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3.La fonction exponentielle4.Le nombre E

2. Ses découvertes

1. Qui était Euler ?

Sommaire

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EUler

-1707-1783-Mathématicien et physicien suisse

Leonhard euler

Les réalisations d'euler

-l'introduction de la fonction gamma-l'analogie entre le calcul infinitésimal et le calcul des différences finies. -la géométrie différencielle -la méthode d'Euler _le nombre E -la fonction exponentielle

La Fonction exponentielle

-Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f'=f et f(0)=1-Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f'=f et f(0)=1. On note cette fonction exp. Conséquence :exp(0)=1.

La fonction exponentielle

-Démontrons que f ne s'annule pas sur R.Soit la fonction h défini sur R par h(x)=f(x)f(-x) h'(x)=f'(x)f(-x) - f(x)(-f'(-x)) =f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) =f(x)f(-x) - f(x)f(-x) =0 La donction h est donc constante. Comme h(0)=f(0) et f(0)=1, on a pour tout réel x: f(x)f(-x)=1 La fonction f ne peut donc pas s'annuler.

la fonction exponentielle

-Démontrons l'unicité de de f sur R.Supposons qu'il existe une fonction g telle que g'=g et g(0)=1 Comme f ne s'annule pas on pose, k(x)=g(x)/f(x) k(x)= (g'(x)f(x)-g(x)f'(x)) / (f(x)f(x)) = (g(x)f(x)-g(x)f(x)) / (f(x)f(x))=0 k est donc une fonction constante. Or k(0)=g(0)/f(0)=1/1=1 Et donc f(x)=g(x), l'unicité de f est donc vérifiée.

le nombre e

Si ln(x) = y alors x = exp(y). Or exp(1) est justement égal à e. Euler explique que : e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... Rappelons que par exemple 5! se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5.