PRESENTACIÓN MATEMÁTICAS

Aaron Esteban Tellez Zamudio

La transpuesta y la inversa de una matriz.

U1A5TellezA

-Albert Einstein

"Las matemáticas puras son, en su forma, la poesía de las ideas lógicas"

En esta presentacion, exploraremos cómo calcular la transpuesta y la inversa de una matriz.

1.Introduccion

Las matrices se convierten en una herramienta valiosa para expresar y abordar problemas del mundo real. En el ámbito empresarial, es frecuente la necesidad de calcular y combinar costos y cantidades de productos, y estas situaciones suelen representarse mediante tablas u otras herramientas que facilitan la visualización y la relación de diferentes tipos de datos. No obstante, esta capacidad de visualización no siempre resulta en un método eficiente para realizar análisis. Afortunadamente, en tales circunstancias, el álgebra ofrece recursos que permiten representar y manipular de manera más clara, sencilla y eficaz diversas estructuras tabulares. Esto se logra a través de una metodología matemática conocida como "matriz".

En otras palabras, la matriz traspuesta es la acción de seleccionar las filas de la matriz original y reescribirlas como columnas en la nueva matriz e invertir el proceso para las columnas. Generalmente cuando cambiamos las filas por columnas y las columnas por filas lo indicamos añadiendo un superíndice T o un apóstrofe en el nombre de la matriz original. Si añadimos el superíndice T, deberemos tener presente que estamos trabajando con matrices y que el superíndice no es ningún exponente.

Definicion tecnica de una matriz transpuesta

''Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.''

Ejemplo de trasposición de los valores de las filas a columnas

Si la matriz A es cuadrada y diagonal, entonces: A = AT. La transpuesta de la transpuesta de A es A, es decir que la matriz transpuesta de una matriz transpuesta es la propia matriz original: (AT)T = A. La suma de dos matrices transpuestas es igual a la transpuesta de la suma de las matrices originales: (A + B)T = AT + BT. El producto escalar de un número real por una matriz transpuesta es igual a la transpuesta del producto escalar de dicho número por la matriz original, es decir; (α·A)T = α·AT La transpuesta de la multiplicación de dos matrices es igual a la multiplicación de las transpuestas en orden inverso: (A·B)T = BT·AT.

Propiedades de la transpuesta o transposición

Ejemplos de Matriz Traspuesta:

Dada una matriz invertible A, la matriz traspuesta de su matriz inversa es la matriz inversa de su matriz traspuesta.

No todas las matrices cuadradas tienen inversa (solamente las matrices invertibles). Si tienen inversa, ésta es única.

La matriz inversa de una matriz inversa es la matriz original:

Entonces, tanto A como Aˉ¹ son casos de matriz invertible o matriz regular. En ambos casos, el rango coincide con su orden η. Y eso se cumple porque el determinante de ambas matrices no debe de ser nulo.

Se dice que es la inversa de otra matriz cuadrada A del mismo orden n, cuando el producto de ambas matrices es la matriz identidad Iη

Que es la Inversa o matriz inversa?

La matriz inversa de una matriz A es la matriz que, al multiplicarse por la matriz original da, como resultado la matriz identidad. Encontrarás la matriz inversa con el símbolo Aˉ¹.

El orden de los elementos de la multiplicación no es relevante, es decir, la multiplicación de una matriz cuadrada cualquiera por su matriz inversa siempre resultará en la matriz identidad del mismo orden. En este caso, el orden de la matriz X es 2. Entonces, podemos reescribir la propiedad anterior como:

Una matriz cuadrada X de orden n tendrá una matriz inversa X de orden n, X-1, tal que cumple que

→El determinante debe ser distinto de cero (0).El determinante de la matriz debe ser distinto de cero (0) dado que participa en la fórmula como denominador. Si el denominador fuera un cero (0) tendríamos una indeterminación. Si el denominador (ad – bc) = 0, es decir, el determinante de la matriz X es igual a cero (0), entonces la matriz X no tiene matriz inversa.

Requisitos Para encontrar la matriz inversa de una matriz de orden n necesitamos cumplir con los siguientes requisitos: →La matriz tiene que ser una matriz cuadrada. El número de filas (n) tiene que ser el mismo que el número de columnas (m). Es decir, el orden de la matriz tiene que ser n dado que n=m.

''Una matriz inversa es la transformación lineal de una matriz mediante la multiplicación del inverso del determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta. ''

Propiedades de la Inversa

Algunos ejemplos mas basicos;

Mezcla de Ingredientes en una Receta;Cuando seguimos una receta de cocina, podemos usar la inversa de una matriz que representa las proporciones de ingredientes para ajustar la cantidad de cada ingrediente en función de la cantidad deseada de plato final.

Ajuste de precios en una tienda;Imaginemos que somos el gerente de una tienda y queremos ajustar los precios de tus productos para maximizar las ganancias. Puedes utilizar la inversa de una matriz que representa las ventas pasadas y los precios para calcular los nuevos precios óptimos.

Ingeniería: Las matrices se utilizan en la resolución de ecuaciones diferenciales y en la modelación de sistemas físicos. En la mecánica, las matrices se utilizan para representar el movimiento y la deformación de estructuras como puentes y edificios.

Gráficos por computadora: Las matrices son fundamentales en la generación de imágenes y animaciones en 3D. Las transformaciones geométricas como rotaciones, traslaciones y escalados se representan mediante matrices, lo que permite mover y deformar objetos en el espacio tridimensional.

Criptografía: Las matrices se utilizan en la criptografía para cifrar y descifrar mensajes. Los algoritmos de cifrado y descifrado pueden expresarse como operaciones matriciales, lo que hace que la criptografía sea una aplicación muy importante de las matrices en la seguridad de la información.

Aplicaciones de las matrices en la vida real

Conclusión

En resumen, la transpuesta y la inversa de una matriz son conceptos cruciales en álgebra lineal que nos permiten realizar una variedad de operaciones y resolver problemas en diversas disciplinas. La transpuesta nos ayuda a cambiar la orientación de una matriz, mientras que la inversa nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales y realizar transformaciones útiles. Al comprender y dominar estos conceptos, estamos mejor equipados para abordar desafíos matemáticos y aplicaciones en la vida real. Ya sea en la resolución de sistemas de ecuaciones, en la programación de algoritmos, o en el análisis de datos, la transpuesta y la inversa de una matriz son herramientas poderosas que amplían nuestra capacidad para comprender y resolver problemas complejos. Continuar explorando y aplicando estos conceptos puede abrir nuevas puertas en nuestro conocimiento y habilidades matemáticas.

''Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.''-Paula Rodó 11 septiembre 2019 [https://economipedia.com/definiciones/matriz-traspuesta.html] ''Una matriz inversa es la transformación lineal de una matriz mediante la multiplicación del inverso del determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta. '' - Paula Rodó, actualizado el 11 septiembre 2019 [https://economipedia.com/definiciones/matriz-inversa-de-orden-2.html] ''Propiedades de la transposición Si la matriz A es cuadrada y diagonal, A = AT. La transpuesta de la transpuesta de A es A, es decir que la matriz transpuesta de una matriz transpuesta es la propia matriz original: (AT)T = A. La suma de dos matrices transpuestas es igual a la transpuesta de la suma de las matrices originales (A + B)T = AT + BT. El producto escalar de un número real por una matriz transpuesta es igual a la transpuesta del producto escalar de dicho número por la matriz original, es decir; (α·A)T = α·AT La transpuesta de la multiplicación de dos matrices es igual a la multiplicación de las transpuestas en orden inverso (A·B)T = BT·AT.'' -Sebastián Vida [https://tecnobits.com/matriz-transpuesta-definicion-propiedades-y-ejercicios/]

REFERENCIAS