Modelos matemáticos y cálculo integral
Hasta ahora has aprendido sobre derivadas e integrales y sabes que ambas son cruciales para el análisis de cambios y acumulación en diversas áreas.
Para ayudarte a lograr una mayor comprensión de estos temas, ahondaremos en ellos brindándote nueva información que sabemos, será de gran interés para tí.
MODELOS MEDIANTE ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA FORMA DF/DX=AX
SOLUCIÓN DE MODELOS DE MANERA DIRECTA CON CÁLCULO INTEGRAL
Las matemáticas en el estudio de fenómenos
Desde hace cientos de años, las matemáticas se han empleado como una ciencia que nos permite a los seres humanos estudiar y comprender los fenómenos que se presentan en nuestro mundo, constituyéndose como un valioso “instrumento” para la solución de problemas.
De manera particular, la modelación matemática es una de las actividades con mayor relevancia en la predicción del comportamiento de un objeto de estudio, así como para la toma de decisiones justificadas y no basadas en corazonadas.
Modelo matemático
Para dar lugar a la modelación matemática, es necesario describir en términos matemáticos, el comportamiento de los fenómenos o acontecimientos de la vida cotidiana.
Esta descripción matemática de un sistema de fenómenos se llama Modelo matemático
Ejemplos:
Residuos sólidos
Uso del agua
Modelización con ecuaciones diferenciales de primer orden
Es un componente clave de las matemáticas avanzadas con amplias aplicaciones en el mundo real, en diversos campos como:
Finanzas
Física
Ingenierías
Dinámicas de poblaciones
Tienen que ver con temas tan cotidianos como el manejo del volumen de la basura que una escuela genera
Modelización con ecuaciones diferenciales de primer orden
Comprender el concepto de modelización matemática, así como el papel de las ecuaciones diferenciales ordinarias en ella, es esencial para aplicar con éxito diversas técnicas.
El uso más común de las ecuaciones diferenciales en la ciencia es modelar sistemas dinámicos.
Para estos sistemas:
La variable dependiente es una letra que la representa en consideración, reemplazando a y
La variable independiente es t (tiempo) en lugar de x
Variablesdependientes
= Masa
= Población
Otras
=Temperatura
Ejemplos:
en lugar de
Variable independiente
= Tiempo
Ejemplos
En el contexto social, se pueden modelar cambios simples con ecuaciones diferenciales.
El crecimiento de una población de bacterias que aumenta proporcionalmente a su tamaño, se modela con una ecuación diferencial básica:
Si el aumento del volumen de basura que se genera dentro de la escuela es proporcional al tamaño de la población estudiantil, se puede modelar con la ecuación:
Solución general
Analiza los siguientes videos:
Con esto concluimos el tema de los modelos matemáticos.
Para continuar, da clic al siguiente botón.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Volúmen de revolución
Las matemáticas han surgido a partir de situaciones cotidianas que resultaron interesantes para ciertas personas y se dieron a la tarea de analizarlas. Pero esto no quiere decir que encontraron respuesta a sus preguntas de forma inmediata pues, en algunos casos, han pasado incluso siglos para dar respuesta a ciertas preguntas e incluso, algunas preguntas siguen sin contestarse.
Te invito a ver el siguiente video:
Cálculo integral
En el encontrarás la manera en que un problema común, dio lugar al desarrollo de conceptos matemáticos que dieron lugar al cálculo integral.
Cuando hayas concluido, continúa...
Sólido de revolución
El problema descrito en el video anterior, marca el punto de origen para toda una serie de desarrollos matemáticos que dieron lugar a lo que hoy conocemos como cálculo integral.
Esa idea evolucionó hasta dar forma al concepto que ahora conocemos como:
Sólido de revolución
Revisa el siguiente video para ver de qué se trata.
Sin embargo, no eran ideas nuevas para esa época ya que Arquímedes, mucho tiempo antes, ya había realizado trabajos al respecto.
Procedimiento analítico para determinar el volumen de los sólidos de revolución
¿Observaste la gráfica final que apareció en el video?
A continuación te mostramos cómo se realiza:
Interesante cómo la tecnología puede hacer llamativo algo tan sencillo como esta gráfica, ¿no? Y todo por el movimiento y el uso de la tercera dimensión que le dan. Claro está, las matemáticas como en toda tecnología, están presentes.
Revisa el siguiente video.
Pero, te preguntarás ¿cómo se realizan este tipo de gráficas?... pues no todo es visual.
Es necesario realizar un procedimiento analítico que te permita determinar el volumen de los sólidos de revolución.
Hemos concluido con este apartado, esperamos que haya sido de tu interés y, sobre todo, que te haya ayudado al desarrollo de los aprendizajes de esta semana.
Es momento de que continúes, no sin antes recordarte de que, siempre que lo desees, podrás regresar para revisar nuevamente los temas tratados en este espacio.
Uso del agua
Objetivo Identificar cómo ha cambiado la cantidad de agua que una persona emplea para sus rutinas de limpieza
- 2 lavavajillas a la semana
- Lavarse los dientes y manos 3 veces al día
- 1 baño al día, de 5 minutos
- 1 cubeta para limpiar la casa
Nota. Adaptado de [Gráfico de uso del agua de manera personal] por El Economista, 2024, https://www.eleconomista.com.mx/econohabitat/Cada-mexicano-consume-125-litros-de-agua-al-dia-como-es-su-uso-dentro-del-hogar---20240321-0108.html
Esta fórmula se puede interpretar como:
El aumento del volumen de basura es proporcional al tamaño de la población estudiantil.
Donde: v(𝑡) = Volumen de basura en función del tiempo. 𝑟 = Tasa de crecimiento proporcional
Solución general
Con valor inicial:
Separar variables:
Se integran ambos lados:
Exponenciar para despejar:
Volumen de residuos sólidos generada en México
Objetivo
Reconocer la manera en que se ha modificado el volumen de residuos sólidos* que genera una persona en México.
1. En México, una persona produce casi un kilo de residuos sólidos al día.
2. Así también, se generan poco más de 42 millones de toneladas de residuos sólidos al año. Esta cantidad equivale a:
231 veces el estadio de futbol más grande de México
175 veces el volumen de la pirámide del sol de Teotihuacán
*Los residuos sólidos son materiales de desecho que se producen en casas y en establecimientos considerados como no grandes generadores (Ley General para la Prevención y Gestión Integral de los Residuos
Secretaría del Medio Ambiente y Recursos Naturales (SEMARNAT), s/f. Residuos sólidos urbanos. La otra cara de la basura.https://nuevaescuelamexicana.sep.gob.mx/contenido/recurso/23983/
¿Sabías que...?
- Cada estudiante consume en promedio 550 calorías y 3 productos ultraprocesados durante la jornada escolar.
- La basura que generan las escuelas, es de empaques de ultraprocesados que tardan hasta 450 años en degradarse.
Esta fórmula se puede interpretar como:
La variación de la población con respecto al tiempo es proporcional a la población.
Donde: 𝑃 = Tamaño de la población 𝑡 = Tiempo 𝑟 = Tasa de crecimiento proporcional
TSMIII-S4-EI
TSMIII
Created on February 17, 2026
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Modelos matemáticos y cálculo integral
Hasta ahora has aprendido sobre derivadas e integrales y sabes que ambas son cruciales para el análisis de cambios y acumulación en diversas áreas.
Para ayudarte a lograr una mayor comprensión de estos temas, ahondaremos en ellos brindándote nueva información que sabemos, será de gran interés para tí.
MODELOS MEDIANTE ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA FORMA DF/DX=AX
SOLUCIÓN DE MODELOS DE MANERA DIRECTA CON CÁLCULO INTEGRAL
Las matemáticas en el estudio de fenómenos
Desde hace cientos de años, las matemáticas se han empleado como una ciencia que nos permite a los seres humanos estudiar y comprender los fenómenos que se presentan en nuestro mundo, constituyéndose como un valioso “instrumento” para la solución de problemas.
De manera particular, la modelación matemática es una de las actividades con mayor relevancia en la predicción del comportamiento de un objeto de estudio, así como para la toma de decisiones justificadas y no basadas en corazonadas.
Modelo matemático
Para dar lugar a la modelación matemática, es necesario describir en términos matemáticos, el comportamiento de los fenómenos o acontecimientos de la vida cotidiana.
Esta descripción matemática de un sistema de fenómenos se llama Modelo matemático
Ejemplos:
Residuos sólidos
Uso del agua
Modelización con ecuaciones diferenciales de primer orden
Es un componente clave de las matemáticas avanzadas con amplias aplicaciones en el mundo real, en diversos campos como:
Finanzas
Física
Ingenierías
Dinámicas de poblaciones
Tienen que ver con temas tan cotidianos como el manejo del volumen de la basura que una escuela genera
Modelización con ecuaciones diferenciales de primer orden
Comprender el concepto de modelización matemática, así como el papel de las ecuaciones diferenciales ordinarias en ella, es esencial para aplicar con éxito diversas técnicas.
El uso más común de las ecuaciones diferenciales en la ciencia es modelar sistemas dinámicos.
Para estos sistemas:
La variable dependiente es una letra que la representa en consideración, reemplazando a y
La variable independiente es t (tiempo) en lugar de x
Variablesdependientes
= Masa
= Población
Otras
=Temperatura
Ejemplos:
en lugar de
Variable independiente
= Tiempo
Ejemplos
En el contexto social, se pueden modelar cambios simples con ecuaciones diferenciales.
El crecimiento de una población de bacterias que aumenta proporcionalmente a su tamaño, se modela con una ecuación diferencial básica:
Si el aumento del volumen de basura que se genera dentro de la escuela es proporcional al tamaño de la población estudiantil, se puede modelar con la ecuación:
Solución general
Analiza los siguientes videos:
Con esto concluimos el tema de los modelos matemáticos.
Para continuar, da clic al siguiente botón.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Volúmen de revolución
Las matemáticas han surgido a partir de situaciones cotidianas que resultaron interesantes para ciertas personas y se dieron a la tarea de analizarlas. Pero esto no quiere decir que encontraron respuesta a sus preguntas de forma inmediata pues, en algunos casos, han pasado incluso siglos para dar respuesta a ciertas preguntas e incluso, algunas preguntas siguen sin contestarse.
Te invito a ver el siguiente video:
Cálculo integral
En el encontrarás la manera en que un problema común, dio lugar al desarrollo de conceptos matemáticos que dieron lugar al cálculo integral.
Cuando hayas concluido, continúa...
Sólido de revolución
El problema descrito en el video anterior, marca el punto de origen para toda una serie de desarrollos matemáticos que dieron lugar a lo que hoy conocemos como cálculo integral.
Esa idea evolucionó hasta dar forma al concepto que ahora conocemos como:
Sólido de revolución
Revisa el siguiente video para ver de qué se trata.
Sin embargo, no eran ideas nuevas para esa época ya que Arquímedes, mucho tiempo antes, ya había realizado trabajos al respecto.
Procedimiento analítico para determinar el volumen de los sólidos de revolución
¿Observaste la gráfica final que apareció en el video?
A continuación te mostramos cómo se realiza:
Interesante cómo la tecnología puede hacer llamativo algo tan sencillo como esta gráfica, ¿no? Y todo por el movimiento y el uso de la tercera dimensión que le dan. Claro está, las matemáticas como en toda tecnología, están presentes.
Revisa el siguiente video.
Pero, te preguntarás ¿cómo se realizan este tipo de gráficas?... pues no todo es visual.
Es necesario realizar un procedimiento analítico que te permita determinar el volumen de los sólidos de revolución.
Hemos concluido con este apartado, esperamos que haya sido de tu interés y, sobre todo, que te haya ayudado al desarrollo de los aprendizajes de esta semana.
Es momento de que continúes, no sin antes recordarte de que, siempre que lo desees, podrás regresar para revisar nuevamente los temas tratados en este espacio.
Uso del agua
Objetivo Identificar cómo ha cambiado la cantidad de agua que una persona emplea para sus rutinas de limpieza
Nota. Adaptado de [Gráfico de uso del agua de manera personal] por El Economista, 2024, https://www.eleconomista.com.mx/econohabitat/Cada-mexicano-consume-125-litros-de-agua-al-dia-como-es-su-uso-dentro-del-hogar---20240321-0108.html
Esta fórmula se puede interpretar como:
El aumento del volumen de basura es proporcional al tamaño de la población estudiantil.
Donde: v(𝑡) = Volumen de basura en función del tiempo. 𝑟 = Tasa de crecimiento proporcional
Solución general
Con valor inicial:
Separar variables:
Se integran ambos lados:
Exponenciar para despejar:
Volumen de residuos sólidos generada en México
Objetivo
Reconocer la manera en que se ha modificado el volumen de residuos sólidos* que genera una persona en México.
1. En México, una persona produce casi un kilo de residuos sólidos al día.
2. Así también, se generan poco más de 42 millones de toneladas de residuos sólidos al año. Esta cantidad equivale a:
231 veces el estadio de futbol más grande de México
175 veces el volumen de la pirámide del sol de Teotihuacán
*Los residuos sólidos son materiales de desecho que se producen en casas y en establecimientos considerados como no grandes generadores (Ley General para la Prevención y Gestión Integral de los Residuos
Secretaría del Medio Ambiente y Recursos Naturales (SEMARNAT), s/f. Residuos sólidos urbanos. La otra cara de la basura.https://nuevaescuelamexicana.sep.gob.mx/contenido/recurso/23983/
¿Sabías que...?
Esta fórmula se puede interpretar como:
La variación de la población con respecto al tiempo es proporcional a la población.
Donde: 𝑃 = Tamaño de la población 𝑡 = Tiempo 𝑟 = Tasa de crecimiento proporcional