Näherungsweises Berechnen von Quadratwurzeln

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Arbeitsauftrag:

Welche der Wurzelaufgaben kannst du schneller lösen als andere? Sortiere in einfach, mittel und schwer/unlösbar und gib alle Lösungen an.(Übungsheft)

Check

Wie man Quadratwurzeln von Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, auch ohne Taschenrechner berechnen kann, dass schauen wir uns heute etwas genauer an. .

Das notwendige mathematische Verfahren, welches wir zur Berechnung von im Kopf unlösbar scheinenden Quadratwurzeln benötigen, nennt sich

Das Intervallhalbierungsverfahren

Intervalle sind zusammenhängende Abschnitte auf der Zahlengeraden. Zum Beispiel ist [0;1] die Menge aller Zahlen zwischen 0 und 1 (inklusive 0 und 1). Die Intervallgrenzen in diesem Beispiel sind 0 und 1.

Die Idee des Intervallhalbierungsverfahrens ist es, die Quadratwurzel in immer kleinere Intervalle einzuschließen. Die Intervallgrenzen sind dann gute Rundungswerte für die Quadratwurzel. Du kannst dir das wie eine Lupe vorstellen, mit der man immer genauer hinsehen kann. Wir machen das hier am Beispiel √12 vor: Wir suchen eine Zahl, die quadriert 12 ergibt.

Start: Schritt 0

Überlege, zwischen welchen beiden aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen √12 liegen muss und warum.Wenn du die Antwort hast, kontrolliere deine Überlegung, indem du den Button drückst.

Check!

√12 muss eine Dezimalzahl zwischen 3 und 4 sein, denn 3^2=9 und 4^2=16 . Bekanntlich liegt 12 zwischen 9 und 16.

Lösung

Start: Schritt 0

√12 liegt also irgendwo im Intervall [3; 4]. Daher wählen wir als Startwerte

Schritt 1

Wir schneiden das Intervall in zwei Hälften und erhalten so zwei kleinere Intervalle, nämlich die Intervalle [3;3,5] und [3,5;4]. In einem der beiden Intervalle liegt √12.

Die Intervallmitte berechnet man, indem man den Mittelwert der Intervallgrenzen ausrechnet:

Wie aber können wir entscheiden, in welchem der beiden Intervalle [3; 3,5] bzw. [3,5;4] jetzt √12 liegt? Dazu quadrieren wir die Intervallmitte 3,5: Es ist (3,5)^2=12,25, und das ist schon größer als 12! Konsequenterweise muss √12 kleiner als 3,5 sein und deshalb in dem Intervall [3;3,5] liegen. Wir können uns nun also die neuen Intervallgrenzen merken und sind schon etwas näher dran an √12.

Schritt 2

Gleiches Spiel noch einmal. Hier siehst du einen mit Lupe vergrößerten neuen Ausschnitt der Zahlengeraden:

Hast du schon eine Idee wie es weiter geht?

Schritt 2

Die Intervallmitte berechnet man wieder, indem man den Mittelwert der Intervallgrenzen berechnet: Wieder liegt √12 in einem der beiden neuen Intervalle [3; 3,25] oder [3,25;3,5]. Um zu entscheiden, in welchem der beiden Intervalle √12 liegt, quadrieren wir die Intervallmitte 3,25. Es ist (3,25)^2=10,5625, und das ist kleiner als 12! Konsequenterweise muss √12 im Intervall [3,25;3,5] liegen. Und wieder sind wir √12 ein Stückchen näher gekommen. Die neuen Intervallgrenzen (und gleichzeitig Rundungswerte) sind somit

Bestimme mit dem Taschenrechner √12 und überprüfe, wie gut diese Rundungswerte sind.

Wir betrachten das Intervall [3,25 ; 3,5]. Wieder wird die Intervallmitte ermittelt und quadriert. Ist der quadrierte Mittelwert größer als 12, so machen wir mit der linken Intervallhälfte weiter. Ist er hingegen kleiner als 12, so wird in Schritt 4 die rechte Intervallhälfte betrachtet.Usw…

Schritt 3

Arbeitsauftrag: Berechne nun mithilfe des Intervallhalbierungsverfahren immer bessere Rundungswerte für √20 . Überage dazu die Tabelle in dein Übungsheft und runde die Dezimalzahlen auf 5 Nachkommastellen.

Bearbeite in deinem Schulbuch: S.64 Nr. 5 und 6 S.65 Nr. 11 und 12