4 Geometrie 23_24

Signification des icônes

4. Représenter des objets géométriques

3. Construire une théorie

2. Géométrie et raisonnement

1. Définition et historique

1. Introduction à la géométrie

3. Voir dans l'espace

2. Voir dans le plan

1. Vocabulaire élémentaire

2. Relations spatiales ou topologie

4. Positions relatives

3. Types de lignes, de surfaces

2. Espaces physique et géométrique

1. Vocabulaire

3. Points, droites, plans

3. Angles et mesures

2. Angles

1. Distances

4. Distances et angles

5. Polygones réguliers

4. Polygones

3. Cercle et disque

2. Polygones et non polygones

1. Convexité

5. Figures planes

5. Triangles et symétrie

4. Droites particulières et utilité

3. Tr. rectangle et théorème de Pythagore

2. Propriétés des triangles

1. Classement et vocabulaire

6. Triangles

5. Quadrilatères et symétries

4. Nouvelles définitions

3. Droites particulières

2. Définitions classiques

1. Découverte

7. Quadrilatères

4. Problèmes d'application

3. Aire de figures planes

2. Périmètre de figures planes

1. Notions de périmètre et d'aire

8. Grandeurs et figures planes

Prolongement : impression 3D

4. Représentations de solides

3. Comptages sur des polyèdres

2. Classements de solides

1. Notion de solide

9. Solides

5. Applications

4. Et la sphère ?

3. Pyramides régulières et cône

2. Prismes droits et cylindre

1. Cube et parallélépipède rectangle

10. Grandeurs et solides

6. Compléments

5. Translation

4. Rotation

3. Symétrie centrale

2. Symétrie axiale / orthogonale

1. Transformations du plan

11. Transformations (2D et 3D)

3. Divers

2. Thalès

1. Pythagore

12. Théorèmes de géométrie plane

3. Trigonométrie Lycée

2. Trigonométrie classique

1. Triangle rectangle

13. Trigonométrie

Signification des icônes

Expliquer la différence entre espace physique et espage géométrique. Par un point de l'espace, combien peut-on construire de droites verticales ? ? de droites horizontales ? Combien y a-t-il de oplans perpendiculaires à une droite horizontale passant par un point donné ? Combien y a-t-il de plans parallèles à une droite horizontale passant par un point donné ?

Autour d'une cabane carrée de 6m de côté, on décide de construire une palissade de 1 m de haut et de 4 cm de large, à une distance de 4m de la cabane. Quel sera le volume en m3 de bois utile à prévoir ? Expliquer.

Construire le développement d'une pyramide droite dont la base est un losange dont les diagonales mesurent resp. 6 cm et 8 cm, et de 5 cm de hauteur. Cette pyramide est-elle régulière ? Pourquoi ? Quel serait son nombre d'arêtes si on coupait une petite pyramide en chaque sommet? Justifier. Construire le développement d'un cône droit dont la base a 6 cm de diamètre et qui a 5 cm de hauteur. On donne un cube de 4 cm d'arête. Quelle est la longueur du segment joignant les centres de deux faces adjacentes ?

• Imaginer d'autres classements (à partir des médianes, des éléments de symétrie)

• Jouer à écrire des définitions différentes

Comparer : prisme droit et prisme régulier. Qu'est-ce qu'un polyèdre régulier ? Illustrer la définition par des exemples et des contrexemples.

Un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle de centre O. Si les angles AOB, BOC et COD mesurent chacun 70°, que vaut, en degrés, l'amplitude de l'angle aigu formé par les droites AB et CD ? Représenter graphiquement la situation et répondre à la question en expliquant le raisonnement.

La géométrie est un terrain particulièrement favorable aux questions variées que l'on peut se poser. Proposer aux élèves de dire des questions, leur proposer des situations comme celles qui sont reprises dans des contextes de recherche tels que Maths en Jeans ne peut que les aider à construire des raisonnements variés.

• Imaginer d'autres classements (à partir des diagonales, des médianes, des éléments de symétrie)

• Jouer à écrire des définitions différentes

Quel est le plus petit nombre de régions en lequel le plan est découpé par 3 droites distinctes bien choisies ? Justifier par un schéma. Quel est le plus grand nombre de régions en lequel le plan est découpé par trois droites distinctes bien choisies ? Justifier par un schéma. Quel est le nombre de régions en lequel l'espace est découpé par 3 plans perpendiculaires 2 à 2 ? Justifier.

La géométrie est un terrain particulièrement favorable aux questions variées que l'on peut se poser. Proposer aux élèves de dire des questions, leur proposer des situations comme celles qui sont reprises dans des contextes de recherche tels que Maths en Jeans ne peut que les aider à construire des raisonnements variés.

Construire le quadrilatère le plus général sachant que ce quadrilatère a a) trois angles égaux b) deux angles droits et 3 côtés isométriques Classer les quadrilatères selon a) le nombre de côtés isométriques b) les propriétés de leurs diagonales c) les propriétés de leurs médianes.

La géométrie offre énorméments de ponts vers d'autres disciplines : - la psychomotricité pour tout ce qui est lié à la géométrie de l'espace, mais aussi pour s'assurer que les élèves maîtrisent le vocabulaire géométrique. - la géographie pour tout ce qui est lié à la représentation des objets et l'orientation dans l'espace - les arts plastiques pour l'étude des lignes, des formes, des solides - le français pour le travail sur la langue et la description d'objets ou de mouvements

Expliquer le report d'un angle par pliages, puis à l'aide de la notion de longueur puis avec un rapporteur. Définir et expliquer plusieurs procédés de contruction de - la médiatrice d'un segment - la bissectrice d'un angle

Un parterre rectangulaire de 8 m sur 6 m est entouré extérieurement d'un sentier de 1,5 m de large. Quelle est l'aire de ce sentier en ares ?

Sachant que la carré possède 4 côtés et que les diagonales d'un carré sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, peut-on déduire que - un carré est un rectangle - un carré est un parallélogramme. Justifier. Classer les quadrilatères convexes d'après le nombre d'angles droits. Définir "trapèze isocèle" en jsutifiant la définition choisie à l'aide de contrexemples.

Pourquoi est-il contrindiqué de ne parler que de droites parallèles et de droites perpendiculaires dans le plan ? Quelle est la définition de deux droites parallèles ? Quels exemples et contrexemples peut-on proposer aux élèves ? Combien peut-on tracer de droites passant par un point donné et parallèles à une droite donnée ? Sur quelle propriété vous basez-vous ? Sasn parler d'angle droit, définir "droites perpendiculaires" et expliquer comment introduire la notion. Expliquer le classement de paires de droites de l'espace et le représenter à l'aide d'un arbre. Deux droites n'ayant pas de point commun sont-elles d'office sécantes ? Expliquer.

Souvent, les élèves se laissent distraire par des aspects non géométriques du matériel.Leur construire des "lunettes géométriques" et les imaginer progressivementUtiliser le corps, la psychomotricité pour construire les notions géométriques.Construire un lexique peut aussi aider les élèves en difficulté

Démontrer que dans un cercle, l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc..

Peut-on construire un triangle avec 3 segments pris au hasard ? Expliquer.

Quelles sont les droites remarquanbles d'un triangle que l'on peut toujours introduire à l'aide de pliages ? Expliquer. Définir en toute généralité "médiane" Dans un triangle, comment appelle-t-on le point d'intersection des médiatrices du triangle ? Donner ensuite une utilisation de ce concept sous la forme d'un problème d'application où il s'agit de placer un objet.

Soit un carré de côté a. On augmente son côté de 5%. De combien de pourcents augmentent son aire ? et son périmètre ? Michel décide d'acheter un bassin de jardin hexagonal. Sachant que chaque côté de l'hexagone extérieur du bassin mesure 80 cm et que la distance du centre du bassin et le milieu d'un côté mesure environ 89,5 cm, quelle est l'aire (en m2) l'aire occupée par le bassin ? Si on décidait de remplacer ce bassin par un carré de fleurs de m^me aire, quelle serait (em) la mesure d'un côté du carré ?

Une citerne est un parallélépipède rectangle horizontal de 4cm de long, 2,5 m de large et 1,6 m de profondeur. On y verse le contenu de deux camions citerne dont le réservoir cylindrique a 3m de long et 1,5 m de diamètre. Quelle sera la hauteur (au cm près) de l'essence dans la citerne ? Justifier.

Expliquer de 3 façons conceptuellement différentes comment comparer les amplitudes de deux angles donnés. Pouvoir effectuer le report d'un angle avec des outils géométriques précisés. Montrer de deux façons différentes que la somme des angles d'un triangle vaut 180°

Enoncer puis expliquer le théorème de Pythagore de deux façons différentes.

A nouveau, la psychomotricité et le lien avec le corps est un moyen important d'aider à la compréhension. Faire estimer aide à travailler sur le concept sans les outils. Penser à tous les prérequis nécessaires avant de faire utiliser le rapporteur.

Souvent, les élèves se laissent distraire par des aspects non géométriques du matériel. Leur construire des "lunettes géométriques" et les imaginer progressivement Utiliser le corps, la psychomotricité pour construire les notions géométriques. Construire un lexique peut aussi aider les élèves en difficulté

On donne 4 pailles de longueurs recpectives 10cm, 8 cm, 5 cm et 3 cm. Décrire avec précision chaque triangle que l'on peut construire et expliquer pourquoi il n'est pas possible d'en construire d'autres. Donner un exple de partition des triangles en 3 classes. Certains classements souvent repris dans les manuels ne correpondant pas à une partition au sens ensembliste. En donner un exemple et expliquer pourquoi il ne correspond pas à une partition.

Distance, longueur Ecart Angle, côtés, sommets Ouverture de l'angle Amplitude d'un angle Angle droit Angle aigu, obtus

Des concstructions à reproduire offrent une belle occasion de travailler le raisonnement dans un contexte de constructions géométriques.

Des logiciels libres comme Tinkercad permettent de proposer différentesvues d'un solide, et de construire progressivement ses propres solides. Le fait de pouvoir visualiser et même imprimer sa production est à la fois une motivation importante, mais aussi une initiation à un outil qui sera amené à se développer durant les prochaines années.

Introduction à Tinkercad (par Mélanie Raczek)

Impression 3D

Dans l'espace, on choisit une droite et un point extérieur à la droite. Passant par ce point, combien peut-on construire de : - plans perpendiculaires à la droite et comprenant le point ? - plans gauches à la droite et comprenant le point ? - plans sécants à la droite et comprenant le point ? - plans parallèles à la droite et comprenant le point ?

Combien vaut la somme des angles intérieurs d'un dodécagone convexe ? Justifier. Analyser et améliorer la défintion suivante : "Un polygone est une figure dont tous les côtés sont des segments de droite".

• Donner les mêmes couleurs aux côtés isométriques aide à visualiser le triangle
• Travailler spécifiquement l'inclusion : tout triangle équilatéral est isocèle
• Bien distinguer description, carte d'identité du triangle et définition.

Définir puis donner 6 propriétés que possède un losange. Même question pour un rectangle Quelle(s) condition(s) minimum doit-on exiger pour qu'un parallélogramme soit un carré ? pour qu'un trapèze soit losange ? Quelles sont les droites remarquables d'un quadrilatère que l'on peut toujours introduire à l'aide de pliages ? Justifier. Monrer de deux façons différentes que la somme des angles d'un parallélogramme vaut 360°.

Pourquoi est-il contrindiqué de ne parler que de droites parallèles et de droites perpendiculaires dans le plan ? Quelle est la définition de deux droites parallèles ? Quels exemples et contrexemples peut-on proposer aux élèves ? Combien peut-on tracer de droites passant par un point donné et parallèles à une droite donnée ? Sur quelle propriété vous basez-vous ? Sasn parler d'angle droit, définir "droites perpendiculaires" et expliquer comment introduire la notion. Expliquer le classement de paires de droites de l'espace et le représenter à l'aide d'un arbre. Deux droites n'ayant pas de point commun sont-elles d'office sécantes ? Expliquer.

Expliquer comment introduire la formule d'aire du losange à des élèves qui connaissent déjà celle du rectangle ainsi que le concept d'aire. Retrouver la formule de calcul de l'aire du trapèze en utilisant comme point de départ celle de l'aire d'un triangle.

La géométrie est un terrain particulièrement favorable aux questions variées que l'on peut se poser. Proposer aux élèves de dire des questions, leur proposer des situations comme celles qui sont reprises dans des contextes de recherche tels que Maths en Jeans ne peut que les aider à construire des raisonnements variés.

Que vaut la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe ? Justifier par un raisonnement. Quel est le nombre de diagonales d'un polygone convexe à 45 côtés ? Justifier. Introduire le concept de polygone et le vocabulaire qui s'y rapporte dans une classe où les concepts de droite, de segment et angle sont acquis. Ecrire la défintition et expliquer la méthode utilisée pour l'introduire.

Quel matériel utiliser pour illustrer les concepts géométriques ? La géométrie, un outil pour calculer ? La géométrie, un outils pour raisonner ?

Tout au long des cours de géométrie, le vocabulaire s'enrichit, et chaque concept repose sur des concepts et du vocabulaire déjà utilisés. Maîtriser les mots spécifiques est particulièrement important en géométrie.

L'ouverture d'un pluviomètre a un diamètre de 30 cm. L'eau recueillie au cours d'une averse s'écoule dans un tube dont le diamètre vaut 6cm. Si l'eau s'élève dans le tube éprouvette à une hauteur de 30 cm, quelle est la hauteur d'eau tombée durant cette averse ?

• Donner les mêmes couleurs aux côtés isométriques aide à visualiser le quadrilatère
• Travailler spécifiquement l'inclusion entre les types de quadrilatères
• Bien distinguer description, carte d'identité du quadrilatère et définition.