GLI STRUMENTI DELLA MATEMATICA
Cos'è la matematica? A cosa serve?
Cosa dovrebbe succedere in una lezione di matematica perchè si avveri quello che si vede nella figura?
Dove troviamo la matematica?
Esiste un solo tipo di matematica?
Quanto fa 3+5? E quanto fa 9+7?
A bi bo, chi sta sotto non lo so.....
Esiste un solo modo per risolvere problemi matematici?
Mettiamoci all'opera!
Come posso rappresentare le informazioni matematiche?
Le informazioni matematiche possono essere rappresentate mediante diversi strumenti: - insiemi
- algoritmi
- diagrammi di flusso
- ...
Quanto mm di pioggia cadono mediamente a Bergamo?
"A gennaio 70 mm, a febbraio 65 mm, a marzo 82 mm, ad aprile 90 mm, a maggio 130 mm, a giugno 115 mm, a luglio 110 mm, ad agosto 130 mm, a settembre 95 mm, a ottobre e novembre 110 mm, a dicembre 55 mm."
Come potrei rappresentare questi dati in una forma più comoda ed efficace?
Tabella a doppia entrata: è un riquadro con righe orizzontali e colonne verticali. Ogni rettangolo contenente un dato viene chiamato cella.
Una volta costruita una tabella, cosa possiamo fare per visualizzare in modo immediato i nostri dati?
Possiamo costruire dei grafici! Ce ne sono di diversi tipi! Quali conosci?
I diagrammi cartesiani si usano per rappresentare la relazione tra due grandezze. Per esempio, sono adatti a mostrare la variazione di un dato nel tempo.
I diagrammi a barre (o istogrammi) si usano per confrontare visivamente il valore di certi dati. L'altezza delle colonne corrisponde al valore dei dati, e dipende dall'unità di misura che si sceglie.
Gli ideogrammi vengono usati per mettere a confronto i valori di certi dati e darci un'idea immediata della loro grandezza.
Gli aerogrammi si usano per rappresentare la suddivisione in parti di un intero. Sono adatti a rappresentare le percentuali (ovvero la frequenza relativa espressa in percentuale).
Esercizi a partire da pagina 347
INDICI STATISTICI: LA MODA
La moda è il valore che ha la frequenza assoluta più alta, cioè quello che si ripete più volte in un insieme di dati. È come il "numero più popolare" del gruppo. Può esserci una sola moda, più mode, o nessuna moda se tutti i numeri appaiono lo stesso numero di volte.
Trova la moda tra i numeri di scarpe di diverse persone Numeri: 38, 39, 38, 40, 38 Contiamo le ripetizioni (la frequenza assoluta): 38 appare → 3 volte 39 appare → 1 volta 40 appare → 1 volta Il più frequente è 38! Moda = 38
INDICI STATISTICI: LA MEDIA
La media (o media aritmetica) è come trovare il "valore rappresentativo" di un gruppo di numeri. Si calcola sommando tutti i numeri e dividendo per quanti numeri ci sono. È utile per capire qual è il valore che meglio rappresenta l'intero gruppo di dati.
Calcola la media dei voti presi in matematica: 6, 8, 7, 9, 5 Passo 1: Somma tutti i numeri 6 + 8 + 7 + 9 + 5 = 35 Passo 2: Dividi per il numero di valori (che sono 5) 35 ÷ 5 = 7 Media = 7
INDICI STATISTICI: LA MEDIA
La mediana è il valore centrale quando ordini tutti i numeri in ordine crescente (dal più piccolo al più grande). Se hai un numero dispari di valori, la mediana è quello centrale. Se hai un numero pari di valori, è la media dei due numeri centrali.
Età degli studenti 12, 13, 14, 15 Passo 1: Ordina i numeri 12 - 13 - 14 - 15 Passo 2: Trova i due centrali --> 13 e 14 sono nel mezzo Passo 3: Calcola la loro media (13 + 14) ÷ 2 = 13,5 Mediana = 13,5
Altezze (in cm) 150, 155, 160, 165, 170 Passo 1: Ordina i numeri 150 - 155 - 160 - 165 - 170 Passo 2: Trova quello centrale Abbiamo 5 numeri, il 3° è nel mezzo! Mediana = 160
Partecipiamo ad un sondaggio e analizziamo i dati!
"Gli animali possono essere suddivisi in vertebrati e invertebrati. A loro volta i vertebrati possono essere suddivisi in mammiferi, uccelli, rettili, anfibi e pesci. Gli invertebrati invece si suddividono in poriferi, celenterati, platelminti, nematodi, anellidi, molluschi, artropodi, echinodermi."
Come potrei rappresentare questi dati in una forma più comoda ed efficace?
Meglio così?
Un grafo è la rappresentazione simbolica di una relazione. Quale è la relazione che lega i mammiferi ai vertebrati?
I punti di un grafo vengono chiamati vertici (o nodi) e vengono messi in relazione tra di loro utilizzando delle frecce. Bisogna stabilire ogni volta il significato della relazione stabilita dalle frecce!
è mangiato da
Un grafo ad albero è la rappresentazione simbolica di una relazione. Da un nodo "radice" escono uno o più rami, e così di seguito, fino a raggiungere nodi da cui non esce alcun ramo. Si può usare anche per rappresentare una serie di azioni ed è molto utile per il calcolo della probabilità.
-Un pomeriggio, mentre il nonno stava leggendo il giornale, il nipotino gli chiese: "Nonno, ma se giochiamo al totocalcio non possiamo diventare ricchi? Basta indovinare tutte le partite!" Il nonno sorrise: " Eh, caro mio, non è così facile indovinare..." Il bambino però insistette: "Ma se facciamo tutte le combinazioni possibili, allora vinciamo per forza!". Il nonno si mise a ridere...-
"Bella idea! Però prima dobbiamo capire quante sono queste combinazioni. Sai, per ogni partita ci sono tre possibilità: vince la prima squadra (1), vince la seconda (2), oppure finisce in pareggio (X)." "E quante partite sono? — chiese il nipotino curioso." "Tredici." - rispose il nonno.
Proviamo a capire quante schedine dovremmo giocare...
3 x 3 x 3 ...... 13 volte!!!! Dovremmo giocare 313 schedine. Ogni schedina costa 0,50 euro. Quanto spenderemmo? Quanto si guadagna? Conviene?
"-Una sera, prima di andare a dormire, il bambino disse al nonno: "Nonno, stasera non mi lavo i denti… tanto che male può fare? Non ho paura di un paio di batteri!" Il nonno sorrise e rispose: "Un paio di batteri? Ma lo sai che non restano fermi! Si moltiplicano velocemente: ogni mezz’ora il numero dei batteri si raddoppia." Il bambino incuriosito chiese: "E allora quanti ne troverò in bocca domattina, dopo aver dormito 8 ore?" Il nonno allora disse: "Facciamo i conti con un grafo ad albero!"
Un giorno a scuola il bambino disse "Maestra," con la sua voce squillante, "ho avuto un'idea! Ogni giorno potremmo cambiare di posto! Così ognuno di noi si siede accanto a un compagno diverso!" La maestra, sorridendo, rispose: "Bella idea, caro! È divertente pensare a tutte le combinazioni possibili. Ma sapete quanti giorni ci vorrebbero per provarle tutte?" I bambini scuotevano la testa, curiosi. "Se volessimo cambiare ciascuno di voi di posto in tutti i modi diversi possibili, ci vorrebbero... miliardi di miliardi di anni! Non basterebbe una vita intera, nemmeno se viveste come i dinosauri!" Proviamo a contarle!
"Miliardi di miliardi di anni?" esclamò uno. "Ma è impossibile!" La maestra sorrise, divertita dalla loro sorpresa. "È vero," confermò. "Questo è un numero talmente grande che è difficile anche solo immaginarlo. Per trovare il numero esatto, dovremmo fare un calcolo lunghissimo! Ci sono 22 di voi in classe, quindi il primo bambino può scegliere tra 22 banchi. Il secondo, tra i 21 rimasti. Il terzo, tra i 20, e così via, fino all'ultimo, che ha un solo banco libero. Il calcolo è 22 x 21 x 20 x 19... fino a 1! Sapete che i matematici, per scrivere un calcolo così lungo, hanno inventato un modo più veloce? Mettono un punto esclamativo! Quel calcolo si chiama 22 fattoriale, che si scrive 22!
POSSIBILI COMBINAZIONI
Gli algoritmi
Un algoritmo è una sequenza di azioni precise che risolve un problema in un tempo finito. Una ricetta di cucina è un algoritmo? Se inverto l'ordine delle azioni da eseguire, il risultato sarà lo stesso?
Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, grande matematico persiano, padre dell'algebra
Un algoritmo può essere rappresentato con un diagramma di flusso, che ci indica le azioni da compiere.
Esprimi con un diagramma di flusso il procedimento per spremere un limone
Quando abbiamo di fronte un problema, è fondamentale applicare il cosiddetto pensiero computazionale, ovvero, analizzare il problema a fondo, cercare di scomporlo in parti più piccole e cercare una strategia per risolverlo. Per farci aiutare da un computer, dobbiamo "comunicare con il suo linguaggio", trovando un algoritmo che permetta di risolvere il problema. Con il coding possiamo creare dei programmi, ovvero una sequenza di istruzioni che un computer può eseguire.
Quali indicazioni dovrò dare alla coccinella per farle raggiungere il fiore?
Iniziamo a conoscere gli algoritmi!
GRAFICI e STRUMENTI DELLA MATEMATICA
Maria Armentano
Created on March 10, 2026
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GLI STRUMENTI DELLA MATEMATICA
Cos'è la matematica? A cosa serve?
Cosa dovrebbe succedere in una lezione di matematica perchè si avveri quello che si vede nella figura?
Dove troviamo la matematica?
Esiste un solo tipo di matematica?
Quanto fa 3+5? E quanto fa 9+7?
A bi bo, chi sta sotto non lo so.....
Esiste un solo modo per risolvere problemi matematici?
Mettiamoci all'opera!
Come posso rappresentare le informazioni matematiche?
Le informazioni matematiche possono essere rappresentate mediante diversi strumenti:- tabelle
- grafi
- insiemi
- algoritmi
- diagrammi di flusso
- ...
Quanto mm di pioggia cadono mediamente a Bergamo?
"A gennaio 70 mm, a febbraio 65 mm, a marzo 82 mm, ad aprile 90 mm, a maggio 130 mm, a giugno 115 mm, a luglio 110 mm, ad agosto 130 mm, a settembre 95 mm, a ottobre e novembre 110 mm, a dicembre 55 mm."
Come potrei rappresentare questi dati in una forma più comoda ed efficace?
Tabella a doppia entrata: è un riquadro con righe orizzontali e colonne verticali. Ogni rettangolo contenente un dato viene chiamato cella.
Una volta costruita una tabella, cosa possiamo fare per visualizzare in modo immediato i nostri dati?
Possiamo costruire dei grafici! Ce ne sono di diversi tipi! Quali conosci?
I diagrammi cartesiani si usano per rappresentare la relazione tra due grandezze. Per esempio, sono adatti a mostrare la variazione di un dato nel tempo.
I diagrammi a barre (o istogrammi) si usano per confrontare visivamente il valore di certi dati. L'altezza delle colonne corrisponde al valore dei dati, e dipende dall'unità di misura che si sceglie.
Gli ideogrammi vengono usati per mettere a confronto i valori di certi dati e darci un'idea immediata della loro grandezza.
Gli aerogrammi si usano per rappresentare la suddivisione in parti di un intero. Sono adatti a rappresentare le percentuali (ovvero la frequenza relativa espressa in percentuale).
Esercizi a partire da pagina 347
INDICI STATISTICI: LA MODA
La moda è il valore che ha la frequenza assoluta più alta, cioè quello che si ripete più volte in un insieme di dati. È come il "numero più popolare" del gruppo. Può esserci una sola moda, più mode, o nessuna moda se tutti i numeri appaiono lo stesso numero di volte.
Trova la moda tra i numeri di scarpe di diverse persone Numeri: 38, 39, 38, 40, 38 Contiamo le ripetizioni (la frequenza assoluta): 38 appare → 3 volte 39 appare → 1 volta 40 appare → 1 volta Il più frequente è 38! Moda = 38
INDICI STATISTICI: LA MEDIA
La media (o media aritmetica) è come trovare il "valore rappresentativo" di un gruppo di numeri. Si calcola sommando tutti i numeri e dividendo per quanti numeri ci sono. È utile per capire qual è il valore che meglio rappresenta l'intero gruppo di dati.
Calcola la media dei voti presi in matematica: 6, 8, 7, 9, 5 Passo 1: Somma tutti i numeri 6 + 8 + 7 + 9 + 5 = 35 Passo 2: Dividi per il numero di valori (che sono 5) 35 ÷ 5 = 7 Media = 7
INDICI STATISTICI: LA MEDIA
La mediana è il valore centrale quando ordini tutti i numeri in ordine crescente (dal più piccolo al più grande). Se hai un numero dispari di valori, la mediana è quello centrale. Se hai un numero pari di valori, è la media dei due numeri centrali.
Età degli studenti 12, 13, 14, 15 Passo 1: Ordina i numeri 12 - 13 - 14 - 15 Passo 2: Trova i due centrali --> 13 e 14 sono nel mezzo Passo 3: Calcola la loro media (13 + 14) ÷ 2 = 13,5 Mediana = 13,5
Altezze (in cm) 150, 155, 160, 165, 170 Passo 1: Ordina i numeri 150 - 155 - 160 - 165 - 170 Passo 2: Trova quello centrale Abbiamo 5 numeri, il 3° è nel mezzo! Mediana = 160
Partecipiamo ad un sondaggio e analizziamo i dati!
"Gli animali possono essere suddivisi in vertebrati e invertebrati. A loro volta i vertebrati possono essere suddivisi in mammiferi, uccelli, rettili, anfibi e pesci. Gli invertebrati invece si suddividono in poriferi, celenterati, platelminti, nematodi, anellidi, molluschi, artropodi, echinodermi."
Come potrei rappresentare questi dati in una forma più comoda ed efficace?
Meglio così?
Un grafo è la rappresentazione simbolica di una relazione. Quale è la relazione che lega i mammiferi ai vertebrati?
I punti di un grafo vengono chiamati vertici (o nodi) e vengono messi in relazione tra di loro utilizzando delle frecce. Bisogna stabilire ogni volta il significato della relazione stabilita dalle frecce!
è mangiato da
Un grafo ad albero è la rappresentazione simbolica di una relazione. Da un nodo "radice" escono uno o più rami, e così di seguito, fino a raggiungere nodi da cui non esce alcun ramo. Si può usare anche per rappresentare una serie di azioni ed è molto utile per il calcolo della probabilità.
-Un pomeriggio, mentre il nonno stava leggendo il giornale, il nipotino gli chiese: "Nonno, ma se giochiamo al totocalcio non possiamo diventare ricchi? Basta indovinare tutte le partite!" Il nonno sorrise: " Eh, caro mio, non è così facile indovinare..." Il bambino però insistette: "Ma se facciamo tutte le combinazioni possibili, allora vinciamo per forza!". Il nonno si mise a ridere...-
"Bella idea! Però prima dobbiamo capire quante sono queste combinazioni. Sai, per ogni partita ci sono tre possibilità: vince la prima squadra (1), vince la seconda (2), oppure finisce in pareggio (X)." "E quante partite sono? — chiese il nipotino curioso." "Tredici." - rispose il nonno.
Proviamo a capire quante schedine dovremmo giocare...
3 x 3 x 3 ...... 13 volte!!!! Dovremmo giocare 313 schedine. Ogni schedina costa 0,50 euro. Quanto spenderemmo? Quanto si guadagna? Conviene?
"-Una sera, prima di andare a dormire, il bambino disse al nonno: "Nonno, stasera non mi lavo i denti… tanto che male può fare? Non ho paura di un paio di batteri!" Il nonno sorrise e rispose: "Un paio di batteri? Ma lo sai che non restano fermi! Si moltiplicano velocemente: ogni mezz’ora il numero dei batteri si raddoppia." Il bambino incuriosito chiese: "E allora quanti ne troverò in bocca domattina, dopo aver dormito 8 ore?" Il nonno allora disse: "Facciamo i conti con un grafo ad albero!"
Un giorno a scuola il bambino disse "Maestra," con la sua voce squillante, "ho avuto un'idea! Ogni giorno potremmo cambiare di posto! Così ognuno di noi si siede accanto a un compagno diverso!" La maestra, sorridendo, rispose: "Bella idea, caro! È divertente pensare a tutte le combinazioni possibili. Ma sapete quanti giorni ci vorrebbero per provarle tutte?" I bambini scuotevano la testa, curiosi. "Se volessimo cambiare ciascuno di voi di posto in tutti i modi diversi possibili, ci vorrebbero... miliardi di miliardi di anni! Non basterebbe una vita intera, nemmeno se viveste come i dinosauri!" Proviamo a contarle!
"Miliardi di miliardi di anni?" esclamò uno. "Ma è impossibile!" La maestra sorrise, divertita dalla loro sorpresa. "È vero," confermò. "Questo è un numero talmente grande che è difficile anche solo immaginarlo. Per trovare il numero esatto, dovremmo fare un calcolo lunghissimo! Ci sono 22 di voi in classe, quindi il primo bambino può scegliere tra 22 banchi. Il secondo, tra i 21 rimasti. Il terzo, tra i 20, e così via, fino all'ultimo, che ha un solo banco libero. Il calcolo è 22 x 21 x 20 x 19... fino a 1! Sapete che i matematici, per scrivere un calcolo così lungo, hanno inventato un modo più veloce? Mettono un punto esclamativo! Quel calcolo si chiama 22 fattoriale, che si scrive 22!
POSSIBILI COMBINAZIONI
Gli algoritmi
Un algoritmo è una sequenza di azioni precise che risolve un problema in un tempo finito. Una ricetta di cucina è un algoritmo? Se inverto l'ordine delle azioni da eseguire, il risultato sarà lo stesso?
Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, grande matematico persiano, padre dell'algebra
Un algoritmo può essere rappresentato con un diagramma di flusso, che ci indica le azioni da compiere.
Esprimi con un diagramma di flusso il procedimento per spremere un limone
Quando abbiamo di fronte un problema, è fondamentale applicare il cosiddetto pensiero computazionale, ovvero, analizzare il problema a fondo, cercare di scomporlo in parti più piccole e cercare una strategia per risolverlo. Per farci aiutare da un computer, dobbiamo "comunicare con il suo linguaggio", trovando un algoritmo che permetta di risolvere il problema. Con il coding possiamo creare dei programmi, ovvero una sequenza di istruzioni che un computer può eseguire.
Quali indicazioni dovrò dare alla coccinella per farle raggiungere il fiore?
Iniziamo a conoscere gli algoritmi!