Funktionsscharen

Wiederholung für das Abitur

Funktionsscharen

Von Isabel und Rayk

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Inhaltsverzeichnis

1. Begriffsklärungen

7. Besonderheit - Die Ortskurve

8. Quiz

2. Scharfunktion - Wozu eigentlich?

3. Scharfunktion Grundlage

9. Übungsaufgaben

4. Fallunterscheidung

5. Ableiten und Integrieren

6. Kurvendiskussion

Rturn

Allgemeine Definition

Gleichung mit Formvariable --> Funktionsschar:

• Funktionsschar, auch bekannt als Kurvenschar oder Parameterfunktion.
• Diese Funktionen werden durch Parameter verallgemeinert
• Parameter heißen oft k, a oder t (Scharparameter)
• Die einzelnen Funktionsgleichungen haben einen ähnlichen Bauplan

• Sie unterscheiden sich nur in wenigen Aspekten.

.

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Scharfunktion - Wozu eigentlich?

"Aus Sachthemen heraus entstehen oft verschiedene Funktionsgleichungen, die alle einen ähnlichen Bauplan haben. Anstatt nun für jede Funktionsgleichung alle Berechnungen neu durchzuführen, versucht man sozusagen für alle Funktionen den gemeinsamen Bauplan zu bestimmen. Man führt dann alle Berechnungen für diese allgemeine Bauplan durch und kann die Ergebnisse danach direkt auf jede einzelne Funktion anwenden. Der gemeinsame Bauplan ist die Kurvenschar (Funktionsschar)."

Zitiert aus: ~https://www.rhetos.de/html/lex/kurvenschar.htm

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Fun fact

Funktionsscharen - Grundlagen

◦ Die 6 Parabeln sind Teil der Schar: fa(x)=ax² ◦ Hellgrün: ◦ f(x)=0,1x² ◦ f(x)=0,2x² ◦ f(x)=1,0x² ◦ Orange: ◦ f(x)=-0,1x² ◦ f(x)=-0,2x² ◦ f(x)=-1,0x² ◦ Darunter sieht man die Schargleichung fa(x)=ax²

eine stark gestauchte Parabel, => nach oben geöffnet

eine mäßig gestauchte Parabeln, => nach oben geöffnet

die gar nicht gestauchte => Normalparabel

eine stark gestauchte Parabel, => nach unten geöffnet

eine mäßig gestauchte Parabeln, => nach unten geöffnet

eine Normalparabel, => nach unten geöffnet

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Fun fact

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Funktionsscharen - Grundlagen

<-- Parabelschar

Die Funktion ax² mit verschiedenen Werten für "a" Mögliche Formen: Geradenschar --> besteht nur aus Geraden Parallelenschar --> alle Geraden sind parallel zueinander Geradenbündel --> alle Geraden schneiden sich in einem Punkt Geradenbüschel --> alle Geraden schneiden sich in einem Punkt und liegen in der gleichen Ebene Parabelschar --> alle Funktionen sind Parabeln

Fun fact

Fallunterscheidung

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Für a gilt: f(x)= (a - 1)x³ - 4ax 1. a>0, bzw. a ist ein Element aller positiven reellen Zahlen --> keine Fallunterscheidung nötig 2. a ist ein Element aller reellen Zahlen oder ungleich Null --> negative Werte sind möglich --> Fallunterscheidung ist nötig

Fallunterscheidung

Auch bei der Berechnung von Extremstellen ist die Fallunterscheidung wichtig: fa´´(...) = 20a > 0, wenn a > 0 TP fa´´(..) = 20a < 0, wenn a < 0 HP fa´´(...) = 20a = 0, wenn a = 0 SP

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Ableiten und Integrieren

"a" wird wie eine einfache Zahl behandelt!

Integrieren Ableiten

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How to? ---->

Kurvendiskussion

Was gehört alles zu einer Kurvendiskussion?:

1. Definitions- und Wertebereich 2. Symmetrie 3. Globalverhalten 4. Nullstellen 5. Ableitung 6. Extrempunkte 7. Monotonie 8. Krümmungsverhalten 9. Wendepunkte 10. (Skizze) 11. Ortskurve

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Besonderheit - Die Ortsskurve

Die Ortskurve ist eine Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionsschar liegen, welche eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, wie z.B. die Ortskurve der Tiefpunkte

Gegeben ist die folgende Funktionsschar mit t > 0: ft(x) = x² - tx +0,5t²

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Zur Berechnung hier entlang -->

Fun fact

Mach mit beim Quiz!!!

Das Quiz ------->

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Übungsaufgaben

Übungsaufgaben Kurvendiskussion Funktionsscharen:

Übungsaufgaben Funktionsscharen generell:

Übungsaufgaben Ortskurve:

Übungsaufgaben Funktionsscharen - Abitur:

Fühlst du dich jetzt sicher, dann ist hier noch ein Quiz für dich!:

Quellen

https://www.rhetos.de/html/lex/kurvenschar.htmhttps://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenschar https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/funktionsschar/ https://abiturma.de/mathe-lernen/analysis/scharen/ortskurve https://de.serlo.org/mathe/1613/funktionenschar

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