Funções quadráticas (AMM3)

Aplicações e Modelação Matemática

Aissatu SadjoAlexandra Costa Marília Pires

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Vértice da função quadrática.

Exemplos de uso da função quadrática no quotidiano

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Bibliografia/Webgrafia

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Análise gráfica e cruzamento com outras funções

Raízes da função quadrática.Resolução de equações do 2.º grau

Função quadrática

Índice

Função quadrática

Função quadrática

Uma função quadrática é uma função polinomial de segundo grau, geralmente escrita na forma:

• a, b e c são constantes e a≠0.

Essa função está sempre associada a uma equação do segundo grau, que é uma equação polinomial cujo grau mais alto é 2.

A forma padrão de uma equação do segundo grau é:

• a, b e c são coeficientes constantes, e a≠0.

Essas soluções são encontradas utilizando a fórmula resolvente: Onde ± denota duas soluções possíveis. Portanto, cada equação do segundo grau tem uma função quadrática associada, e vice-versa..lklA k

A relação entre a função quadrática e a equação do segundo grau é que as soluções da equação do segundo grau são os zeros da função quadrática, ou seja, são os valores de x para os quais a função quadrática é igual a zero.

Função quadrática

a<0

Ao gráfico obtido pelo desenho da função num referencial cartesiano dá-se o nome de parábola.

Gráfico de uma função quadrática

a>0

Equação completa: Equações incompletas:lA k

Se numa equação do 2.º grau não estiver presente um ou ambos os termos, b ou c, esta diz-se incompleta.

Função quadrática

RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA.RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2.º GRAU

• Começamos por resolver o binómio discriminante, delta:

A fórmula resolvente ou fórmula de Bháskara permite resolver qualquer tipo de equação do segundo grau: completa ou incompleta.

Resolução de equações do 2.º grau - fórmula resolvente

• Se Δ>0, a parábola possui duas raízes reais. Ou seja, cruza o eixo x duas vezes;
• Se Δ = 0, apenas um valor é será a raiz dupla da função quadrática. Somente um ponto da parábola toca o eixo x.
• Se Δ<0. Como não existe uma raiz real para valores negativos, a fórmula reasolvente ficaria incompleta e, por isso, nenhum número real pode fazer essa função resultar em zero. Por isso, a parábola não toca o eixo x.

Resolução de equações do 2.º grau - fórmula resolvente

Δ>0, então existem 2 raízes

a=1b=3 c=2

• Se Δ>0, ou Δ = 0, passamos à resolução da fórmula resolvente, para obter a(s) raíz(es).

Exemplo:

Resolução de equações do 2.º grau - fórmula resolvente

• Outra forma de resolver equações do segundo grau é por via fatorial. Neste caso:

Resolução de equações do 2.º grau - fatorização

Quando c=o

Equações incompletas - exemplos de resolução sem fórmula resolvente:

Resolução de equações do 2.º grau - fatorização

Ou, dado que: a2-b2 = (a-b)(a+b)

Quando b=o

Equações incompletas - exemplos de resolução sem fórmula resolvente:

Resolução de equações do 2.º grau - fatorização

Quando b=0 e c=o

Equações incompletas - exemplos de resolução sem fórmula resolvente:

Resolução de equações do 2.º grau - fatorização

Até aqui, focamo-nos em encontrar as raízes, ou zeros da função quadrática, ou seja, os pontos em que o gráfico da função (que é uma parábola) cruza o eixo das abcissas. E se quisermos saber qual o ponto em que a parábola atinge o seu máximo (se a<0) ou mínimo (se a>0)? O vértice corresponde ao ponto

Equação quadrática: achar o vértice da parábola

EXEMPLOS DE USO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA NO QUOTIDIANO

O número médio de veículos que circulam numa determinada via, em determinados horários do dia, é dado pela expressão: Sendo o f(x) o número médio de veículos e x a hora do dia, começando em 0 e terminando em 24 horas. a) Qual o horário do dia em que há registo do maior número médio de carros que circulam nessa via? b) Quantos carros circulam, em média, nesse horário?

Exemplos do quotidiano

Como o a=-1, é negativo, a concavidade é voltada é voltada para baixo por isso será uma parábola deste tipo. A questão pede o horário do dia em que há o registo do maior número de carros que circulam nessa via. Então eu preciso de saber o valor de x neste exato ponto que é chamado vértice da parábola.

Exemplos do quotidiano

Como vimos, Então, a abcissa do vértice (horário de maior circulação) pode ser calculada pela expressão e a ordenada correspondente (número máximo de carros em circulação) é calculada por: Resposta: a) O horário do dia em que há maior número médio de carros que circulam nessa via é às 12 horas. b) O maior número médio de carros em circulação é 169

Exemplos do quotidiano

Como podemos encontrar os zeros da parábola desta função? Podemos encontrar os zeros usando a fórmula resolvente:

Exemplos do quotidiano

Uma pequena fábrica vende bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo. Qual a quantidade de bonés iguais devem conter os pacotes para obter o lucro máximo? Então devemos descobrir quantos bonés podem ir em cada pacote para obter o lucro máximo. l(x) representa o lucro. Temos novamente o a < 0 o que significa que vamos ter uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

Exemplos do quotidiano

V=(xv,yv), em que yv representa o lucro máximo da empresa (lmáx). O número de bonés que origina um lucro máximo corresponde a xv, sendo calculado pela fórmula: Então podemos concluir sendo x o número de bonés que deve ter cada pacote, que para a empresa obter o lucro máximo cada pacote deve conter 6 bonés.

Exemplos do quotidiano

Um jogador de futebol chuta uma bola e a função que caracteriza o seu movimento é: Com esses dados, podemos calcular a altura da bola, h, usando a variável t para o tempo na equação. a) Quanto tempo demora a bola a atingir o chão? Resposta: 2 segundos

Exemplos do quotidiano

Um jogador de futebol chuta uma bola e a função que caracteriza o seu movimento é: Com esses dados, podemos calcular a altura da bola, h, usando a variável t para o tempo na equação. b) Qual a altura máxima alcançada pela bola? Resposta: 5 metros

Exemplos do quotidiano

ANÁLISE GRÁFICA E CRUZAMENTO COM OUTRAS FUNÇÕES

1. Identifica na imagem: a) uma função linearb) uma função afimc) uma função de proporcionalidade inversad) Uma função quadrática2. Identifica as funções em que:a) a > 0b) a < 03. Sabendo que P é comum a f, g e h e que é o ponto em que y=5 e que a) determina a expressão algébrica de f(x) b) determina a expressão algébrica de h(x)

Cruzamento de funções quadráticas com outras funções

3. Sabendo que P é comum a f, g e h e que é o ponto em que y=5 e que a) determina a expressão algébrica de h(x)

Cruzamento de funções quadráticas com outras funções

b) determina a expressão algébrica de f(x), sabendo que é uma função do tipo f(x)=ax2+bx+c, sendo c=0.

Cruzamento de funções quadráticas com outras funções

https://www.desmos.com/

https://br.neurochispas.com/algebra/aplicacoes-de-funcoes-quadraticas/

https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/equacao-incompleta-2-grau.htm

https://youtu.be/QRH6jIh_-d4?si=6m0nLtGChlyhG6gF

Bibliografia/webgrafia