie-centrale-27-avril

Vidéo RTBF « Fabriquer une frise » : https://www.rtbf.be/auvio/detail_comment-fabriquer-une-frise?id=2642399

Défis divers : https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/59d05b4509730630f4d0a7e7?lang=fr

Constructions diverses : http://trianglacolorier.free.fr/index.html?fbclid=IwAR2qK45VWsUfaqu_lmwBGvysq8-K9_x5c-HTdswYXD7onTUJIvqwWwaneEo Pouvoir résoudre des problèmes variés d'école primaire utilisant des transformations géométriques Maîtriser les constructions géométriques relatives aux transformations du plan. Pouvoir introduire une transformation géométrique à l'école primaire, en lui donnant du sens. Symétries : https://view.genial.ly/6127559c76fb4b0e1a66f378/interactive-content-5eme-symetrie-centrale?fbclid=IwAR2DUY5xXLMgXso3wr6gxLbWCJM-DL8l4mmwy7tYwMCWjAbyGwzXgh7lVTA Translations : https://view.genial.ly/611b8ae60b994b0dcd09ec90?fbclid=IwAR0yt7ZrHYiGy0r8lsce3WWxbT7iBHyzR5CDVoPV-pZ7gBM6heftkgPrTTg

Transformations

Reconnaître une transformation donnée dans la vie quotidienne, lui associer un verbe de mouvement, dire si l’image est déformée ou pas.
Construire concrètement (mouvement, pliage, miroir, calque …) l’image d’un point, d’un objet par la transformation.
Reconnaître et définir les éléments caractéristiques (points fixes etc.) de la transformation.
Trouver de nouveaux exemples d’utilisation de la transformation.
Construire l’image d’un point, d’un objet avec des outils (équerre, rapporteur). Pour la symétrie orthogonale, penser à des axes obliques.

Applications

Déterminer les transformations qui conservent une figure (axe de symétrie, centre de symétrie, rotations d’1/n de tour) (peut être fait avant).
Jeux de miroirs, de feuilles transparentes.
Construire des frises, des pavages (peut être fait avant, ou en complément).

Axes et centre de symétrie Matérialiser un axe de symétrie d'un dessin ou d'une image symétrique par pliage (P2) Produire une forme symétrique par découpage, à partir d'une feuille pliée en deux (P2) Matérialiser par pliage d'un rectangle ou d'un carré les axes de symétrie, les médianes et les diagonales et les comparer (P3) Identifier : axe de symétrie (P3) Tracer dans un carré, un rectangle, un parallélogramme et un losange les axes de symétrie, les médianes et les diagonales (P4), idem dans un quadrilatère (P5) Reconnaître les axes de symétrie coïncidant aux médianes, diagonales (P4), reconnaître les quadrilatères pour lesquels les diagonales et/ou les médianes sont des axes de symétrie. (P5) Construire les axes et le centre de symétrie d'une figure simple (S1) Identifier les quadrilatères admettant un ou des axes de symétrie, un centre de symétrie (S1) Actions et isométries Décrire un mouvement appliqué à une figure (P3) Identifier les mouvements appliqués à une figure (P5) Associer les actions en lien avec les mouvements (glisser, pivoter, tourner) aux isométries (S1) Identifier une symétrie orthogonale, une symétrie centrale, une translation, une rotation (S1) Identifier les éléments caractéristiques d'une symétrie orthogonale, d'une symétrie centrale, d'une translation, d'une rotation. (S1) Identifier les invariants des isométries (S1) Réaliser des mouvements sur des figures Exécuter le mouvement (glissement, retournement) qui permet de passer d'un motif figuratif donné à son image, avec un support (gabarit, papier calque, ...) (P3), + pivotement (P4), un mouvement précis donné d'un motif figuratif pour obtenir son image (P5) Désigner, parmi des images d'un motif figuratif donné, celle qui résulte d'un mouvement donné (P5) Tracer, dans un quadrillage, selon l'axe de symétrie donné, l'image d'une figure (P3), l'image d'un assemblage de figures (P5) Construire l'image d'un triangle et d'un quadrilatère par une symétrie orthogonale, une symétrie centrale, une translation et par une rotation de +90° et de -90°. (S1) Construire les éléments caractéristiques d'une isométrie lorsque la figure et son image sont données. Réaliser, dans un quadrillage, une production artistique par la répétition d'un motif figuratif, en appliquant des glissements et des retournements (frises, pavages) (P4), et des pivotements (rosaces), répétition aussi d'une figure travaillée (P5) Construire une figure simple dont le centre de symétrie, le ou les axe(s) de symétrie sont donnés (S1) Résoudre un problème mobilisant des propriétés relatives aux isométries et justifier. (S1) Justifier que deux figures sont isométriques en identifiant l'isométrie en jeu. (S1) Justifier que deux figures ne sont pas images l'une de l'autre par une isométrie, en utilisant un argument adéquat, basé sur les isométries et leurs invariants. (S1)

Mouvement d'une figure - glisser, retourner (P3) - pivoter, agrandir, réduire (P4)

12. Théorèmes de géométrie plane

1. Pythagore

2. Thalès

3. Divers

Vidéo française sur le théorème de Pythagore : https://www.lumni.fr/video/le-theoreme-de-pythagore Pythagore en mode ludique : https://view.genial.ly/6114f8d63246b00ddd495e60?fbclid=IwAR0KdXIZv5qV8wKpVhvvMDKFyz-FvWNIBTwue7B8xX7cj8x9C-9me_DOXFI Pythagore : https://view.genial.ly/60e31e1dc6c0060dc3cc6c28?fbclid=IwAR1W15DWKOAErZrGZfwaX166egwAqhbn4pVN-j29o4rq3pNM5QG4YguGn3Y

Vidéo française sur le Théorème de Thalès : https://www.lumni.fr/video/le-theoreme-de-thales Vidéo française sur Thalès : https://www.lumni.fr/video/le-theoreme-de-thales-la-configuration-du-papillon Vidéo française sur la réciproque du théorème de Thalès : https://www.lumni.fr/video/le-theoreme-de-thales-partie-2 Thalès et triangles semblables : Genially (Fr) : https://view.genial.ly/61fd3a843e234b0019192bd4/presentation-theoreme-de-thalestriangles-semblables-3e?fbclid=IwAR3xP6Bpj631WIaW0JOxOruH-u2V51yw2ro20yGsTUFIcW2xYMrZTnjNLiY

Exercices : https://view.genial.ly/61345303e3eff10def7403f7?fbclid=IwAR39v-HukYyeK1301E0GsjjbtL2hA6Mgz4TtN2W18RUEAOvcBrpr-tFzi-Y

13. Trigonométrie

1. Triangle rectangle

2. Trigonométrie classique

3. Trigonométrie Lycée

Genially de découverte : https://view.genial.ly/63de34314ca2f40010935bde/interactive-content-introduction-la-trigonometrie?fbclid=IwAR2X7gYSi6iK3KPqa5ss5NhFEO1r5dXPIRpu7NIAX0rNnodq_yt4OtCuyfc

Trigonométrie dans le triangle rectangle : https://www.lumni.fr/video/trigonometrie-dans-le-triangle-rectangle-cosinus-sinus-tangente Trigonométrie : vidéo française, secondaire inférieur : https://www.lumni.fr/video/trigonometrie-calcul-dangle-ou-de-longueur

Trigonométrie et animations GeoGebra : https://www.geogebra.org/m/e2vemnz2?fbclid=IwAR2WueK9qDsueL0VJCQIcbpqYX9f2Xq5XYYFqE0FmfkqgsvYKoB65-FYA2E ethttps://www.geogebra.org/m/e2vemnz2

Trigonométrie avec Mario Bros (Genially) : https://view.genial.ly/6027fbe02ec856159ae0a2b6/interactive-content-trigonometrie-mario-bros

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Questions clés Reprend les questions principales auxquelles ce chapitre devrait répondre.

Boîte à outils Matériels didactiques, jeux, applications (en ligne ou sur tablette)

Evaluation sur le sujet Exercices globaux

Liens intéressants

Remédiations D'une façon générale, conseils pour aider les apprenants qui n'ont pas compris après les premières explications.

Projets et dépassements Exercices et problèmes plus ouverts, sujets de réflexion, voire de recherche Souvent, une plus grande part est laissée à la créativité, seul.e ou en équipe

Interdisciplinarité Pistes pour un travail interdisciplinaire exploitant le sujet

Cours Lien vers le cours proposé aux étudiants futurs enseignants

Théorie Résumé des notions théoriques essentielles

Didactique Propose parfois une question de réflexion, parfois un complément à la théorie, mais le plus souvent des conseils pour les enseignants.

Explications Souvent sous forme de vidéos explicatives

Exercices divers

Progression (création personnelle) Progression spécifique d'objectifs spécifiques concernant le sujet, en pensant surtout aux plus jeunes

Référentiel belge Reprise du référentiel pour ce qui concerne le chapitre, avec indication des années

Vocabulaire - Mots clés Reprend le vocabulaire proposé dans le référentiel belge, mais aussi d'autres mots utiles dans le contexte du chapitre proposé.

Expliquer la différence entre espace physique et espage géométrique.Par un point de l'espace, combien peut-on construire de droites verticales ? ? de droites horizontales ?Combien y a-t-il de oplans perpendiculaires à une droite horizontale passant par un point donné ?Combien y a-t-il de plans parallèles à une droite horizontale passant par un point donné ?

Autour d'une cabane carrée de 6m de côté, on décide de construire une palissade de 1 m de haut et de 4 cm de large, à une distance de 4m de la cabane. Quel sera le volume en m3 de bois utile à prévoir ? Expliquer.

Construire le développement d'une pyramide droite dont la base est un losange dont les diagonales mesurent resp. 6 cm et 8 cm, et de 5 cm de hauteur. Cette pyramide est-elle régulière ? Pourquoi ? Quel serait son nombre d'arêtes si on coupait une petite pyramide en chaque sommet? Justifier.Construire le développement d'un cône droit dont la base a 6 cm de diamètre et qui a 5 cm de hauteur.On donne un cube de 4 cm d'arête. Quelle est la longueur du segment joignant les centres de deux faces adjacentes ?

Imaginer d'autres classements (à partir des médianes, des éléments de symétrie)

Jouer à écrire des définitions différentes

Comparer : prisme droit et prisme régulier.Qu'est-ce qu'un polyèdre régulier ? Illustrer la définition par des exemples et des contrexemples.

Un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle de centre O. Si les angles AOB, BOC et COD mesurent chacun 70°, que vaut, en degrés, l'amplitude de l'angle aigu formé par les droites AB et CD ?Représenter graphiquement la situation et répondre à la question en expliquant le raisonnement.

La géométrie est un terrain particulièrement favorable aux questions variées que l'on peut se poser.Proposer aux élèves de dire des questions, leur proposer des situations comme celles qui sont reprises dans des contextes de recherche tels que Maths en Jeans ne peut que les aider à construire des raisonnements variés.

Imaginer d'autres classements (à partir des diagonales, des médianes, des éléments de symétrie)

Jouer à écrire des définitions différentes

Quel est le plus petit nombre de régions en lequel le plan est découpé par 3 droites distinctes bien choisies ? Justifier par un schéma.Quel est le plus grand nombre de régions en lequel le plan est découpé par trois droites distinctes bien choisies ? Justifier par un schéma.Quel est le nombre de régions en lequel l'espace est découpé par 3 plans perpendiculaires 2 à 2 ? Justifier.

Construire le quadrilatère le plus général sachant que ce quadrilatère aa) trois angles égauxb) deux angles droits et 3 côtés isométriquesClasser les quadrilatères selona) le nombre de côtés isométriquesb) les propriétés de leurs diagonalesc) les propriétés de leurs médianes.

La géométrie offre énorméments de ponts vers d'autres disciplines :- la psychomotricité pour tout ce qui est lié à la géométrie de l'espace, mais aussi pour s'assurer que les élèves maîtrisent le vocabulaire géométrique.- la géographie pour tout ce qui est lié à la représentation des objets et l'orientation dans l'espace- les arts plastiques pour l'étude des lignes, des formes, des solides- le français pour le travail sur la langue et la description d'objets ou de mouvements

Expliquer le report d'un angle par pliages, puis à l'aide de la notion de longueur puis avec un rapporteur.Définir et expliquer plusieurs procédés de contruction de - la médiatrice d'un segment- la bissectrice d'un angle

Un parterre rectangulaire de 8 m sur 6 m est entouré extérieurement d'un sentier de 1,5 m de large. Quelle est l'aire de ce sentier en ares ?

Sachant que la carré possède 4 côtés et que les diagonales d'un carré sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, peut-on déduire que - un carré est un rectangle- un carré est un parallélogramme. Justifier.Classer les quadrilatères convexes d'après le nombre d'angles droits.Définir "trapèze isocèle" en jsutifiant la définition choisie à l'aide de contrexemples.

Pourquoi est-il contrindiqué de ne parler que de droites parallèles et de droites perpendiculaires dans le plan ?Quelle est la définition de deux droites parallèles ? Quels exemples et contrexemples peut-on proposer aux élèves ?Combien peut-on tracer de droites passant par un point donné et parallèles à une droite donnée ? Sur quelle propriété vous basez-vous ?Sasn parler d'angle droit, définir "droites perpendiculaires" et expliquer comment introduire la notion.Expliquer le classement de paires de droites de l'espace et le représenter à l'aide d'un arbre.Deux droites n'ayant pas de point commun sont-elles d'office sécantes ? Expliquer.

Souvent, les élèves se laissent distraire par des aspects non géométriques du matériel.Leur construire des "lunettes géométriques" et les imaginer progressivementUtiliser le corps, la psychomotricité pour construire les notions géométriques.Construire un lexique peut aussi aider les élèves en difficulté

Démontrer que dans un cercle, l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc..

Peut-on construire un triangle avec 3 segments pris au hasard ? Expliquer.

Quelles sont les droites remarquanbles d'un triangle que l'on peut toujours introduire à l'aide de pliages ? Expliquer.Définir en toute généralité "médiane"Dans un triangle, comment appelle-t-on le point d'intersection des médiatrices du triangle ? Donner ensuite une utilisation de ce concept sous la forme d'un problème d'application où il s'agit de placer un objet.

Soit un carré de côté a. On augmente son côté de 5%. De combien de pourcents augmentent son aire ? et son périmètre ?Michel décide d'acheter un bassin de jardin hexagonal.Sachant que chaque côté de l'hexagone extérieur du bassin mesure 80 cm et que la distance du centre du bassin et le milieu d'un côté mesure environ 89,5 cm, quelle est l'aire (en m2) l'aire occupée par le bassin ?Si on décidait de remplacer ce bassin par un carré de fleurs de m^me aire, quelle serait (em) la mesure d'un côté du carré ?

Une citerne est un parallélépipède rectangle horizontal de 4cm de long, 2,5 m de large et 1,6 m de profondeur. On y verse le contenu de deux camions citerne dont le réservoir cylindrique a 3m de long et 1,5 m de diamètre.Quelle sera la hauteur (au cm près) de l'essence dans la citerne ? Justifier.

Expliquer de 3 façons conceptuellement différentes comment comparer les amplitudes de deux angles donnés.Pouvoir effectuer le report d'un angle avec des outils géométriques précisés.Montrer de deux façons différentes que la somme des angles d'un triangle vaut 180°

Enoncer puis expliquer le théorème de Pythagore de deux façons différentes.

A nouveau, la psychomotricité et le lien avec le corps est un moyen important d'aider à la compréhension.Faire estimer aide à travailler sur le concept sans les outils.Penser à tous les prérequis nécessaires avant de faire utiliser le rapporteur.

On donne 4 pailles de longueurs recpectives 10cm, 8 cm, 5 cm et 3 cm. Décrire avec précision chaque triangle que l'on peut construire et expliquer pourquoi il n'est pas possible d'en construire d'autres.Donner un exple de partition des triangles en 3 classes.Certains classements souvent repris dans les manuels ne correpondant pas à une partition au sens ensembliste. En donner un exemple et expliquer pourquoi il ne correspond pas à une partition.

Distance, longueurEcartAngle, côtés, sommetsOuverture de l'angleAmplitude d'un angleAngle droitAngle aigu, obtus

Des concstructions à reproduire offrent une belle occasion de travailler le raisonnement dans un contexte de constructions géométriques.

Impression 3D

Introduction à Tinkercad (par Mélanie Raczek)

Des logiciels libres comme Tinkercad permettent de proposer différentesvues d'un solide, et de construire progressivement ses propres solides.Le fait de pouvoir visualiser et même imprimer sa production est à la fois une motivation importante, mais aussi une initiation à un outil qui sera amené à se développer durant les prochaines années.

Dans l'espace, on choisit une droite et un point extérieur à la droite. Passant par ce point, combien peut-on construire de :- plans perpendiculaires à la droite et comprenant le point ?- plans gauches à la droite et comprenant le point ?- plans sécants à la droite et comprenant le point ?- plans parallèles à la droite et comprenant le point ?

Combien vaut la somme des angles intérieurs d'un dodécagone convexe ? Justifier.Analyser et améliorer la défintion suivante : "Un polygone est une figure dont tous les côtés sont des segments de droite".

Donner les mêmes couleurs aux côtés isométriques aide à visualiser le triangle
Travailler spécifiquement l'inclusion : tout triangle équilatéral est isocèle
Bien distinguer description, carte d'identité du triangle et définition.

Définir puis donner 6 propriétés que possède un losange. Même question pour un rectangleQuelle(s) condition(s) minimum doit-on exiger pour qu'un parallélogramme soit un carré ? pour qu'un trapèze soit losange ?Quelles sont les droites remarquables d'un quadrilatère que l'on peut toujours introduire à l'aide de pliages ? Justifier.Monrer de deux façons différentes que la somme des angles d'un parallélogramme vaut 360°.

Expliquer comment introduire la formule d'aire du losange à des élèves qui connaissent déjà celle du rectangle ainsi que le concept d'aire.Retrouver la formule de calcul de l'aire du trapèze en utilisant comme point de départ celle de l'aire d'un triangle.

Que vaut la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe ? Justifier par un raisonnement.Quel est le nombre de diagonales d'un polygone convexe à 45 côtés ? Justifier.Introduire le concept de polygone et le vocabulaire qui s'y rapporte dans une classe où les concepts de droite, de segment et angle sont acquis. Ecrire la défintition et expliquer la méthode utilisée pour l'introduire.

Quel matériel utiliser pour illustrer les concepts géométriques ?La géométrie, un outil pour calculer ?La géométrie, un outils pour raisonner ?

Tout au long des cours de géométrie, le vocabulaire s'enrichit, et chaque concept repose sur des concepts et du vocabulaire déjà utilisés.Maîtriser les mots spécifiques est particulièrement important en géométrie.

L'ouverture d'un pluviomètre a un diamètre de 30 cm. L'eau recueillie au cours d'une averse s'écoule dans un tube dont le diamètre vaut 6cm.Si l'eau s'élève dans le tube éprouvette à une hauteur de 30 cm, quelle est la hauteur d'eau tombée durant cette averse ?

Donner les mêmes couleurs aux côtés isométriques aide à visualiser le quadrilatère
Travailler spécifiquement l'inclusion entre les types de quadrilatères
Bien distinguer description, carte d'identité du quadrilatère et définition.

4 Geometrie 23_24

Over 30 million people build interactive content in Genially.

LET’S GO TO LONDON!

SLYCE DECK

ENERGY KEY ACHIEVEMENTS

CULTURAL HERITAGE AND ART KEY ACHIEVEMENTS

ABOUT THE EEA GRANTS AND NORWAY

DOWNFALLL OF ARAB RULE IN AL-ANDALUS

HUMAN AND SOCIAL DEVELOPMENT KEY

Transcript