LZH SÜ10: LGS

Vorbereitung SÜ10 LZH:

Definition und (graphische) Lösung

Aufgaben (OHNE TR)

Lösungen:

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Weiter geht's mit dem Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren

Lineare Gleichungssysteme

Zwei lineare Gleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichunssystem (LGS). Dass die Gleichungen zusammen gehören, zeigt man durch eine Nummerierung oder Striche an den Seiten an. Beispiel: I. y = -x + 3 oder y = - x + 3 II. y = 2x - 3 y = 2x - 3Als Lösung eins solchen LGS bezeichnet man ein Zahlenpaar, welches beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Hier: IL = {(2 | 1)}Besteht das LGS aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, so kann man die ein-zelnen Gleichungen als Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnen. Die Lösung des LGS entspricht dann den Koordinaten des Schnittpunktes. Bei einem solchen LGS gibt es also drei Möglichkeiten für die Lösung:

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1. Löse die folgenden LGS zeichnerisch. 2. Überprüfe, ob das angegebene Zahlenpaar eine Lösung des LGS ist.a) I. y = -0,75x + 2 II. y = 0,25x - 2 a) I. y = -2x + 5 Zahlenpaar: II. y = 0,5x (2 | 1)b) I. 6x - 3y = 6 II. 3x + 1,5y = 9 b) I. -x + y = 2 Zahlenpaar: II. x + 2y = 7 (4 | 6)c) I. 2x - 4y = -8 II. -2,5x + 5y = -15

Damit es eine eindeutige Lösung geben kann, braucht man bei n Unbekannten n Gleichhungen! Bei drei Unbekannten braucht man also drei Gleichungen.

BEISPIEL: Das Zahlenpaar (2 | 1) ist Lösung des LGS, weil beide Gleichungen stimmen, wenn man die 2 ins x und die 1 ins y einsetzt: I. 1 = -2 + 3 stimmt II. 1 = 2 · 2 - 3 stimmt auch.

1. a) IL = {(4 | -1)} b) IL = {(2 | 2)} c) IL = { }

2. a) (2 | 1) ist Lösung, da: I. 1 = -2 · 2 + 5 und II. 1 = 0,5 · 2 b) (4 | 6) ist KEINE Lösung, da: I. -4 + 6 = 2 zwar stimmt, aber II. 4 + 2 · 6 = 16 ≠ 7

HINWEIS: Um die Gleichungen als Funktionen zu zeichnen, muss die Unbekannte, die der y-Achse zugeordnet ist, alleine auf einer Seite stehen. Dies ist nicht immer der Fall, man muss die Gleichungen also evtl. erst umstellen.

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Gleichsetzungs- u. Einsetzungsverfahren

Aufgaben

Lösungen:

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Lineare Gleichungssysteme

Zurück zur Definition und (graphischen) Lösung

Neben dem graphischen Lösungsverfahren gibt es drei rechnerische Verfahren. Betrachten wir zuerst das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren an einem Beispiel: I. 3x + 4y = 2 II. 2x - 3y = 7

3. Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren.a) I. y = x - 8 II. x + y = 2b) I. 2x + 3y = -1 II. 2x - 4y = 20c) I. -3x - y = -12 II. 7x - y = 18

4. Löse mit dem Einsetzungsverfahren.a) I. 8x + 9y = 71 II. y = 5x + 2b) I. 8x - 2y = -12,4 II. 2y = 5x + 1c) I. 40 - 5x = 6y II. x -8 = -4y

Weiter geht's mit dem Additionsverfahren

Beide Verfahren liefern natürlich das gleiche Ergebnis. Je nach Ausgangsgleichungen geht mal das eine, mal das andere schneller.

3. a) IL = {(5 | -3)} b) IL = {(4 | -3)} c) IL = {(3 | 3)}

HINWEIS: Natürlich kann man in Schritt 1 genauso auch nach x auflösen statt nach y, wenn es sich bei den Gleichungen eher anbietet, und dann erst das y bestimmen...

4. a) IL = {(1 | 7)} b) IL = {(-3,8 | -9)} c) IL = {(8 | 0)}

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Das Additionsverfahren

Aufgaben

Lösungen:

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Zurück zum Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren

Lineare,Gleichungssysteme

Während das Einsetzungs- und das Gleichsetzungsverfahren v.a. bei LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zum Einsatz kommen, kann das Additionsverfahren auch gut bei LGS mit mehr Unbekannten und Gleichungen angewendet werden. Dennoch bleiben wir hier bei LGS mit zwei Unbekannten.Die Idee ist, die beiden Gleichungen so miteinander zu verrechnen (per Addition oder Subtraktion), dass dadurch eine der beiden Variablen wegfällt. Damit dies erreicht wird, muss man die Ausgangsgleichungen meist erst mit geeigneten Faktoren multiplizieren. Die dadurch neu entstandenen Gleichungen werden fortlaufend nummeriert.1. Schritt: I. 3x + y = 5 | · 2Geegnete Faktoren finden II. 2x - 2y = 6undGleichungen modifizieren . III. 6x + 2y = 10 IV. 2x - 2y = 62. Schritt: V. 8x = 16 Gleichungen verrechnen.Die weiteren Schritte sind wie beim Einsetzungs- und Gleichstzungsverfahren.3. Schritt:Gleichung lösen. x = 24. Schritt: I. 6 + y = 5 | - 6x in eine Ausgangsgleichung y = -1einsetzen, um y zu bestimmen. 5. Schritt: IL = {(2 | -1)}Lösungsmenge angeben. 6. Schritt: I. 3 · 2 - 1 = 5 stimmtProbe machen. II. 2 · 2 - 2 · (-1) = 6 stimmt.

5. Lösen mit ddem Addditionsverfahren.a) I. 3x + y = 23 II. 2x - y = 12b) I. 3x + y = 7 II. 2x - 2y = 10c) I. 13x + 9y = 31 II. 5x + 12y = 29

5. a) IL = {(7 | 2)} b) IL = {(3 | -2)} c) IL = {(1 | 2)}

ERKLÄRUNG: Die beiden Seiten der Gleichungen III und IV wurden jeweils addiert.Das ergibt: 6x + 2y + 2x - 2y = 10 + 6 Beim Zusammenfassen fällt das y wie gewollt weg. Man erhält: 8x = 16

ERKLÄRUNG: Damit eine Unbekannte beim Verrechnen wegfällt, muss sie in beiden Gleichungen den gleichen Vorfaktor (am Besten mit verschiedenen Vorzeichen) haben. Dies gelingt hier beim y einfacher als beim x. Denn beim y muss nur eine Gleichung modifiziert werden, beim x müsste man beide Gleichungen verändern (z.B. I mal 2 und II mal 3).