Presentacion dinamica Iovanni del Jesus Herrera Santos

Calculo IntegralUnidad 1

Iovanni del Jesus Herrera Santos

Eduardo Antonio Mena Calderon

20.

Bibliografia

Índice

3.

Introduccion

4.

1.1 - Medición Aproximada De Figuras Amorfas.

6.

1.2 - Notación Sumatoria.

9.

1.3 - Sumas De Riemann.

10.

1.4 - Definición De Integral Definida

11.

1.5 - Teorema De Existencia.

12.

1.6 - Propiedades De La Integral Definida.

14.

1.7 - Función Primitiva.

16.

1.8 - Teorema Del Valor Intermedio.

17.

1.9 - Teorema Fundamental Del Cálculo.

18.

1.10 - Cálculo De Integrales Definidas Básicas.

19.

Conclusion

En esta presentacion abordamos la importancia del cálculo integral en las matemáticas y sus aplicaciones, abarcando desde la medición aproximada de figuras amorfas hasta conceptos avanzados como el cálculo de integrales definidas, iniciaresmos con estrategias para medir áreas en formas irregulares, hablaremos de la notación sumatoria y se adentra en las sumas de Riemann para aproximar áreas bajo curvas. La definición de la integral definida establece los fundamentos teóricos, junto con el teorema de existencia que aclara las condiciones para su sentido matemático. Ademas hablaremos de las propiedades de la integral definida, revelando conexiones cruciales entre funciones y áreas bajo la curva. La noción de función primitiva destaca la relación entre derivación e integración. Luego, el teorema del valor intermedio establece la existencia de un punto donde la integral definida alcanza un valor específico. Finalmente, el teorema fundamental del cálculo destaca la profunda conexión entre derivación e integración, proporcionando un marco teórico integral. Estos temas ofrecen una visión completa del cálculo integral, desde sus fundamentos hasta aplicaciones avanzadas, proporcionando herramientas esenciales para abordar problemas matemáticos y científicos con rigor y eficiencia.

2. Introducción

1.1 - Medición Aproximada De Figuras Amorfas.

Las figuras amorfas son todas aquellas figuras que no tienen forma, o al menos una forma conocida, como un triángulo, un cuadrado o un círculo. Son curvas o figuras de muchos lados distintos y deformes; su cálculo de área es por mera aproximación usando métodos matemáticos como el de Riemann o el cálculo integral. El método de Riemann es usar fórmulas matemáticas de áreas, de figuras ya conocidas para la aproximación del área total de la figura amorfa.

Contenido

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1.1 - Medición Aproximada De Figuras Amorfas.

De igual manera, los dos métodos son usados en la medición aproximada de figuras amorfas; aproximadas porque al ser una figura abstracta su area nunca es exacta

Cuando la figura amorfa exagera de curvas se usa el cálculo integral para encontrar sus respectivas áreas bajo las curvas de la figura.

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1.2 - Notación Sumatoria.

Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega Σ (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma"). La notación sigma es de la siguiente manera:

La ecuación se lee "la suma de ak desde k=1 hasta k=n." La letra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, y se suman las expresiones que resulten

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1.2 - Notación Sumatoria.

Ejemplo: suma de k² desde k=1 hasta k=5.

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1.2 - Notación Sumatoria.

Las sumas de Riemann son una herramienta matemática utilizada para aproximar el área bajo una curva en un intervalo dado. Estas sumas son llamadas así en honor al matemático alemán Bernhard Riemann, quien hizo importantes contribuciones al análisis matemático. La idea básica detrás de las sumas de Riemann es dividir un intervalo en pequeñas subintervalos y aproximar el área bajo la curva mediante la suma de áreas de rectángulos o trapezoides que se encuentran debajo de la curva. Aquí hay una explicación paso a paso:

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1.3 - Sumas De Riemann.

Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a, b] entonces se define la integral definida, en el intervalo [a, b], como el valor del área limitada por las rectas x = a, x = b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.

Dada f(x) una función continúa y positiva en el intervalo [a, b]. Se define la integral definida, en el intervalo [a, b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x) y se nota

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1.4 - Definición De Integral Definida

Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de F(x) o equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x) cuando x cambia de “a” a “b” es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es decir, F(b) - F(a).

Cuando f(x) es la razón de cambio de la función F(x) y f(x) = 0 en [a, b] entonces la integral definida tiene la siguiente interpretación:

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1.5 - Teorema De Existencia.

• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
• Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos)

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

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1.6 - Propiedades De La Integral Definida.

• Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

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1.6 - Propiedades De La Integral Definida.

La integración es la operación inversa de la derivación. Dada una función f(x), diremos que F(x) es una primitiva suya si F'(x)=f(x) Nota: La primitiva de una función no es única; por ejemplo, si f(x)=3x2, entonces F1(x)=x3 + C1 F2(x)=x3+ C2. Propiedad: Si F1(x) y F2(x) son primitivas de una misma función f(x), entonces se diferencian en una constante; o sea F1(x)-F2(x) = C1-C2 = cte.

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1.7 - Función Primitiva.

Si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces admite infinitas primitivas, cuyas expresiones seránF(x)+K siendo K una constante arbitraria. Al conjunto de todas las primitivas de f(x), se le llama integral indefinida de f(x) y se le denota mediantePor ejemplo siendo k una constante arbitrariaSi existe la integral indefinida de una funcion, se dice que esta es integrable

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1.7 - Función Primitiva.

El Teorema del Valor Intermedio para integrales establece condiciones bajo las cuales se garantiza la existencia de al menos un punto en un intervalo cerrado[a,b] donde la función integrada alcanza un valor promedio igual a su valor medio en ese intervalo. Aquí está el enunciado formal:Teorema del Valor Intermedio para Integrales: Supongamos que f(x) es continua en el intervalo cerrado[a,b]. Entonces, existe al menos un número c en el intervalo abierto (a,b) tal que: En otras palabras, hay al menos un punto c en el intervalo(a,b) donde la función)f(x) alcanza su valor promedio en el intervalo [a,b].

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1.8 - Teorema Del Valor Intermedio.

• Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).
• Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
• El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que: A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

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1.9 - Teorema Fundamental Del Cálculo

Se obtiene la integral F(x) y se evalúa en los límites:

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1.10 - Cálculo De Integrales Definidas Básicas.

En conclusion, los temas abordados comprenden diversos aspectos de cálculo integral, desde la medición aproximada de figuras amorfas hasta conceptos más avanzados como las sumas de Riemann, la definición de integral definida y propiedades asociadas. Se exploran herramientas matemáticas clave, como la notación sumatoria y el teorema fundamental del cálculo, que son fundamentales para comprender la relación entre funciones, derivadas e integrales. Además, se examinan conceptos importantes como el teorema del valor intermedio, la existencia de integrales y las propiedades inherentes a la integral definida. En conjunto, estos temas proporcionan una base sólida para abordar problemas más complejos en el ámbito del cálculo y su aplicación en diversas disciplinas.

9. Conclusiones

• Cuadernillo de Apuntes Calculo Integral. (2011). Gobierno del Estado de Mexico. Fernández, J. L. (s. f.).
• Teorema de los valores intermedios. Fisicalab. https://www.fisicalab.com/apartado/teorema-valores-intermedios
• La integral definida - hiru. (s. f.). https://www.hiru.eus/es/matematicas/la-integral-definida#:~:text=Propiedades%20de%20la%20integral%20definida,cero%2C%20su%20integral%20es%20negativa. León, A. (2016, 11 enero).
• 1.1 Medición Aproximada de figuras amorfas (AILO). https://iamengineertec.blogspot.com/2016/01/11-medicion-aproximada-de-figuras.html
• Unidad I. (s. f.). https://calculotezonapa.blogspot.com/p/unidad-i.html Unknown. (2017, 24 junio).
• 1.3 Sumas de Riemann. Calculo Integral. https://calculointegralcallejasruiz.blogspot.com/2017/06/13-sumas-de-riemann.html

10. Bibliografía

Referencias bibliográficas