Satz des Maurolicus

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Beweise den

Satz desmaurolicus

Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n .

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Zunächst machen wir uns klar, was die Aussage des Satzes ist. Dieser lautet: In welchem Kasten stehen nur korrekte Aussagen?

Die ersten n ungeraden Zahlen sind: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., n und ihre Summe ist n .

Der Satz besagt, dass für alle natürlichen Zahlen die folgende Gleichung stimmt. 1+3+5+ ... +(2n+1)=n

Der Satz beschäftigt sich mit der Geometrie und wir können mit ihm die Geschwindigkeit eines auf einer Kuh reitenden Schweines bestimmen.

Einen Satz richtig zu verstehen und zu wissen, was er bedeutet ist der erste Schritt, wenn wir mit einem Beweis beginnen wollen. Jetzt steht der Vollständigen Induktion nichts mehr im Wege!.

Den Satz verstanden

n=

n=0

n=1

n=3

Immerhin ist die 0 ja auch die erste ungerade Zahl.

Schließlich ist 3 die zweite ungerade Zahl und wir brauchen mindesten zwei um eine Summe zu bilden.

Wir beginnen mit der 1. Hier ist der Induktionsanfang auch klar, da 1=1² ist.

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Wir müssen uns nun überlegen, wo unser Induktionsanfang ist. Wie müssen wir n dazu wählen?

1=1²

Grundstein gelegt

In unserem Fall ist der Anfang klar. Schließlich ist:

1+3+5+ ... +(2(n+1)-1)=n²

1+3+5+ ... +(2n+1-1)=(n+1)²

1+3+5+ ... +(2n-1)=n²

1+3+5+ ... +(2n+1)=(n+1)²

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Wir haben nun gezeigt, dass für n gilt. Im Induktionsschritt müssen wir nun zeigen, dass daraus auch folgt, dass die Gleichung für n+1 gilt. Welche der unten stehenden Gleichungen gilt es zu zeigen?

Wir kommen dem Ziel näher

Da wir jetzt wissen, welche Gleichung zu zeigen ist müssen wir diese "nur" noch nachrechnen.

n²+1

n²+(2n+1)

1+3+5+7+ ... +(2n-1)+(2n+1)

n²+(2n-1)

Die Summe der ersten n+1 ungeraden Zahlen hat die folgende Form Für n haben wir die Gleichung bereits gezeigt, wenn wir diese Erkenntnis anwenden können wir die Summe umschreiben zu

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Klasse

Nun werfen wir noch ein genaueren Blick auf diesen Term. Danach sollten wir unser Ziel erreicht haben.

n²+(2n+1) oder n²+2n+1

pq-Formel Hier führt die pq- oder Mitternachtsformel zum Ziel n²+2n+1=0, also n=-1

Satz vom Nullprodukt Nach zweimaliger Anwendung erhält man n²+2n+1=(n+1)²

Binomische Formeln Mit der ersten binomischen Formel gilt n²+(2n+1)=(n+1)²

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Wir können die Summe also in der Form schreiben (die Klammer brauchen wir hier nicht mehr). Wir wollen zeigen, dass dies gleich (n+1)² ist. Was können wir hierzu benutzen?

Wir haben den Satz von Maurolicus gezeigt und Bewiesen, dass für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung 1+3+5+7+ ... +(2n-1)=n² gilt.

Nochmal!

Geschafft!

Ups.... da ist was schief gelaufen. Denk nochmal über die Frage nach.

Versuchs nochmal