Método de Suma y Resta
Eliminación para 3 variables
GRUPO:406 EQUIPO:7
¿Qué es un Sistema de 3x3?
Definición: Es un grupo de tres ecuaciones matemáticas que comparten las mismas tres letras (incógnitas), que nos ayudan a descubrir tres valores secretos que están conectados entre sí. Características: Geométricamente, cada ecuación de tres variables representa un plano en un espacio 3D. La solución del sistema es exactamente el punto donde esos tres planos se cruzan Elementos: Incógnitas (Variables), Coeficientes, Términos Independientes y Signo de Igualdad Propiedades Importantes: Linealidad, Representación Geométrica (El espacio 3D), Consistencia y El Principio de Equivalencia.
El Método de Suma y Resta (Eliminación)
¿En qué consiste? En combinar las ecuaciones (sumándolas o restándolas) para "desaparecer" las letras una por una, hasta que solo nos quede una ecuación más simple. Pasos a seguir: Paso 1: Eliges dos ecuaciones (ej. la 1 y la 2) y eliminas una variable (por ejemplo, la z). A este resultado le llamamos "Ecuación A". Paso 2 : Eliges otra combinación (ej. la 2 y la 3) y eliminas la misma variable (z). A esto le llamamos "Ecuación B". Paso 3 :Nos va a quedar un sistema fácil de 2x2, que se resuelve. Paso 4: Con ese valor, regresas "hacia atrás" sustituyendo en las otras ecuaciones hasta tener las tres respuestas. ¿Cuándo es útil? Cuando las letras ya tienen los mismos números (coeficientes) pero con signos contrarios, porque se eliminan al sumar.
Ejemplo: Método de Eliminación
Paso 2: Ahora, sumamos la ecuación (1) y la (3). Fijandonos que la (z) tiene signos opuestos: x + y + z = 17 x + y - z = 13 ----------------- 2x + 2y + 0z = 30 Simplificando (dividimos entre 2): x + y = 15 Paso 3: Ahora solo comparamos lo obtenido con las ecuaciones originales. Si ya sabemos que x + y + z = 17 y la segunda dice que x + y = 15: 15 + z = 17 entonces z = 2 (La goma cuesta $2). Si sustituimos la "z" en (x + 2 = 12): x = 10 (La libreta cuesta $10) Y finalmente, en la original (10 + y + 2 = 17): y = 5 (La pluma cuesta $5).
Para este ejemplo, imaginaremos que compramos tres cosas en la papelería: una libreta (x), una pluma (y) y una goma (z). 1. El Sistema de Ecuaciones: 1) x + y + z = 17 2) x - y + z = 7 3) x + y - z = 13 Paso 1: Sumamos la ecuación (1) y la (2) de forma vertical: x + y + z = 17 x - y + z = 7 ----------------- 2x + 0y + 2z = 24 Simplificando (dividimos todo entre 2): x + z = 12
Problema Asignado
Reparto de Utilidades
Una empresa reparte $50,000 de utilidades entre sus tres socios (Ana, Beto y Carlos). Las reglas de reparto son: Ana recibe $5,000 más que Beto.
Carlos recibe el doble de lo que recibe Ana.
Además, la suma de lo que reciben Ana y Beto es igual a lo que recibe Carlos menos $5,000.
¿Cuánto recibe cada socio?
Modelado Matemático
Variables: A = Dinero de Ana B = Dinero de Beto
C = Dinero de Carlos
El problema nos da 4 "pistas", pero para un sistema de 3 variables solo necesitamos 3 ecuaciones. Vamos a usar las más estratégicas para el método de eliminación:
Ecuación 1 (El total): A + B + C = 50000 Ecuación 2 (Ana vs Beto): A - B = 5000 Ecuación 3 (Suma de Ana y Beto): A + B - C = -5000
La regla de "Carlos recibe el doble de Ana" o sea "C = 2A", también se cumple, pero usar la Ecuación 3 hace que el método de suma y resta sea más rápido
La Solución
El sistema de las utilidades de la empresa ya traducido a matemáticas queda así
Ecuación 1 (El Total):A + B + C = 50000 Ecuación 2 (Ana vs Beto):A - B = 5000 Ecuación 3 (Suma de A y B vs C):A + B - C = -5000
Paso 1: Vamos a sumar la Ecuación 1 y la Ecuación 3. Al ser C positiva arriba y negativa abajo, se cancela a si misma A + B + C = 50000 A + B - C = -5000 ------------------------ 2A + 2B + 0 = 45000 Si dividimos todo a la mitad para simplificar, nos queda una 4ta ecuación: A + B = 22500
En Geogebra en lugar de las variables "A, B y C" se ocuparon "x, y y z" por fines prácticos y permitir su ilustración en Geogebra 3D X= A, Y= B, Z= C La imagen de arriba es como se ordenan los valores en el apartado de "Vista CAS"
La Solución
Paso 2: Ahora tomamos nuestra nueva Ecuación 4 y la juntamos con la Ecuación 2. Y al observar la B también tiene signos opuestos por lo que desaparece: A + B = 22500 A - B = 5000 ------------------- 2A + 0 = 27500 Despejamos la A: A = 27500/2 A = 13750 (Lo que significa que Ana recibe $13,750)
Paso 3: Como ya sabemos cuánto tiene Ana, sustituimos ese valor en las otras ecuaciones. Para encontrar a Beto, usamos la Ecuación 2 (A - B = 5000): 13750 - B = 5000 13750 - 5000 = B B = 8750 (Beto recibe $8,750) Para encontrar a Carlos, podemos usar la regla de que recibe el doble que Ana (C = 2A): C = 2(13750) C = 27500 (Carlos recibe $27,500)
La Solución (GEOGEBRA)
En el caso de geogebra encontramos dos formas de graficarlo usando la vista CAS:
La primera fue poniendo directamente un comando con la operación en las filas de la Vista CAS (Cálculo Simbólico)
Sin embargo, consideramos que para un mejor entendimiento y explicar como se ve este sistema 3x3 usaríamos no solo Vista CAS, sino Vista Gráfica 3D. Esto llevo a que se les cambiará el nombre a las variables(como se explicó anteriormente) y se les dio un color distintivo para mayor diferenciación: Ana= A= X= Verde Beto= B= Y= Rojo Carlos= C= Z= Morado
El punto amarillo es el punto exacto donde los tres planos se cruzan, y es de color amarillo.
CONCLUSIONES:
Este proyecto, nos permitió valorar la Precisión Matemática, ya que aprendimos que el Método de Eliminación no es solo un proceso mecánico, sino una herramienta de justicia, pues las matemáticas nos dan la certeza de que el reparto es correcto y equitativo. En caso deGeoGebra, pudimos ver como letras y números, en el software se convirtieron en planos que se cruzan en un punto exacto, y esta visualización nos permitió confirmar que un sistema de 3x3 siempre representa un encuentro en el espacio. Su aplicación en la vida real de este tipo de sistemas de ecuaciones se usa todos los días en el mundo profesional, como lo puede ser en contabilidad, finanzas, logística, ingeniería, etc...
¡GRACIAS POR SU ATENCIÓN!
Método de Suma y Resta
Dany
Created on March 30, 2026
Equipo 7 Grupo: 406
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Método de Suma y Resta
Eliminación para 3 variables
GRUPO:406 EQUIPO:7
¿Qué es un Sistema de 3x3?
Definición: Es un grupo de tres ecuaciones matemáticas que comparten las mismas tres letras (incógnitas), que nos ayudan a descubrir tres valores secretos que están conectados entre sí. Características: Geométricamente, cada ecuación de tres variables representa un plano en un espacio 3D. La solución del sistema es exactamente el punto donde esos tres planos se cruzan Elementos: Incógnitas (Variables), Coeficientes, Términos Independientes y Signo de Igualdad Propiedades Importantes: Linealidad, Representación Geométrica (El espacio 3D), Consistencia y El Principio de Equivalencia.
El Método de Suma y Resta (Eliminación)
¿En qué consiste? En combinar las ecuaciones (sumándolas o restándolas) para "desaparecer" las letras una por una, hasta que solo nos quede una ecuación más simple. Pasos a seguir: Paso 1: Eliges dos ecuaciones (ej. la 1 y la 2) y eliminas una variable (por ejemplo, la z). A este resultado le llamamos "Ecuación A". Paso 2 : Eliges otra combinación (ej. la 2 y la 3) y eliminas la misma variable (z). A esto le llamamos "Ecuación B". Paso 3 :Nos va a quedar un sistema fácil de 2x2, que se resuelve. Paso 4: Con ese valor, regresas "hacia atrás" sustituyendo en las otras ecuaciones hasta tener las tres respuestas. ¿Cuándo es útil? Cuando las letras ya tienen los mismos números (coeficientes) pero con signos contrarios, porque se eliminan al sumar.
Ejemplo: Método de Eliminación
Paso 2: Ahora, sumamos la ecuación (1) y la (3). Fijandonos que la (z) tiene signos opuestos: x + y + z = 17 x + y - z = 13 ----------------- 2x + 2y + 0z = 30 Simplificando (dividimos entre 2): x + y = 15 Paso 3: Ahora solo comparamos lo obtenido con las ecuaciones originales. Si ya sabemos que x + y + z = 17 y la segunda dice que x + y = 15: 15 + z = 17 entonces z = 2 (La goma cuesta $2). Si sustituimos la "z" en (x + 2 = 12): x = 10 (La libreta cuesta $10) Y finalmente, en la original (10 + y + 2 = 17): y = 5 (La pluma cuesta $5).
Para este ejemplo, imaginaremos que compramos tres cosas en la papelería: una libreta (x), una pluma (y) y una goma (z). 1. El Sistema de Ecuaciones: 1) x + y + z = 17 2) x - y + z = 7 3) x + y - z = 13 Paso 1: Sumamos la ecuación (1) y la (2) de forma vertical: x + y + z = 17 x - y + z = 7 ----------------- 2x + 0y + 2z = 24 Simplificando (dividimos todo entre 2): x + z = 12
Problema Asignado
Reparto de Utilidades
Una empresa reparte $50,000 de utilidades entre sus tres socios (Ana, Beto y Carlos). Las reglas de reparto son: Ana recibe $5,000 más que Beto. Carlos recibe el doble de lo que recibe Ana. Además, la suma de lo que reciben Ana y Beto es igual a lo que recibe Carlos menos $5,000.
¿Cuánto recibe cada socio?
Modelado Matemático
Variables: A = Dinero de Ana B = Dinero de Beto C = Dinero de Carlos
El problema nos da 4 "pistas", pero para un sistema de 3 variables solo necesitamos 3 ecuaciones. Vamos a usar las más estratégicas para el método de eliminación:
Ecuación 1 (El total): A + B + C = 50000 Ecuación 2 (Ana vs Beto): A - B = 5000 Ecuación 3 (Suma de Ana y Beto): A + B - C = -5000
La regla de "Carlos recibe el doble de Ana" o sea "C = 2A", también se cumple, pero usar la Ecuación 3 hace que el método de suma y resta sea más rápido
La Solución
El sistema de las utilidades de la empresa ya traducido a matemáticas queda así
Ecuación 1 (El Total):A + B + C = 50000 Ecuación 2 (Ana vs Beto):A - B = 5000 Ecuación 3 (Suma de A y B vs C):A + B - C = -5000
Paso 1: Vamos a sumar la Ecuación 1 y la Ecuación 3. Al ser C positiva arriba y negativa abajo, se cancela a si misma A + B + C = 50000 A + B - C = -5000 ------------------------ 2A + 2B + 0 = 45000 Si dividimos todo a la mitad para simplificar, nos queda una 4ta ecuación: A + B = 22500
En Geogebra en lugar de las variables "A, B y C" se ocuparon "x, y y z" por fines prácticos y permitir su ilustración en Geogebra 3D X= A, Y= B, Z= C La imagen de arriba es como se ordenan los valores en el apartado de "Vista CAS"
La Solución
Paso 2: Ahora tomamos nuestra nueva Ecuación 4 y la juntamos con la Ecuación 2. Y al observar la B también tiene signos opuestos por lo que desaparece: A + B = 22500 A - B = 5000 ------------------- 2A + 0 = 27500 Despejamos la A: A = 27500/2 A = 13750 (Lo que significa que Ana recibe $13,750)
Paso 3: Como ya sabemos cuánto tiene Ana, sustituimos ese valor en las otras ecuaciones. Para encontrar a Beto, usamos la Ecuación 2 (A - B = 5000): 13750 - B = 5000 13750 - 5000 = B B = 8750 (Beto recibe $8,750) Para encontrar a Carlos, podemos usar la regla de que recibe el doble que Ana (C = 2A): C = 2(13750) C = 27500 (Carlos recibe $27,500)
La Solución (GEOGEBRA)
En el caso de geogebra encontramos dos formas de graficarlo usando la vista CAS:
La primera fue poniendo directamente un comando con la operación en las filas de la Vista CAS (Cálculo Simbólico)
Sin embargo, consideramos que para un mejor entendimiento y explicar como se ve este sistema 3x3 usaríamos no solo Vista CAS, sino Vista Gráfica 3D. Esto llevo a que se les cambiará el nombre a las variables(como se explicó anteriormente) y se les dio un color distintivo para mayor diferenciación: Ana= A= X= Verde Beto= B= Y= Rojo Carlos= C= Z= Morado
El punto amarillo es el punto exacto donde los tres planos se cruzan, y es de color amarillo.
CONCLUSIONES:
Este proyecto, nos permitió valorar la Precisión Matemática, ya que aprendimos que el Método de Eliminación no es solo un proceso mecánico, sino una herramienta de justicia, pues las matemáticas nos dan la certeza de que el reparto es correcto y equitativo. En caso deGeoGebra, pudimos ver como letras y números, en el software se convirtieron en planos que se cruzan en un punto exacto, y esta visualización nos permitió confirmar que un sistema de 3x3 siempre representa un encuentro en el espacio. Su aplicación en la vida real de este tipo de sistemas de ecuaciones se usa todos los días en el mundo profesional, como lo puede ser en contabilidad, finanzas, logística, ingeniería, etc...
¡GRACIAS POR SU ATENCIÓN!