4-DALLA CONGRUENZA ALLA MISURA

Dalla congruenza alla misura

operare con segmenti e angoli

In questa lezione, dopo aver appreso alcune definizioni importanti, faremo le prime dimostrazioni

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movimetni rigidi

si chiamano MOVIMENTI RIGIDI quelle trasformazioni geometriche che mantengono inalterati forma ed estensione

procedi

figure congruenti

Due figure piane si dicono CONGRUENTI se sono sovrapponibili tramite uno o più MOVIMENTI RIGIDI Per indicare che due figure sono congruenti si scrive A≅B oppure A≡B

procedi

inversamente congruente

direttamente congruente

movimenti rigidi diretti

movimenti rigidi indiretti

sono quelle trasformazioni che si compiono uscendo dal piano in cui si trovano le figure da sovrapporre: SIMMETRIE ASSIALI

sono quelle trasformazioni che si compiono nel piano in cui si trovano le figure da sovrapporre: TRASLAZIONI ROTAZIONI SIMMETRIE CENTRALI

ASSIOMI DI CONGRUENZA

proprietà della relazione di congruenza:

RIFLESSIVAogni figura è congruente a se stessa SIMMETRICAse la figura A è congruente alla figura B, allora la figura B è congruente alla figura A TRANSITIVA Se a è congruente a B e B è congruente a C, allora A è congruente a C

Tutti i punti sono congruenti fra loro. La stessa cosa vale per le rette, le semirette, i piani e i semipiani

Un POLIGONO che ha tutti i lati congruenti si dice EQULIATERO se ha tutti gli angoli congruenti si dice EQUIANGOLO

Un POLIGONO EQULIATERO ed EQUIANGOLO si dice REGOLARE

Ora impariamo a misurare e a confrontare segmenti e angoli

procedi

assioma del trasporto dei segmenti

Dato un segmento AB e una semiretta di origine O, esiste un unico punto P sulla semiretta tale che OP ≅ AB

procedi

assioma del trasporto degli angoli

Data una semiretta di origine O' e un angolo aOb di origine O, fissato un verso di rotazione, esiste un unico angolo cO'd nel semipiano tale che i due angoli aOb e cO'c sono congruenti tra loro. aOb ≅ cO′d

procedi

Ora dobbiamo imparare a

confrontare due segmenti o due angoli

ovvero stabilire se sono o non sono congruenti e in quest'ultimo caso, quale dei due è maggiore.

procedi

Dati i segmenti AB e PQ, sovrapponiamoli tra loro con un movimento rigido, in modo che A coicida con P. Si verifica uno solo dei seguenti casi:

B è interno a PQ

B è esterno a PQ

B coincide con Q

AB < PQ

AB > PQ

AB ≅ PQ

Dati gli agnoli e , sovrapponiamo il primo al secondo con un movimento rigido, in modo che a coicida con r. Si verifica uno solo dei seguenti casi:

b è interno a

b è esterno a

b coincide con s

<

>

somma e differenza di segmenti

Somma AB+CD

é il segmento AD che si ottiene accostando AB a CD con un movimetno rigido in modo che AB e CD siano adiacenti

Sottrazione AB-CD

é il segmento DB che si ottiene sovrapponendo AB e CD con un movimetno rigido in modo che A coincida con C

somme o differenze di segmenti congruenti sono congruenti

somma e differenza di angoli

Somma aOb +cOd

é l'angolo aOd che si ottiene accostando aOb a cOd con un movimetno rigido in modo che aOb e cOd siano consecutivi

Sottrazione AB-CD

é l'angolo dOb che si ottiene sovrapponendo aOb a cOd con un movimetno rigido in modo che a coincida con c

somme o differenze di angoli congruenti sono congruenti

multipli e sottomultpli

angoli

segmento

multipli e sottomultpli

bisettrice

punto medio

Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti

La bisettrtice di un angolo è la semiretta avente origine nel vertice dell'angolo che lo divide in due angoli congruenti

TEOREMA

Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo, o di angoli ordinatamente congruenti, allora sono congruenti

DISMOSTRAZIONE

Per l'ipotesi 1 α + γ ≅ 90° quindi α ≅ 90° - γ

Per l'ipotesi 2 β + γ ≅ 90° quindi β ≅ 90° - γ

IPOTESI

α + γ ≅ 90°

Poiché tutti gli angoli retti sono congruenti fra loro e differenze di angoli ordinatamenti congruenti sono congruenti, sideduce che α ≅ β

β + γ ≅ 90°

TESI

α ≅ β

TEOREMA

se due angoli sono opposti al vertice allora sono congruenti

DISMOSTRAZIONE

α e δ sono adiacenti perché

• sono consecutivi,
• essendo α e β opposti al vertice i lati di β sono la prosecuzione dei lati di α

IPOTESI

α e β sono opposti al vertice

α + δ = 180° perché adiacenti

quindi α ≅ 180° - δ

β + δ = 180° perché adiacenti

TESI

quindi β ≅ 180° - δ

α ≅ β

poiché tutti gli angoli piatti sono congruenti fra loro e differenze di angoli congruenti sono congruenti, si deduce che α ≅ β

ESERCIZI

Da pagina 660 del libro di testo

fine