Oberfläche Kegel (ro)

Oberfläche Kegel

Definition:Ein gerader Kegel ist ein geometrischer Körper. Er besteht aus einer Kreisfläche am Boden (Grundfläche) und einer umlaufenden Mantelfläche, die in einem spitzen Winkel auf der Grundfläche steht und sich in einem Punkt oben schließt (Spitze des Kegels).

Formeln:

O = G+M O = ℼ×r2 + ℼ×r×moder mit m=√r2+h2O=ℼ⋅r2+ℼ⋅r⋅√r2+h2(m=Mantellinie)

Gesamtmerkmale:

• einem Kreis als Grundfläche sowie
• einem Kreisausschnitt als Mantel.
• r ist der Radius des Grundkreises.

• S ist die Spitze des Kegels. Diese liegt bei einem geraden Kegel genau senkrecht über dem Mittelpunkt des Grundkreises.
• m ist die Mantellinie. Die Mantellinie ist bei einem geraden Kegel immer gleich lang.
• h ist die Höhe des Kegels. Dies ist der Abstand der Spitze zu der Grundfläche. Im Falle des geraden Kegels ist das gerade der Abstand der Spitze zu dem Mittelpunkt des Grundkreises.

Beispiel |: Gerade Kegel

• Im Gegensatz zum geraden Kegel liegt die Spitze nicht senkrecht über dem Mittelpunkt des Grundkreises.
• Die Mantellinien sind bei einem schrägen Kegel nicht gleich lang. Du kannst erkennen, dass die (eingezeichnete) linke Mantellinie länger ist als die rechte.

Beispiel ||: Schräge Kegel

Aufgabe |

Gegeben ist ein Kegel mit r=8cm und m=12cmGesucht ist O!

Aufgabe | - Lösung

O=π⋅r2+π⋅r⋅s O=π⋅(8 cm)2+π⋅8 cm⋅12 cm O=502,65 cm2

Aufgabe ||

Gegeben ist ein Kegel mit r=6cm und h=15cm. Benutze die andere Formel, da h anstelle von m gegeben ist.Gesucht ist O!

Aufgabe || - Lösung

O=π⋅r2+π⋅r⋅√r2+h2 O=π⋅(6 cm)2+π⋅6 cm⋅√(6 cm)2+(15 cm)2O=417,62 cm2

Aufgabe |||

Paul isst gerade ein Eis. Beim Anblick seiner kegelförmigen Eiswaffel denkt er daran, dass er seiner Schwester eine Schultüte basteln will. Diese soll 80 cm hoch sein und einen Kreis mit dem Radius 15 cm als Grundfläche haben. Wie viel Pappkarton benötigt er, um die Schultüte zu basteln? Dabei wird der Verschnitt nicht berücksichtigt. Er muss die Mantelfläche eines Kegels berechnen: M=π⋅r⋅m.Leider kennt er m noch nicht! (Tipp: h2+r2=m2)

Aufgabe ||| - Lösung

m=√(80 cm)2 +(15 cm)2=√6625 cm2 ≈81,40 cmM≈π⋅(15 cm)⋅(81,40 cm)≈3835,90 cm2