Circuiti in corrente alternata

Circuiti in corrente alternata

Andrea Massa - Ezio Di Donato 5 I LI

Start

INDICE

1.) Tensioni e correnti alternate

Tensioni e correnti alternate

2.) Circuito puramente resistivo

3.) Circuito puramente capacitivo

4.) Circuito puramente INDUTTIVO

5.) LA RISONANZA NEI CIRCUITI ELETTRICI

TENSIONI E CORRENTI ALTERNATE

+ INFO

Tensione in un circuito CA

V=Vmax​sin(ωt)

V=Vmax​ sin(ωt)

f=50 Hz

ω= 1,0 ⋅ 102π rad/s

T=0,020 s

Corrente in un circuito CA

Corrente in fase

Corrente in ritardo di fase

Corrente in anticipo di fase

I=Imax​sin(ωt)

I=Imax​sin(ωt−φ)

I=Imax​sin(ωt+φ)

+ INFO

+ INFO

+ INFO

Valori efficaci di V e I

Utilizziamo il valore quadratico medio ed eleviamo al quadrato la formula della corrente

I2=I2maxsin2(ωt)

1.) I2 varia simmetricamente tra 0 e I2max, cioè passa un tempo uguale al di sopra e al di sotto del valore 1/2​ I2max​

(I2)m=1/2 I2max

Iqm=Imax / √2

2.) Calcoliamo la radice quadrata​ ​

+ INFO

Vqm=Vmax / √2

Potenza

P= I2R

P= I2maxR sin2(ωt)

I=Imax​sin(ωt)

Per ottenere la potenza media dissipata nella resistenza osserviamo che la media di sin2(ωt) è 1/2

Pm= I2effR

Pm= 1/2 I2maxR

Pm= V2eff / R

Formula di Galileo-Ferraris: potenza media dissipata in un circuito CA

Pm= VeffIeffcosφ

Circuito puramente resistivo

IR=Vmaxsin(ωt)

Legge di KirchoffV-VR=0

VR=IR V =Vmaxsin(ωt)

I=(Vmaxsin(ωt)) / R

Ieff= Veff/ R= Vmax/R√2

Potenza

Pm=VeffIeffcosφ

Pm=VeffIeff

φ=0

Circuito puramente capacitivo

Il generatore fornisce la condensatore una tensione Veff

Ieffsi trova con il calcolo differenziale

Ieff=ωCVeff

Reattanza capacitiva

Ieff=Veff / Xc

XC=1/(ωC)

La reattanza capacitiva si misura in Ohm (Ω)

Le espressioni dei valori efficaci valgono anche per i valori massimi

Imax=Veff / Xc

Grafico della corrente e della tensione

V=Vmax​ sin(ωt)

Massimo per ωt = π/2

I=Imax​ sin(ωt+π/2)

Massimo per ωt = 0

+ INFO

CIrcuito puramente induttivo

La tensione ai capi di un'induttanza collegata ad un generatore CA è Veff= IeffXL

Reattanza induttiva

XL= ωL

Anche la reattanza induttiva si misura in Ohm (Ω)

XL aumenta con la frequenza poiché la tensione ai capi di un'induttanza è ε=L(dI/dt)

Grafico della corrente e della tensione

Potenza

Siccome tra i fasori della corrente e della tensione c'è un angolo di π/2 rad il fattore di potenza per un'induttanza è nullo

Pm=IeffVeffcos(π/2 rad)=0

+ INFO

+ INFO

La risonanza nei circuiti elettrici

Veff,C=Veff,L

UC=Q2/(2C)

UC=Q2/(2C)

IeffXC=IeffXL

L'energia si trova nell'induttanza, percorsa da corrente I

UL=LI2/2=UC

Ieff(1/ω0C)=Ieff(ω0L)

Quando la carica raggiunge il valore Q l'energia immagazzinata è proprio UC

+ INFO

1/C

Q2/(2C)

kx2/2

ω0=1/√LC

La frequenza angolare ω0 è determinata dalle caratteristiche del sistema

f0=1/2π√LC

f0=√(k/m)·2π

ω0=2πf0=√(k/m)

Problem solving 1

Un generatore CA con una tensione massima di 24,0 V e una frequenza di 60,0 Hz è collegato a una resistenza R = 265 S. Calcola: a.) il valore efficace della tensione;  b.) il valore efficace della corrente nel circuito; c.) la potenza media dissipata nella resistenza;  d.) la potenza massima dissipata nella resistenza.

+ INFO

Problem solving 3

Un generatore CA con una tensione massima di 35,0 V e una frequenza di 60,0 Hz è collegato a un'induttanza di 250 mH. Calcola: a.) la reattanza induttiva del circuito; b.) la tensione e la corrente ai capi dell'induttanza in funzione del tempo;  c.) il valore efficace della corrente nel circuito;  d.) la potenza media dissipata.

+ INFO

Nel sistema massa-molla la situazione equivalente è quella in cui la molla è allungata di una quantità x pari a quella della condizione iniziale, quindi lìenergia potenziale immagazzinata è la stessa di quella iniziale

C'è quindi un'analogia tra un condensatore e una molla e tra un'induttanza e una massa

Soluzione

XL=ωL= 2πfL=2π(60,0Hz)(250∙10-3H)=94,2ΩV=Vmaxsin(ωt)=(35,0)Vsin(120πt) I=Imaxsin(ωt+π/2)=(Vmax/XL)sin(ωt+π/2)=(35,0V/94,2 Ω)sin(120πt+π/2)=(0,372A)sin(120πt+π/2) Veff=Vmax/√2=35,0V/√2=24,7V Ieff=Veff/XL=24,7V/94,2Ω=0,262A

Soluzione

Veff = Vmax / √2 = 24,0 V /√2 = 17,0 VIeff = Veff/ R= 17,0 V / 265 Ω = 0,0642 A Pm = I2effR = (0,0642 A)2(265Ω) = 1,09 W Pmax = V2max / R = 2(V2eff/R) = 2(1,09W) = 2,18 W

I valori quadratici medi sono anche detti valori efficaci e indicati con Veff e Ieff

Veff=Vmax / √2

Ieff=Imax / √2

Vmax è il valore massimo della tensione in un ciclo mentre ω è la frequenza angolare o pulsazione: ω=2πf f= 50 Hz (in Europa)

La corrente ai capi di un'induttanza è in ritardo di 1/4 di periodo rispetto alla tensione

La corrente ai capi di un condensatore è in anticipo di 1/4 di periodo rispetto alla tensione