Operaciones en Zn
Aritmética Modular
ÍNDICE
1 La aritmética del reloj. ¿Qué es?
2 Aritmética módulo n
3 Operaciones en Zn
4 Ecuaciones en congruencia
LA ARITMÉTICA DEL RELOJ
Operaciones en el reloj
Seguramente si te pido que representes los números -1, 0 y 3, lo harías en la recta numérica real, pero ¿qué sucedería si cambiamos las reglas y convertimos nuestra recta en un círculo?
Estamos acostumbrad@s a este tipo de aritmética cuando usamos relojes
Cuando a las 10 de la mañana se le agregan 5 horas, se llega a las 3 de la tarde, es decir:10 + 5 = 3
También si a las 2 de la tarde se le quitan 4 horas, el resultado es 10, lo que equivale a decir que: 2 – 4 = 10
Actividades
¿Puedes responder a estas preguntas? No te preocupes si es a.m. o p.m.
1 ¿Qué hora es 5 horas después de las 10?
2 ¿Qué hora es 9 horas después de las 4?
3 ¿Qué hora será 13 horas después de las 6?
4 ¿Qué hora es si son 20 horas después de las 5?
5 ¿Qué hora es cuando han pasado 36 horas después de las 2?
Soluciones
Probablemente has notado que cada vez que agregas 12 horas, terminas de nuevo donde estabas, por lo que en lugar de añadir, por ejemplo, 30 horas, se puede utilizar el hecho de que 30 = 12 + 12 + 6 y así sólo añadir 6 horas en su lugar.
Resuelve
Actividad 7
Actividad 6
Siguen siendo las 0 horas. Hubo un día en el que tanto a las 5 de la mañana como de la tarde alguien tocó una campana y despertó a Mario.Sabemos que Browser la tocó hace 34 horas y Wario hace 763. ¿Quién despertó a Mario?
Si ahora son las 12 (las 0 en nuestro reloj) y Mario verá a su amada Peach dentro de 120 horas, ¿a qué hora la verá? ¿Y si es dentro de 122 horas? ¿Y en 2457 horas?
ARITMÉTICA MÓDULO n
Operaciones en el reloj
Esta aritmética del reloj se llama, más rigurosamente, aritmética módulo 12, y se realiza dentro del conjunto
ℤ12={𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏} cuyos elementos se llaman enteros módulo 12. En realidad, como ya habrás imaginado,
cualquier número entero es equivalente a un elemento de Z12
Este entero módulo 12 se obtiene al tomar el resto de la división entera entre 12. Por ejemplo, como al dividir 29 entre 12, el resto es 5, diremos que 29 es congruente con 5 en Z12, y lo escribimos así: 𝟐𝟗 ≡𝟓 (𝒎𝒐𝒅 𝟏𝟐)
Aritmética módulo n
El número 12 es sólo un ejemplo para representar el concepto de la aritmética módulo n que se realiza en el conjunto
ℤ𝒏={𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, …, 𝒏−𝟏}
para cualquier entero n>1. A "n" se le llama el módulo.
En lugar de usar los 12 números de un reloj, podríamos tomar la parte de la línea numérica entre 0 y 7 inclusive y cerrarla formando un círculo para que 0 y 7 estén en el mismo lugar.
Podemos utilizar esta línea numérica curva para calcular sumas como "3+2", pero en lugar de que "+2" signifique mover dos lugares a la derecha, significa mover 2 lugares "en el sentido de las agujas del reloj". Cuando se trabaja con este reloj se trabaja en módulo 7 (hay 7 números, incluyendo 0), por lo que escribiría 4 + 5 ≡ 2 mod 7.
Actividades II
8. ¿Puedes encontrar las respuestas a estas sumas utilizando nuestra "línea de números circular"?
A. 2+3 ≡ ? mod 7
B. 5+2 ≡ ? mod 7
C. 6+6 ≡ ? mod 7
D. 4×2 ≡ ? mod 7
E. 3×3 ≡ ? mod 7
Soluciones
9. Restar se puede considerar como un movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo. ¿Puedes encontrar las respuestas a esto?
A. 2−5 ≡ ? mod 7B. 1−2 ≡ ? mod 7C. 6-3 ≡ ? mod 7 D. 4×(-2) ≡ ? mod 7
E. 3×(-3) ≡ ? mod 7
Soluciones
Cuando se utiliza la aritmética del reloj, restar no es realmente necesario, ya que en lugar de moverse en sentido contrario a las agujas del reloj podemos movernos en el sentido de las agujas del reloj y terminar en la misma posición.
Tenemos 1 − 2 ≡ 6 mod 7 pero también tenemos 1 + 5 ≡ 6 mod 7. Esto significa que la operación "−2" es equivalente a "+5" cuando estamos trabajando módulo 7.
10. ¿Qué sumas se podrían utilizar en lugar de estas restas al trabajar en módulo 7?
A. −1B. -3 C. -5 D. -6
Soluciones
Podemos dar varias vueltas en nuestro reloj módulo 7. Si quisiéramos representar 16 empezamos en 0 y nos movemos 16 lugares en el sentido de las agujas del reloj hasta que terminamos en 2. Escribimos 16 ≡2 mod 7.
11. Encuentra cuáles serían estos números en el reloj módulo 7.
A. 20 ≡ ? mod 7
B. 32 ≡ ? mod 7
C. 50 ≡ ? mod 7
D. 91 ≡ ? mod 7
Soluciones
Resuelve II
14
Si el 1 de enero de un año bisiesto es viernes, ¿qué día será el 1 de enero del año siguiente?
12
Si hoy es lunes, ¿qué día será dentro de 31 días?
13
Si el 1 de abril es jueves, ¿qué día será el día de Navidad?
15
¿Puedes usar la fecha de hoy para averiguar en qué día de la semana estará tu cumpleaños?
1. Si hoy es lunes, ¿qué día será dentro de 31 días?
Como cada 7 días se vuelve a repetir el día de la semana, si identificamos el lunes con el 1, martes con el 2, y así sucesivamente, se trata de calcular 1+31 mod 7 .Como 1+31 ≡ 4 mod 7, podemos afirmar que será jueves.
2. Si el 1 de abril es jueves, ¿qué día será el día de Navidad?
Calculamos primero cuántos días faltan para Navidad:
29+31+30+31+31+30+31+30+25=268. Como el jueves es el 4 en nuestro reloj de 7 días, tenemos:
4+268=272
272≡6 mod 7
Por lo tanto será sábado.
Si el 1 de enero de un año bisiesto es viernes, ¿qué día será el 1 de enero del año siguiente?
3.
En nuestro reloj de 7 días, el viernes es el 5. Como el año es bisiesto, faltan 366 días para que vuelva a ser 1 de enero. Así:
5+366=371 y 371≡0 mod 7, por lo tanto será domingo.
Operaciones en Zn
Propiedades
Tenemos 20 mod 7, 60 mod 7 y 80 mod 7.¿Es 80 mod 7 = 20 mod 7 + 60 mod 7?
¿Y en módulo n? ¿Será cierto en general?
Piensa en otra pareja de números A≡a mod 7 y B≡b mod 7.¿Es siempre cierto que (A+B) ≡(a+b) mod 7?
Reordena las siguientes tarjetas para completar la demostración de que Si A ≡ a mod n y B ≡ b mod n entonces A + B ≡ (a + b) mod n
Tenemos 20 mod 7, 4 mod 7 y 80 mod 7.¿Es 80 mod 7 = (20 mod 7) X (4 mod 7)?
¿Y en módulo n? ¿Será cierto en general?
Piensa en otra pareja de números A ≡a mod 7 y B ≡b mod 7.¿Es siempre cierto que AB ≡ ab mod 7 ?
Reordena las siguientes tarjetas para completar la demostración de que: Si A ≡ a mod n y B ≡ b mod n entonces AB ≡ ab mod n
Resuelve
18
16
Calcula en Z5.a) 6+6 b) 6 x 4 c) 4 x 3 d) 57
¿Ves alguna propiedad curiosa en la tabla? ¿Hay alguna simetría en la tabla de multiplicar de Z5?
19
17
Escribe la tabla de la multiplicación en Z6. ¿Qué observas?
Escribe la tabla de la multiplicación en Z5.
Sabemos que si 𝐚·𝐛=𝟏, entonces b es el inverso de a y a es el inverso de b. Por ejemplo, 0,25 es el inverso de 4 porque 4 · 0,25 = = 1 = 0,25·4
Observa la tabla de multiplicar en Z6 y contesta.
El inverso de 1 módulo 6 es:
El inverso de 2 módulo 6 es:
El inverso de 3 módulo 6 es:
El inverso de 4 módulo 6 es: El inverso de 5 módulo 6 es:
Observa la tabla de multiplicar en Z5 y contesta. El inverso de 1 módulo 5 es:
El inverso de 2 módulo 5 es:
El inverso de 3 módulo 5 es:
El inverso de 4 módulo 5 es:
En módulo 4, ¿quiénes no tendrían inverso? ¿por qué? (puedes ayudarte calculando la tabla del producto en módulo 4).
En general, en Zn
para que todos los números tengan inverso y la división sea siempre posible es necesario que n sea ?????
TeoremaEn ℤn un elemento 𝒂 es invertible ⟺𝒎𝒄𝒅(𝒂,𝒏)=𝟏
Resuelve IV
20
Encuentra todos los elementos invertibles de ℤ𝟐𝟕 y asociada cada uno con su inverso.
21
Encuentra todos los elementos invertibles de ℤ11 y asociada cada uno con su inverso.
Efectúa las divisiones en el sistema que se indica:a. 1÷3 𝑒𝑛 ℤ10 b. 3÷8 𝑒𝑛 ℤ11 c. 23÷11 𝑒𝑛 ℤ27
22
Ecuaciones en congruencias
o ecuaciones con aritmética modular
Para empezar...
Dada la ecuación 3x ≡ 1 mod 7, ¿qué valores de x (x<7), serían solución de la ecuación?
Soluciones
Algo más complicado...
Dada la ecuación 3x ≡ b mod 7 , ¿qué valores de x (x<7), serían solución de la ecuación para b = 2, 3, 4, 5, 6 ?
Soluciones
Seguimos investigando
Dada la ecuación 6x ≡ b mod 7 , ¿qué valores de x (x<7), serían solución de la ecuación para b = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
Soluciones
Fíjate en las diferencias con los casos anteriores
Dada la ecuación 4x ≡ b mod 10, ¿qué valores de x (x<7), serían solución de la ecuación para b = 1, 2, 3, .., 9, 10 ?
Soluciones
Como hemos visto, en ocasiones es posible encontrar las soluciones de una ecuación en congruencias, pero otras no lo es.Por ejemplo, en el caso de la ecuación 4x ≡ b mod 10, al buscar múltiplos de 4 en módulo 10, sucede lo que vemos en la imagen: solo aparecen cinco de los 10 resultados posibles. Por eso la ecuación no tiene solución para todos los valores de b, sino para b=0, 2, 4, 6 y 8.
Un modelo geométrico
3x ≡ b mod 8
2x ≡ b mod 8
6x ≡ b mod 7
3x ≡ b mod 7
Múltiplos de 3 en Z8Todas las ecuaciones tendrán solución para b = 1, 2, 3, ... , 7.
Múltiplos de 2 en Z8
Sólo habrá solución para cuatro ecuaciones (b = 0, 2, 4, 6).
Múltiplos de 6 en Z7Todas las ecuaciones tendrán solución para b = 1, 2, 3, ... , 6.
Múltiplos de 3 en Z7Todas las ecuaciones tendrán solución para b = 1, 2, 3, ... , 6.
Investiga
Utiliza el modelo interactivo que encontrarás en el enlace para averiguar qué pasa con los múltiplos de un número en distintos módulos. Trabaja en equipo e investiga qué sucede con otras ecuaciones del tipo ax ≡ b mod n, con 0 ≤x ≤ n−1. ¿Puedes encontrar alguna condición para que la solución exista?
¡Hasta el próximo miércoles!
S12-GII: Aritmética modular 1
Elvira Fariña García
Created on February 1, 2026
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Operaciones en Zn
Aritmética Modular
ÍNDICE
1 La aritmética del reloj. ¿Qué es?
2 Aritmética módulo n
3 Operaciones en Zn
4 Ecuaciones en congruencia
LA ARITMÉTICA DEL RELOJ
Operaciones en el reloj
Seguramente si te pido que representes los números -1, 0 y 3, lo harías en la recta numérica real, pero ¿qué sucedería si cambiamos las reglas y convertimos nuestra recta en un círculo?
Estamos acostumbrad@s a este tipo de aritmética cuando usamos relojes
Cuando a las 10 de la mañana se le agregan 5 horas, se llega a las 3 de la tarde, es decir:10 + 5 = 3
También si a las 2 de la tarde se le quitan 4 horas, el resultado es 10, lo que equivale a decir que: 2 – 4 = 10
Actividades
¿Puedes responder a estas preguntas? No te preocupes si es a.m. o p.m.
1 ¿Qué hora es 5 horas después de las 10?
2 ¿Qué hora es 9 horas después de las 4?
3 ¿Qué hora será 13 horas después de las 6?
4 ¿Qué hora es si son 20 horas después de las 5?
5 ¿Qué hora es cuando han pasado 36 horas después de las 2?
Soluciones
Probablemente has notado que cada vez que agregas 12 horas, terminas de nuevo donde estabas, por lo que en lugar de añadir, por ejemplo, 30 horas, se puede utilizar el hecho de que 30 = 12 + 12 + 6 y así sólo añadir 6 horas en su lugar.
Resuelve
Actividad 7
Actividad 6
Siguen siendo las 0 horas. Hubo un día en el que tanto a las 5 de la mañana como de la tarde alguien tocó una campana y despertó a Mario.Sabemos que Browser la tocó hace 34 horas y Wario hace 763. ¿Quién despertó a Mario?
Si ahora son las 12 (las 0 en nuestro reloj) y Mario verá a su amada Peach dentro de 120 horas, ¿a qué hora la verá? ¿Y si es dentro de 122 horas? ¿Y en 2457 horas?
ARITMÉTICA MÓDULO n
Operaciones en el reloj
Esta aritmética del reloj se llama, más rigurosamente, aritmética módulo 12, y se realiza dentro del conjunto ℤ12={𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏} cuyos elementos se llaman enteros módulo 12. En realidad, como ya habrás imaginado,
cualquier número entero es equivalente a un elemento de Z12
Este entero módulo 12 se obtiene al tomar el resto de la división entera entre 12. Por ejemplo, como al dividir 29 entre 12, el resto es 5, diremos que 29 es congruente con 5 en Z12, y lo escribimos así: 𝟐𝟗 ≡𝟓 (𝒎𝒐𝒅 𝟏𝟐)
Aritmética módulo n
El número 12 es sólo un ejemplo para representar el concepto de la aritmética módulo n que se realiza en el conjunto ℤ𝒏={𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, …, 𝒏−𝟏} para cualquier entero n>1. A "n" se le llama el módulo.
En lugar de usar los 12 números de un reloj, podríamos tomar la parte de la línea numérica entre 0 y 7 inclusive y cerrarla formando un círculo para que 0 y 7 estén en el mismo lugar.
Podemos utilizar esta línea numérica curva para calcular sumas como "3+2", pero en lugar de que "+2" signifique mover dos lugares a la derecha, significa mover 2 lugares "en el sentido de las agujas del reloj". Cuando se trabaja con este reloj se trabaja en módulo 7 (hay 7 números, incluyendo 0), por lo que escribiría 4 + 5 ≡ 2 mod 7.
Actividades II
8. ¿Puedes encontrar las respuestas a estas sumas utilizando nuestra "línea de números circular"?
A. 2+3 ≡ ? mod 7 B. 5+2 ≡ ? mod 7 C. 6+6 ≡ ? mod 7 D. 4×2 ≡ ? mod 7 E. 3×3 ≡ ? mod 7
Soluciones
9. Restar se puede considerar como un movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo. ¿Puedes encontrar las respuestas a esto?
A. 2−5 ≡ ? mod 7B. 1−2 ≡ ? mod 7C. 6-3 ≡ ? mod 7 D. 4×(-2) ≡ ? mod 7 E. 3×(-3) ≡ ? mod 7
Soluciones
Cuando se utiliza la aritmética del reloj, restar no es realmente necesario, ya que en lugar de moverse en sentido contrario a las agujas del reloj podemos movernos en el sentido de las agujas del reloj y terminar en la misma posición.
Tenemos 1 − 2 ≡ 6 mod 7 pero también tenemos 1 + 5 ≡ 6 mod 7. Esto significa que la operación "−2" es equivalente a "+5" cuando estamos trabajando módulo 7.
10. ¿Qué sumas se podrían utilizar en lugar de estas restas al trabajar en módulo 7?
A. −1B. -3 C. -5 D. -6
Soluciones
Podemos dar varias vueltas en nuestro reloj módulo 7. Si quisiéramos representar 16 empezamos en 0 y nos movemos 16 lugares en el sentido de las agujas del reloj hasta que terminamos en 2. Escribimos 16 ≡2 mod 7.
11. Encuentra cuáles serían estos números en el reloj módulo 7.
A. 20 ≡ ? mod 7 B. 32 ≡ ? mod 7 C. 50 ≡ ? mod 7 D. 91 ≡ ? mod 7
Soluciones
Resuelve II
14
Si el 1 de enero de un año bisiesto es viernes, ¿qué día será el 1 de enero del año siguiente?
12
Si hoy es lunes, ¿qué día será dentro de 31 días?
13
Si el 1 de abril es jueves, ¿qué día será el día de Navidad?
15
¿Puedes usar la fecha de hoy para averiguar en qué día de la semana estará tu cumpleaños?
1. Si hoy es lunes, ¿qué día será dentro de 31 días?
Como cada 7 días se vuelve a repetir el día de la semana, si identificamos el lunes con el 1, martes con el 2, y así sucesivamente, se trata de calcular 1+31 mod 7 .Como 1+31 ≡ 4 mod 7, podemos afirmar que será jueves.
2. Si el 1 de abril es jueves, ¿qué día será el día de Navidad?
Calculamos primero cuántos días faltan para Navidad: 29+31+30+31+31+30+31+30+25=268. Como el jueves es el 4 en nuestro reloj de 7 días, tenemos: 4+268=272 272≡6 mod 7 Por lo tanto será sábado.
Si el 1 de enero de un año bisiesto es viernes, ¿qué día será el 1 de enero del año siguiente?
3.
En nuestro reloj de 7 días, el viernes es el 5. Como el año es bisiesto, faltan 366 días para que vuelva a ser 1 de enero. Así: 5+366=371 y 371≡0 mod 7, por lo tanto será domingo.
Operaciones en Zn
Propiedades
Tenemos 20 mod 7, 60 mod 7 y 80 mod 7.¿Es 80 mod 7 = 20 mod 7 + 60 mod 7?
¿Y en módulo n? ¿Será cierto en general?
Piensa en otra pareja de números A≡a mod 7 y B≡b mod 7.¿Es siempre cierto que (A+B) ≡(a+b) mod 7?
Reordena las siguientes tarjetas para completar la demostración de que Si A ≡ a mod n y B ≡ b mod n entonces A + B ≡ (a + b) mod n
Tenemos 20 mod 7, 4 mod 7 y 80 mod 7.¿Es 80 mod 7 = (20 mod 7) X (4 mod 7)?
¿Y en módulo n? ¿Será cierto en general?
Piensa en otra pareja de números A ≡a mod 7 y B ≡b mod 7.¿Es siempre cierto que AB ≡ ab mod 7 ?
Reordena las siguientes tarjetas para completar la demostración de que: Si A ≡ a mod n y B ≡ b mod n entonces AB ≡ ab mod n
Resuelve
18
16
Calcula en Z5.a) 6+6 b) 6 x 4 c) 4 x 3 d) 57
¿Ves alguna propiedad curiosa en la tabla? ¿Hay alguna simetría en la tabla de multiplicar de Z5?
19
17
Escribe la tabla de la multiplicación en Z6. ¿Qué observas?
Escribe la tabla de la multiplicación en Z5.
Sabemos que si 𝐚·𝐛=𝟏, entonces b es el inverso de a y a es el inverso de b. Por ejemplo, 0,25 es el inverso de 4 porque 4 · 0,25 = = 1 = 0,25·4
Observa la tabla de multiplicar en Z6 y contesta. El inverso de 1 módulo 6 es: El inverso de 2 módulo 6 es: El inverso de 3 módulo 6 es: El inverso de 4 módulo 6 es: El inverso de 5 módulo 6 es:
Observa la tabla de multiplicar en Z5 y contesta. El inverso de 1 módulo 5 es: El inverso de 2 módulo 5 es: El inverso de 3 módulo 5 es: El inverso de 4 módulo 5 es:
En módulo 4, ¿quiénes no tendrían inverso? ¿por qué? (puedes ayudarte calculando la tabla del producto en módulo 4).
En general, en Zn
para que todos los números tengan inverso y la división sea siempre posible es necesario que n sea ?????
TeoremaEn ℤn un elemento 𝒂 es invertible ⟺𝒎𝒄𝒅(𝒂,𝒏)=𝟏
Resuelve IV
20
Encuentra todos los elementos invertibles de ℤ𝟐𝟕 y asociada cada uno con su inverso.
21
Encuentra todos los elementos invertibles de ℤ11 y asociada cada uno con su inverso.
Efectúa las divisiones en el sistema que se indica:a. 1÷3 𝑒𝑛 ℤ10 b. 3÷8 𝑒𝑛 ℤ11 c. 23÷11 𝑒𝑛 ℤ27
22
Ecuaciones en congruencias
o ecuaciones con aritmética modular
Para empezar...
Dada la ecuación 3x ≡ 1 mod 7, ¿qué valores de x (x<7), serían solución de la ecuación?
Soluciones
Algo más complicado...
Dada la ecuación 3x ≡ b mod 7 , ¿qué valores de x (x<7), serían solución de la ecuación para b = 2, 3, 4, 5, 6 ?
Soluciones
Seguimos investigando
Dada la ecuación 6x ≡ b mod 7 , ¿qué valores de x (x<7), serían solución de la ecuación para b = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
Soluciones
Fíjate en las diferencias con los casos anteriores
Dada la ecuación 4x ≡ b mod 10, ¿qué valores de x (x<7), serían solución de la ecuación para b = 1, 2, 3, .., 9, 10 ?
Soluciones
Como hemos visto, en ocasiones es posible encontrar las soluciones de una ecuación en congruencias, pero otras no lo es.Por ejemplo, en el caso de la ecuación 4x ≡ b mod 10, al buscar múltiplos de 4 en módulo 10, sucede lo que vemos en la imagen: solo aparecen cinco de los 10 resultados posibles. Por eso la ecuación no tiene solución para todos los valores de b, sino para b=0, 2, 4, 6 y 8.
Un modelo geométrico
3x ≡ b mod 8
2x ≡ b mod 8
6x ≡ b mod 7
3x ≡ b mod 7
Múltiplos de 3 en Z8Todas las ecuaciones tendrán solución para b = 1, 2, 3, ... , 7.
Múltiplos de 2 en Z8 Sólo habrá solución para cuatro ecuaciones (b = 0, 2, 4, 6).
Múltiplos de 6 en Z7Todas las ecuaciones tendrán solución para b = 1, 2, 3, ... , 6.
Múltiplos de 3 en Z7Todas las ecuaciones tendrán solución para b = 1, 2, 3, ... , 6.
Investiga
Utiliza el modelo interactivo que encontrarás en el enlace para averiguar qué pasa con los múltiplos de un número en distintos módulos. Trabaja en equipo e investiga qué sucede con otras ecuaciones del tipo ax ≡ b mod n, con 0 ≤x ≤ n−1. ¿Puedes encontrar alguna condición para que la solución exista?
¡Hasta el próximo miércoles!