Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

ТРЕУГОЛЬНИК. ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ВЫСОТА, МЕДИАНА И БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ОТРЕЗКУ

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

1. Треугольник. Виды треугольников. Равные треугольники

1.1. Треугольник

Строго 7-11 классы Определение

Нестрого 2-6 классы Описание

Треугольником называется трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки

1.3. равные Треугольники

1.2. виды Треугольников

По углам

Равными называются треугольники, которые можно совместить наложением так, что соответственно совпадут все три его стороны и все три угла

Прямоугольный

Тупоугольный

Остроугольный

О треугольнике из истории

По сторонам

Равнобедренный

Разносторонний

Треугольники в архитектуре

Равносторонний

Треугольники в географии и астрономии

Треугольники в искусстве, творчестве, литературе и живописи

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ

PISA: математическая грамотность

Задача "Треугольники"

2. первый и второй признаки равенства треугольников

2.1. первый признак равенства треугольников

ТЕОРЕМА (первый признак равенства треугольников)

AB=MN AC=MK ∠A=∠M ⇒ Δ АВС = Δ MNK

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2.2. второй признак равенства треугольников

ТЕОРЕМА (второй признак равенства треугольников)

AC=MK ∠A=∠M ∠С=∠К ⇒ Δ АВС = Δ MNK

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО первого признака равенства треугольников

Как в Древнем Египте применили первый признак равенства треугольников

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО второго признака равенства треугольников

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ

Задача 1 "Визитные карточки"

Задача 2 "Сложенный ковер"

3. высота, медиана и биссектриса треугольника

3.1. высота треугольника

ВЫСОТОЙ треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на ее продолжение

Высота ВН

3.2. медиана ТРЕУГОЛЬНИКА

МЕДИАНОЙ треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Медиана ВМ

3.3. БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА

Биссектриса ВК

БИССЕКТРИСОЙ треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения биссектрисы с противоположной стороной

В равных треугольниках равны соответствующие высоты, медианы и биссектрисы. Если треугольник не равнобедренный, то высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины треугольника, не совпадают. Точки пересечения высот, биссектрис и медиан называются замечательными точками треугольника

Задача "Детская палатка"

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ

4. СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ РАВНОБЕДРЕННОГО треугольника

4.1. равнобедренный треугольник. Определение

4.3. три признака равнобедренного треугольника, связанных с его высотой, медианой и биссектрисой

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны

ТЕОРЕМА Если в равнобедренном треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный

AB=BC ∠A=∠C ⇒ Δ АВС - равнобедренный

ТЕОРЕМА Если в равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный

ТЕОРЕМА Если в равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный

4.2. Теоремы равнобедренного треугольника

ТЕОРЕМА (о свойстве углов при основании) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

В равнобедренном Δ АВС ВН - высота, медиана и биссектриса

ТЕОРЕМА (о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является его медианой и высотой

ТЕОРЕМА (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный

Равнобедренный треугольник. Треугольник Паскаля

ТЕОРЕМА Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ

ТЕОРЕМА Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный

5. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА треугольникОВ

5.1. Третий признак равенства треугольников

ТЕОРЕМА (третий признак равенства треугольников)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

AB = MN BC = NK AC = MK ⇒ Δ АВС = Δ MNK

5.2. ПРАКТИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ ТРЕТЬЕГО ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО третьего признака равенства треугольников

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник – жесткая фигура. Это свойство – жесткость треугольника широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку (рис. а); такой принцип используется на заборах во дворе (р. б), при установке кронштейна (р. в).

33

признака равенства треугольников:

• 9 признаков равенства прямоугольных треугольников
• 12 признаков равенства равнобедренных треугольников
• 11 признаков по другим элементам
• IV признак.

О признаках равенства треугольников

Задача "Воздушный змей"

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ

6. СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ОТРЕЗКУ

6.2. Теорема о серединном перпендикуляре

6.1. серединный перпендикуляр треугольника

Серединный перпендикуляр к отрезку - прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку

Серединный перпендикуляр CD

AN = BN AM = BM AL = BL

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО прямого утверждения

Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО обратного утверждения

Задача на построение серединного перпендикуляра к отрезку

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника — это еще одна замечательная точка треугольника помимо уже известных вам точек пересечения биссектрис, медиан, высот.

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ