Satz des Maurolicus

Satz desmaurolicus

Beweise den

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Der Satz beschäftigt sich mit der Geometrie und wir können mit ihm die Geschwindigkeit eines auf einer Kuh reitenden Schweines bestimmen.

Der Satz besagt, dass für alle natürlichen Zahlen die folgende Gleichung stimmt.1+3+5+ ... +(2n+1)=n

Die ersten n ungeraden Zahlen sind: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., nund ihre Summe ist n .

Zunächst machen wir uns klar, was die Aussage des Satzes ist. Dieser lautet:In welchem Kasten stehen nur korrekte Aussagen?

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Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n .

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Den Satz verstanden

Einen Satz richtig zu verstehen und zu wissen, was er bedeutet ist der erste Schritt, wenn wir mit einem Beweis beginnen wollen. Jetzt steht der Vollständigen Induktion nichts mehr im Wege!.

Wir müssen uns nun überlegen, wo unser Induktionsanfang ist. Wie müssen wir n dazu wählen?

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Wir beginnen mit der 1. Hier ist der Induktionsanfang auch klar, da 1=1² ist.

Schließlich ist 3 die zweite ungerade Zahl und wir brauchen mindesten zwei um eine Summe zu bilden.

Immerhin ist die 0 ja auch die erste ungerade Zahl.

n=3

n=1

n=0

n=

?

In unserem Fall ist der Anfang klar. Schließlich ist:

Grundstein gelegt

1=1²

Wir haben nun gezeigt, dass für n gilt. Im Induktionsschritt müssen wir nun zeigen, dass daraus auch folgt, dass die Gleichung für n+1 gilt. Welche der unten stehenden Gleichungen gilt es zu zeigen?

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1+3+5+ ... +(2n+1)=(n+1)²

1+3+5+ ... +(2n-1)=n²

1+3+5+ ... +(2n+1-1)=(n+1)²

1+3+5+ ... +(2(n+1)-1)=n²

Da wir jetzt wissen, welche Gleichung zu zeigen ist müssen wir diese "nur" noch nachrechnen.

Wir kommen dem Ziel näher

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Die Summe der ersten n+1 ungeraden Zahlen hat die folgende Form Für n haben wir die Gleichung bereits gezeigt, wenn wir diese Erkenntnis anwenden können wir die Summe umschreiben zu

n²+(2n-1)

1+3+5+7+ ... +(2n-1)+(2n+1)

n²+(2n+1)

n²+1

Nun werfen wir noch ein genaueren Blick auf diesen Term. Danach sollten wir unser Ziel erreicht haben.

Klasse

Wir können die Summe also in der Formschreiben (die Klammer brauchen wir hier nicht mehr). Wir wollen zeigen, dass dies gleich (n+1)² ist. Was können wir hierzu benutzen?

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Binomische FormelnMit der ersten binomischen Formel gilt n²+(2n+1)=(n+1)²

Satz vom NullproduktNach zweimaliger Anwendung erhält mann²+2n+1=(n+1)²

pq-FormelHier führt die pq- oder Mitternachtsformel zum Zieln²+2n+1=0, also n=-1

n²+(2n+1) oder n²+2n+1

Geschafft!

Nochmal!

Wir haben den Satz von Maurolicus gezeigt und Bewiesen, dass für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung 1+3+5+7+ ... +(2n-1)=n² gilt.

Versuchs nochmal

Ups.... da ist was schief gelaufen.Denk nochmal über die Frage nach.