Fonction affine - 3ème

DEFINITION

IMAGE ANTECEDENT

TABLEAU DE VALEURS

Définir une fonction affine

REPRESENTATION GRAPHIQUE

COMPARAISON

TEST

CAS PARTICULIER : Fonction linéaire

Fonction linéaire et proportionnalité

FONCTION AFFINE

FONCTION AFFINE

Définition

Notation

Une fonction affine f de coefficient a et d'ordonnée à l'origine b est notée :

Vocabulaire

Le nombre a est appelé coefficient linéaire. Le nombre b est appelé ordonnée à l'origine.

Fonction affine

On appelle fonction affine une fonction f qui associe à tout nombre x son unique image ax + b, où a et b sont des nombres fixés.

Exemple 1

Un taxi fait payer une prise en charge de 15 € puis 0,50 € par kilomètre parcouru. Si x est le nombre de kilomètre parcouru alors le client paiera : 15 € de prise en charge + 0,50 x x € pour les km parcourus. On note :

Exemple 2

Une salle de sport propose une formule d'abonnement qui comporte un tarif fixe de 20 euros par mois, auquel s'ajoutent 2 euros par heure d'utilisation de la salle. Si n est le nombre d'heures d'utilisation de la salle, alors l'abonné doit payer 20 € d'inscription + n x 2 € pour les heures utilisées. On peut noter :

FONCTION AFFINE

Image et antécédent

Chercher un antécédent

Par une fonction affine, toute valeur possède un et un seul antécédent.

Calculer un antécédent

Pour trouver l'antécédent d'un nombre donné N par une fonction affine f, il faut résoudre l'équation f(x) = N Exemple : f(x) = -2x + 5

• L'antécédent de 0 par f est le nombre x tel que f(x) = 0.On résout -2x + 5 = 0-2x = -5x = 2,5L'antécédent de 0 par f est 2,5.
• L'antécédent de 5 par f est le nombre x tel que f(x) = 5.On résout -2x + 5 = 5-2x = 0x = 0L'antécédent de 5 par f est 0.

Chercher une image

Par une fonction affine, toute valeur possède une et une seule image.

Calculer une image

Pour calculer une image par une fonction affine f (comme pour toute fonction), il suffit de remplacer la variable, en général x, par la valeur donnée. Exemple : f(x) = -3x + 2

• L'image de 0 par f est : f(0) = -3x0 + 2 = 0 + 2 = 2.
• L'image de -1 par f est : f(-1) = -3x(-1) + 2 = 3 + 2 = 5.
• L'image de 5 par f est : f(5) = -3x5 + 2 = -15 + 2 = -13.

Programme de calcul

L'image d'une valeur est le résultat obtenu à la fin des opérations.L'antécédent d'une valeur est le nombre à choisir pour que le résultat final soit la valeur donnée.

FONCTION AFFINE

Programme de calcul

Image

Antécédent

fonction

Soit f la fonction telle que f(x) = -2x + 5

• on choisit un nombre
• on le multiplie par -2
• On rajoute 5

3

x(-2)

+ 5

-6

-1

Image de 3 par f

-1 est l'image de 3 par f.

3

-5

: (-2)

-2

1

Antécédent de 3 par f

1 est l'antécédent de 3 par f.

On effectue le programme "à l'endroit" :

• on part de la première ligne
• on effectue les opérations idiquées

On effectue le programme "à l'envers" :

• on part de la dernière ligne
• on effectue les opérations inverses

FONCTION AFFINE

Définir une fonction affine

Exemple 1 : Définir la fonction affine f telle que f(1) = 4 et f(-2) = -5.

Définir la fonction affine f telle que f(1) = 4 et f(-2) = -5. f est une fonction affine donc elle est de la forme f : x --> ax + b où a et b sont les paramètres à trouver.

• f est donc une fonction affine de la forme f : x --> 3x + b
• On résout f(1) = 4 (fonctionne aussi avec f(-2) = - 5.3x1 + b = 43 + b = 4b = 1f est donc une fonction affine de la forme f : x --> 3x + 1

On peut définir une fonction affine à partir de 2 valeurs et de leurs images.

1) Formule

Lorsque l'on connaît l'image par une fonction affine f de deux valeurs données non nulles x1 et x2, le coefficient de linéarité a est obtenu avec le calcul :

2) Résoudre une équation

Une fois que l'on a trouvé a, on peut trouver b en résolvant l'une des équations d'inconnue b : f(x1) = y1 ou f(x2) = y2 (x1, x2, y1, y2 étant des nombres donnés.

Exemple 2: Définir la fonction affine g telle que g(2) = -2 et g(3) = -4.

Définir la fonction affine g telle que g(2) = -2 et g(3) = -4. f est une fonction affine donc elle est de la forme g : x --> ax + b où a et b sont les paramètres à trouver.

• g est donc une fonction affine de la forme g: x --> -2x + b
• On résout g(2) = -2 (fonctionne aussi avec g(3) = - 5.-2x2 + b = -2-4 + b = -2b = 2g est donc une fonction affine de la forme g : x --> -2x + 2

FONCTION AFFINE

Tableau de Valeurs

Tableau de valeurs d'une fonction affine.

Dans un tableau de valeur d'une fonction, on lit les images des valeurs de la 1ère ligne sur la 2ème ligne.

Ici, ce tableau représente des valeurs pour la fonction f(x) = -2x + 3

On trouve une valeur de la 1ère ligne en prenant la valeur de la deuxième ligne puis en retirant 3 puis en divisant par -2 le résultat

On trouve une valeur de la 2ème ligne en prenant la valeur de la première ligne puis en multipliant par -2 puis en ajoutant 3 au résultat

FONCTION AFFINE

Représentation graphique

Propriété

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite (non parallèle à l'axe des ordonnées).

Ordonnée à l'origine

L'ordonnée à l'origine (b) correspond à l'ordonnée du point d'intersection de la droite et de l'axe des ordonnées.

Coefficient directeur

Le coefficient de linéarité (a) de la fonction correspond à la pente de la droite et est appelée coefficient directeur.

• si le coefficient directeur est positif (a > 0) alors la droite "monte".
• si le coefficient directeur est négatif (a < 0) alors la droite "descend".
• si le coefficient directeur est nul (a = 0) alors la droite est horizontale.

On peut trouver graphiquement la "pente" en prenant 2 points de la droite séparés horizontalement d'une unité et en comptant le décalage vertical qui correspond à a.

Réciproque

Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine.

La représentation graphique d'une fonction f est l'ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)).

FONCTION AFFINE

Comparer

Résolution graphique

On trace les représentations graphiques pour les 3 fonctions associées. On repère les points d'intersection. Le Tarif A est le tarif le plus intéressant de 0 à 13 (abscisse du point C : 13,33...). Le Tarif B est le tarif le plus intéressant de 14 à 24 (abscisse du point B : 24). Le Tarif C est le tarif le plus intéressant à partir de 24 séances.

1)

Quel Tarif choisir ?

Un club de squash propose trois tarifs à ses adhérents : Tarif A : 8 € par séance. Tarif B : achat d’une carte privilège à 40 € pour l’année donnant droit à un tarif réduit de 5 € par séance. Tarif C : achat d’une carte confort à 160 € valable une année et donnant droit à un accès illimité à la salle. A partir de combien de séances les tarifs B et C deviennent-ils avantageux ?

Quelquestests

On calcule les Tarifs A, B et C avec quelques nombres de séances :

• Pour 5 séances :
  • Tarif A : 8 x 5 = 40 €
  • Tarif B : 40 + 5 x 5 = 65 €
  • Tarif C : 160 €
• Pour 15 séances :
  • Tarif A : 8 x 15 = 120 €
  • Tarif B : 40 + 5 x 15 = 95 €
  • Tarif C : 160 €
• Pour 25 séances :
  • Tarif A : 8 x 25 = 200 €
  • Tarif B : 40 + 5 x 25 = 165 €
  • Tarif C : 160 €

On peut utiliser un tableau de valeurs pour cela : Nombre de séancesABC54065160151209516025200165160

2)

Résolution par le calcul

On résout une inéquation : Pour savoir quand le tarif A est plus intéressant que le tarif B on résout l'équation : TA(x) < TB(x) 8x < 5x + 40 8x - 5x < 40 3x < 40 x < 40:3 x < 13,33... La tarif A est plus intéressant pour un nombre de séances strictement inférieur à 13,33... donc pour un nombre de séances compris entre 0 et 13. Le tarif B devient plus intéressant à partir de 14 séances. Remarques :

• Les inéquations obéissent quasiment aux mêmes règles que les équations, exceptés la multiplication et la division par un nombre strictement négatif qui inverse l'ordre.
• Attention au mot "intéressant" qui n'a pas la même traduction avec > ou < selon les cas : un SALAIRE intéressant est plus élevé, un PRIX intéressant est plus bas.
• Attention au type de nombre avec lequel on travaille : ici, le nombre de séances est forcément un nombre entier positif (entier naturel).

3)

FONCTION AFFINE

Tests

Test 1

Test 2

Test 4

Test 3

Fonction linéaire

Bilan

Antécédents et Images

Représentation graphique

avec www.Kwyk.fr

FONCTION AFFINE

Fonction Linéaire

Antécédent

On obtient l'antécédent d'une valeur par une fonction affine en DIVISANT cette valeur par le coefficient a.

Définition

Une fonction linéaire est une fonction qui associe à toute valeur x l'unique valeur ax où a est un nombre fixé appelé coefficient de linéarité. C'est une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est nulle.

Image

On obtient l'image d'une valeur par une fonction affine en MULTIPLIANT cette valeur par le coefficient a.

Tableau de valeur

Le tableau de valeur d'une fonction linéaire est un tableau de PROPORTIONNALITÉ. Le coefficient de linéarité a est alors le coefficient de proportionnalité du tableau.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine.

Touver a graphiquement-Méthode 1

Pour une fonction linéaire, on a toujours a = f(1) ( a est toujours l'image de 1). Ici, la droite rouge est la représentation graphique de la fonction f(x) = 3x

Touver a graphiquement-Méthode 2

Pour trouver le coefficient directeur (ou pente), on repère 2 points de la droite distants de 1 unité horizontalement puis on regarde l'écart vertical : ici, on descend de 2 carreaux donc a = -2.

FONCTION AFFINE

Pourcentages

Augmentation

Réduction

Lorsque l'on augmente un prix de 15 %, on doit alors payer 115 % du prix de départ.

Lorsque l'on diminue un prix de 15 %, il reste alors 85 % du prix de départ à payer.

modélisation

On peut modéliser une situation d'augmentation de t % par la fonction affine :f(x) = (1 + t/100)x

modélisation

On peut modéliser une situation de réduction de t % par la fonction affine :f(x) = (1 - t/100)x

100 +15 = 115

100 - 15 = 85

tests

Mademoiselle Agathe Zeblouse est Aide Soignante. Elle gagne 1 600 € par mois. Le mois prochain, les salaires de cet hôpital seront tous augmentés de 20%, elle touchera donc : 100 + 20 = 120 % de son ancien salaire. Son nouveau salaire sera de : 120/100 x 1 600 = 1 920 €. On peut définir une fonction affine pour modéliser la situation : f(x) = (1 + 20/100)x ou f(x) = 1,2 x. Ainsi, pour calculer le nouveau salaire des autres employés, il suffit de prendre l'ancien et de le multiplier par 1,2.

M Rick Hochet est vendeur de jouet. A la période de Noël, il baisse tous les prix de son magasin de 15 %. Chaque jouet coûtera donc : 100 - 15 = 85 % de son ancien prix. Le nouveau prix d'un jouet de 40 € sera de : 85/100 x 40 = 38,25 €. On peut définir une fonction affine pour modéliser la situation : g(x) = (1 - 15/100)x ou g(x) = 0,85 x. Ainsi, pour calculer le nouveau prix des autres jouets, il suffit de prendre l'ancien prix et de le multiplier par 0,85.

EXERCICES

Company Name

Reconnaître une fonction

expression-graphique

déterminer une fonction à partir de sa représentation graphique

Calculs d'images

QCM

tableau

Image - antécédent

Revenue streams result from value propositions successfully offered to customers.