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Dirección Académica
Created on February 27, 2024
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Transcript
Los números naturales y sus operaciones
Se han encontrado huesos que tienen 30 000 años de antigüedad con muescas que son marcas numéricas, esto nos muestran la necesidad de usar los números y contar objetos. Actualmente los sistemas de numeración permiten representar a todos los números por grandes que sean, tienen nombre y una representación. En México usamos el sistema decimal, el cual tiene 10 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Propiedades y características de los números naturales
Ver
Los números naturales poseen propiedades:
Info
Recordemos que los números naturales son 1, 2, 3, 4, … (los tres puntos indican que no tienen fin) y que se pueden representar en una recta numérica:
El sistema que usamos tiene dos características esenciales, es decimal y es posicional. • Es decimal porque se utilizan 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. • Es posicional porque el valor de cada cifra en un número depende del lugar que ocupa (unidades, decenas, centenas,...), por ejemplo, en el número 7892, el 8 equivale a 800.Los órdenes se van agrupando de 10 en 10.
En números de nueve cifras esta es la manera como se ordena: Donde “U millón” son las unidades de millón, “D millón” decenas de millón y “C millón” centenas de millón.En el número 590 271 la cifra 2 ocupa el orden de las centenas, observemos que 2 C = 20 D = 200 U.La cifra 9 ocupa el orden de las decenas de millar, observemos que 9 DM = 90 UM = 900 C = 9000 D = 90000 UAdemás, el número 590 271 se puede descomponer como la suma de los valores posicionales: 500 000 + 90 000 + 200 + 70 + 1 = : 5 x 100 000 + 9 x 10 000 + 0 x 1000 + 2 x 100 + 7 x 10 + 1
Se tienen dos casos cuando se desea determinar, entre dos números naturales, cuál es el mayor o si son iguales: • Uno de los dos números tiene más cifras que el otro. • Ambos números tienen la misma cantidad de cifras. Ejemplo: Ordenemos de mayor a menor los números siguientes: 885 878, 835 887, 835 987.
- Para resolver un problema primero se debe comprender, es necesario determinar la incógnita, los datos y las condiciones.
- Luego se requiere elaborar un plan, esto es, buscar una estrategia identificando las operaciones a realizar y en qué orden.
- Se aplica el plan, es decir, es el momento de llevar a cabo las estrategias elegidas.
- Finalmente se revisa y verifica, es necesario cuestionarse si se puede comprobar el resultado, si está correcto el razonamiento, si se puede obtener el resultado de forma diferente o si se puede emplear el resultado o método en algún otro problema.
Resolución de problemas
El número que se va a multiplicar se llama base; la cantidad de veces que se multiplica está dado por el exponente.
La potenciación es la multiplicación de un número por sí mismo repetidas veces. Por ejemplo 2 x 2 = 4 y se escribe como 22 = 4; 2 x 2 x 2 = 8 y se escribe como 23 = 8.
Potenciación
33 = 27
32 = 9
23 = 8
Tres elevado a la tercera potencia o tres al cubo
Tres elevado a la segunda potencia o tres al cuadrado
Dos elevado a la tercera potencia o dos al cubo
33
32
23
22 = 4
Dos elevado a la segunda potencia o dos al cuadrado
22
Gráficamente se pueden ver las potencias como:
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por un número natural. Por ejemplo: a) los múltiplos del número 2 son 2 x 0, 2 x 1, 2 x 2, 2 x 3, etcétera, es decir, 0, 2, 4, 6, 8, 10,12, 14, …; b) Los múltiplos del número 3 son 3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, etcétera, esto significa que son el 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ... Recuerda que los números naturales son infinitos, así que los múltiplos también. El número 0 es múltiplo de todos los números.
Múltiplos de un número
Los múltiplos comunes de dos o más números son aquellos que son múltiplos a su vez de cada uno de los números, por ejemplo, los múltiplos comunes de 3 y 4 se obtienen comparando los múltiplos por separado: Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, ... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 42, .... Se han señalado algunos múltiplos en común, es decir: 0, 12, 24, 36, 48, 60, ya que son infinitos.Al menor de los múltiplos comunes, distinto de cero, se llama mínimo común múltiplo y se denota como m.c.m. Así que el m.c.m. de 3 y 4 es 12.
Múltiplos comunes de varios números
El m.c.m. de 2, 4 y 8 es 8 porque es el menor de los múltiplos comunes: Múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ... Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, ... Se han señalado los múltiplos que son comunes, es decir: 0, 8, 16, 24, ..., el menor diferente de cero es el 8.
Los divisores de un número natural son los números que lo dividen y su residuo es cero, es decir, al dividirlos se forma una división exacta. 3 es divisor de 12 ya que 12 entre 3 es 4, es una división exacta. 5 es divisor de 20 porque 20 entre 5 es 4, también es una división exacta. Si 3 es divisor de 12, entonces 12 es múltiplo de 3, si 5 es divisor de 20, entonces 20 es múltiplo de 5. Ejemplos:
Divisibilidad
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores en común, se denota por m.c.d. Por ejemplo, 4 es el máximo común divisor de 16 y 20 porque es el mayor número que divide a ambos.
10
En algunas ocasiones no es necesario hacer una división para saber si un número es divisible entre otro, puedes usar los siguientes criterios de divisibilidad. Un número es divisible entre:
Criterios de divisibilidad
Los números primos
Los números compuestos
Todo número tiene al menos dos divisores: el número 1 porque es divisor de todos los números y él mismo, porque cualquier número es divisor de sí mismo. Los números primos son aquellos que solamente tienen dos divisores, el 1 y ellos mismos, los números compuestos son aquellos que no son primos.
10 es par, por lo tanto, lo divide el número 2, 10 entre 2 es igual a 5; ahora el divisor de 5 es 5 y el resultado es 1.10 = 2 x 5
Una forma de obtener los divisores primos de un número, es usar una línea vertical al lado derecho del número e ir colocando a la derecha los números primos que lo dividen y del lado izquierdo los resultados. Por ejemplo: a) Encontrar los divisores de 10.
105 es divisible entre 3, 105 entre 3 es igual a 35; 35 es divisible entre 5, 35 entre 5 es 7; 7 es primo, así que solamente es divisible por el mismo, y el resultado es 1. 105 = 3 x 5 x 7 = 15 x 7.
c) Encontrar los divisores de 105.
32 es par, por lo tanto lo divide el número 2, 32 entre 2 igual a 16; 16 es par, lo divide el número 2, 16 entre 2 es 8; 8 es par, lo divide el número 2, 8 entre 2 es 4; 4 es par, así que 2 lo divide, 4 entre 2 es 2; Finalmente 2 se divide por él mismo y el resultado es 1. 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25
b) Encontrar los divisores de 32.
Los días que vas al restaurante son múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36...; los días que va tu amiga son múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36... El mínimo común múltiplo de 3 y 4 es el 12, es decir, van a coincidir dentro de 12 días.
1) Vas a un restaurante cada tres días y tu amiga cada cuatro, si hoy fueron las dos a comer ¿cuándo volverán a coincidir?
Ejemplos:
Para calcular el m.c.m. y el m.c.d. existe un método en el cual se descomponen los números como factores primos.
20 = 22 x 5 y 45 = 32 x 5
Transcurrirán 180 minutos hasta que vuelva a coincidir la salida de ambas corridas.
Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son 22, 32 y 5. Así que, el m.c.m. de 20 y 45 es 22 x 32 x 5 = 4 x 9 x 5 = 180.
b) En la central de autobuses hay corridas a Irapuato cada 20 minutos y a San Felipe cada 45. Si ambos camiones acaban de salir, ¿cuántos minutos transcurrirán hasta que vuelvan a coincidir la salida de ambas corridas?Lo que se debe de calcular es el m.c.m. de 20 y 45.
Las técnicas de conteo permiten saber el total de resultados posibles en un evento o experimento, ejemplo de ellas son el diagrama de árbol y el principio multiplicativo. El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de ellos tienen un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Ejemplo: una familia quiere tener tres hijos, ¿cuántos y cuáles son los casos posibles en cuanto el género?
Técnicas de conteos
El diagrama comienza con la opción de la primera generación, M o H. Luego se desprenden 2 opciones correspondientes a la segunda y, a su vez, hay otras dos posibilidades de la tercera.Hay varios casos posibles, por ejemplo, MHM significa que el primer hijo es mujer, el segundo hombre y el tercero mujer. El diagrama muestra que hay 8 casos posibles.
Se construye el siguiente diagrama de árbol, en donde M y H corresponde a mujer y hombre respectivamente.
El principio multiplicativo de conteo nos dice que, si un evento o suceso puede ocurrir en forma independiente de “m” maneras diferentes, y otro suceso de “n” maneras diferentes, entonces, el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es de m x n maneras diferentes. Ejemplos: 1) En un restaurante ofrecen comida corrida que consta de sopa, plato fuerte y postre. Hay tres variedades de sopa a escoger, cinco platos fuertes y dos variedades de postre, ¿cuáles son las posibles formas en que una persona puede escoger un menú? 2) Pablo tiene 3 pantalones de color azul, gris y negro, 4 camisas de color verde, azul, negra y roja, y dos pares de tenis, unos blancos y otros negros. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir?
En este tema revisamos varias ideas importantes:
- Los números naturales facilitan la solución de problemas y cálculos mediante propiedades como el orden, comparación de valores posicionales, y descomposición de números.
- La potenciación implica multiplicar la base por sí misma según el exponente.
- Los criterios de divisibilidad permiten saber si un número es divisible por otro sin realizar una división. Para obtener el mínimo común múltiple (m.c.m.) y el máximo común divisor (m.c.d.) de números, se descomponen en factores primos, tomando los factores comunes y no comunes con mayor exponente o solo los factores comunes de menor exponente.
- Las técnicas de conteo, como el diagrama de árbol y el principio multiplicativo, permiten calcular los resultados posibles en eventos o experimentos.
Bosch, Carlos y Meda, A. (2021). Matemáticas 3. Infinita. Secundaria. Castillo.https://recursos.edicionescastillo.com/secundariaspublicas/visualizador/3_mat_inf/index.html#page/18
Referencias
Para representar que un número es mayor que otro se usa el signo >, que se lee “mayor que”, por ejemplo, 17 > 6 se lee:17 es mayor que 6.Además, está el signo <, que se lee “menor que”, por ejemplo, 12 < 22 se lee: 12 es menor que 22.
3. Se están juntando firmas en diferentes módulos para solicitar que se remodele el hospital general. En el del hospital se tienen 25 781 firmas, en el de la presidencia municipal se tienen 12 125 más y en la plaza de armas se tienen el doble que entre los dos anteriores.a) ¿Cuántas firmas se han recogido? b) ¿Cuántas firmas faltan para llegar a 250 000?
- Primero se debe conocer el número de firmas que se tienen en todos los módulos, en el hospital hay 25 781 y 12 125 en la presidencia, la suma de estas cantidades da 37 906, el doble de esta cantidad es 75 812, que son las que hay en el módulo de la plaza de armas. En total hay 25 781+ 12 125 + 75 812 =113 718.
Los números primos menores de 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Los números primos son infinitos, el único primo par es el 2.Cuando se dice que un número se descompone como factores primos se refiere a que el número se representa como producto de números primos, por ejemplo, 10 = 2 x 5, 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25, 175 = 5 x 5 x 7 = 52 x 7.
Comparamos las cifras una a una, de izquierda a derecha, las centenas de millar son iguales, en las decenas de millar una de ellas es 8, las otras dos son 3, así que el número mayor es 885 878. Ahora solamente se comparan los otros dos números, las unidades de millar son iguales, pero las centenas son diferentes, así que 885 878 > 835 987 > 835 887.
2. En un museo el costo del boleto es de $60 para adultos y $40 para niños. El día de hoy se juntaron $3180, si se vendieron 45 boletos de adulto, ¿cuántos niños entraron al museo?
- Si se vendieron 45 boletos de adulto, entonces se juntó la cantidad de $60 x 45 = $2700. Para saber lo que se juntó en las entradas de niños se realiza la resta del total, $3180, y lo que se tiene por las entradas de los boletos de adulto, $2700, es decir, $3180 - $2700 = $480. Ahora este resultado se divide entre $40 para saber la cantidad de boletos de niño vendidos, $480 entre $40 = 12 niños.
- Son infinitos.
- Tienen un primer elemento, que es el 1.
- Dado un número natural se puede saber cuál es el siguiente, este número es llamado sucesor.
- Dado un número natural, diferente a 1, se puede saber cuál es el anterior, este número es llamado antecesor.
- Se pueden ordenar, es decir, hay números naturales mayores o menores que otros.
Propiedades:
1. Luisa tiene para surtir hasta cuatro pedidos de 566 productos cada uno, ya ha realizado dos de 456 cada uno, ¿cuántos productos le quedan aún?
- Primero se multiplica 4 x 566 = 2264, para saber la cantidad de productos que tiene en total. Ha surtido 2 x 456 = 912 productos, así que para saber cuántos le quedan se realiza la resta 2264 – 912 = 1352.