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DALIA MARGARITA CASTILLO RODRIGUEZMatricula: al096665

PROYECTO MODULAR

Aleatoriedad y Modelos para la Generación de Variables Aleatorias

Números aleatorios: generados por procesos naturales (ruido atmosférico, radiactivo).Números pseudoaleatorios: generados por algoritmos determinísticos, pero simulan la aleatoriedad.

Números Aleatorios vs Pseudoaleatorios

La aleatoriedad se refiere a la ausencia de un patrón predecible en los resultados.En simulaciones, los números aleatorios permiten modelar situaciones inciertas y probabilísticas.

¿Qué es la Aleatoriedad?

Limitaciones: No son verdaderamente aleatorios, ya que siguen patrones determinados por algoritmos. Su aleatoriedad depende de la calidad del algoritmo usado.

Ventajas de los Números Pseudoaleatorios: Controlables: A través de una "semilla", se puede generar la misma secuencia de números en distintos momentos. Eficientes: Se pueden generar grandes cantidades de números rápidamente con fórmulas matemáticas simples.

Números Aleatorios y Pseudoaleatorios

¿Por qué usar Números Pseudoaleatorios?Son esenciales para simular situaciones reales donde la incertidumbre o el azar están presentes.Permiten replicar experimentos bajo las mismas condiciones, garantizando la reproducibilidad en simulaciones.

a = multiplicador.𝑐 = incremento.𝑚= módulo.𝑋0 = valor inicial

Generadores Congruenciales

Son una forma común de generar números pseudoaleatorios.Su Formula:

Ejemplos de Pruebas:

  1. Chi-cuadrado: compara la frecuencia observada con la frecuencia esperada en categorías.
  2. Kolmogorov-Smirnov: compara la distribución acumulada de los datos observados con una distribución teórica.
Uso: Determinar si un conjunto de datos sigue una distribución como la normal, uniforme, etc.

El Contraste de Bondad de Ajuste es una herramienta estadística que mide qué tan bien se ajustan los datos observados a una distribución teórica.

Contrastes de Bondad de Ajuste

Aplicaciones: Validar la calidad de un generador de números pseudoaleatorios.

Ejemplos de Pruebas: Prueba de corridas: examina si los valores altos y bajos ocurren de manera alternada (independencia). Prueba de autocorrelación: mide si un número en la secuencia está correlacionado con números anteriores.

Contrastes de Aleatoriedad e Independencia

¿Qué son los Contrastes de Aleatoriedad e Independencia?Evalúan si una secuencia de números generados es aleatoria y si los elementos en la secuencia son independientes entre sí.

  • Los números pseudoaleatorios son esenciales en simulaciones, y los generadores congruenciales son una forma efectiva de generarlos.
  • Los contrastes de bondad de ajuste y aleatoriedad aseguran la validez de los modelos.
  • Estos conceptos son fundamentales en áreas como la estadística, la criptografía y la simulación.

Si lanzamos un dado muchas veces, la suma de los resultados seguirá aproximadamente una distribución normal, aunque la distribución del dado no lo sea.

Es fundamental para la estadística inferencial, ya que permite usar la distribución normal como una aproximación en muchos problemas prácticos.

EJEMPLO:

Establece que la suma de un número suficientemente grande de variables aleatorias independientes y con la misma distribución tiende a seguir una distribución normal, independientemente de la distribución original.

Teorema Central del Límite

Este algoritmo es útil para simulaciones que requieren generar valores con una distribución normal, como en modelos financieros o simulaciones físicas.

Es un método para generar dos números aleatorios que siguen una distribución normal estándar (media 0 y desviación estándar 1), a partir de dos números aleatorios uniformemente distribuidos.

Algoritmo de Box-Muller

Principales Métodos de Simulación:

Simulación de Monte Carlo: Utiliza la aleatoriedad para resolver problemas determinísticos. Se basa en generar una gran cantidad de números aleatorios y analizar los resultados.Simulación de eventos discretos: Modela sistemas donde ocurren eventos en momentos específicos (por ejemplo, la llegada de clientes a una tienda).Simulación continua: Se usa para modelar sistemas donde los cambios son continuos en el tiempo (por ejemplo, el flujo de agua en un río).

Métodos Generales de Simulación

Son técnicas usadas para modelar sistemas complejos y predecir su comportamiento futuro bajo condiciones de incertidumbre.

  • Este valor 𝑋 será el valor simulado de la variable discreta.
  • Generar un número aleatorio 𝑈 uniformemente distribuido entre 0 y 1.
  • Encontrar el valor de la variable aleatoria discreta 𝑋 tal que:

Método de Inversa de la Función de DistribucióN

Método de Simulación de Variables Aleatorias Discretas

Se utiliza para generar variables que pueden tomar un número finito o contable de valores, como en el caso de un dado o una cola de servidores en una tienda.