Limites y continuidad

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Una función es continua cuando a pequeñas variaciones de la variable independiente corresponden pequeñas variaciones de la variable dependiente.

Continuidad

Límites de una función

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Un teorema es una afirmación matemática que se demuestra usando lógica y reglas previamente establecidas, similar a una "ley" .

Teorema

Continuidad

Límites en el infinito

Límites al infinito

Límites Bilaterales

Teorema de los límites

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Un límite es cómo se comporta una función cerca de un punto específico en su gráfica. Determina hacia dónde se acerca la función cuando la variable se acerca a ese punto.

Límites Unilaterales

¿Qué es un límite?

Limites y continuidad

¡Gracias por su atención!

Stewart, J. (2015). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas (8va ed.). Cengage Learning Editores. Larson, R., & Edwards, B. (2009). Cálculo de una variable (9na ed.). McGraw-Hill Interamericana. Smith, J. (2017). Fundamentos de Matemáticas: Cálculo de Límites y Continuidad. Editorial Académica. Matemáticas Once Julio. (s.f.). Límites unilaterales. Recuperado de https://matematicasoncejulio.blogspot.com/p/limites-unilaterales.html JCBMAT. (s.f.). Cálculo - Introducción al límite. Recuperado de https://www.calculo.jcbmat.com/index.htm Proyecto Descartes. (2022). Materiales didácticos: Límites de funciones. Recuperado de https://proyectodescartes.org/Prometeo/materiales_didacticos/3_011/index.htmld Matemovil. (2022). Límites infinitos: Ejercicios resueltos. Recuperado de https://matemovil.com/limites-infinitos-ejercicios-resueltos/ Study Smarter. (s.f.). Límites infinitos. Recuperado de https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/limites-infinitos/

Referencias

Teorema principal de Límites

Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido. Ejemplo:

Límites Unilaterales

Hay casos en que las funciones no están definidas en los reales ni por la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.

Esta funcion es discontinua en 3, ya que f(2)=0.28, pero para números x muy cercanos a 3, mayores que 3, f(x) no está cercano a 0.28, sino más bien es arbitrariamente grande.

Esta funcion es discontinua en 1, ya que f(1)=3, pero para números x muy cercanos a 1, f(x) no está cercano a 3 sino más bien está cercano a 2.Observa que si f(1) valiera 2, la función f sería continua en 1.

Esta funcion es discontinua en 2, ya que f(2)=1, pero para números x mayores que 2 y muy cercanos a él, f(x) no está cercano a 1 sino más bien está cercano a 3.Observa que la gráfica de la función se rompe al pasar frente a 2.

Esta funcion no es tá definida en -2, así que no tiene sentido preguntarse si es continua en -2.Observa que la gráfica de la función es una recta, que tiene un agujero frente a x=-2.

Procedimiento

Vamos ahora a identificar geométricamente los números donde una función es discontinua, es decir, donde no es continua.

• Si una función no está definida en un numero, ni siquiera tiene sentido preguntarse si es continua.
• Una funcion f definida en un número p es discontinua en p si hay números x muy cercanos a p para los cuales el valor de la función ahí, f(x) está lejos de f(p).

Ejemplos

La función mostrada a la derecha no está definida en 1, así que ni siquiera tiene sentido preguntarse si es continua en 1,

Así que el límite de g en x = 3 es igual a 5, pero el valor de g en x= 3 no está definido, no son lo mismo. Los límites no dependen del valor real de la función en el límite. Describen cómo se comporta la función al acercarse al límite.

¿Qué clase de función es g? Tal como con f, el límite de g en x = 3 es 5. Esto se debe a que aún podemos acercarnos mucho a x = 3 y los valores de la función se acercarán muchísimo a 5.

Y sí, el límite de f(x) = x + 2 en x = 3 es igual a f(3), pero este no siempre es el caso. Para entender esto, consideremos la función g. Esta función es igual a f, excepto que no está definida para x = 3.

Tal vez te preguntes cuál es la diferencia entre el límite de f en x = 3 y el valor de f en x = 3, es decir, f(3).

Por estas razones, decimos que el límite de f en x = 3 es 5.

Similarmente, si empezamos en (5, 7) y nos movemos a la izquierda hasta estar muy cerca de x = 3, el valor y nuevamente estará muy cerca de 5.

Por ejemplo, si partimos del punto (1, 3)y nos movemos en la gráfica hasta estar muy cerca de x = 3, entonces nuestro valor y (es decir, el valor de la función) está muy cerca de 5.

Para entender qué son los límites, consideremos un ejemplo.función f(x) = x + 2

El límite de f en x = 3 es el valor al cual se aproxima f a medida que nos acercamos más y más a x = 3. Gráficamente, es el valor de y al que tendremos en la gráfica de f al acercarnos más y más al punto de la gráfica donde x = 3

Los límites bilaterales se refieren al proceso de encontrar el límite de una función a medida que la variable independiente se aproxima a un valor específico desde ambos lados, es decir, tanto desde la izquierda como desde la derecha.

Sea f una función definida de todos los números del intervalo abierto a,c. Entonces, el límite de fx, cuando x se aproxima a a por la derecha es Z, y se escribe:

Límite Unilateral por la izquierda

Sea f una función definida de todos los números del intervalo abierto a,c. Entonces, el límite de fx, cuando x se aproxima a a por la derecha es Z, y se escribe:

Límite Unilateral por la derecha

Límites Bilaterales

f(a) existe: Esto significa que el valor de la función en el punto x=a está bien definido y existe. lim x→a f(x) existe: Esto indica que el límite de la función cuando x se aproxima a a desde ambos lados existe y es finito. lim x→a f(x) = f(a):Esta condición asegura que el límite de la función en el punto x=a es igual al valor de la función en dicho punto.

Para verificar la continuidad en una función, radica en dar cumplimiento a tres condiciones:

Por lo contrario, si una función tiene discontinuidades, significa que tiene puntos donde la gráfica se interrumpe, como saltos, huecos o discontinuidades abruptas.

Discontinuidad

Continuidad

La continuidad de una función significa que la función no tiene interrupciones en su gráfica y se puede dibujar sin levantar el lápiz.

Decrecimiento infinito:

Crecimiento infinito:

Límites al infinito

Se refiere al comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor infinito o negativo infninito. Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

Puntos clave

• Decimos que una funcion f(x) tiene un límite en el infinito si existe un número L al cual la función se acerca a medida que crece o x → ∞, f(x) →L.
• Hay tres maneras de averiguar qué pasa con una función cuando tiene un limite al infinito:

✓ Sustitución ✓ Representación gráfica ✓ Deducción

• Los límites son indeterminados cuando se tienen formas de límites como:

• Si un límite es indeterminado se debe usar la regla de L'Hopital.

El símbolo ∞ no representa un número real. En cambio, ∞ describe el comportamiento de los valores de la función f(x), que se hacen más y más grandes; al igual que ∞ describe el comportamiento de una función que se hace más y más negativa.

Límites en el infinito

Se refiere a situaciones en las que el límite de una función se aproxima a un valor infinito o negativo infinito.