Polinómios Quadráticos

Polinómios2

Como entender e usar polinómios quadráticos

1.Definição de Polinómio Quadrático

O que é um polinómio quadrático?

x2 + x - 3

x2 - 2x +4

Seguinte

Função quadrática dada por: y = x2

Como identificar?

Um polinómio quadrático é qualquer polinómio onde o seu grau seja 2, ou seja, existe, em pelo menos um do monómios de um certo polinómio, 2 letras. Na álgebra, uma função quadrática, é uma função polinomial associada a um polinômio quadrático.

Exemplos

Funções Quadráticas

Uma função quadrática contém um polinómio de grau 2 e é essencial para descrever diversas caracteristicas do mundo real. Ao lado temos uma tabela de valores, que recebe qualquer valor x e computa o valor y dado que: y = x2. Podemos notar que, o valor de y é sempre o quadrado do valor de x, o que cria um crescimento rápido e exponencial ao longo que o valor de x aumenta depois de 0 ou diminui antes de 0. O valor de x (após computar x2) entre si e o seu simétrico é sempre igual em qualquer função quadrática*.

Gráfico

Interpretação Gráfica

A característica que mais se sobressai é o gráfico ter uma aparência curva, denominada por parábola, mas na realidade é apenas o conjunto de infinitas linhas que ligam os pontos resultantes de y = x2 .Podemos entender que nenhum ponto se encontra em y < 0, já que, qualquer número multiplicado por ele mesmo resulta sempre em positivo. Por esse motivo não existem raízes quadradas de números negativos. Analisando com mais profundidade, calculamos que, nesta função de y = x2 , o único ponto x em que y = 0 é 0, porque a raíz quadrada de 0 é 0. O valor/es y de qualquer função onde x seja 0 chama-se a raíz da função. Podemos representar a raíz de uma função como: f(x) = 0 (sendo f(x) a função quadrática) . Esta equação retorna todos os valores y onde x é 0. Nesta função, a raíz dela é apenas 0.

Explora nos botões abaixo como o gráfico se comporta alterando as diferentes variáveis

Manipulação Gráfica

Alterando "a"

Geralmente a função quadrática é dada por:

f(x) = ax2 + bx + c

Alterando "b"

Onde: "a" é o coeficiente quadrático, que determina a concavidade da parábola, "b" é o coeficiente linear, que determina a inclinação da parábola, "c" é o termo independente, que determina a posição vertical da parábola. Todos os valores são números reais e "a" nunca pode ser 0, caso contrário, a função seria linear. Repara que se "a" for negativo a parábola inverte verticalmente, já que todos os valores têm o sinal trocado.

Alterando "c"

2.Fatorização de Polinómios

Como fatorizar polinómios e como isso auxilia a resolver equações.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Exemplo de fatorização

Em que consiste fatorizar?

Fatorização é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Fatorar é, portanto, escrever em fatores. Existem diversas formas de fatorizar para diversas situações específicas. Fatorizar vai auxiliar, em breve, a calcular a raíz de qualquer função quadrática, mais tarde permitindo resolver equações de segundo grau.

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Fator Comum em Evidência

Consiste em identificar fatores repetidos no polinómio.

Agrupamento

Num polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento.

Fatorização

Trinômio Quadrado Perfeito

Existem diversas formas de fatorizar e diferentes situações que requerem diferentes métodos. Aqui vamos explorar 5 métodos Clica no "+" para saber os detalhes.

Usados em expressões como: (a + b)2

Diferença de Dois Quadrados

Usados em situações como: a2 - b2

Cubo Perfeito

Usada em polinómios como: (a + b)3

3.Equações de 2º Grau

O que são e como resolver?

x2 + x = 2

x2 - x + 1 = 2

Equações de 2º Grau

Equação de 2º grau é uma equação do tipo ax2+bx+c = 0, em que a, b e c são número reais, conhecidos como coeficientes da equação. A equação do 2º grau pode ser completa, se os seus coeficientes são diferentes de 0, e incompleta, caso o coeficiente b ou c seja igual a 0.

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Resolução de Equações 2º'.

Nesta apresentação vamos tirar como exemplo a equação: (os "+" são cruciais neste slide)

x2 - 2 = -1

Como já falamos anteriormente, interpretamos esta equação procurando o valor de x em que o valor y do polinómio x2 - 2 seja igual a -1.

A maioria do processos de resolução recomenda que, se isole o 0 na equação. Ou seja, passa a x2 -2 + 1 = 0, simplificado: x2 -1 = 0. Agora a equação representa a raíz do polinómio

Apartir deste passo existem 3 processos principais e explicarei cada um deles nos próximos slides. Claro que, dependendo da equação um processo pode ser mais adequado que outro.

Usar a Raíz Quadrada

x2 - 1 = 0

Já que esta equação não tem coeficiente linear, a mesma pode ser facilmente resolvida aplicando o inverso do quadrado, a raíz quadrada:

- 1

x2 - 1 = 0 <=> x2 = 1 <=> x =±√1 <=> x = 1 e x = -1 S={1, -1}

Concluímos que o valor de x é -1 ou 1. Ou seja, os pontos de interseção entre as duas funções anteriormente referidas tinham como valor de x, uma 1 e outra -1.

Fatorizando o Membro

x2 - 1 = 0

Na fatorização vamos ter que utilizar a diferença entre fatores.

x2 - 1 = 0 <=>(x-1)(x+1) = 0 ->Quando o produto dos fatores é 0, pelo menos um dos fatores é 0; <=> x -1 = 0 x + 1 = 0 <=> x = 1 x = -1 S = {1, -1}

- 1

Concluímos que o valor de x é -1 ou 1. Ou seja, o ponto de interseção entre as duas funções anteriormente referidas tinham como valor de x, uma 1 e outra -1.

Fórmula Resolvente

x2 - 1 = 0

Neste slide falamos sobre um conceito muito importante na matemática, a fórmula resolvente. A fórmula resolvente permite resolver equações de segundo grau e funciona em (quase) todas. Ela é dada pela imagem à esquerda, clica nela para saber como substituir as variáveis. Na nossa equação não existe "b" então damos como 0. Vamos substituir!

Resolução

Fim! Pratica os Conhecimentos!

Curiosidade

Como resolver equações de grau 3 ou mais?

Nesta apresentação falamos exclusivamente da formula resolvente, que funciona apenas para grau 2, mas e se... tivessemos de resolver equações de grau 3 ou mais? Realmente existe, mas a fórmula exata é muito mais complicada e por vezes vale mais apena fatorizar. Mas por curiosidade aqui está:

3º Grau

4º Grau

5º Grau e +

Terminar

Exemplo:Fatoriza: x2 + 6x + 9 Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito. √x2 = x e √9 = 3 Multiplicando por 2, encontramos: 2 * 3 * x = 6x Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado perfeito. Assim, a fatoração será: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

Fatorização

Trinômio Quadrado Perfeito

Trinômios são polinômios com 3 termos. Os trinômios quadrados perfeitos a2 + 2ab + b2 e a2 - 2ab + b2 resultam do produto notável do tipo (a + b)2 e (a - b)2. Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (quadrado da soma de dois termos) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (quadrado da diferença de dois termos)

Repara que...

x2 -2 = -1 e x2 -1 = 0 resultam no mesmo valor de x, apenas o valor de y foi alterado. Por tanto, agora estamos a procurar a raíz da função, o que torna tudo muito mais fácil no futuro. Na imagem vemos que, os pontos de interseção entre as duas parábolas encontram-se nos mesmos valores de x.(Roxo e preto: x2 -2 = -1) (Azul e verde: x2 -1 = 0)

Ou seja...

Procuramos o valor de x da coordenada de cada um dos pontos de interceção entre o gráfico roxo (a função quadrática) e o preto (a função afim).

Repara como a gráfico altera manipulando a variável "a".

Exemplos de Polinómios Quadráticos

2x2 + 1 -> Este polinómio é quadrático por que tem grau 2

2x2 - 2x2 -> Este polinómio não é quadrático porque após simplificado percebemos que dá 0, que não tem grau.

x * x -> Este polinómio é quadrático por que tem grau 2 (x * x é o equivalente a x2

Exemplo:Fatoriza: mx + 3nx + my + 3myOs termos mx e 3nx têm como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y. Colocando esses fatores em evidência: x (m + 3n) + y (m + 3n) Nota que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos. Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorizada do polinómio: mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Fatorização

Agrupamento

No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento. Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns. Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_do_quarto_grau

A equação tretacúbica é dada por: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0Na verdade a fórmula é tão complicada que nem consigo descrever aqui, então acompanho com um artigo da wikipédia

Repara como a gráfico altera manipulando a variável "b".

Repara como a gráfico altera manipulando a variável "c".

ExemploFatoriza: 9x2 - 25 Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos: √9x2 = 3x e √25 = 5 Escrever esses valores como produto da soma pela diferença: 9x2 - 25 = (3x + 5) * (3x - 5)

Fatorização

Diferença de Dois □

Para fatorar polinômios do tipo a2 - b2 usamos o produto notável da soma pela diferença. Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será: a2 - b2 = (a + b) * (a - b) Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos. Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.

2. Colocar os fatores comuns (número e letras) à frente dos parênteses (em evidência). 3. Colocar nos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base. Exemplo: Fatoriza: 12x + 6y - 9z Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete. Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado colocamos nos parênteses: 12x + 6y - 9z = 3( 4x + 2y - 3z )

Fatorização

Fator Comum

Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio. Esse fator, que pode conter número e letras, é colocado à frente de parênteses.Nos parênteses fica o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum. Na prática, fazemos os seguintes passos: 1. Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos.

A equação cúbica é dada por: ax3 + bx2 + cx + d = 0Como podes reaparar a fórmula é extremamente complicada e grande, gastando demasiado tempo até para equações mais simples.

ExemploFatoriza x3 + 6x2 + 12x + 8: Primeiro, calcularemos a raiz cúbica dos termos ao cubo: 3√ x3 = x e 3√ 8 = 2 Depois, confirmar se é cubo perfeito: 3 * x2 * 2 = 6x2 3 * x * 22 = 12x Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito. Assim, a fatorização será: x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

Fatorização

Cubo Perfeito

Os polinômios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 resultam do produto notável do tipo (a + b)3 ou (a - b)3. Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 Para fatorar polinômios desse tipo, devemos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo. Depois, é necessário confirmar se o polinômio é cubo perfeito. Se for, elevamos ao cubo a soma ou a subtração dos valores das raízes cúbicas encontradas.