presentazione
il legame invisibile
indice
la gravitazione
campo gravitazionale
energia potenziale gravitazionale
3 leggi di keplero
La gravitazione
legge di gravitazione universale
le leggi di Keplero sono di natura empirica perche provengono da un accurata osservazione dei pineti durante gli anni.ma al tempo della loro formulazione non avevamo ancora un a teoria della gravitazione in grado di spiegare il perche i pianeti si muovono su orbite con caratteristiche descritte. Newton introduse una forza detta gravitazionale che si esercita a distanza , questa forza è detta universale e fa si che due corpi qualsiasi si attraggano.
LA FORZA GRAVITAZIONALE TRA DUE PUNTI MATERIALI la forza gravitazionale è : 1 direttamente proporzionale a ciascuna massa ,ossia al prodotto di m1 e m2 2 inversamente proporzionale al quadrato della distanza r 3 diretta lungo la retta che congiunge i due punti materiali 4 per il terzo principio della dinamica , la forza che il primo punto materiale esercita sul secondo è uguale e opposta alla forza che il secondo esercita sul primo
LA FORZA GRAVITAZIONALE TRA DUE CORPI ESTESI
i corpi estesi esercitano e subiscono forze gravitazionali come se avessero tutta la massa concentrata nel loro centro la terra ha all incirca una simmetrica sferica di raggio Rt. cosi , per calcolare la forza gravitazionale tra la terra e un satellite, si applica la prima formula prima citata ponendo r uguale alla distanza del satellite (un punto materiale) dal centro della terra
se h è l altitudine del satellite si ha r=Rt e la prima formula diventa: con m e Mt masse del satellite e della terra. La fdorza sarebbe la stessa se Mt fosse addensata nel centro della terra.
L ESPERIMENTO DI CAVENDISH
la forza peso che si esercita su un corpo di massa m è uguale alla forza gravitazionale con cui la terra attrae il corpo posto vicino alla sua superficie. la distanza del corpo dal centro della terra è uguale al raggio terrestre Rt . quindi , per la formula sopra il modulo Fp è: se conosciamo però G e Rt, è sufficiente misurare la massa m e la forza peso Fp esercitata sul corpo per ricavare la massa Mt della terra: il raggio terrestre: Rt=6,37x10^6m Cio era gia stato misurato da ERASTOTENE ad Alessandria d Egitto circa 2200 anni fa e quindi era anche conosciuto ai tempi di Newton. la costante G fu invece scoperta piu tardi grazie alla bilancia a torsione , usata per la prima volta da HENRY CAVENDISH Dall esperimento con la bilancia di Cavendish si ottengono: il valore della costante di gravitazione universale oggi accettato G=6,67x10^-11 Nxm^2/kg il valore dellamassa della terra Mt=5,97x10^24 kg
L ACCELERAZIONE DI GRAVITA' SULLA SUPERFICIE DELLA TERRA
la formula prima citata può essere scritta mettendo in evidenzia la massa m del corpo che risente dell'attrazione gravitazionale:
poiche il modulo Fp è dato dal prodotto trea la massa m e l accelerazioni di gravità sulla superficie terrestre che indichiamo come g0 e dalla formula precedente si ricava che la qualità tra parentesi è uguale a g0
il valore g=9,81 m/s^2 corrisponde al valore medio del accelerazione di gravità in prossimità della superficie terrestre.Infatti visto che la superficie della terra non è perfettamente sferica Rt non è costante e il valore di g0 cambia in base all altitudine, g è maggiore ai poli e minore all equatore.
LA MASSA INNERZIALE E LA MASSA GRAVITAZIONALE
la massa è una grandezza che compare concettualmente molto diversi:Nel secondo principio della dinamica con F=ma Nella legge di graviotazione universale. La massa gravitazionale di un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa innerziale.Grazie a questa relazione di proporzionalità si è potuto prendere il KILOGRAMMO come unità di misura per entrambe le grandezze. Se si sceglie lo stesso corpo come campione per la misura delle masse m ed mg, entrambe misurano sempre lo stesso numero di kilogrammi e il rapporto m/mg vale 1. Se si sceglie lo stesso corpo come campione per la misura delle masse m ed ils entrambe misurano sempre lo stesso numero di kilogrammi e il rapporto
mim, vale 1.
L'evidenza sperimentale dell'uguaglianza tra m ed m, non trova posto nella teoria della meccanica newtoniana, ma si inserisce nel quadro della teoria della relatività generale pubblicata da Albert Einstein tra il 1915 e il 1916, che descrive l'interazione gravitazionale fuori dall'ambito di validità della teoria gravitazionale classica esposta in questo capitolo. Uno dei principi fondamentali della teoria, detto principio di equivalenza, stabilisce che, se si considera una regione dello spazio limitato e una durata temporale breve, il moto uniformemente accelerato di un corpo non è distinguibile dalla caduta libera dello stesso corpo mosso da una forza gra-vitazionale. La massa inerziale e la massa gravitazionale diventano allora, anche a livello teorico, un'unica grandezza alla quale associare lo stesso valore.
IL MOTO DEI SATELLITI
Se immaginiamo un cannone che spara in orizzontaledalla cima di una montagna molto alta , con potenza di fuoco crescente in modo che i proiettili escano con velocità iniziale sempre piu grandi. Un SATELLITE ARTIFICIALE è un proiettile lanciato con una velocità tale da non farlo più atterrare. TIPI DI ORBITE Esistono infiniti orbite ellittiche e nfinite traiettorie iperboliche ; le prime sono separate dalle seconde dalla traiettoria parabolica.
ORBITE CIRCOLARI
Indichiamo con m e Mt rispettivamente la massa del satellite e quella della Terra e supponiamo di conoscere il raggio rdell orbita circolare del satellite . Vogliamo determinare il modulo v della sua velocià. Se prendiamo il secondo principio di gravità F=ma ci ricaviamo : Più un satellite è distante dal centro della terra più è lento. Un SATELLITE GEOSTAZIONARIOpercorre un'orbita equatoriale circolare con un periodo uguale al periodo di rotazione della Terra ;quindi è fermo rispetto alla superficie terrestre. Affinche la condizione sul tempo di rivoluzione sia soddisfatta , un satellite geostazionario deve avere un'altitudine h=35800km sopra il livello del mare , ossia la seguente distanza dal centro della Terra:
SATELLITI GEOSTAZIONARI
LE LEGGI DI KEPLERO
- La prima legge o legge delle orbite ellittiche : Le orbite descritte dai pianeti attorno al Sole sono ellissi con il Sole in uno dei due fuochi ( quando un pianeta è piu vicino al Sole si chiama PERIELIO, quando è piu lontano AFELIO)
- La seconda legge o delle aree : qui Keplero stabilisce come varia la velocità di un pianeta lungo l'orbita . Il raggio vettore che va dal Sole a un pianeta spazzatura aree uguali in intervalli di tempo uguali.
Come consegnuenza di questa legge , nel nostro emisfero la primavera e l'estate sono più lunge dell' autunno e dell' inverno.
I MODELLI COSMOLOGICO E LE LEGGI DI KEPLERO
Il modello geocentrico, teorizzato da Aristotele nel IV secolo a.C., poneva la Terra al centro dell'universo. Per spiegare il moto retrogrado dei pianeti, Tolomeo introdusse nel II secolo d.C. il sistema degli epicicli e dei deferenti, che rimase la spiegazione ufficiale fino alla fine del Medioevo. Nel 1543, Niccolò Copernico rivoluzionò questa visione con il modello eliocentrico, ponendo il Sole al centro e spiegando il moto retrogrado come un semplice effetto prospettico dovuto alla rotazione della Terra.Tuttavia, il modello copernicano presentava ancora imprecisioni poiché utilizzava orbite circolari. Questo difetto fu corretto dall'astronomo Giovanni Keplero che,formulò tre leggi fondamentali.
- La terza leggeo legge dei periodi: Keplero mette in relazione le distanze dei pianeti dal Sole con in tempi percorrenza dell'ombra . Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore a dell'orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione T è lo stesso per tutti i pianeti:
Il semiasse maggiore di un'ellissi è uguale alla distanza media di un punto P dell'ellisse da una dei due fuochi , per questo la lunghezza a indica la distanza media tra un pianeta e il Sole , quindi otteniamo :
Dunque più un pianeta è distante dal Sole , maggiore è l'intervallo di tempo che esso impiega per compiere la propria orbita .
LA DEDUZIONE DELLE LEGGI DI KEPLERO
La grande intuizione di Newton fu quella di dimostrare che le Leggi di Keplero non sono semplici osservazioni empiriche, ma la conseguenza naturale della legge di gravitazione universale. Secondo questo modello, le leggi di Keplero risultano matematicamente esatte quando studiamo un sistema isolato composto da soli due corpi; in questo caso, il loro centro di massa comune occupa uno dei due fuochi dell’orbita ellittica. Nel nostro Sistema Solare, questa condizione si verifica con estrema precisione perché il Sole possiede una massa straordinaria, che da sola rappresenta oltre il 99% della massa totale del sistema (essendo, per dire, circa mille volte più massiccio di Giove). Questa sproporzione fa sì che il centro di massa dell'intero sistema coincida quasi perfettamente con il centro del Sole, rendendo trascurabili le reciproche attrazioni tra i pianeti rispetto alla forza dominante esercitata dalla nostra stella. Oggi, grazie alla meccanica celeste, siamo in grado di superare le semplificazioni di base e calcolare con estrema esattezza i movimenti di ogni corpo celeste, dai satelliti ai pianeti, basandoci semplicemente sulla conoscenza delle loro masse, delle loro posizioni e delle loro velocità iniziali.
- Prima legge :Combinando la legge di gravitazione universale con il secondo principio della dinamica di Newton (F = ma), è possibile determinare matematicamente tutte le possibili traiettorie che un corpo (come un pianeta, un satellite o una sonda) può percorrere quando è soggetto alla forza di gravità di un corpo molto più massiccio.
Abbiamo due tipi di traiettorie :- Traglietorie chiuse hanno la forma di un'ellisse o,caso particolare, una circonferenza
- Traglietorie aperte : hanno la forma di una parabola o di un ramo di iperbole. Dunque la prima legge è spiegata dalle proprietà matematiche della legge di gravitazione universale , in particolare del fatto che la forza di gravità decresce con il quadrato della distanza.
• Seconda legge : Durante il moto orbitale di un pianeta, la forza gravitazionale "F" esercitata dal Sole agisce lungo la stessa linea del vettore posizione "r" (ovvero sono vettori paralleli e discordi). Poiché la forza è centrale, il momento della forza risulta nullo. Di conseguenza, se si trascura l'attrazione degli altri pianeti, il momento angolare del pianeta si conserva costante, permettendo così di dimostrare che il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali. Si può dimostrare che : la seconda legge è una conseguenza della legge di conservazione del momento angolare . Considerando il moto di rivoluzione della Terra attorno al Sole, la seconda legge di Keplero stabilisce che la Terra si muove con velocità variabile lungo la sua orbita ellittica: in particolare, è più veloce al perielio (il punto più vicino al Sole) e più lenta all'afelio (il punto più lontano). Questa variazione trova una spiegazione fondamentale nella conservazione del momento angolare. Nei punti di afelio (A) e perielio (P), il vettore velocità "v" della Terra è perpendicolare al raggio vettore "r" che parte dal centro del Sole. In queste specifiche posizioni, il modulo del momento angolare (L) si calcola semplicemente con la formula:
(dove Mt è la massa della Terra, r la distanza dal Sole e v la velocità orbitale).La tabella riporta i valori misurati per la distanza Terra-Sole e per il modulo della velocità della Terra rispetto al Sole. Poiché il momento angolare del sistema deve rimanere costante durante tutto il moto orbitale, il prodotto tra la distanza e la velocità deve compensarsi: • Al perielio, dove la distanza (rp) è minima, la velocità (vp) deve essere massima per mantenere costante il valore di L. • All'afelio, dove la distanza (rª) è massima, la velocità (vª) deve necessariamente diminuire. In sintesi, la variazione di velocità della Terra lungo l'orbita non è casuale, ma è la conseguenza fisica necessaria affinché il momento angolare rispetto al centro del Sole si conservi nel tempo.
• La terza legge: Per semplificare la dimostrazione, si considerano i pianeti in orbita circolare con moto uniforme. In questo caso, la velocità orbitale v è legata al raggio dell'orbita r e al periodo di rivoluzione T dalla formula:
Combinando questa relazione con le leggi della gravitazione (in particolare l'uguaglianza tra forza centripeta e forza gravitazionale), si ottiene che il rapporto tra il cubo del raggio e il quadrato del periodo è costante:
Questo risultato, che resta valido anche per le orbite ellittiche sostituendo il raggio con il semiasse maggiore a, esprime formalmente la Terza legge di Keplero:
Il punto fondamentale è che la costante di proporzionalità
non è universale, ma dipende esclusivamente dalla massa M del corpo centrale attorno a cui avviene il moto: •Se consideriamo il Sole (MSole), otteniamo un valore di K valido per tutti i pianeti del Sistema Solare. • Se consideriamo la Terra (MTerra), otteniamo un valore di K diverso, valido per la Luna e per tutti i satelliti artificiali terrestri. In conclusione, grazie alla legge di gravitazione universale di Newton, è possibile calcolare teoricamente quella costante che Keplero aveva individuato solo sperimentalmente, dimostrando che il moto dei pianeti è regolato dalla massa del corpo celeste dominante.
CAMPO GRAVITAZIONALE
Di norma, nei fenomeni di meccanica, due corpi devono entrare in contatto per interagire con una forza. Eppure, la forza di attrazione gravitazionale si esercita a distanza e non richiede alcun contatto. Come fa allora il Sole ad attrarre i pianeti attraverso il vuoto cosmico? Inoltre, come fa questa forza ad agire in modo istantaneo a grandi distanze? I corpi massivi creano nello spazio un CAMPO GRAVITAZIONALE ogni corpo massivo ,istante per istante , risente di com'è fatto il campo nella propria posizione.
IL SUPERAMENTO DEL CONCETTO DI FORZA A DISTANZA
I CAMPI E LA PROPAGAZIONE DEI SEGNALI
Il concetto di azione a distanza è in conflitto con la teoria della relatività generale, che invece è compatibile con il concetto di campo.
IL VETTORE CAMPO GRAVITAZIONALE
La MASSA DI PROVA è una massa che mostra resistenza nel punto in cui viene collocata
Il campo gravitazionale i n un punto è l accelerazione che viene im oressa dalla forza gravitazionale a qualunque corpo posto in quel punto
IL CAMPO GRAVITAZIONALE IN UN PUNTO MATERIALE
Il CAMPO GRAVITAZIONALE in un punto P dipende solo dalle masse dei punti materiali da cui è generato e dalle loro posizioni rispetto a P . La formula mostra la dipendenza di g dalla distanza dal centro della Terra. Tulta-via, il valore misurato di g varia anche con la latitudine (per meno di una par te su 100), per due ragioni:
• perché la Terra non ha una simmetria sferica perfetta, ma è schiacciata ai pall oltre a essere composta da strati di densità non omogenea;
• a causa della forza centrifuga apparente, massima all'Equatore e nulla ai poli, associata alla rotazione della Terra, che nel sistema di riferimento terrestre viene percepita come una piccola riduzione della forza-peso.
IL CAMPO GRAVITAZIONALE DELLA TERRA
VERIFICA DELL'UNIVERSALITA' DELLA LEGGE DI GRAVITAZIONE
CON LA DINAMICA Supponiamo che l'orbita lunare sia circolare e indichiamo con ril suo raggio, pari a circa 60 volte il raggio della Terra R, La Luna è sottoposta a un accelerazione centripeta uguale al modulo del campo gravitazionale g alla distanza r. Dalla (17) otteniamo CON LA CINEMATICA Il periodo di rivoluzione della Luna attorno alla Terra è 27,3 giorni. Dalle formule del moto circolare uniforme, otteniamo Come scrisse Newton, i due valori corrispondono quasi esattamente. La legge di gravitazione universale è in grado di descrivere in modo corretto tanto la dinamica dei corpi in caduta libera sulla superficie terrestre, quanto quella dei
moti celesti. l'accelerazione di gravità sulla Stazione Spaziale Internazionale (ISS) è g = 8,7 m/s'. La forza di attrazione gravitazionale sugli astronauti è quindi minore di quando sono sulla Terra, ma non è di certo trascurabile. Come mai allora li vediamo fluttuare come se la gravità non ci fosse e devono ancorarsi a dei sostegni per rimanere a contatto con la struttura della ISS? Il motivo è che osserviamo il loro moto rispetto alla ISS, che è in orbita attorno alla Terra, ed è quindi un sistema di riferimento non inerziale, in particolare un sistema in rotazione.
PERCHE GLI ASTRONAUTI IN ORBITA NON AVVEROTONO IL PESO
ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE
la forza peso su un corpo di massa m è una forza conservativa e per tale motivo possiamo associare alla forza peso la sua energia potenziale Ug=mgy dove la y è l altezza del corpo da un riferimento arbitrario quando l atezza varia la variazione di energia potenziale gravitazionale è uguale e opposta al lavoro compiuto dalla forza peso: 1 se il corpo cade verso il suolo cioe se il lavoron della forza peso è positivo allora U diminuisce 2 se il corpo si inalza quindi il lavoro della forza peso è negativo U aumenta dopo aver posto lo zero di U in un punto di riferimento arbitrario R , da questa relazione si vede che il valore di U in qualunque altro punto P è datp dal lavoro compiuto dalla forza per uno spostamento da P a R
l energia potenziale nell interazione tra la terra e un corpo lontano
immaginiamo che si avvicini alla terra un meteorite di massa m , per la sua grande distanza dal pianeta terra , la forz gravitazionale esercitata su di esso dalla terra nonm puo essere approssimata . per uno spostamento da un punto A a distanza ra a un punto B a distanza rb si dimostra che: il lavoro dipende da A a B , ma mon dalla traiettoria seguita da A e B L ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE U è MAGGIORE SE LA DISTANZA r TRA I CORPI INTERAGENTI è MAGGIORE ; IN ALTRE PAROLE,U è UNA FUNZIONE CRESCENTE DI r
L ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE DI DUE PUNTI MATERIALI
L' energia potenziale gravitazionale U di un sistema composto da due corpi separati da una distanza r è Se un corpo si allontana dall' altro, U aumenta, passando da un valore negativo con valore assoluto maggiore a un valore negativo con valore assoluto minore. Grafico
L' energia potenziale della forza peso
Quando si calcolano le variazioni di energia potenziale nelle vicinanze della superficie terrestre, la formula e la formula generale dell' energia potenziale gravitazionale danno lo stesso risultato.
La conservazione dell' energia nell' interazione gravitazionale
Un proiettile e la Terra si possono modellizzare come un sistema nel quale l' energia meccanica si conserva.
La velocità di fuga
Un proiettile abbandona la Terra se la sua energia meccanica è nulla o positiva al momento del lancio e il minimo valore della velocità iniziale che consente al proiettile di abbandonare la Terra è detta velocità di fuga (il valore che rende nulla l' energia meccanica)
La velocità di fuga della Terra è
Il buco nero
Se la velocità di fuga di una stella, dopo il collasso gravitazionale, è diventata maggiore di c, la stella si è trasformata in un buco nero, un <<pozzo>> gravitazionale da cui niente può allontanarsi, neanche la luce. Il valore critico fino a cui una stella di massa M deve restringere il suo raggio per diventare un buco nero è detto raggio di Schwarzschild.
L' effetto fionda
Nel sistema di riferimento del Sole, la sonda viene rilanciata dal pianeta con una velocità maggiore di quella con cui è arrivata, a condizione che il pianeta si muova incontro alla sonda nella fase di avvicinamento.
Grazie per l' attenzione
Pecchia Francesca Pia ; Palermo Alessio; Gestaro lucia ; Picardi Carla
il legame invisibile
Francesca Pia
Created on April 30, 2026
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presentazione
il legame invisibile
indice
la gravitazione
campo gravitazionale
energia potenziale gravitazionale
3 leggi di keplero
La gravitazione
legge di gravitazione universale
le leggi di Keplero sono di natura empirica perche provengono da un accurata osservazione dei pineti durante gli anni.ma al tempo della loro formulazione non avevamo ancora un a teoria della gravitazione in grado di spiegare il perche i pianeti si muovono su orbite con caratteristiche descritte. Newton introduse una forza detta gravitazionale che si esercita a distanza , questa forza è detta universale e fa si che due corpi qualsiasi si attraggano.
LA FORZA GRAVITAZIONALE TRA DUE PUNTI MATERIALI la forza gravitazionale è : 1 direttamente proporzionale a ciascuna massa ,ossia al prodotto di m1 e m2 2 inversamente proporzionale al quadrato della distanza r 3 diretta lungo la retta che congiunge i due punti materiali 4 per il terzo principio della dinamica , la forza che il primo punto materiale esercita sul secondo è uguale e opposta alla forza che il secondo esercita sul primo
LA FORZA GRAVITAZIONALE TRA DUE CORPI ESTESI
i corpi estesi esercitano e subiscono forze gravitazionali come se avessero tutta la massa concentrata nel loro centro la terra ha all incirca una simmetrica sferica di raggio Rt. cosi , per calcolare la forza gravitazionale tra la terra e un satellite, si applica la prima formula prima citata ponendo r uguale alla distanza del satellite (un punto materiale) dal centro della terra
se h è l altitudine del satellite si ha r=Rt e la prima formula diventa: con m e Mt masse del satellite e della terra. La fdorza sarebbe la stessa se Mt fosse addensata nel centro della terra.
L ESPERIMENTO DI CAVENDISH
la forza peso che si esercita su un corpo di massa m è uguale alla forza gravitazionale con cui la terra attrae il corpo posto vicino alla sua superficie. la distanza del corpo dal centro della terra è uguale al raggio terrestre Rt . quindi , per la formula sopra il modulo Fp è: se conosciamo però G e Rt, è sufficiente misurare la massa m e la forza peso Fp esercitata sul corpo per ricavare la massa Mt della terra: il raggio terrestre: Rt=6,37x10^6m Cio era gia stato misurato da ERASTOTENE ad Alessandria d Egitto circa 2200 anni fa e quindi era anche conosciuto ai tempi di Newton. la costante G fu invece scoperta piu tardi grazie alla bilancia a torsione , usata per la prima volta da HENRY CAVENDISH Dall esperimento con la bilancia di Cavendish si ottengono: il valore della costante di gravitazione universale oggi accettato G=6,67x10^-11 Nxm^2/kg il valore dellamassa della terra Mt=5,97x10^24 kg
L ACCELERAZIONE DI GRAVITA' SULLA SUPERFICIE DELLA TERRA
la formula prima citata può essere scritta mettendo in evidenzia la massa m del corpo che risente dell'attrazione gravitazionale:
poiche il modulo Fp è dato dal prodotto trea la massa m e l accelerazioni di gravità sulla superficie terrestre che indichiamo come g0 e dalla formula precedente si ricava che la qualità tra parentesi è uguale a g0
il valore g=9,81 m/s^2 corrisponde al valore medio del accelerazione di gravità in prossimità della superficie terrestre.Infatti visto che la superficie della terra non è perfettamente sferica Rt non è costante e il valore di g0 cambia in base all altitudine, g è maggiore ai poli e minore all equatore.
LA MASSA INNERZIALE E LA MASSA GRAVITAZIONALE
la massa è una grandezza che compare concettualmente molto diversi:Nel secondo principio della dinamica con F=ma Nella legge di graviotazione universale. La massa gravitazionale di un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa innerziale.Grazie a questa relazione di proporzionalità si è potuto prendere il KILOGRAMMO come unità di misura per entrambe le grandezze. Se si sceglie lo stesso corpo come campione per la misura delle masse m ed mg, entrambe misurano sempre lo stesso numero di kilogrammi e il rapporto m/mg vale 1. Se si sceglie lo stesso corpo come campione per la misura delle masse m ed ils entrambe misurano sempre lo stesso numero di kilogrammi e il rapporto mim, vale 1. L'evidenza sperimentale dell'uguaglianza tra m ed m, non trova posto nella teoria della meccanica newtoniana, ma si inserisce nel quadro della teoria della relatività generale pubblicata da Albert Einstein tra il 1915 e il 1916, che descrive l'interazione gravitazionale fuori dall'ambito di validità della teoria gravitazionale classica esposta in questo capitolo. Uno dei principi fondamentali della teoria, detto principio di equivalenza, stabilisce che, se si considera una regione dello spazio limitato e una durata temporale breve, il moto uniformemente accelerato di un corpo non è distinguibile dalla caduta libera dello stesso corpo mosso da una forza gra-vitazionale. La massa inerziale e la massa gravitazionale diventano allora, anche a livello teorico, un'unica grandezza alla quale associare lo stesso valore.
IL MOTO DEI SATELLITI
Se immaginiamo un cannone che spara in orizzontaledalla cima di una montagna molto alta , con potenza di fuoco crescente in modo che i proiettili escano con velocità iniziale sempre piu grandi. Un SATELLITE ARTIFICIALE è un proiettile lanciato con una velocità tale da non farlo più atterrare. TIPI DI ORBITE Esistono infiniti orbite ellittiche e nfinite traiettorie iperboliche ; le prime sono separate dalle seconde dalla traiettoria parabolica.
ORBITE CIRCOLARI
Indichiamo con m e Mt rispettivamente la massa del satellite e quella della Terra e supponiamo di conoscere il raggio rdell orbita circolare del satellite . Vogliamo determinare il modulo v della sua velocià. Se prendiamo il secondo principio di gravità F=ma ci ricaviamo : Più un satellite è distante dal centro della terra più è lento. Un SATELLITE GEOSTAZIONARIOpercorre un'orbita equatoriale circolare con un periodo uguale al periodo di rotazione della Terra ;quindi è fermo rispetto alla superficie terrestre. Affinche la condizione sul tempo di rivoluzione sia soddisfatta , un satellite geostazionario deve avere un'altitudine h=35800km sopra il livello del mare , ossia la seguente distanza dal centro della Terra:
SATELLITI GEOSTAZIONARI
LE LEGGI DI KEPLERO
Come consegnuenza di questa legge , nel nostro emisfero la primavera e l'estate sono più lunge dell' autunno e dell' inverno.
I MODELLI COSMOLOGICO E LE LEGGI DI KEPLERO
Il modello geocentrico, teorizzato da Aristotele nel IV secolo a.C., poneva la Terra al centro dell'universo. Per spiegare il moto retrogrado dei pianeti, Tolomeo introdusse nel II secolo d.C. il sistema degli epicicli e dei deferenti, che rimase la spiegazione ufficiale fino alla fine del Medioevo. Nel 1543, Niccolò Copernico rivoluzionò questa visione con il modello eliocentrico, ponendo il Sole al centro e spiegando il moto retrogrado come un semplice effetto prospettico dovuto alla rotazione della Terra.Tuttavia, il modello copernicano presentava ancora imprecisioni poiché utilizzava orbite circolari. Questo difetto fu corretto dall'astronomo Giovanni Keplero che,formulò tre leggi fondamentali.
Il semiasse maggiore di un'ellissi è uguale alla distanza media di un punto P dell'ellisse da una dei due fuochi , per questo la lunghezza a indica la distanza media tra un pianeta e il Sole , quindi otteniamo :
Dunque più un pianeta è distante dal Sole , maggiore è l'intervallo di tempo che esso impiega per compiere la propria orbita .
LA DEDUZIONE DELLE LEGGI DI KEPLERO
La grande intuizione di Newton fu quella di dimostrare che le Leggi di Keplero non sono semplici osservazioni empiriche, ma la conseguenza naturale della legge di gravitazione universale. Secondo questo modello, le leggi di Keplero risultano matematicamente esatte quando studiamo un sistema isolato composto da soli due corpi; in questo caso, il loro centro di massa comune occupa uno dei due fuochi dell’orbita ellittica. Nel nostro Sistema Solare, questa condizione si verifica con estrema precisione perché il Sole possiede una massa straordinaria, che da sola rappresenta oltre il 99% della massa totale del sistema (essendo, per dire, circa mille volte più massiccio di Giove). Questa sproporzione fa sì che il centro di massa dell'intero sistema coincida quasi perfettamente con il centro del Sole, rendendo trascurabili le reciproche attrazioni tra i pianeti rispetto alla forza dominante esercitata dalla nostra stella. Oggi, grazie alla meccanica celeste, siamo in grado di superare le semplificazioni di base e calcolare con estrema esattezza i movimenti di ogni corpo celeste, dai satelliti ai pianeti, basandoci semplicemente sulla conoscenza delle loro masse, delle loro posizioni e delle loro velocità iniziali.
Abbiamo due tipi di traiettorie :- Traglietorie chiuse hanno la forma di un'ellisse o,caso particolare, una circonferenza
- Traglietorie aperte : hanno la forma di una parabola o di un ramo di iperbole. Dunque la prima legge è spiegata dalle proprietà matematiche della legge di gravitazione universale , in particolare del fatto che la forza di gravità decresce con il quadrato della distanza.
• Seconda legge : Durante il moto orbitale di un pianeta, la forza gravitazionale "F" esercitata dal Sole agisce lungo la stessa linea del vettore posizione "r" (ovvero sono vettori paralleli e discordi). Poiché la forza è centrale, il momento della forza risulta nullo. Di conseguenza, se si trascura l'attrazione degli altri pianeti, il momento angolare del pianeta si conserva costante, permettendo così di dimostrare che il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali. Si può dimostrare che : la seconda legge è una conseguenza della legge di conservazione del momento angolare . Considerando il moto di rivoluzione della Terra attorno al Sole, la seconda legge di Keplero stabilisce che la Terra si muove con velocità variabile lungo la sua orbita ellittica: in particolare, è più veloce al perielio (il punto più vicino al Sole) e più lenta all'afelio (il punto più lontano). Questa variazione trova una spiegazione fondamentale nella conservazione del momento angolare. Nei punti di afelio (A) e perielio (P), il vettore velocità "v" della Terra è perpendicolare al raggio vettore "r" che parte dal centro del Sole. In queste specifiche posizioni, il modulo del momento angolare (L) si calcola semplicemente con la formula:
(dove Mt è la massa della Terra, r la distanza dal Sole e v la velocità orbitale).La tabella riporta i valori misurati per la distanza Terra-Sole e per il modulo della velocità della Terra rispetto al Sole. Poiché il momento angolare del sistema deve rimanere costante durante tutto il moto orbitale, il prodotto tra la distanza e la velocità deve compensarsi: • Al perielio, dove la distanza (rp) è minima, la velocità (vp) deve essere massima per mantenere costante il valore di L. • All'afelio, dove la distanza (rª) è massima, la velocità (vª) deve necessariamente diminuire. In sintesi, la variazione di velocità della Terra lungo l'orbita non è casuale, ma è la conseguenza fisica necessaria affinché il momento angolare rispetto al centro del Sole si conservi nel tempo.
• La terza legge: Per semplificare la dimostrazione, si considerano i pianeti in orbita circolare con moto uniforme. In questo caso, la velocità orbitale v è legata al raggio dell'orbita r e al periodo di rivoluzione T dalla formula:
Combinando questa relazione con le leggi della gravitazione (in particolare l'uguaglianza tra forza centripeta e forza gravitazionale), si ottiene che il rapporto tra il cubo del raggio e il quadrato del periodo è costante:
Questo risultato, che resta valido anche per le orbite ellittiche sostituendo il raggio con il semiasse maggiore a, esprime formalmente la Terza legge di Keplero:
Il punto fondamentale è che la costante di proporzionalità
non è universale, ma dipende esclusivamente dalla massa M del corpo centrale attorno a cui avviene il moto: •Se consideriamo il Sole (MSole), otteniamo un valore di K valido per tutti i pianeti del Sistema Solare. • Se consideriamo la Terra (MTerra), otteniamo un valore di K diverso, valido per la Luna e per tutti i satelliti artificiali terrestri. In conclusione, grazie alla legge di gravitazione universale di Newton, è possibile calcolare teoricamente quella costante che Keplero aveva individuato solo sperimentalmente, dimostrando che il moto dei pianeti è regolato dalla massa del corpo celeste dominante.
CAMPO GRAVITAZIONALE
Di norma, nei fenomeni di meccanica, due corpi devono entrare in contatto per interagire con una forza. Eppure, la forza di attrazione gravitazionale si esercita a distanza e non richiede alcun contatto. Come fa allora il Sole ad attrarre i pianeti attraverso il vuoto cosmico? Inoltre, come fa questa forza ad agire in modo istantaneo a grandi distanze? I corpi massivi creano nello spazio un CAMPO GRAVITAZIONALE ogni corpo massivo ,istante per istante , risente di com'è fatto il campo nella propria posizione.
IL SUPERAMENTO DEL CONCETTO DI FORZA A DISTANZA
I CAMPI E LA PROPAGAZIONE DEI SEGNALI
Il concetto di azione a distanza è in conflitto con la teoria della relatività generale, che invece è compatibile con il concetto di campo.
IL VETTORE CAMPO GRAVITAZIONALE
La MASSA DI PROVA è una massa che mostra resistenza nel punto in cui viene collocata
Il campo gravitazionale i n un punto è l accelerazione che viene im oressa dalla forza gravitazionale a qualunque corpo posto in quel punto
IL CAMPO GRAVITAZIONALE IN UN PUNTO MATERIALE
Il CAMPO GRAVITAZIONALE in un punto P dipende solo dalle masse dei punti materiali da cui è generato e dalle loro posizioni rispetto a P . La formula mostra la dipendenza di g dalla distanza dal centro della Terra. Tulta-via, il valore misurato di g varia anche con la latitudine (per meno di una par te su 100), per due ragioni: • perché la Terra non ha una simmetria sferica perfetta, ma è schiacciata ai pall oltre a essere composta da strati di densità non omogenea; • a causa della forza centrifuga apparente, massima all'Equatore e nulla ai poli, associata alla rotazione della Terra, che nel sistema di riferimento terrestre viene percepita come una piccola riduzione della forza-peso.
IL CAMPO GRAVITAZIONALE DELLA TERRA
VERIFICA DELL'UNIVERSALITA' DELLA LEGGE DI GRAVITAZIONE
CON LA DINAMICA Supponiamo che l'orbita lunare sia circolare e indichiamo con ril suo raggio, pari a circa 60 volte il raggio della Terra R, La Luna è sottoposta a un accelerazione centripeta uguale al modulo del campo gravitazionale g alla distanza r. Dalla (17) otteniamo CON LA CINEMATICA Il periodo di rivoluzione della Luna attorno alla Terra è 27,3 giorni. Dalle formule del moto circolare uniforme, otteniamo Come scrisse Newton, i due valori corrispondono quasi esattamente. La legge di gravitazione universale è in grado di descrivere in modo corretto tanto la dinamica dei corpi in caduta libera sulla superficie terrestre, quanto quella dei moti celesti. l'accelerazione di gravità sulla Stazione Spaziale Internazionale (ISS) è g = 8,7 m/s'. La forza di attrazione gravitazionale sugli astronauti è quindi minore di quando sono sulla Terra, ma non è di certo trascurabile. Come mai allora li vediamo fluttuare come se la gravità non ci fosse e devono ancorarsi a dei sostegni per rimanere a contatto con la struttura della ISS? Il motivo è che osserviamo il loro moto rispetto alla ISS, che è in orbita attorno alla Terra, ed è quindi un sistema di riferimento non inerziale, in particolare un sistema in rotazione.
PERCHE GLI ASTRONAUTI IN ORBITA NON AVVEROTONO IL PESO
ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE
la forza peso su un corpo di massa m è una forza conservativa e per tale motivo possiamo associare alla forza peso la sua energia potenziale Ug=mgy dove la y è l altezza del corpo da un riferimento arbitrario quando l atezza varia la variazione di energia potenziale gravitazionale è uguale e opposta al lavoro compiuto dalla forza peso: 1 se il corpo cade verso il suolo cioe se il lavoron della forza peso è positivo allora U diminuisce 2 se il corpo si inalza quindi il lavoro della forza peso è negativo U aumenta dopo aver posto lo zero di U in un punto di riferimento arbitrario R , da questa relazione si vede che il valore di U in qualunque altro punto P è datp dal lavoro compiuto dalla forza per uno spostamento da P a R
l energia potenziale nell interazione tra la terra e un corpo lontano
immaginiamo che si avvicini alla terra un meteorite di massa m , per la sua grande distanza dal pianeta terra , la forz gravitazionale esercitata su di esso dalla terra nonm puo essere approssimata . per uno spostamento da un punto A a distanza ra a un punto B a distanza rb si dimostra che: il lavoro dipende da A a B , ma mon dalla traiettoria seguita da A e B L ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE U è MAGGIORE SE LA DISTANZA r TRA I CORPI INTERAGENTI è MAGGIORE ; IN ALTRE PAROLE,U è UNA FUNZIONE CRESCENTE DI r
L ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE DI DUE PUNTI MATERIALI
L' energia potenziale gravitazionale U di un sistema composto da due corpi separati da una distanza r è Se un corpo si allontana dall' altro, U aumenta, passando da un valore negativo con valore assoluto maggiore a un valore negativo con valore assoluto minore. Grafico
L' energia potenziale della forza peso
Quando si calcolano le variazioni di energia potenziale nelle vicinanze della superficie terrestre, la formula e la formula generale dell' energia potenziale gravitazionale danno lo stesso risultato.
La conservazione dell' energia nell' interazione gravitazionale
Un proiettile e la Terra si possono modellizzare come un sistema nel quale l' energia meccanica si conserva.
La velocità di fuga
Un proiettile abbandona la Terra se la sua energia meccanica è nulla o positiva al momento del lancio e il minimo valore della velocità iniziale che consente al proiettile di abbandonare la Terra è detta velocità di fuga (il valore che rende nulla l' energia meccanica)
La velocità di fuga della Terra è
Il buco nero
Se la velocità di fuga di una stella, dopo il collasso gravitazionale, è diventata maggiore di c, la stella si è trasformata in un buco nero, un <<pozzo>> gravitazionale da cui niente può allontanarsi, neanche la luce. Il valore critico fino a cui una stella di massa M deve restringere il suo raggio per diventare un buco nero è detto raggio di Schwarzschild.
L' effetto fionda
Nel sistema di riferimento del Sole, la sonda viene rilanciata dal pianeta con una velocità maggiore di quella con cui è arrivata, a condizione che il pianeta si muova incontro alla sonda nella fase di avvicinamento.
Grazie per l' attenzione
Pecchia Francesca Pia ; Palermo Alessio; Gestaro lucia ; Picardi Carla