DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS PRIMOS

Criterios de divisibilidad

y números Primos

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Ciclo Escolar 2024-2025

Matemáticas II

DIVISIBILIDAD

NÚMEROS PRIMOS

Divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son pautas que nos permiten saber rápidamente si un número es divisible entre otro. Es decir, nos permiten saber si cuando los dividamos el resto de la división será cero o no.

Nos ayudan a encontrar con facilidad los divisores de un número.

Nos sirven especialmente cuando tenemos que descomponer números en factores primos o saber si un número es primo o compuesto.

Nos dan pistas cuando tenemos que simplificar fracciones, entre muchas otras cosas…

¡Es muy conveniente conocer los criterios de divisibilidad!

Es decir, vamos a saber si un número es divisible entre 2 al 13.

Criterios de Divisibilidad

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CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 2

2

Para saber si un número es divisible entre dos hay que comprobar que sea par. Si es par, entonces será divisible por 2. Los número pares son los que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8.

¿246 es divisible entre 2?

¿769 es divisible entre 2?Miramos el último número y vemos que el 9 no es un número par, por lo tanto 769 no es divisible entre 2.

¿316 es divisible entre 2? Si miramos el último número, vemos que el 6 es un número par, por lo tanto 316 es divisible entre 2.

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3

Para saber si un número es divisible entre 3, tenemos que comprobar que la suma de todos sus dígitos sea 3 o múltiplo de 3.

¿Es 748 divisible entre 3?

¿Es 1098 divisible entre 3?Sumamos todos los dígitos de 1098: 1 + 0 + 9 + 8 = 18 1 + 8 = 9 9 es un múltiplo de 3 por lo tanto 1098 es divisible por 3.

¿123 es divisible entre 3?Sumamos todos los dígitos de 123:1 + 2 + 3 = 66 es un múltiplo de 3 por lo tanto 123 es divisible por 3.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 3

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4

Un número es divisible entre 4 cuando el número formado por sus dos últimas cifras son divisibles entre 4.

¿Es 24828 divisible entre 4?

Queremos saber si 448 es divisible entre 4por lo que tenemos que ver si sus dos últimas cifras, 48, es divisible entre 4. 48 / 4 = 12 y el resto es 0. Por lo tanto 448 es divisible entre 4.

¿El 564 es divisible entre 4?Sus últimos dos digitos: 64 verificamos si es divisible entre 4.64 / 4 = 16 y el residuo es 0.Entonces 564 es divisible entre 4.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 4

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5

Para saber si un número es divisible entre 5, dicho número tiene que acabar en 0 o 5.

¿Es 815420 divisible entre 5?

¿5815 es divisible entre 5?Miramos el último número y es un 5, por lo tanto, 5815 es divisible entre 5.

¿5688 es divisible entre 5?El último número es un 8 y como es diferente de 0 o de 5, no es divisible entre 5.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 5

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6

Para saber si un número es divisible entre 6 hay que comprobar que sea divisible entre 3 y entre 2. Si es divisible entre 2 y entre 3 entonces es divisible entre 6.

¿Es 430 divisible entre 6?

¿138 es divisible entre 6?Primero vamos a comprobar que es divisible entre 2: 138 termina en 8, que es un número par, por lo tanto 138 es divisible entre 2.Ahora vamos a comprobar que es divisible entre 3: sumamos todas sus cifras 1 + 3 + 8 = 12. Como 12 es divisible entre 3 entonces 138 también es divisible entre 3.Como 138 sí es divisible entre 3 y también es divisible entre 2 entonces 138 sí es divisible entre 6.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 6

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7

Para saber si un número es divisible por 7 hay que restar el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades. Si el resultado es cero o múltiplo de 7 entonces el número es divisible por 7. Si el resultado es diferente, el número no es divisible por 7.

¿5219 es divisible por 7?

¿1946 es divisible por 7?Separamos la cifra de las unidades 194 | 6 Ahora restamos el número 194 menos el doble de la cifra de las unidades 2×6 = 12 194 – 12 = 182 Como 182 todavía es un número muy grande, repetimos los pasos: Separamos la cifra de las unidades 18 / 2 Restamos el número 18 menos el doble de la cifra de las unidades 2×2=4 18 – 4 = 1414 es un múltiplo de 7. Por lo tanto 1946 sí es divisible por 7.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 7

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8

Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8. Hay que comprobar que sus tres últimas cifras sean divisibles entre 8.

¿108 es divisible entre 8?

¿12856 es divisible entre 8?Tomamos las tres últimas cifras de 12856 y las dividimos entre 8.856 / 8 = 107Como el resto nos queda cero 856 es divisible entre 8. Por lo tanto 12856 sí es divisible entre 8.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 8

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9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.

¿965 es divisible por 9?

¿2610 es un múltiplo de 9?Para ello sumamos cada uno de sus dígitos: 2 + 6 + 1 + 0 = 9 Por lo tanto 2610 sí es divisible por 9.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 9

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10

Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.

¿370 es divisible entre 10?

¿999 es divisible entre 10? El último número es un 9 y como es distinto de 0, 999 no es divisible entre 10.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 10

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11

Un número es divisible entre 11 cuando la suma de los números que ocupan la posición par menos la suma de los números que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11.

Veamos si ¿57342 es divisible por 11?

¿5863 es divisible entre 11? Primero identificamos cuáles son las cifras que ocupan las posiciones pares y las que ocupan las posiciones impares. Posiciones pares: 8 y 3. Los sumamos: 8 + 3 = 11 Posiciones impares: 5 y 6. Los sumamos: 5 + 6 = 11 11 – 11 = 0, por lo tanto 5863 es divisible entre 11.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 11

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12

Un número es divisible entre 12 hay que comprobar que sea divisible entre 3 y entre 4. Si es divisible entre 3 y entre 4 entonces el número es divisible entre 12.

Veamos si ¿7884 es divisible por 12?

¿168 es divisible entre 12? Primero vamos a comprobar que es divisible entre 3. Para ello sumamos sus cifras: 1 + 6 + 8 = 15. Como 15 es divisible entre 3 entonces 168 también es divisible entre 3. 168 / 3 = 56Ahora vamos a comprobar que sea divisible entre 4. Para ello dividimos sus dos últimas cifras entre 4. 68 / 4 = 17Como el resto es cero 68 es divisible entre 4. Por lo tanto, 168 también es divisible entre 4. Concluimos, como 168 es divisible entre 3 y también entre 4, 168 sí es divisible entre 12.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 12

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13

Para saber si un número es divisible entre 13 hay que restar el número sin la cifra de las unidades y 9 veces la cifra de las unidades. Si esa resta tiene como resultado 0 múltiplo de 13 entonces el número es divisible entre 13.

Veamos si ¿7884 es divisible por 13?

¿63174046 es divisible entre 13? "Quitando" la última cifra, que es 6, se obtiene 6317404 (decenas) y 6 (unidades) quedando: 6317404 – 6·9 = 6317350 "eliminamos" la última cifra 0, generando 631733 (decenas) y 0 631735 – 0·9 = 631735 si quitamos el 5 (última cifra) se obtiene 63173 (decenas) y 5 63173 – 5·9 = 63128 6312 – 8·9 = 6240 624 – 0·9 = 624 62 – 4·9 = 26 que sabemos que es divisible por 13 (13·2 = 26), por lo que 63174046 también lo es.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DEL 13

PRIMOS

Números

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NÚMEROS PRIMOS

Un Número Primo es aquel que tiene únicamente dos divisores positivos distintos: él mismo y el 1.

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¿CUÁLES SON LOS NÚMEROS PRIMOS DEL 1 AL 100?

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¿246 es divisible entre 2?

El ultimo digito es 6, observamos si es número par.6 es número par.Por lo tanto podemos decir que 246 es divisible entre 2

¿Es 748 divisible entre 3?

Sumamos todos los dígitos del 748:7 + 4 + 8 = 191 + 9 = 101 + 0 = 11 no es un multiplo de 3. Por lo tanto, 748 no es divisible entre 3.

¿Es 24828 divisible entre 4?

Primero tomamos las dos ultimas cifras del numero 24828.Comprobamos si 28 es divisible entre 4.28 / 4 = 7Concluimos lo siguiente, como 28 es divisible entre 4, 24828 es divisible entre 4.

¿Es 815420 divisible entre 5?

Tenemos que verificar si su ultimo número es 0 o 5.El ultimo digito es 0, por lo tanto 815420 es multiplo de 5.

¿Es 430 divisible entre 6?

Primero vamos a verificar que en divisibe sea divisible entre 2. 430 termina en 0, entonces es divisible entre 2.A continuación, comprobamos que 430 sea divisible entre 3. Sumamos todos sus digitos y verificamos si es multiplo de 3.4 + 3 + 0 = 77 no es multiplo de 3. Por lo tanto, 430 no es divisible entre 6.

¿5219 es divisible por 7?

Tomamos los digitos excepto el ultimo número, 521.Multiplicamos 9 x 2 = 10Restamos 521 - 18 = 503Seguimos con el proceso, separamos el ultimo digito de 503. 50Multiplicamos 3 x 2 = 6Restamos 50 - 6 = 4444 no es múltiplo de 7, concluimos que 5219 no es divisible entre 7.

¿108 es divisible entre 8?

Verificamos que 108 sea múltiplo de 8.108 / 8 = 13.5El resultado de la división no es un número entero por lo tanto 108 no es divisible entre 8.

¿965 es divisible por 9?

Sumamos todos sus digitos:9 + 6 + 5 = 2020 no es un múltiplo de 9.Por lo tanto 965 no es divisible entre 9.

¿370 es divisible entre 10?

Verificamos que el último número sea 0.En 370, 0 es igual a 0. Concluimos que 370 es divisible entre 10.

¿57342 es divisible por 11?

Primero tomamos los numero que estan en posición par: 7 y 4. Sumamos esos números:7 + 4 = 11Despues, tomamos los numeros en posición impar: 5, 3 y 2. Sumamos esos números:5 +3 + 2 = 10Por último restamos los dos resultados:11 - 10 = 11 no es cero ni múltiplo de 11, por lo tanto 57342 no es divisible entre 11.

¿7884 es divisible por 12?

Primero, verificamos que sea divisible entre 3Sumamos todos sus dígitos: 7 + 8 + 8 + 4 = 27, el resultado 27 es múltiplo de 3.A continuación verificamos que sea divisible entre 4, para esto tomamos los dos últimos números son múltiplo de 4. 84 / 4 = 21 Como el residuo fue cero. 48 es divisible entre 4.Concluimos que 7884 es divisible por 12.

¿7884 es divisible por 13?

Quitamos el último número de 7884, en este caso el 4.Multiplicamos 4 x 9 = 32.Restamos, 788 - 32 = 756.Volvemos a repetir el proceso.Separamos la unidad, 6. Multiplicamos 6 x 9 = 54.Restamos, 75 - 54 = 21.21 no es multiplo de 13. Por lo tanto 7884 no es divisible entre 13.

Son 25 números: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.Tienen las siguientes características:

NÚMEROS PRIMOSDEL 1 AL 100

• Mayores a 1.
• Tiene sólo dos divisores que dan como residuo cero, esos divisores son el 1 y si mismos.

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