Consideriamo un numero naturale, per esempio 6, e moltiplichiamolo per tutti inumeri naturali, incluso lo zero cioè per 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 6 x 0 = 0 6 x 1 = 6 6 x 2 = 12 6 x 3 = 18 6 x 4 = 24 6 x 5 = 30 6 x 6 = 36 .......... Tutti questi prodotti sono multipli di 6. Il multiplo di un numero n si ottiene moltiplicando n per un qualsiasi numero naturale.
I multipli di un numero sono infiniti, perché i numeri della successione naturale sono infiniti.
M(6) ={0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
Trova tutti i multipli di 12:
12 x 0 = 0
12 x 1 = 12
M (12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ... }
12 x 2 = 24
12 x 3 = 36
12 x 4 = 48
12 x 5 = 60
Divisori (o sottomultipli) di un numero
Consideriamo un numero naturale, per esempio 6, e dividiamolo per i numeri naturali 1, 2, 3, 4, 5, 6 (parto dal numero stesso e uso numeri sempre più piccoli). 6 :6=1 con resto 0 6 :5=1 con resto 1 6 :4=1 con resto 2 6 :3 =2 con resto 0 6 :2 =3 con resto 0 6 :1=6 con resto 0
Se la divisione di due numeri è esatta, cioè con resto zero, il secondo numero si dice divisore del primo (es. 2 è divisore di 6). Inoltre si dice che il primo numero è divisibile per il secondo (es. 6 è divisibile per 2). Ogni numero è sempre divisibile per se stesso e per 1.
è un insieme finito, il divisore più grande è sempre il numero stesso.
D(6) ={1, 2, 3, 6}
Trova tutti i divisori di 24:
USIAMO IL METODO "A COPPIE" guarda il video successivo
Se due numeri sono divisori di uno stesso numero...lo è anche il loro prodotto?
2 e 3 sono entrambi divisori di 36 2x3 = 6 è divisore di 36
...e la loro somma?
2 e 3 sono entrambi divisori di 36 2+3 = 5 NON è divisore di 36
Non sempre!
Criteri di divisibilità
Un numero è divisibile per 10, 100, 1000, ... se termina rispettivamente con uno, due, tre, ... zeri.
396 è divisibile per ... 1254 è divisibile per ... 2400 è divisibile per ... 1525 è divisibile per ... 3784 è divisibile per ... 1200 è divisibile per ... 63298 è divisibile per ... 3455000 è divisibile per ... 125730 è divisibile per ... 53575 è divisibile per ... 97324 è divisibile per ...
Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per 1. I numeri che sono divisibili anche per altri divisori (oltre a se stesso e 1) si dicono composti.
Prova a capire da quali numeri primi sono composti alcuni numeri!
I numeri primi vengono chiamati atomi dell’aritmetica perché, moltiplicandosi tra di loro, costruiscono tutti i numeri interi (10=2×5). Sono dispari, eccetto 2. Terminano per 1, 3, 7 e 9. Sono infiniti. Il più grande conosciuto, determinato solo grazie a un computer, ha 23 milioni di cifre. Ancora (dopo circa 2300 anni) non si è trovata una formula per determinare tutti i numeri primi esistenti, se ne scopre uno ogni tanto. In palio c'è un premio da 1 milione di dollari per chi la scopre :)
Crivello di Eratostene (setaccio per trovare i numeri primi)
...come potremmo fare?
Scomporre in fattori primi (fattorizzazione)
Come ogni molecola può essere scomposta negli atomi che la compongono, anche ogni numero composto può essere scomposto nei suoi fattori primi. Scomporre in fattori primi significa scrivere un numero come prodotto di due o più fattori primi.
ATTENZIONE: in questa colonna devo scrivere solo numeri primi. Parto provando a dividere per il numero 2 e vado avanti fino ad avere un quoziente pari a 1.
84 = 2 x 2 x 3 x 7 84= 22 x 3 x 7
TRUCCHETTO: scomposizione e divisione
Se scrivo i due termini di una divisione con la loro fattorizzazione posso eseguire facilmente una divisione!!
5040 : 168 = ???
Se tutti i fattori del divisore sono contenuti nel dividendo e hanno esponente minore o uguale, allora avrò una divisione senza resto.
24 x 32 x 5 x 7
23 x 3 x 7
= 2 x 3 x 5 = 30
Se il divisore contiene anche altri fattori avrò come risultato una divisione con resto che posso lasciare scritta sotto forma di frazione.
5040 : 1848 = ???
24 x 32 x 5 x 7
2 x 3 x 5
30
11
23 x 3 x 7 x 11
11
Gioco sulla scomposizione in fattori primi CLICCA QUI!
Numeri primi e fattorizzazione con i LEGO
Ogni mattoncino rappresenta un numero primo (ad es, i mattoncini rossi corrispondono al 2, quelli blu al 3, etc). Prova a costruire i numeri che ti assegna l'insegnante scomponendoli in fattori primi e componendoli utilizzando i lego. Dai una forma creativa al tuo numero! Variante: con Tinkercad (digitale).
15 =_________
24 =_________
18 =_________
90 = _________
42 =_________
144 =_________
60 =_________
36 = _________
Criterio generale di divisibilità: Un numero è divisibile per un altro se la scomposizione in fattori primi del numero più piccolo è contenuta interamente nella scomposizione del numero più grande.
Prova anche con Polypad! Avvia Polypad e cerca nella sezione "Numeri" la pagina "Cerchi di fattori primi".
Per trovare l'MCD tra due torrette di numeri basta prendere tutti i cubetti comuni (presi una volta sola) e incastrarli (ovvero moltiplicarli) tra loro!
84 120 24
Trovare divisori comuni
Trovare i divisori in comune tra due o più numeri è molto utile.
Tra i divisori comuni, mi conviene SEMPRE trovare quello più grande (Massimo Comun Divisore).
Massimo Comun Divisore (MCD)
Problema: ho 10 rose e 15 margherite e voglio creare dei mazzetti uguali utilizzando tutti i fiori. Quanti mazzetti riesco a fare?
C'è un modo veloce per trovare l'MCD...con la fattorizzazione!
1) Scompongo in fattori primi (fattorizzazione) 2) Prendo i fattori comuni, una volta sola, con l'esponente più piccolo. 15 = 5 x 3 10 = 5 x 2 fattori comuni con il minimo esponente: 5 5 è il Massimo Comun Divisore, ovvero il più grande tra i divisori comuni di 10 e 15. Il numero di mazzetti tutti uguali che potrò fare è 5.
Alcune considerazioni importanti Il Massimo Comun Divisore tra due o più numeri è il più grande tra i loro divisori comuni. Si indica così: MCD (n1, n2, n3, ...) = ... Se due o più numeri hanno MCD=1 si dicono primi tra loro (non hanno in comune nessun'altro divisore). es. MCD (5,6)=1 quindi 5 e 6 sono primi tra loro L'MCD di due numeri, di cui uno è divisore dell'altro, è uguale al divisore. es. MCD (8,2)=2 Infatti 2 è divisore di 8.
NB: Se un numero divide sia a che b, allora divide anche la loro differenza a-b. es. 6 divide sia 12 che 60. Infatti 6 divide anche 60-12=48.
Problema. Gli alunni della 1B della scuola Rita Levi comprano spesso caramelle. Hanno comprato 80 goleador alla coca cola e 280 alla liquirizia. Vogliono regalarle ai compagni di altre classi durante l'intervallo, creando tanti pacchettini tutti uguali, usando tutte le caramelle, per poter accontentare più studenti possibile. Quanti pacchetti potranno creare?
Minimo Comune Multiplo (mcm)
A volte è invece molto utile trovare i multipli in comune tra due o più numeri. Trova il multiplo più piccolo in comune dei numeri 8 e 9.
Tra i multipli comuni, mi conviene SEMPRE trovare quello più piccolo (Minimo Comune Multiplo).
Torniamo ai nostri cubetti colorati...
Qual è il multiplo più piccolo che 84 e 120 hanno in comune?
84 120
Il minore multiplo che hanno in comune è 840.
84 120 840
Osserva le torrette: come faccio a determinare il più piccolo multiplo in comune usando i cubetti?
84 120 840
Basta prendere tutti i colori che hanno in comune, con il maggior numero di cubetti per colore che compaiono.
Minimo Comune Multiplo (mcm)
Problema. Due aerei partono contemporaneamente dall'aereoporto di Orio al Serio e vi ritorneranno dopo aver percorso le loro rotte, il primo ogni 12 giorni e il secondo ogni 14 giorni. Dopo quanti giorni i due aerei si ritroveranno di nuovo insieme a Orio al Serio?
Anche l'mcm si può trovare in modo rapido con la fattorizzazione!
1) Scomposizione in fattori primi (fattorizzazione) 2) Prendo i fattori comuni e non comuni, una volta sola, con l'esponente più grande. 12= 22 x 3 14= 2 x 7 Fattori comuni e non comuni con l'esponente maggiore: 22 x 3 x 7 = 84 Gli aerei si troveranno di nuovo a Orio dopo 84 giorni. 84 è il minimo comune multiplo, il più piccolo dei multipli comuni di 12 e 14.
Alcune considerazioni importanti Il minimo comune multiplo tra due o più numeri è il più piccolo tra i loro multipli in comune. Si indica così: mcm (n1, n2, n3, ...) = ... Se due numeri sono uno il multiplo dell'altro, l'mcm è uguale al più grande dei due. es. mcm (4,8)=8 L'mcm di due numeri primi tra loro è uguale al loro prodotto. es. mcm (5,6)= 6 x 5 = 30
Problema. I ragazzi della 1A della scuola Rita Levi di Alzano hanno appena iniziato l'anno scolastico ma sono davvero molto impegnati. I loro professori assegnano spesso verifiche. La Prof. Pedrinoni assegna verifiche di italiano ogni 63 giorni, la Prof . Filisetti una verifica di tecnologia ogni 45 giorni e la Prof. Zanga, la più severa di tutti, verifiche di matematica ogni 21 giorni. Tamsir, un giorno, grida indignato: "Ma non può essere! Tra non molto tempo avremo tre verifiche in un giorno solo!". Pietro gli risponde: "Ti sbagli, non succederà mai!". Quale dei due ragazzi ha ragione?
ORA TOCCA A TE! Crea un problema da risolvere utilizzando l'MCD e uno utilizzando l'mcm per un tuo compagno. Sii creativa/o!!!
Clicca qui per trovare tanti quiz e giochi su MCD e mcm.
Divisibilità, mcm. MCD
federica cocco
Created on March 21, 2026
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LA DIVISIBILITÀ
Multipli di un numero
Consideriamo un numero naturale, per esempio 6, e moltiplichiamolo per tutti inumeri naturali, incluso lo zero cioè per 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 6 x 0 = 0 6 x 1 = 6 6 x 2 = 12 6 x 3 = 18 6 x 4 = 24 6 x 5 = 30 6 x 6 = 36 .......... Tutti questi prodotti sono multipli di 6. Il multiplo di un numero n si ottiene moltiplicando n per un qualsiasi numero naturale.
I multipli di un numero sono infiniti, perché i numeri della successione naturale sono infiniti.
M(6) ={0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
Trova tutti i multipli di 12:
12 x 0 = 0
12 x 1 = 12
M (12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ... }
12 x 2 = 24
12 x 3 = 36
12 x 4 = 48
12 x 5 = 60
Divisori (o sottomultipli) di un numero
Consideriamo un numero naturale, per esempio 6, e dividiamolo per i numeri naturali 1, 2, 3, 4, 5, 6 (parto dal numero stesso e uso numeri sempre più piccoli). 6 :6=1 con resto 0 6 :5=1 con resto 1 6 :4=1 con resto 2 6 :3 =2 con resto 0 6 :2 =3 con resto 0 6 :1=6 con resto 0
Se la divisione di due numeri è esatta, cioè con resto zero, il secondo numero si dice divisore del primo (es. 2 è divisore di 6). Inoltre si dice che il primo numero è divisibile per il secondo (es. 6 è divisibile per 2). Ogni numero è sempre divisibile per se stesso e per 1.
è un insieme finito, il divisore più grande è sempre il numero stesso.
D(6) ={1, 2, 3, 6}
Trova tutti i divisori di 24:
USIAMO IL METODO "A COPPIE" guarda il video successivo
Se due numeri sono divisori di uno stesso numero...lo è anche il loro prodotto?
2 e 3 sono entrambi divisori di 36 2x3 = 6 è divisore di 36
...e la loro somma?
2 e 3 sono entrambi divisori di 36 2+3 = 5 NON è divisore di 36
Non sempre!
Criteri di divisibilità
Un numero è divisibile per 10, 100, 1000, ... se termina rispettivamente con uno, due, tre, ... zeri.
396 è divisibile per ... 1254 è divisibile per ... 2400 è divisibile per ... 1525 è divisibile per ... 3784 è divisibile per ... 1200 è divisibile per ... 63298 è divisibile per ... 3455000 è divisibile per ... 125730 è divisibile per ... 53575 è divisibile per ... 97324 è divisibile per ...
Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per 1. I numeri che sono divisibili anche per altri divisori (oltre a se stesso e 1) si dicono composti.
Prova a capire da quali numeri primi sono composti alcuni numeri!
I numeri primi vengono chiamati atomi dell’aritmetica perché, moltiplicandosi tra di loro, costruiscono tutti i numeri interi (10=2×5). Sono dispari, eccetto 2. Terminano per 1, 3, 7 e 9. Sono infiniti. Il più grande conosciuto, determinato solo grazie a un computer, ha 23 milioni di cifre. Ancora (dopo circa 2300 anni) non si è trovata una formula per determinare tutti i numeri primi esistenti, se ne scopre uno ogni tanto. In palio c'è un premio da 1 milione di dollari per chi la scopre :)
Crivello di Eratostene (setaccio per trovare i numeri primi)
...come potremmo fare?
Scomporre in fattori primi (fattorizzazione)
Come ogni molecola può essere scomposta negli atomi che la compongono, anche ogni numero composto può essere scomposto nei suoi fattori primi. Scomporre in fattori primi significa scrivere un numero come prodotto di due o più fattori primi.
ATTENZIONE: in questa colonna devo scrivere solo numeri primi. Parto provando a dividere per il numero 2 e vado avanti fino ad avere un quoziente pari a 1.
84 = 2 x 2 x 3 x 7 84= 22 x 3 x 7
TRUCCHETTO: scomposizione e divisione
Se scrivo i due termini di una divisione con la loro fattorizzazione posso eseguire facilmente una divisione!!
5040 : 168 = ???
Se tutti i fattori del divisore sono contenuti nel dividendo e hanno esponente minore o uguale, allora avrò una divisione senza resto.
24 x 32 x 5 x 7
23 x 3 x 7
= 2 x 3 x 5 = 30
Se il divisore contiene anche altri fattori avrò come risultato una divisione con resto che posso lasciare scritta sotto forma di frazione.
5040 : 1848 = ???
24 x 32 x 5 x 7
2 x 3 x 5
30
11
23 x 3 x 7 x 11
11
Gioco sulla scomposizione in fattori primi CLICCA QUI!
Numeri primi e fattorizzazione con i LEGO
Ogni mattoncino rappresenta un numero primo (ad es, i mattoncini rossi corrispondono al 2, quelli blu al 3, etc). Prova a costruire i numeri che ti assegna l'insegnante scomponendoli in fattori primi e componendoli utilizzando i lego. Dai una forma creativa al tuo numero! Variante: con Tinkercad (digitale).
15 =_________
24 =_________
18 =_________
90 = _________
42 =_________
144 =_________
60 =_________
36 = _________
Criterio generale di divisibilità: Un numero è divisibile per un altro se la scomposizione in fattori primi del numero più piccolo è contenuta interamente nella scomposizione del numero più grande.
Prova anche con Polypad! Avvia Polypad e cerca nella sezione "Numeri" la pagina "Cerchi di fattori primi".
Per trovare l'MCD tra due torrette di numeri basta prendere tutti i cubetti comuni (presi una volta sola) e incastrarli (ovvero moltiplicarli) tra loro!
84 120 24
Trovare divisori comuni
Trovare i divisori in comune tra due o più numeri è molto utile.
Trova il più grande divisore comune tra 24 e 36.
Divisori di 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Divisori di 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Tra i divisori comuni, mi conviene SEMPRE trovare quello più grande (Massimo Comun Divisore).
Massimo Comun Divisore (MCD)
Problema: ho 10 rose e 15 margherite e voglio creare dei mazzetti uguali utilizzando tutti i fiori. Quanti mazzetti riesco a fare?
C'è un modo veloce per trovare l'MCD...con la fattorizzazione!
1) Scompongo in fattori primi (fattorizzazione) 2) Prendo i fattori comuni, una volta sola, con l'esponente più piccolo. 15 = 5 x 3 10 = 5 x 2 fattori comuni con il minimo esponente: 5 5 è il Massimo Comun Divisore, ovvero il più grande tra i divisori comuni di 10 e 15. Il numero di mazzetti tutti uguali che potrò fare è 5.
Alcune considerazioni importanti Il Massimo Comun Divisore tra due o più numeri è il più grande tra i loro divisori comuni. Si indica così: MCD (n1, n2, n3, ...) = ... Se due o più numeri hanno MCD=1 si dicono primi tra loro (non hanno in comune nessun'altro divisore). es. MCD (5,6)=1 quindi 5 e 6 sono primi tra loro L'MCD di due numeri, di cui uno è divisore dell'altro, è uguale al divisore. es. MCD (8,2)=2 Infatti 2 è divisore di 8.
NB: Se un numero divide sia a che b, allora divide anche la loro differenza a-b. es. 6 divide sia 12 che 60. Infatti 6 divide anche 60-12=48.
Problema. Gli alunni della 1B della scuola Rita Levi comprano spesso caramelle. Hanno comprato 80 goleador alla coca cola e 280 alla liquirizia. Vogliono regalarle ai compagni di altre classi durante l'intervallo, creando tanti pacchettini tutti uguali, usando tutte le caramelle, per poter accontentare più studenti possibile. Quanti pacchetti potranno creare?
Minimo Comune Multiplo (mcm)
A volte è invece molto utile trovare i multipli in comune tra due o più numeri. Trova il multiplo più piccolo in comune dei numeri 8 e 9.
Multipli di 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,... Multipli di 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120,...
Tra i multipli comuni, mi conviene SEMPRE trovare quello più piccolo (Minimo Comune Multiplo).
Torniamo ai nostri cubetti colorati...
Qual è il multiplo più piccolo che 84 e 120 hanno in comune?
84 120
Il minore multiplo che hanno in comune è 840.
84 120 840
Osserva le torrette: come faccio a determinare il più piccolo multiplo in comune usando i cubetti?
84 120 840
Basta prendere tutti i colori che hanno in comune, con il maggior numero di cubetti per colore che compaiono.
Minimo Comune Multiplo (mcm)
Problema. Due aerei partono contemporaneamente dall'aereoporto di Orio al Serio e vi ritorneranno dopo aver percorso le loro rotte, il primo ogni 12 giorni e il secondo ogni 14 giorni. Dopo quanti giorni i due aerei si ritroveranno di nuovo insieme a Orio al Serio?
Anche l'mcm si può trovare in modo rapido con la fattorizzazione!
1) Scomposizione in fattori primi (fattorizzazione) 2) Prendo i fattori comuni e non comuni, una volta sola, con l'esponente più grande. 12= 22 x 3 14= 2 x 7 Fattori comuni e non comuni con l'esponente maggiore: 22 x 3 x 7 = 84 Gli aerei si troveranno di nuovo a Orio dopo 84 giorni. 84 è il minimo comune multiplo, il più piccolo dei multipli comuni di 12 e 14.
Alcune considerazioni importanti Il minimo comune multiplo tra due o più numeri è il più piccolo tra i loro multipli in comune. Si indica così: mcm (n1, n2, n3, ...) = ... Se due numeri sono uno il multiplo dell'altro, l'mcm è uguale al più grande dei due. es. mcm (4,8)=8 L'mcm di due numeri primi tra loro è uguale al loro prodotto. es. mcm (5,6)= 6 x 5 = 30
Problema. I ragazzi della 1A della scuola Rita Levi di Alzano hanno appena iniziato l'anno scolastico ma sono davvero molto impegnati. I loro professori assegnano spesso verifiche. La Prof. Pedrinoni assegna verifiche di italiano ogni 63 giorni, la Prof . Filisetti una verifica di tecnologia ogni 45 giorni e la Prof. Zanga, la più severa di tutti, verifiche di matematica ogni 21 giorni. Tamsir, un giorno, grida indignato: "Ma non può essere! Tra non molto tempo avremo tre verifiche in un giorno solo!". Pietro gli risponde: "Ti sbagli, non succederà mai!". Quale dei due ragazzi ha ragione?
ORA TOCCA A TE! Crea un problema da risolvere utilizzando l'MCD e uno utilizzando l'mcm per un tuo compagno. Sii creativa/o!!!
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