Funcão_quadrática.pptx

Funções do 2.º Grau

Da equação ao gráfico — entender a parábola de forma visual, passo a passo. Uma jornada pelo mundo das funções quadráticas para alunos do 10.º ano.

O que vamos aprender hoje?

01

02

03

Definição de função quadrática

Função quadrática

O Gráfico: a Parábola

Escrever a equação conhecendo as coordenadas do vértice

Concavidade, zeros, interseções e contradomínio

Expressão algébrica - polinómio do 2º grau completo e incompleto

04

05

Transformações do gráfico

Exercícios Resolvidos

Translações associadas a vetores de coordenadas inteiras

Prática guiada para consolidar os conhecimentos

O que é uma função quadrática?

Uma função real de variável real do 2.º grau é toda função f : ℝ → ℝ que pode ser escrita na forma:

f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0

O grau da função é determinado pelo maior expoente da variável — neste caso, 2. O coeficiente a nunca pode ser zero, caso contrário seria uma função do 1.º grau.

Função quadrática - Expressão algébrica

Polinómio do 2º grau completo

Polinómio do 2º grau incompleto (b = 0)

f(x) = ax² + bx + c

f(x) = ax² + c

com a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

Sem termo em x

Exemplo: f(x) = 2x² − 3x + 1

Exemplo: f(x) = x² − 4

Polinómio do 2º grau incompleto (c = 0)

Polinómio do 2º grau incompleto (b=c=0)

f(x) = ax² + bx

f(x) = ax²

Sem termo independente

Função mais simples

Exemplo: f(x) = 3x² − 6x

Exemplo: f(x) = x²

Expressão algébrica de uma função quadrática na forma

Quando conhecemos as coordenadas do vértice V(h, k) de uma parábola, podemos escrever diretamente a equação na forma canónica:

onde (h, k) são as coordenadas do vértice e a determina a abertura da parábola.

💡 Para encontrar a, substituímos as coordenadas de outro ponto conhecido do gráfico.

Exemplo

Escrever a expressão algébrica de uma função f , cujo vértice é V(2, −3) e que a parábola passa pelo ponto (0, 5).

Forma geral:

Concavidade: Para Cima ou Para Baixo?

A regra é simples:

a > 0 → Concavidade voltada para cima ∪ A parábola tem um ponto mínimo

a < 0 → Concavidade voltada para baixo ∩ A parábola tem um ponto máximo

Vértice, Eixo de Simetria e Contradomínio

Vértice da Parábola

Eixo de Simetria

Contradomínio

As coordenadas do vértice são: h e k = f(h) O vértice é o ponto de máximo ou mínimo.

A reta vertical x = h divide a parábola em duas metades simétricas.

Conjunto de valores que f(x) assume: a > 0 → D' = [k, +∞[ a < 0 → D' = ]−∞, k]

Zeros e Interseções com os Eixos

Interseção com o eixo Oy

Fazer x = 0: o resultado é f(0) = c. O ponto é sempre (0, c).

Zeros da função

Fazer f(x) = 0 e resolver a equação do 2.º grau:

Δ = b² − 4ac (binómio discriminante)• Δ > 0 → dois zeros reais e distintos • Δ = 0 → um zero real (duplo) • Δ < 0 → sem zeros reais

Exemplo f(x) = x² − 2x − 3

Coeficientes

Binómio discriminante

a = 1, b = −2, c = −3 a > 0 → concavidade ∪

Δ = (−2)² − 4(1)(−3) Δ = 4 + 12 = 16

Zeros

Vértice

x = (2 ± 4) / 2 x₁ = 3 e x₂ = −1

(ponto médio dos zeros) k = f(1) = 1 − 2 − 3 = −4 V = (1, −4)

Interseção com o eixo Oy

Contradomínio

f(0) = −3 Ponto: (0, −3)

D'(f) = [−4, +∞[

Transformações do gráfico de uma função quadrática

A partir do gráfico de uma função quadrática, podemos deslocar a parábola no plano usando vetores de translação. Estes deslocamentos alteram a posição mas não a forma da parábola.

Translação horizontal — vetor (a, 0)

Dado o vetor (a, 0) com a ∈ ℤ:

g(x) = f(x − a)

• a > 0 → desloca a parábola a unidades para a direita
• a < 0 → desloca a parábola |a| unidades para a esquerda

Passo 2

Passo 1

Exemplo: f(x) = x² → g(x) = (x − 3)² desloca 3 unidades para a direita.

Translação vertical — vetor (0, b)

Dado o vetor (0, b) com b ∈ ℤ:

g(x) = f(x) + b

• b > 0 → desloca a parábola b unidades para cima
• b < 0 → desloca a parábola |b| unidades para baixo

Parábola deslocada

Parábola original

Exemplo: f(x) = x² → g(x) = x² + 4 desloca 4 unidades para cima. O vértice passa de (0, 0) para (0, 4).

Translação associada ao vetor (a, b)

Combinando os dois deslocamentos anteriores, com o vetor (a, b) onde a, b ∈ ℤ:

g(x) = f(x − a) + b

Parábola Original

f(x) = x² Vértice: V(0, 0)

Vetor (3, 2)

Desloca 3 para a direita e 2 para cima

Nova Função

g(x) = (x − 3)² + 2

Novo Vértice

V'(3, 2) Forma e abertura mantidas

Síntese Final

f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

f(x) = a(x − h)² + k

Concavidade

a > 0 → ∪ mínimo a < 0 → ∩ máximo

Translações

Vetor (a,b): g(x) = f(x−a) + b