Matemáticas y poesía

Matemáticas y poesía

16 de marzo de 2021

adri_lemon@ciencias.unam.mx paolassebra@ciencias.unam.mx citla_pacheco@ciencias.unam.mx valeriazuniga@ciencias.unam.mx

Matemáticas y poesía

Poesía Matemáticas

¿Qué es poesía?

Matemáticas y poesía

Poesía: Manifestación de la belleza o del sentimiento estético por medio de la palabra, en verso o en prosa.

¿Qué son las matemáticas?

Matemáticas y poesía

Matemáticas: Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos y sus relaciones.

"...la matemática y la poesía tienen una estrecha relación de parentesco, porque ambas son hijas de la imaginación. La poesía es creación, ficción, y la matemática ha sido definida como la más sublime de las ficciones.” David Eugene Smith

Matemáticas y poesía

como un beso?

Matemáticas y poesía

"El beso" Gustav Klimt (1907-8)

Si la matemática y la poesía, ambas son hijas de la imaginación. Entoces, ¿podríamos manifestar el sentimiento estético de situaciones cotidianas con matemáticas ...

Te pensaré hasta que se quede sin dígitos.

"Kissing Coopers" Banksy (2004)

"Embracing" Joseph Losusso (1966)

"El Beso" Francesco Hayez (1859)

"Los amantes" René Maritte (1928)

Fragmento tomado del poema "Besos" por Gabriela Mistral

Matemáticas y poesía

Hay besos silenciosos, besos nobles hay besos enigmáticos, sinceros hay besos que se dan sólo las almas hay besos por prohibidos, verdaderos pero ....

"Vanidad" Auguste Toulmouche (1889)

Matemáticas y poesía

Hay besos silenciosos, besos nobles hay besos enigmáticos, sinceros hay besos que se dan sólo las almas hay besos por prohibidos, verdaderos pero, ¿existen besos precisos.... ?

Inglaterra2 de septiempre de 1877 - 22 de septiembre de 1956

El beso preciso, es el nombre de un poema escrito por Frederick Soddy, reconocido por sus trabajos en la existencia y naturaleza de los isótopos. Ganó el premio nobel de Química en el año de 1921.

The kissprecise - Frederick Soddy

El beso preciso

El poema es el resultado de un redescubrimiento del Teorema de los círculos de Descartes.

The kissprecise - Frederick Soddy

El beso preciso

The kissprecise - Frederick Soddy

And let us not confine our cares To simple circles, planes and spheres, But rise to hyper flats and bends Where kissing multiple appears, In n-ic space the kissing pairs Are hyperspheres, and Truth declares, As n + 2 such osculate Each with an n + 1 fold mate The square of the sum of all the bends Is n times the sum of their squares.

To spy out spherical affairs An oscular surveyor Might find the task laborious, The sphere is much the gayer, And now besides the pair of pairs A fifth sphere in the kissing shares. Yet, signs and zero as before, For each to kiss the other four The square of the sum of all five bends Is thrice the sum of their squares.

Four circles to the kissing come. The smaller are the benter. The bend is just the inverse of The distance form the center. Though their intrigue left Euclid dumb There’s now no need for rule of thumb. Since zero bend’s a dead straight line And concave bends have minus sign, The sum of the squares of all four bends Is half the square of their sum.

For pairs of lips to kiss maybe Involves no trigonometry. This not so when four circles kiss Each one the other three. To bring this off the four must be As three in one or one in three. If one in three, beyond a doubt Each gets three kisses from without. If three in one, then is that one Thrice kissed internally.

Besar los labios dos a dos es como construir dos circunferencias que se rozan en un solo punto, es decir, tangentes.

Pueden besarse los labios, dos a dos, sin mucho calcular, sin trigonometría; mas ¡ay! no sucede igual en la Geometría,pues si cuatro círculos tangentes quieren sery besar cada uno a los otros tres,para logarlo habrán de estar los cuatroo tres dentro de uno, o algunopor otros tres a coro rodeado.De estar uno entre tres, el caso es evidentepues tres veces son todos besados desde afuera.Y el caso tres en uno no es quimera, al ser este uno por tres veces besado internamente.

Primera estrofa

El beso preciso

La primera estrofa además de establecer el enunciado del teorema, nos muestra un proceso de generalización en la construcción de la generalización y del pensamiento abstracto.Sigamos la siguiente secuencia de pensamiento:1. ¿Cómo construir y acomodar dos circunferencias tangentes mutuamente?2. ¿Cómo construir y acomodar tres circunferencias tangentes mutuamente?3. Por último, 1. ¿Cómo construir y acomodar cuatro circunferencias tangentes mutuamente?

Primera estrofa

El beso preciso

Pueden besarse los labios, dos a dos, sin mucho calcular, sin trigonometría; mas ¡ay! no sucede igual en la Geometría,pues si cuatro círculos tangentes quieren sery besar cada uno a los otros tres,para logarlo habrán de estar los cuatroo tres dentro de uno, o algunopor otros tres a coro rodeado.De estar uno entre tres, el caso es evidentepues tres veces son todos besados desde afuera.Y el caso tres en uno no es quimera, al ser este uno por tres veces besado internamente.

Pueden besarse los labios, dos a dos, sin mucho calcular, sin trigonometría; mas ¡ay! no sucede igual en la Geometría,pues si cuatro círculos tangentes quieren sery besar cada uno a los otros tres,para logarlo habrán de estar los cuatroo tres dentro de uno, o algunopor otros tres a coro rodeado.De estar uno entre tres, el caso es evidentepues tres veces son todos besados desde afuera.Y el caso tres en uno no es quimera, al ser este uno por tres veces besado internamente.

TEOREMA:Dados tres círculos son mutuamente tangentes con radios no necesariamente iguales. Entonces, existe una cuarta circunferencia mutamente tangente a todas las anteriores.

La primera estrofa nos establece el enunciado del teorema, es decir,

Primera estrofa

El beso preciso

TEOREMA:Si cuatro círculos son mutuamente tangentes con radios respectivamente definimos las curvaturas de cada circunferencia, como se tiene las siguientes igualdades.

Otra manera de enunciar el Teorema es el siguiete.

Pueden besarse los labios, dos a dos, sin mucho calcular, sin trigonometría; mas ¡ay! no sucede igual en la Geometría,pues si cuatro círculos tangentes quieren sery besar cada uno a los otros tres,para logarlo habrán de estar los cuatroo tres dentro de uno, o algunopor otros tres a coro rodeado.De estar uno entre tres, el caso es evidentepues tres veces son todos besados desde afuera.Y el caso tres en uno no es quimera, al ser este uno por tres veces besado internamente.

Primera estrofa

El beso preciso

La segunda estrofa establece la relación entre las circunferencias mutuamente tangentes con su curvatura. De manera intuitiva, la curvatura nos señala que tan elejada está una figura en el plano de una recta. De modo que, la curvatura de una circunferencia está dado por el inverso del radio.

Segunda estrofa

El beso preciso

Cuatro círculos llegaron a besarse, cuanto menores tanto más curvados, y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro. Aunque este enigma a Euclides asombrara, ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas, la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas es igual a un medio del cuadrado de su suma.

entonces la curvatura es:

Si la circunferencia tiene radio 4,

EJEMPLO

Segunda estrofa

El beso preciso

Cuatro círculos llegaron a besarse, cuanto menores tanto más curvados, y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro. Aunque este enigma a Euclides asombrara, ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas, la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas es igual a un medio del cuadrado de su suma.

Si la circunferencia tiene radio .... ¿cuál es su curvatura?

EJEMPLOS

Segunda estrofa

El beso preciso

Cuatro círculos llegaron a besarse, cuanto menores tanto más curvados, y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro. Aunque este enigma a Euclides asombrara, ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas, la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas es igual a un medio del cuadrado de su suma.

Si el radio es muy grande, entonces la curvatura es MUY pequeña y viceverza. Radios Curvaturas

Segunda estrofa

El beso preciso

Cuatro círculos llegaron a besarse, cuanto menores tanto más curvados, y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro. Aunque este enigma a Euclides asombrara, ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas, la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas es igual a un medio del cuadrado de su suma.

De manera intuitiva, la curvatura nos señala que tan alejada está una figura en el plano de una recta. De modo que, la curvatura de una circunferencia está dado por el inverso del radio.

Blanco

El arco y la fecha

EJEMPLOS

Segunda estrofa

El beso preciso

Cuatro círculos llegaron a besarse, cuanto menores tanto más curvados, y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro. Aunque este enigma a Euclides asombrara, ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas, la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas es igual a un medio del cuadrado de su suma.

TEOREMA:Si cuatro círculos son mutuamente tangentes con radios respectivamente definimos las curvaturas de cada circunferencia, como se tiene las siguientes igualdades.

Los últimos dos versos ilustran que no se consideran circunferencias degeneradas. Con estas observaciones se llega a la igualdad.

Segunda estrofa

Cuatro círculos llegaron a besarse, cuanto menores tanto más curvados, y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro. Aunque este enigma a Euclides asombrara, ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas, la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas es igual a un medio del cuadrado de su suma.

El beso preciso

Además, en esta estrofa se menciona a Euclides. Esto está relacionado a que la primera vez que se intentó demostrar este teorema fue alrededor de 300 a. C. por Apolonio de Perga. Lamentablemente, no hay registros de los avances de esto. Grecia (Aprox. 300 A.C) Isabel I de Bohemia Descartes

Segunda estrofa

El beso preciso

Cuatro círculos llegaron a besarse, cuanto menores tanto más curvados, y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro. Aunque este enigma a Euclides asombrara, ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas, la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas es igual a un medio del cuadrado de su suma.

Continuando con la generación de las ideas, en la tercera estrofa Soddy nos invita a preguntarnos: ¿Qué pasaría si en lugar de conciderar circunferencias, consideramos esferas?

Tercera estrofa

El beso preciso

Espiar de las esferas los enredos amorosos pudiérale al inquisidor requerir cálculos tediosos, pues siendo las esferas más «corridas» a más de un par de pares una quinta entra en la «movida». Empero, siendo signos y ceros como antes para besar cada una a las otras cuatro. El cuadrado de la suma de las cinco curvaturas ha de ser triple de la suma de sus cuadrados.

¿Qué es el espacio?

Tercera estrofa

El beso preciso

Espiar de las esferas los enredos amorosos pudiérale al inquisidor requerir cálculos tediosos, pues siendo las esferas más «corridas» a más de un par de pares una quinta entra en la «movida». Empero, siendo signos y ceros como antes para besar cada una a las otras cuatro. El cuadrado de la suma de las cinco curvaturas ha de ser triple de la suma de sus cuadrados.

1) Imaginemos que tenemos una esfera de radio r y queremos encontrar 4 esferas tangentes a ellas.

Construcción de esferas tangentes

2) Vamos a tomar un segmento, tal que uno de sus lados lo dejamos fijo y dejamos correr el otro. Como ya se explico, si se deja correr el un sólo sentido, sobre un sólo plano formamos una circunferencia pero si la dejamos libre describe a una esfera

2) Vamos a tomar un segmento, tal que uno de sus lados lo dejamos fijo y dejamos correr el otro. Como ya se explicó, si se deja correr el un sólo sentido, sobre un sólo plano formamos una circunferencia pero si la dejamos libre describe a una esfera

4) Tomemos entonces el punto que forma un tetraedro regular, una pirámide. Entonces todas las esferas son del mismo tamaño.

3) Imaginemos que repetimos este proceso, una vez más con ambas esferas, entonces vamos a tener tres esferas tangentes cada una de ellas a las otras dos.

6) Ahora la quinta esfera ¿dónde puede estar si queremos que todas las esferas se toquen? No le queda de otra que estar en el centro. Entonces para encontrar el valor del radio de la 5ta.

Tercera estrofa

El beso preciso

Espiar de las esferas los enredos amorosos pudiérale al inquisidor requerir cálculos tediosos, pues siendo las esferas más «corridas» a más de un par de pares una quinta entra en la «movida». Empero, siendo signos y ceros como antes para besar cada una a las otras cuatro. El cuadrado de la suma de las cinco curvaturas ha de ser triple de la suma de sus cuadrados.

Tercera estrofa

El beso preciso

Espiar de las esferas los enredos amorosos pudiérale al inquisidor requerir cálculos tediosos, pues siendo las esferas más «corridas» a más de un par de pares una quinta entra en la «movida». Empero, siendo signos y ceros como antes para besar cada una a las otras cuatro. El cuadrado de la suma de las cinco curvaturas ha de ser triple de la suma de sus cuadrados.

Hiperespacio

Hiperespacio

A través de las palabras de Soody, en la cuarta estrofa nos transporta a lugares posiblemente inimaginables como son los hiperespacios...

Cuarta estrofa

El beso preciso

No debemos empero confinar nuestros cuidados a los simples círculos, esferas y planos, sino elevarnos a n-espacios e hipercurvaturas donde también las múltiples tangencias son seguras. En n-espacios, los pares de tangentes son hiperesferas, y es verdad -mas no evidente cuando n + 2 de tales se osculean cada una con n + 1 compañeras que el cuadrado de la suma de todas las curvaturas es n veces la suma de sus cuadrados.

Cuarta estrofa

El beso preciso

No debemos empero confinar nuestros cuidados a los simples círculos, esferas y planos, sino elevarnos a n-espacios e hipercurvaturas donde también las múltiples tangencias son seguras. En n-espacios, los pares de tangentes son hiperesferas, y es verdad -mas no evidentecuando n + 2 de tales se osculean cada una con n + 1 compañeras que el cuadrado de la suma de todas las curvaturas es n veces la suma de sus cuadrados.

The kissprecise - Frederick Soddy

And let us not confine our cares To simple circles, planes and spheres, But rise to hyper flats and bends Where kissing multiple appears, In n-ic space the kissing pairs Are hyperspheres, and Truth declares, As n + 2 such osculate Each with an n + 1 fold mate The square of the sum of all the bends Is n times the sum of their squares.

To spy out spherical affairs An oscular surveyor Might find the task laborious, The sphere is much the gayer, And now besides the pair of pairs A fifth sphere in the kissing shares. Yet, signs and zero as before, For each to kiss the other four The square of the sum of all five bends Is thrice the sum of their squares.

Four circles to the kissing come. The smaller are the benter. The bend is just the inverse of The distance form the center. Though their intrigue left Euclid dumb There’s now no need for rule of thumb. Since zero bend’s a dead straight line And concave bends have minus sign, The sum of the squares of all four bends Is half the square of their sum.

For pairs of lips to kiss maybe Involves no trigonometry. This not so when four circles kiss Each one the other three. To bring this off the four must be As three in one or one in three. If one in three, beyond a doubt Each gets three kisses from without. If three in one, then is that one Thrice kissed internally.

Creo (1+1) que (1) debo (2) confesar (3) las ocasiones (5) en las que yo también lloré (8) al saberme mortal, saber que moriría (13) en penumbra, tan ignorante como al principio de mi existencia. (21) No comprendo lo que mis ojos ven próximo o a lontananza, ni los sollozos de soledad que mi mente susurra. (34+2)

Poemas inspirados en matemáticas

“Soy (3) (1)lema (4)y (1)razón (5)ingeniosa (9)valorando enunció magistral. Con mi ley singular bien medido el Grande Orbe, por fin, reducido fue al sistema ordinario real…” Ing. Rafael Nieto París (1839-1899)

EL CERO Y EL INFINITO “En la circunferencia no hay azar. Siempre llega a su meta esa línea que anhela redondearse, juntar sus fuerzas con quien le tiende los brazos.Dos semicírculos se unen en la igualdad sin tacha, se funden en un todo que las trasciende. Felices en su abrazo van dando vueltas, rueda que rueda hasta el gran cero absoluto. José Emilio Pacheco

Matemáticas como inspiración en...

Matemáticos que crean ...

Lewis Carroll, Alicia en el país de las maravillas, pág. 25.

Cierta Fueria dijo a un Ratón al que se encontróen su casa: " Vamos a ir juntosante la Ley: Yo te acusaré, y tú te defenderás. ¡Vamos! No admitiré más discusiones Hemos de tener un proceso, porque esta mañana no hetenido ninguna otra casa que hacer." ...

Mujeres matemáticas ...

Emmy Noether

Ada Lovelace

Las matemáticas es la perpetua tensión del matemático hacia un absoluto lenguaje, en la esperanza de cautivar la realidad, la verdad...Eso mismo que piensa, dan pasos con palabras, con números, con figuras... que, milagrosamente se ordenan, gracias a la cadencia que él mismo, el artista vacila en considerar el fruto del paciente de trabajo.

RETO: Describe qué es para ti poesía y más aún, qué son las matemáticas poéticamente.

Matemáticos como poetas

¡Gracias!

Borges, J. L., & Becco, H. J. (1986). Ficciones; El aleph; El informe de brodie (Vol. 118). Fundacion Biblioteca Ayacuch.Borges, J. L. (1988). La poesía. Revista Interamericana de Bibliotecología, 11(2), 39-51.Brown, W. S. (1969). The kiss precise. The American Mathematical Monthly, 76(6), 661-663.Española, R. A. (1999). Real academia española.Cortínez, C., & Castro, F. (2010). Apolonio, Descartes y Steiner en un apretado envase de palmitos. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 73, 25-33.de la Puente, M. J. Problema 1: Teorema de Descartes de las cuatro circunferencias tangentes.H.S.M. Coxeter, Introduction to geometry, 2nd ed., Willey, 1969Mistral, G., & Larraín, S. F. (1978). Cartas de amor de Gabriela Mistral. Andres Bello.Molina, J. S. (1946, January). Gabriela Mistral: su vida y su obra. In Anales de la Universidad de Chile (No. 63-64, pp. ág-23).León, M. Adriana [Adriana León Montes].(2020,17 jun). Poder femenino matemático https://youtu.be/HhK_vDZ5c8kPaz, O. Los límites del amor de “Carta de creencia” de Octavio Paz.

REFERENCIAS

Anexo

Ejemplo

Una consecuencia de la generalización en el espacio

Sexteto de Soddy

El sexteto de Soddy es una cadena de seis esferas, cada una de las cuales es tangente a sus dos esferas vecinas y también a tres esferas dadas, mutuamente tangentes entre sí A, B y C. Por ejemplo, la esfera S4 es tangente a S3 y S5. La cadena está cerrada, debido a la tangencia de cada esfera en la cadena con sus dos vecinos; en particular, las esferas inicial y final, S1 y S6, son tangentes entre sí.Según un teorema publicado por Frederick Soddy en 1937,​ siempre es posible encontrar un sexteto para cualquier conjunto de esferas tangentes entre sí A, B y C. De hecho, existe una familia infinita de sextetos relacionados por rotación.

Carta de creencia Octavio Paz

Una columna de humo sube del llano y poco a poco se disipa, aire en el aire, como el canto del muecín que perfora el silencio, asciende y florece en otro silencio. Sol inmóvil, inmenso espacio de alas abiertas; sobre llanuras de reflejos la sed levanta alminares transparentes. Tú no estás dormida ni despierta: tú flotas en un tiempo sin horas. Un soplo apenas suscita remotos países de menta y manantiales. Déjate llevar por estas palabras hacia ti misma.

Las palabras son puentes: la sombra de las colinas de Meknès sobre un campo de girasoles estáticos es un golfo violeta. Son las tres de la tarde, tienes nueve años y te has adormecido entre los brazos frescos de la rubia mimosa. Enamorado de la geometría un gavilán dibuja un círculo. Tiembla en el horizonte la mole cobriza de los cerros.Entre peñascos vertiginosos los cubos blancos de un poblado.

Fragmentos de algunos poemas

A ti, contorno de la gracia humana, recta, curva, bailable geometría, delirante en la luz, caligrafía que diluye la niebla más liviana. A ti, sumisa cuanto más tirana misteriosa de flor y astronomía imprescindible al sueño y la poesía urgente al curso que tu ley dimana. A ti, bella expresión de lo distinto complejidad, araña, laberinto donde se mueve presa la figura. El infinito azul es tu palacio. Te canta el punto ardiendo en el espacio. A ti, andamio y sostén de la pintura.

A la línea Rafael Alberti

Fragmentos de algunos poemas

no olvidaré, vi la violenta cabellera, el altivo cuerpo, vi un cáncer en el pecho, vi un círculo de tierra seca en una vereda, donde antes hubo un árbol, vi una quinta de Adrogué, un ejemplar de la primera versión inglesa de Plinio, la de Philemon Holland, vi a un tiempo cada letra de cada página (de chico, yo solía maravillarme de que las letras de un volumen cerrado no se mezclaran y perdieran en el decurso de la noche), vi la noche y el día contemporáneo, vi un poniente en Querétaro que parecía reflejar el

Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telaraña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inmediatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó, vi en un traspatio de la calle Soler las mismas baldosas que hace treinta años vi en el zaguán de una casa en Fray Bentos, vi racimos, nieve, tabaco, vetas de metal, vapor de agua, vi convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena, vi en Inverness a una mujer que

En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño.

El Aleph Jorge Luis Borges

Fragmentos de algunos cuentos