Thalès

Le théorème de Thalès

Alors : plus beau ou moins beau que Pythagore ?!?

1. Rappels de proportionnalité
2. Un peu d'histoire
3. Les configurations de Thalès
4. Le théorème
5. Exercices résolus
6. À toi de jouer !

Plan du cours

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BONUS

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Un peu de lecture, avant de commencer

L’homme de l’ombre Au cours de sa jeunesse, Thalès partit à la découverte de l'Égypte. Après plusieurs jours de voyage, il aperçut, dressée au milieu d'un large plateau, la pyramide de Kheops ! Thalès n'avait jamais rien vu d'aussi imposant. Cette pyramide a été dressée par le pharaon Kheops dans le seul but d'obliger les humains à se persuader de leur petitesse. Ce monument, volontairement démesuré défiait Thalès. Quels qu'aient été les buts du pharaon, il restait une évidence : la hauteur de la pyramide était impossible à mesurer. Thalès voulut relever le défi, il se leva et regarda sa propre ombre se déployer en direction de l'ouest ; il pensa que, quelle que soit la petitesse d'un objet, il existe toujours un éclairage qui le fait grand. Longtemps, il resta debout, immobile, les yeux fixés sur la tache sombre que faisait son corps sur le sol. Il la vit rapetisser à mesure que le soleil s'élevait dans le ciel. « Que ce soit l'Hélios des Grecs ou le dieu Râ des égyptiens, le soleil ne fait aucune différence entre toutes les choses du monde, il les traite de la même façon. En traitant semblablement l'homme minuscule et la gigantesque pyramide, le soleil établit la possibilité de la mesure commune. » Thalès se pénétra de cette idée : le rapport que j'entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. Il en déduisit ceci : à l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur ! La voilà l'idée cherchée. Encore fallait-il pouvoir la mettre à exécution. Thalès ne pouvait effectuer seul l'opération. Il fallait être deux. Le fellah accepta de l'aider. Thalès traça dans le sable un cercle au rayon égal à sa propre taille, se plaça au centre, se redressa afin d'être bien droit. Puis il fixa des yeux le bout de son ombre. Lorsque celui-ci atteignit le cercle, c'est à dire lorsque la longueur de l'ombre fut égale à sa taille, il lança le cri convenu. Le fellah, qui guettait, planta immédiatement un pieu à l'endroit atteint par l'extrémité de l'ombre de la pyramide. Thalès courut vers le pieu. À l'aide d'une corde bien tendue, ils mesurèrent la distance séparant le pieu de la base de la pyramide. Quand ils eurent calculé la longueur de l'ombre, ils connurent la hauteur de la pyramide ! Thalès était fier. Avec l'aide du fellah, il avait inventé une ruse. Le vertical m'est inaccessible ? Je l'obtiendrai par l'horizontale. Je ne peux mesurer la hauteur parce qu'elle se perd dans le ciel ? Je mesurerai son ombre écrasée sur le sol. Avec le « petit », mesurer le « grand ». Avec l' « accessible », mesurer l' « inaccessible ». Avec le « proche », mesurer le lointain ». Extrait du livre « Le théorème du perroquet » de Denis Guedj

La vie de Thalès

Thalès serait né vers 625 avant JC, à Milet, sur la côte ionienne (Turquie actuelle). Il est présenté comme un mathématicien, un physicien, un philosophe et un homme d'état mais son domaine de prédilection est l'astronomie. Il est surtout le premier scientifique grec connu. Il ne s’intéressa que très peu à la numération et au calcul. En revanche, il fut le premier à considérer l’angle comme véritable objet mathématique, au même titre que la longueur des côtés. D’ailleurs, il a découvert les propriétés suivantes (les connaissez-vous ?) :

• Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.
• Les angles opposés par le sommet sont égaux.
• Un triangle est déterminé si sa base et ses angles à la base sont donnés.
• Un triangle inscrit dans un cercle et tel qu'un de ses côtés soit un diamètre du cercle, est rectangle.

Thalès a été présenté par le premier spéculateur de l'histoire : très pauvre, il a pourtant réussi à s'enrichir rapidement, grâce à des olives ! En faisant des observations astronomiques, il avait prévu une abondante récolte d'olives. Il décida donc de louer tous les pressoirs de la ville, qui permettaient de faire de l'huile. Le moment venu, tout le monde a évidemment voulu un pressoir. Thalès les sous-loua donc en se faisant une marge importante. C'est l'histoire de l'offre et de la demande !... Il devint riche, et donna au passage une leçon à ceux qui pensaient que les philosophes doivent forcément être pauvres.Thalès ayant maintenant suffisamment d'argent, il put consacrer la fin de sa vie aux études et aux voyages. C’est au cours de l'un d'eux qu’il aurait rencontré un jeune mathématicien du nom de Pythagore (cela vous dit quelque chose ?..). Il lui aurait conseillé de voyager pour parfaire ses connaissances. Son premier périple le mena en Égypte. Là, il osa défier le roi Amasis en calculant la hauteur des pyramides grâce à leur ombre : c'est une première utilisation du théorème qui porte son nom et qui est encore étudié de nos jours par tous les collégiens. Son idée était la suivante : "Le rapport que j'entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne." Curieusement, ce n’est pas Thalès qui a fait la démonstration de cette propriété, mais un autre mathématicien du nom d’Euclide (on en reparlera en 3ème !). Ce n’est qu’au XIXème siècle qu’on lui donna le nom de théorème de Thalès, en France ! (En Allemagne, le théorème de Thalès est la quatrième propriété citée au-dessus...) Ses études en astronomie permettent à Thalès de se rendre compte que l'année dure 365 jours et la légende prétend qu'il réussit à prédire l'éclipse du soleil du 28 mai de l'an - 585. Si rien ne peut le prouver, il fut le premier à en expliquer le phénomène. Autant vous dire que ça a fait son petit effet ! Thalès mourut, alors qu'il assistait à une fête, lors d'une compétition d'athlétisme, aux environs de 560 avant JC.

Et une illustration pour continuer

Un peu d'histoire

Proportionnalité

Sais-tu faire ?

Dans le tableau de proportionnalité suivant, trouve la valeur de AB et CD et vérifie tes réponses :

On peut aussi écrire les égalités suivantes : On peut faire des "produits en croix" :

Les configurations de Thalès

Retenir :- deux droites sécantes ;- un petit triangle et un grand triangle ;- un sommet en commun ;- deux côtés "alignés" ;- les deux derniers côtés parallèles.

Remarque : la figure 2 est plutôt vue en 3ème, on l'appelle la configuration papillon.

Les droites bleues sont parallèles.

Le théorème de Thalès

Remarque : finalement, Thalès dit que les longueurs des côtés des triangles sont proportionnelles !!

Exercices résolus

(QT) // (RS)

(AD) // (CE)

On sait que : - P, Q, R et P, T, S sont alignés (P est commun aux deux triangles PQT et PRS) - (QT) // (RS) -> Les triangles PQT et PRS sont en situation de Thalès Or : d’après le théorème de Thalès, on a Donc :

On sait que : - A, B, E et D, B, C sont alignés (B est commun aux triangles ABD et BCE) - (AD) // (CE) -> Les triangles ABD et BCE sont en situation de Thalès. Or : d’après le théorème de Thalès, on a Donc :

À toi de jouer !!!

Un premier exercice assez basique

Une feuille d'entraînement :- reconnaître les situations de Thalès et écrire les égalités de rapports ;- des tableaux de proportionnalité.

La tour Eiffel, pour changer des pyramides !

Entraînement

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Prends un crayon et une feuille, pour tenter de faire les exercices, et vérifie avec les corrigés

Corrigé

Corrigé

Corrigé

Prends une feuille, un crayon, ta calculatrice !

Corrigé

On sait que : - (ED) et (BC) sont parallèles - A, D et B, et A, E et C sont alignés -> Les triangles ADE et ABC sont en configuration de Thalès. Or : d’après le théorème de Thalès, on a : Donc :

Corrigé

BONUS

Une vidéo explicative

Tu n'as toujours pas vu le rapport entre une éclipse et le théorème de Thalès ?C'est ici que ça se passe !(Active Adobe Flash, si besoin !)

C'est fini !