BASIC GUIDE

" Verteilung ohne Gedächtnis"

Exponentialverteilung

relative Häufigkeiten können gut durch Flächen unter dem Graphen

Exponentialfunktion erhält die Bedeutung einer Dichtefunktion

nicht normalverteilt

Ma 1, 2020

Hinführung zur Exponentialverteilung

Zerfall von Atomen

Lebensdauer von Bauteilen oder Maschinen

Länge eines Telefongesprächs

Gesprächsdauer ( in Minuten )

Anzahl Gespräche ( in % )

May 1, 2020

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Anwendung der Exponentialverteilung

Was waren die Bedingungen für eine Dichtefunktion ?

∫f(x) dx = 1

Bedingung

02

f (x) ≥ 0 für alle x ≥ 0

Bedingung

01

May 1, 2020

Bedingungen

Step. 7

Step. 6

Step. 5

Rechnung zur Bedingung.2

Step. 4

Step. 3

Step. 2

Step.1

Speziell gilt :

Eine Zufallsgröße X heißt exponentialverteilt mit dem Parameter λ > 0, wenn sie die Dichtefunktion f mit besitzt.

Dann gilt für relle Zahlen a, b ( mit a, b ≥ 0 ):

Mann kann zeigen, dass für den Erwartungswert und die Standartabweichung gilt:

Defintion

Step. 5

Step. 4

Beweis ( Erwartungswert )

Step. 3.2

Step. 3.1

Step. 2

Step.1

c) Bestimmen Sie die Halbwertszeit T bis zu der eine Maschine mit 50 % Wahrscheinlichkeit ausfällt.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Maschine des Typs höchstens 7,5 Jahre funktioniert.

May 18, 2020

a) Bestimmen Sie den Parameter λ der Exponentialverteilung.

Von einem Maschinentyp ist bekannt, dass seine Lebensdauer exponentialverteilt ist. Der Erwartungswert für die Lebensdauerbeträgt fünf Jahre.

Ma 1, 2020

Beispiel Berechnung

"Vor 10 Stunden hatte ich ein Match und habe es nicht gesehen." Die Verteilung der Wartezeit auf ein neues Match ist folglich : P ( X ≥ 10 + t | X ≥ 10 )

" UH, ich hab ein Match. ", die Wahrscheinlichkeit mehr als t Stunden auf ein neues Match zu warten ist. P ( X ≥ t )

X = Wartezeit bis zum nächsten Match und ist exponentialverteilt mit λ = 1/40

Die Wartezeit bis zu seinem nächsten Match modelliert. ( Grund ist die Exponentialverteilung )

"Ich habe alle 40 Stunden ein Tinder-Match."

Exponentialverteilung ≙ "Verteilung ohne Gedächtnis"

May 1, 2020

Gedächtnislosigkeit

Die Gedächtnislosigkit ist eine spezielle Eigenschaft der Exponentialverteilung und wird auch "NIichtalteungseigenschaft" genannt. Kurz und knapp "merkt" sich die Zufallsvariable nicht welches Lebensalter ( Wartezeit) zum Betrachtungszeitpunkt bereits erreciht wurde.

s , t ≥ 0

Step. 5

Beweis ( Gedächtnislosigkeit )

Step. 4

Step. 3

Step. 2

Step.1