LZH SÜ10: Terme & lineare Funktionen und Gleichungen

Vorbereitung SÜ10 LZH:

Terme, Funktionen, Gleichungen

Terme & Termumformungen

Terme sind Rechenvorschriften. Man unterscheidet zwischen Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten und Potenzen. Die Berechnnung eines Terms erfolgt in einer bestimmten Reihenfolge: Klammer-, vor Potenz-, vor Punkt-, vor Strichrechnung (KlaPoPuStri)

Termumformungen sind:

• Ordnen und Zusammenfassen:a + 11 + b + 5 + 3a = a + 3a + b + 11 + 5 = 4a + b + 165a · 7ab · 2ab = 5 · 7 · 2 · a · a · a · b · b = 70a³b²
• Addieren und Subtrahieren von Klammerna + b + (c - d) = a + b + c - d3x + 4y + (6x - 2y + 7) = 3x + 4y + 6x - 2y + 7 = 9x + 2y + 7a + b - (c - d) = a + b - c + duv² + 11 - (2uv² + u) = uv² + 11 - 2uv² - u = -uv² - u + 11
• Multiplizieren mit Klammern (Ausmultiplizieren):a · ( b + c + d) = ab + ac + ad2x · (x + y - xy) = 2x² +2xy - 2x²y(a + b) · (c +d) = ac + ad + bc + bd(2ab + x²) · (b + y) = 2ab² + 2aby + bx² + x²y

• Ausklammern (auch "Faktorisieren" genannt):ab + ac + ad = a(b + c + d)3a²b + 9ab² + 6ab = 3ab · (a + 3b + 2)

• Umformungen mit Hilfe der Binomischen Formeln

Aufgaben (OHNE TR)

4. Löse die Klammern auf. a) (2x + 3)² b) (3y - z)² c) (12 - a)(12 + a) d) 5 - (8a + 2)² e) -2(x - 8)² f) (x + 1)(x + 1)²

Lösungen:

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Lineare Funktionen

Der Graph jeder linearen Funkion ist eine Gerade. Dabei gibt b an, wo die Gerade die y-Achse schneidet (y-Achsenabschnitt). Ist b = 0, dann verläuft die Gerade durch den Ursprung; die Funktion lautet dann y = m · x und wird auch proportional genannt.Die Zahl m heißt Steigung der Geraden. DIe Steigung kann positiv oder negativ sein. Sie kannn mit dem Steigungsdreieck bestimmt werden.

Alle Geraden mit derselben Steiigung verrlaufen parallel. Ist m = 0, dann verläuft die Gerade parallel zur x-Achse. Ist m ≠ 0 , dann schneidet die lineare Funktion die x-Achse. Diese Stelle bezeichnet man als Nullstellle der Funktion.

Aufgaben (OHNE TR)

6. Bestimme die Steigung der eingezeichneten Geraden bzw. der Geraden durch die angegebenen Punkte.

5. Fülle die Wertetabelen aus. Woran erkennt man an den Wertetabellen, dass es sich um lineare Funktionen handelt?

7. Bestimme die Funktionsgleichungen der abgebildeten Geraden.

e) A(3; 6), B(5, 10) f) P(-4; 1), Q(3; -8)

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(Lineare) Gleichungen

Lineare Gleichungen, oder allgemein Gleichungen, in denen die Variable nach dem Zusammenfassen nur an einer Stelle vorkommt, lassen sich mit sogenannten Äquivalenzumformungen lösen.Äquivalenzumformungen sind: - Das Addieren/Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung - Das Multiplizieren/DIvidieren beider Seiten der Gleichung mit derselben von Null verschiedenen Zahl. Ziel ist, die Variable schrittweise mit Äquivalenzumformungen freizustellen, wobei immer die letzte Rechnung (siehe Terme und ihre Vorfahrtsregeln) zuerst rückgängig gemacht wird. Beim Arbeiten mit Funktionen treten Gleichungen immer dann auf, wenn:

• die y-Kooridnate eines Punktes auf dem Funktionsgraphen gegeben und die zugehörige x-Koordinate gesucht ist (speziell Nullstellen: f(x) = 0).
• Punkte gegeben und Parameter von Funktionsgleichungen (z.B. m oder b) gesucht sind.
• Schnittpunkte zweier Funktionen gesucht sind.

In all diesen Fällen wird natürlich zunäst das eingesetzt, was man hat. Bei Schnittpunkten werden die Funktionsterme gleichgesetzt, da ein Schnittpunkt beide Funktionsgleichungen erfüllen muss. Beispiele: 1.) Sei f(x) = 2x - 10. Gesucht: A( ? ; 4) und Nullstelle. 2.) Gesucht ist die Gerade durch A(2; -1) und B(-8; 4) 3.) Bestimme den Schnittpunkt von f(x) = 2x + 1 und g(x) = 4x - 9

Aufgaben (MIT TR)

10. Der Graph einer linearen Funktion verläuft durch die angegebenen Punkte. Bestimme die Funktionsgleichung. a) (-3 ; 2), (3 ; 0) b) (-1 ; -3), (2 ; 3) c) (-2 ; 5), (2 ; -1)

8. Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen. a) f(x) = -2/5 x + 0,7 b) f(x) = 0,5x + 2,5 c) f(x) = 2x + 8

11. Die Gerade g hat eine Steigung von m = 1,5. Die Geade h hat eine Steigung von m = -0,5. Sie schneiden sich im Punkt P (-3 ; 2). Bestimme die Funktionsgleichungen von g und h.

9. Bestimme, an welcher Stelle die folgenden Funktionen den Wert 4 annehmen. a) f(x) = -2/3 x - 2 b) f(x) = 4/5 x + 8 c) f(x) = 3x - 2

12. Bestimme den Schnittpunkt der beiden Funktionen f(x) = 4x + 12 und g(x) = -8x - 8

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Lösungen:

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