4-DALLA CONGRUENZA ALLA MISURA

In questa lezione, dopo aver appreso alcune definizioni importanti, faremo le prime dimostrazioni

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Dalla congruenza alla misura

operare con segmenti e angoli

procedi

movimetni rigidi

si chiamano MOVIMENTI RIGIDI quelle trasformazioni geometriche che mantengono inalterati forma ed estensione

procedi

figure congruenti

Due figure piane si dicono CONGRUENTI se sono sovrapponibili tramite uno o più MOVIMENTI RIGIDI Per indicare che due figure sono congruenti si scrive A≅B oppure A≡B

inversamente congruente

direttamente congruente

sono quelle trasformazioni che si compiono uscendo dal piano in cui si trovano le figure da sovrapporre: SIMMETRIE ASSIALI

movimenti rigidi indiretti

sono quelle trasformazioni che si compiono nel piano in cui si trovano le figure da sovrapporre: TRASLAZIONI ROTAZIONI SIMMETRIE CENTRALI

movimenti rigidi diretti

RIFLESSIVAogni figura è congruente a se stessa SIMMETRICAse la figura A è congruente alla figura B, allora la figura B è congruente alla figura A TRANSITIVA Se a è congruente a B e B è congruente a C, allora A è congruente a C

proprietà della relazione di congruenza:

ASSIOMI DI CONGRUENZA

Un POLIGONO EQULIATERO ed EQUIANGOLO si dice REGOLARE

Un POLIGONO che ha tutti i lati congruenti si dice EQULIATERO se ha tutti gli angoli congruenti si dice EQUIANGOLO

Tutti i punti sono congruenti fra loro. La stessa cosa vale per le rette, le semirette, i piani e i semipiani

procedi

Ora impariamo a misurare e a confrontare segmenti e angoli

Dato un segmento AB e una semiretta di origine O, esiste un unico punto P sulla semiretta tale che OP ≅ AB

procedi

assioma del trasporto dei segmenti

Data una semiretta di origine O' e un angolo aOb di origine O, fissato un verso di rotazione, esiste un unico angolo cO'd nel semipiano tale che i due angoli aOb e cO'c sono congruenti tra loro. aOb ≅ cO′d

procedi

assioma del trasporto degli angoli

Ora dobbiamo imparare a

ovvero stabilire se sono o non sono congruenti e in quest'ultimo caso, quale dei due è maggiore.

procedi

confrontare due segmenti o due angoli

AB > PQ

AB < PQ

AB ≅ PQ

B è esterno a PQ

B è interno a PQ

B coincide con Q

Dati i segmenti AB e PQ, sovrapponiamoli tra loro con un movimento rigido, in modo che A coicida con P. Si verifica uno solo dei seguenti casi:

>

<

b è esterno a

b è interno a

b coincide con s

Dati gli agnoli e , sovrapponiamo il primo al secondo con un movimento rigido, in modo che a coicida con r. Si verifica uno solo dei seguenti casi:

somme o differenze di segmenti congruenti sono congruenti

é il segmento DB che si ottiene sovrapponendo AB e CD con un movimetno rigido in modo che A coincida con C

Sottrazione AB-CD

é il segmento AD che si ottiene accostando AB a CD con un movimetno rigido in modo che AB e CD siano adiacenti

Somma AB+CD

somma e differenza di segmenti

somme o differenze di angoli congruenti sono congruenti

é l'angolo dOb che si ottiene sovrapponendo aOb a cOd con un movimetno rigido in modo che a coincida con c

Sottrazione AB-CD

é l'angolo aOd che si ottiene accostando aOb a cOd con un movimetno rigido in modo che aOb e cOd siano consecutivi

Somma aOb +cOd

somma e differenza di angoli

angoli

segmento

multipli e sottomultpli

La bisettrtice di un angolo è la semiretta avente origine nel vertice dell'angolo che lo divide in due angoli congruenti

Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti

bisettrice

punto medio

multipli e sottomultpli

Poiché tutti gli angoli retti sono congruenti fra loro e differenze di angoli ordinatamenti congruenti sono congruenti, sideduce che α ≅ β

Per l'ipotesi 2 β + γ ≅ 90° quindi β ≅ 90° - γ

Per l'ipotesi 1 α + γ ≅ 90° quindi α ≅ 90° - γ

α ≅ β

β + γ ≅ 90°

α + γ ≅ 90°

DISMOSTRAZIONE

TESI

IPOTESI

Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo, o di angoli ordinatamente congruenti, allora sono congruenti

TEOREMA

α e δ sono adiacenti perché

• sono consecutivi,
• essendo α e β opposti al vertice i lati di β sono la prosecuzione dei lati di α

poiché tutti gli angoli piatti sono congruenti fra loro e differenze di angoli congruenti sono congruenti, si deduce che α ≅ β

quindi β ≅ 180° - δ

β + δ = 180° perché adiacenti

quindi α ≅ 180° - δ

α + δ = 180° perché adiacenti

α ≅ β

α e β sono opposti al vertice

DISMOSTRAZIONE

TESI

IPOTESI

se due angoli sono opposti al vertice allora sono congruenti

TEOREMA

ESERCIZI

fine

Da pagina 660 del libro di testo