BASIC GUIDE

Exponentialverteilung

" Verteilung ohne Gedächtnis"

Hinführung zur Exponentialverteilung

Ma 1, 2020

nicht normalverteilt

relative Häufigkeiten können gut durch Flächen unter dem Graphen

Exponentialfunktion erhält die Bedeutung einer Dichtefunktion

Anwendung der Exponentialverteilung

May 1, 2020

previous week

Länge eines Telefongesprächs

Anzahl Gespräche ( in % )

Zerfall von Atomen

Lebensdauer von Bauteilen oder Maschinen

Gesprächsdauer ( in Minuten )

Was waren die Bedingungen für eine Dichtefunktion ?

Bedingungen

May 1, 2020

02

01

Bedingung

Bedingung

∫f(x) dx = 1

f (x) ≥ 0 für alle x ≥ 0

Rechnung zur Bedingung.2

Step.1

Step. 2

Step. 3

Step. 4

Step. 5

Step. 6

Step. 7

Defintion

Eine Zufallsgröße X heißt exponentialverteilt mit dem Parameter λ > 0, wenn sie die Dichtefunktion f mit besitzt.

Mann kann zeigen, dass für den Erwartungswert und die Standartabweichung gilt:

Dann gilt für relle Zahlen a, b ( mit a, b ≥ 0 ):

Speziell gilt :

Beweis ( Erwartungswert )

Step.1

Step. 2

Step. 3.1

Step. 3.2

Step. 4

Step. 5

Beispiel Berechnung

May 18, 2020

Von einem Maschinentyp ist bekannt, dass seine Lebensdauer exponentialverteilt ist. Der Erwartungswert für die Lebensdauerbeträgt fünf Jahre.

Ma 1, 2020

a) Bestimmen Sie den Parameter λ der Exponentialverteilung.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Maschine des Typs höchstens 7,5 Jahre funktioniert.

c) Bestimmen Sie die Halbwertszeit T bis zu der eine Maschine mit 50 % Wahrscheinlichkeit ausfällt.

Gedächtnislosigkeit

May 1, 2020

Exponentialverteilung ≙ "Verteilung ohne Gedächtnis"

Die Wartezeit bis zu seinem nächsten Match modelliert. ( Grund ist die Exponentialverteilung )

"Ich habe alle 40 Stunden ein Tinder-Match."

X = Wartezeit bis zum nächsten Match und ist exponentialverteilt mit λ = 1/40

" UH, ich hab ein Match. ", die Wahrscheinlichkeit mehr als t Stunden auf ein neues Match zu warten ist. P ( X ≥ t )

"Vor 10 Stunden hatte ich ein Match und habe es nicht gesehen." Die Verteilung der Wartezeit auf ein neues Match ist folglich : P ( X ≥ 10 + t | X ≥ 10 )

Beweis ( Gedächtnislosigkeit )

s , t ≥ 0

Step.1

Step. 2

Step. 3

Step. 4

Step. 5

Die Gedächtnislosigkit ist eine spezielle Eigenschaft der Exponentialverteilung und wird auch "NIichtalteungseigenschaft" genannt. Kurz und knapp "merkt" sich die Zufallsvariable nicht welches Lebensalter ( Wartezeit) zum Betrachtungszeitpunkt bereits erreciht wurde.