Étudier les suites récurrentes définies par un+1 = f (un), ∀n ∈ N :
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montrer que un ∈ I, ∀n ∈ N
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– Étudie variations de la f, puis vérifier que f(x) ∈ I,∀x ∈ I.(I = intervalle stable)– Démontrer par récurrence que un ∈I, ∀n∈N ; dans hérédité : on a supposé que un ∈ I. Or, si un ∈ I, alors f(un) ∈ I
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monotonie de la suite (un) Si la fonction f est croissante sur I
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f croissante sur I : x ≤ y (=) f (x) ≤ f (y) => (un) est monotone (pas forcément croissante)– Conjecturer sens de monotomie par u0 et u1– récurrence : suite croissante (un+1 ≥ un, ∀n ∈ N ) ou décroissante(un+1 ≤ un, ∀n ∈ N).hérédité : appliquer croissance de f à l’hypothèse de récurrence.
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monotonie de la suite (un) Si f est d´ecroissante sur I
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f croissante sur I : x ≤ y (=) f (x) ≥ f (y) => (un) pas monotone mais démontre par récurrenceque la suite des termes pairs (u2n) et la suite des termes impairs (u2n+1) sont monotones.
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monotonie de la suite (un) Si f n’est pas monotone sur I
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étude du signe de un+1 − un.Ici, un+1 − un = f (un) − un. (= g(un) pour g(x) = f (x) − x)
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montrer qu’une telle suite converge ? Suite monotone
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théorème de la limite monotone : croissante et majorée oudécroissante et minorée.(et on sait que un ∈ I, ∀n ∈ N)
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Sous-titre
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déterminer la limite de (un)
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- (un) converge réel l à déterminer - un+1 = f (un), lim n→+∞ un+1 = lim n→+∞ f (un) l = f (l) (en utilisant la continuité de f en en l) - f(l)=l utiliser l∈ipour choisir la solution
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Suites adjacentes
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Sous-titre
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SUITES art-géo
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Un+1 = aUn+b l=b/(1-a) Vn=Un-l (Vn) : raison = a + 1er terme déduire (Un)
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SUITES linéaires récurrente ordre 2
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SYSTÈME linéaire
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- équation fausse : pas de sol° - dernière éq vraie : 0=0 => infinité + écrire (x1,x2) en fonction de x2 - unique sol°
SUITES NUMÉRIQUES
Gaétane Savart
Created on February 5, 2026
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SUITES NUMÉRIQUES
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Étudier les suites récurrentes définies par un+1 = f (un), ∀n ∈ N :
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montrer que un ∈ I, ∀n ∈ N
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– Étudie variations de la f, puis vérifier que f(x) ∈ I,∀x ∈ I.(I = intervalle stable)– Démontrer par récurrence que un ∈I, ∀n∈N ; dans hérédité : on a supposé que un ∈ I. Or, si un ∈ I, alors f(un) ∈ I
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monotonie de la suite (un) Si la fonction f est croissante sur I
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f croissante sur I : x ≤ y (=) f (x) ≤ f (y) => (un) est monotone (pas forcément croissante)– Conjecturer sens de monotomie par u0 et u1– récurrence : suite croissante (un+1 ≥ un, ∀n ∈ N ) ou décroissante(un+1 ≤ un, ∀n ∈ N).hérédité : appliquer croissance de f à l’hypothèse de récurrence.
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monotonie de la suite (un) Si f est d´ecroissante sur I
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f croissante sur I : x ≤ y (=) f (x) ≥ f (y) => (un) pas monotone mais démontre par récurrenceque la suite des termes pairs (u2n) et la suite des termes impairs (u2n+1) sont monotones.
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monotonie de la suite (un) Si f n’est pas monotone sur I
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étude du signe de un+1 − un.Ici, un+1 − un = f (un) − un. (= g(un) pour g(x) = f (x) − x)
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montrer qu’une telle suite converge ? Suite monotone
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théorème de la limite monotone : croissante et majorée oudécroissante et minorée.(et on sait que un ∈ I, ∀n ∈ N)
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déterminer la limite de (un)
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- (un) converge réel l à déterminer - un+1 = f (un), lim n→+∞ un+1 = lim n→+∞ f (un) l = f (l) (en utilisant la continuité de f en en l) - f(l)=l utiliser l∈ipour choisir la solution
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Suites adjacentes
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SUITES art-géo
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Un+1 = aUn+b l=b/(1-a) Vn=Un-l (Vn) : raison = a + 1er terme déduire (Un)
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SUITES linéaires récurrente ordre 2
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SYSTÈME linéaire
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- équation fausse : pas de sol° - dernière éq vraie : 0=0 => infinité + écrire (x1,x2) en fonction de x2 - unique sol°
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ÉQUIVALENTS
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