PCT SESION 2 SAN RAFAEL

PROGRAMA DE COOPERACIÓN TERRITORIAL DE REFUERZO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

1º SESION

2º SESION

3º SESION

• Resolución problemas
• Tipología
• Estrategias para la resolución de problemas
• Métodos para la resolución de problemas

-Método Polya-Método Fermi-Método Quinzet

• Estrategias de cálculo mental
• Métodos de enseñanza aprendizaje (algoritmos):

• Singapour
• ABN
• OAOA

• Conexiones: relación con otras áreas
• Pensamiento computacional
• DUA

• Contextualización del programa
• Competencia matemática en el marco normativo
• Ámbito socioemocional
• Descansos activos
• Estrategias metodológicas
• Rincones de aprendizaje
• Estaciones de aprendizaje
• Rutinas
• Materiales y recursos
• Metodologías activas

resolución de problemas

¿Qué es un problema?

Características

Una situación o reto cuya solución no es inmediatamente evidente para quien la enfrenta, y que requiere poner en juego conocimientos, habilidades y estrategias para ser resuelta.

• Debe ser una situación desafiante que no se pueda resolver de manera automática o rutinaria, implicando un reto intelectual, sin exceder en demasía las capacidades del alumnado para que lo considere imposible.
• Debe tener ausencia de solución inmediata, es decir, la respuesta no es obvia y requiere reflexión, análisis y creatividad.
• Debe provocar la movilización de recursos, lo que implica usar conocimientos previos, habilidades matemáticas y estrategias de resolución.
• Debe presentarse como una situación suficientemente rica y abierta para motivar al estudiante.
• Debe partir de su aplicabilidad a la vida real.
• Debe despertar la necesidad de transformación o acción por parte del alumnado, para que lo perciban como un desafío significativo que merezca su atención y resolución.

Enfoque competencial

Movilización de recursos

El pensamiento crítico, ya que requiere que el alumnado analice y comprenda la información proporcionada en el enunciado, identifiquen qué se les pide, qué operaciones se necesitan y qué relaciones hay entre esas operaciones. Además de seleccionar la estrategia de resolución que consideren más efectiva. El desarrollo de esta habilidad les va a permitir resolver problemas dentro y fuera del ámbito matemático.

La creatividad, puesto que los enunciados suponen retos para los alumnos/as que tienen que buscar una solución, pero ésta puede encontrarse de diferentes maneras. Hay quienes prefieren modelizarlo, otros realizar un esquema visual o incluso dialogarlo y comentarlo con alguien más para exponer qué hay que resolver y cómo hacerlo. Explorar diferentes enfoques y buscar nuevas formas de abordar un problema fortalece la creatividad y les enseña a buscar soluciones a diversas situaciones.

La perseverancia, puesto que los enunciados suponen un desafío que requiere tiempo y esfuerzo, ya que en ocasiones no sale bien a la primera. Pueden llegar a ser frustrantes para los estudiantes, por lo que es imprescindible plantear enunciados adecuados al nivel, para que, de este modo sean un reto, pero a la vez sean superables, reforzando el autoconcepto. De este modo, aprenden a no rendirse ante la primera dificultad, a persistir en la búsqueda de soluciones y a aprender de los errores cometidos en el camino.

TIPOLOGÍA DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

(Isabel Echenique)

Problemas de razonamiento lógico

Son problemas que permiten desarrollar destrezas para afrontar situaciones con un componente lógico.

Numéricos Los criptogramas, líneas u otras figuras sobre las que hay que colocar números cumpliendo unas determinadas condiciones, aquellos en los que se dan unas pistas para que a partir de ellas se determine el número o números que las cumplen.

Problemas de razonamiento lógico

Son problemas que permiten desarrollar destrezas para afrontar situaciones con un componente lógico.

EnigmasAunque no tienen por qué ser propiamente matemáticos, mantienen la mente despierta, estimulan la imaginación y desarrollan la facultad de la inteligencia. Constituyen un ejercicio mental y desarrollan estrategias que resultan útiles en muchas ocasiones.

Son actividades en las que es fundamental la expresión verbal del proceso seguido para su resolución, ya que no sólo es importante dar la respuesta sino también hacer partícipes al resto de compañeros de cómo se ha llegado hasta ella.

Problemas de razonamiento lógico

Son problemas que permiten desarrollar destrezas para afrontar situaciones con un componente lógico.

Balanzas de dos brazos

Problemas gráficos en los que una vez representadas algunos pesos realizados, se trata de averiguar otras equivalencias en función de los objetos utilizados.

Problemas de razonamiento inductivo

Consisten en enunciar propiedades numéricas o geométricas a partir del descubrimiento de regularidades. Intervienen dos variables y es necesario expresar la dependencia entre ellas.

Problemas de azar y probabilidad

Siguiendo una metodología de tipo manipulativa y participativa por parte de los alumnos, estos pueden descubrir la viabilidad o no de algunas opciones presentadas.

Se trabajan diversos contenidos y conceptos de ámbito geométrico, diferentes formas y elementos, figuras bidimensionales y tridimensionales, orientación y visión espacial, los giros…

Problemas geométricos

Son aquellos que, en su enunciado, presentan datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo, cuyas preguntas hacen referencia a la determinación de una o varias cantidades o a sus relaciones, y que necesitan la realización de operaciones aritméticas para su resolución.

Problemas aritméticos (ABN)

• Cambio (CA)
• Combinación (CO)
• Igualación (IG)
• Comparación (CM)
• Reparto igualatorio (RI)
• Isomorfismos de medidas (IM)
• Escalares (EC)
• Producto cartesiano (PC)

DE CAMBIO

Son problemas en los que aparece una cantidad de una magnitud que sufre una transformación (creciente o decreciente) y da como resultado otra cantidad.

Problemas aritméticos

Problema de sumar. Se conoce cantidad inicial. Se le hace crecer. Se pregunta por la cantidad final.

Problema de restar: se parte de una cantidad inicial a la que se le hace disminuir. Se pregunta por la cantidad final.

C 1

C 2

Antonio tenía en su hucha ocho euros. Después de su comunión, metió otros doce euros. ¿Cuánto dinero tiene ahora en la hucha?

Antonio tenía en su hucha ocho euros. En su cumpleaños se ha gastado cinco euros. ¿Cuánto dinero tiene ahora en la hucha?

Problema de restar: se conoce la cantidad inicial y se llega, mediante una transformación, a una cantidad final conocida mayor. Se pregunta por el aumento (transformación)

Problema de restar: Se parte de una cantidad inicial y, por una transformación, se llega a una cantidad final conocida y menor que la inicial. Se pregunta por la transformación.

C 4

C 3

Andrés tenía catorce tazos. Después de jugar le quedan sólo ocho tazos. ¿Cuántos ha perdido?

Andrés tenía catorce tazos. Después de jugar ha reunido dieciocho. ¿Cuántos ha ganado?

Problema de restar: se tiene que averiguar la cantidad inicial conociendo la cantidad final y lo que ha aumentado. Se pregunta cantidad inicial.

C 5

Jugando he ganado 7 canicas, y ahora tengo 11. ¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?”.

DE COMBINACIÓN

Problemas aritméticos

Son problemas en los que aparece una cantidad de una magnitud (cantidad inicial) que sufre una transformación (creciente o decreciente) y da como resultado otra cantidad (cantidad final).

Problema conmutativo y de restar: es el problema inverso al anterior, puesto que se conoce el todo y una de las partes, y se pregunta por la otra,

Problema de sumar: se conocen las dos partes y se pregunta por el todo.

CO 1

CO 2

Luisa tiene doce bombones rellenos y cinco normales. ¿Cuántos bombones tiene Luisa en total?”

Luisa tiene doce bombones contando los rellenos y los normales. Si tiene diez rellenos, ¿cuántos bombones normales tiene Luisa?

DE COMPARACIÓN

Problemas aritméticos

Son problemas en los que una cantidad se compara a otra estableciendo una diferencia entre ambas (mayor o menor).

Problema de restar: Conocemos las dos cantidades y se pregunta por la diferencia en el sentido del que tiene más

Problema de restar: conocemos las dos cantidades y se pregunta por la diferencia en el sentido del que tiene menos.

CM 2

CM 1

Marcos tiene ocho euros. Raquel tiene cinco euros. ¿Cuántos euros más que Raquel tiene Marcos?

Marcos tiene treinta y siete euros. Raquel tiene doce euros. ¿Cuántos euros tiene Raquel menos que Marcos?

Problema de sumar: se conoce la cantidad del 1º y la diferencia “en más” del 2º. Se pregunta por la cantidad del 2º

Problema de restar: se conoce la cantidad del 1º y la diferencia “en menos” del 2º. Se pregunta por la cantidad del 2º

CM 4

CM 3

Esther tiene ocho euros. Irene tiene cinco euros más que ella. ¿Cuánto dinero tiene Irene?

Esther tiene ocho euros. Irene tiene cinco euros menos que ella. ¿Cuánto dinero tiene Irene?

Problema de restar: se conoce la cantidad del 1º y su diferencia “en más” con la del 2º. Se pregunta por cantidad del 2º

Problema de sumar: se conoce la cantidad del 1º y su diferencia “en menos” con la del 2º. Se pregunta por cantidad del 2º

C 5

C 6

Rosa tiene diecisiete euros, y tiene cinco euros más que Carlos. ¿Cuántos euros tiene Carlos?

Rosa tiene diecisiete euros, y tiene cinco euros menos que Carlos. ¿Cuántos euros tiene Carlos?

DE IGUALACIÓN

Son problemas en los que partiendo de dos cantidades , una de las cantidades crece o decrece hasta igualarse a la otra.

Problemas aritméticos

Problema de restar: conocemos cantidades del 1º y del 2º. Se pregunta por el aumento de la cantidad menor para igualarla a la mayor.

Problema de restar: conocemos cantidades del 1º y del 2º y se pregunta por la disminución de la cantidad mayor para igualarla a la menor.

IG 2

IG 1

Marcos tiene ocho euros. Raquel tiene cinco euros. ¿Cuántos euros le tienen que dar a Raquel para que tenga los mismos que Marcos?

Marcos tiene ocho euros. Raquel tiene cinco euros. ¿Cuántos euros tiene que perder Marcos, para tener los mismos que Raquel?

Problema de restar: conocemos la cantidad del 1º y lo que hay que añadir a la 2º para igualarla con la 1ª. Se pregunta por la cantidad del 2º.

Problema de sumar: conocemos cantidades del 1º y lo que hay que quitar a la 2º para igualarla con la 1ª. Se pregunta por la cantidad del 2º.

IG 4

IG 3

Juan tiene diecisiete euros. Si Rebeca ganara seis euros, tendría los mismos que Juan. ¿Cuántos euros tiene Rebeca?

Juan tiene diecisiete euros. Si Rebeca perdiera seis euros, tendría los mismos que Juan. ¿Cuántos euros tiene Rebeca?

Problema de sumar: conocemos cantidades del 1º y lo que hay que añadirle para igualarla con la del 2º. Se pregunta por la cantidad del 2º.

Problema de restar: conocemos cantidades del 1º y lo que hay que quitarle para igualarla con la del 2º. Se pregunta por la cantidad del 2º.

IG 5

IG 6

Marcos tiene ocho euros . Si perdiera cinco euros más, tendría los mismos que tiene Rafael. ¿Cuántos euros tiene Rafael?

Marcos tiene ocho euros . Si le dieran cinco euros más, tendría los mismos que tiene Rafael.¿ Cuántos euros tiene Rafael?.

DE REPARTO IGUALATORIO

Son problemas en los que se debe igualar las dos cantidades para que ambas sean iguales. Una cantidad crece mientras que la otra decrece.

Problemas aritméticos

La cantidad a disminuir y la cantidad a incrementar son los datos. Se pregunta por la cantidad igualadora y no se hace mención a la cantidad igualada.

La cantidad a disminuir y la cantidad a incrementar son los datos. Se pregunta por la cantidad igualada y no se hace mención a la cantidad igualadora.

RI 1

RI 2

Jose tiene 212 cromos y Carlos 136. Jose le da cromos a su amiga hasta que ambos tienen el mismo número. ¿Con cuántos cromos se quedan los dos?

Jose tiene 212 cromos y Carlos 136. ¿Cuántos cromos le tendría que dar Jose a su amigo para que ambos tuvieran el mismo número?

La cantidad a disminuir y la cantidad igualadora son los datos. Se pregunta por la cantidad a incrementar y no se hace mención a la cantidad igualada

La cantidad a disminuir y la cantidad igualada son los datos. Se pregunta por la cantidad a incrementar y no se hace mención a la cantidad igualadora.

RI 4

RI 3

Jose tiene 212 cromos y Jose tiene menos. Jose le da 38 cromos a su amigo y los dos tienen el mismo número de cromos. ¿Cuántos tenía Carlos?

Jose tiene 212 cromos y Carlos tiene menos. Jose le da cromos a su amigo hasta que los dos se quedan con 174 cromos. ¿Cuántos cromos tenía Carlos?

La cantidad a incrementar y la cantidad igualada son los datos. Se pregunta por la cantidad a disminuir y no se hace mención a la cantidad igualadora.

La cantidad a incrementar y la cantidad igualadora son los datos. Se pregunta por la cantidad a disminuir y no se hace mención a la cantidad igualada.

RI 5

RI 6

Carlos tiene 136 cromos. Jose tiene más que él pero le da unos pocos hasta que ambos se quedan con 174 cromos. ¿Cuántos cromos le da Jose a su amigo?

Carlos tiene 136 cromos. Jose le da 38 y ahora Carlos tiene los mismos cromos que Jose. ¿Cuántos cromos tenía Carlos antes de repartir?

DE ISOMORFISMO DE MEDIDAS

Problemas aritméticos

Son cantidades asimétricas que permiten realizar con ambas las mismas operaciones.

El multiplicando y el multiplicador son los datos y se pregunta por el resultado final o desarrollo alcanzado por el multiplicando.

El resultado y el multiplicador son los datos yse pregunta por el multiplicador.

IM 1

IM 2

Un autobús ha trasladado un total de 236 pasajerosen 4 viajes. En cada viaje ha ido el mismo númerode personas. ¿Cuántas iban en cada viaje?

Un autobús lleva en cada viaje 59 pasajeros. ¿Cuántos llevará en 4 viajes?

El resultado y el multiplicando son los datos y se pregunta por el multiplicador.

IM 3

Un autobús ha trasladado un total de 236 pasajeros en varios viajes. En cada viaje ha ido 59 personas¿Cuántas viajes ha dado el autobús?

ESCALARES

Problemas aritméticos

Trata de establecer las diferencias que existen entre dos cantidades pero expresada en términos multiplicativos.

Problema de multiplicar. La cantidad de referencia y la escala son los datos y se pregunta por la cantidad comparada.

División partitiva. La cantidad comparada y la escala son los datos y se pregunta por lacantidad de referencia.

EC 1

EC 2

Sofía tiene 48 cromos. Tiene 6 veces más cromos que Elena. ¿Cuántos cromos tiene Elena?

Elena tiene 8 cromos. Sofía tiene 6 veces más que Elena.

División. Las dos cantidades a comparar son los datos y se pregunta por laescala.

EC 3

Sofía tiene 48 cromos. Elena tiene 6 cromos. ¿Cuántas veces más cromos tiene Sofía que Elena?

PRODUCTO CARTESIANO

Problemas aritméticos

Pertenecen todos los problemas de multiplicar en los que el resultado de la operación es el conjunto de pares que se pueden formar combinando uno o más elementos de una de las cantidades con la otra cantidad.

Problema de multiplicar. El primer factor y el segundo factor son los datos y se pregunta por el número de combinaciones resultantes de poner en relación uno a uno los elementos de cada uno de los factores.

PC 1

En un restaurante se puede formar el menú eligiendo entre 3 primeros platos y 5 segundos platos. ¿Cuántos menús diferentes se pueden formar?

Es un problema de dividir. Se conoce el resultado y uno de los dos factores y se pregunta por el otro.

PC 2

En un restaurante se pueden formar 15 menús diferentes eligiendo entre primeros platos y segundos platos. Si hay 5 segundos platos. ¿Cuántos primeros platos hay?

Se resuelve con raíz cuadrada. Se conoce solo el resultado y se sabe que los dos factores son iguales. Se pregunta por ambos factores.

PC 3

Un patio tiene 400 baldosas. ¿Cuántas baldosas tiene cada lado?

PROBLEMAS ABIERTOS- CERRADOS

“En la mesa hay 5 bloques azules. Súmale 2 bloques rojos. ¿Cuántos bloques hay en total?”

Los problemas cerrados tienen una única respuesta correcta y son útiles para reconocer datos necesarios relaciones y aplicar saberes básicos.

Los problemas abiertos son los que tienen varias posibles respuestas.

¿Por qué abrir el problema?

Fomenta la flexibilidad y creatividad : las versiones abiertas obligan a reflexionar sobre cómo descomponer cantidades, a buscar todas las combinaciones posibles, a elegir parámetros propios y a justificar sus elecciones ante el grupo.

THINKING CLASSROOM

RECURSOS

• De probabilidad
• Problemas aritméticos
• Sentido estocástico
• De razonamiento

ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Dotar al alumnado de un conjunto de herramientas capaces de abordar cualquier situación.

Estrategias generales y heurísticas

Estrategias personales

Educación Infantil:

Fundamentales para que el alumnado desarrolle su capacidad de pensar matemáticamente y resolver problemas.

Estrategias personales de conteo

Modelización

Mediante material manipulativo o dibujos

Contar todos, contar hacia arriba desde el primero, contar hacia arriba desde el mayor, contar hacia abajo hasta y emparejar.

Estrategias generales y heurísticas

Estrategias personales

Educación Primaria:

Fundamentales para que el alumnado desarrolle su capacidad de pensar matemáticamente y resolver problemas.

Resolución autónoma

Estrategias para problemas numéricos y operatorios

• Reducir una situación a otra con números más sencillos
• Aproximación mediante ensayo y error
• Considerar un mismo proceso en dos sentidos (hacia adelante y hacia atrás), entre otros.
• Elaboración de estrategias personales de cálculo mental

Recurriendo inicialmente a la representación con materiales y el recuento, para luego evolucionar hacia técnicas más rápidas a medida que se consolidan las técnicas de suma y resta.

Dotar al alumnado de un conjunto de herramientas capaces de abordar cualquier situación.

Estrategias generales y heurísticas

Estrategias que facilitan la escucha

Educación Infantil:

Buscan mejorar la comprensión analítica de los problemas y fomentar la reflexión sobre el enunciado.

"Decir lo mismo de otra manera"

Contar la historia marcha atrás

Estrategias generales y heurísticas

Estrategias que facilitan la escucha

Buscan mejorar la comprensión analítica de los problemas y fomentar la reflexión sobre el enunciado.

Educación Primaria:

Creación de problemas:

Autorreflexión sobre el problema:

Preguntas de análisis:

Profundizar en el enunciado:

Detección de errores o alternativas:

"Decir lo mismo de otra manera"

Proponer actividades como detectar un dato falso enun problema ya resuelto, analizar diferentes formas de presentación de un mismoproblema, o modificar los datos del enunciado para obtener una solución distinta a la inicial.

Invitar al alumnado a inventar sus propios problemas permite aplicar lo aprendido, desarrollar la creatividad y comprender mejor la estructura de los enunciados matemáticos

Enseñar al alumnado a "contarse el problema" a sí mismo es una herramienta clave. Algunas preguntas guía pueden ser: “¿Qué sé?”, “¿Qué meestán preguntando?”, “¿Qué necesito para responder?”.

El objetivo es que el alumnado se acostumbre a inferir información no explícita y a identificar los datos necesarios para resolver el problema, activando un pensamiento más autónomo y estratégico

¿Qué puede calcularse con los datos conocidos?” o “¿Qué datos son necesarios para contestar la pregunta?” ayuda a desarrollarhabilidades de interpretación y planificación."

Reformular el enunciado de un problema para facilitar su comprensión.

El lenguaje matemático. Los enunciados

El lenguaje de los problemas matemáticos es posiblemente una de las primeras dificultades con las que se encuentran los alumnos de primaria. Pedimos a los alumnos una comprensión lectora que no están habituados a hacer y muchas veces fallan no por capacidad de resolver el problema, sino por falta de organización de la información que me está dando.

El análisis de los enunciados beneficia el desarrollo de la competencia matemática impulsando la comprensión, el razonamiento matemático y el uso de conocimientos matemáticos al tiempo que favorece la adquisición de seguridad y confianza en la resolución de situaciones matemáticas.

DECIR LO MISMO PERO DE OTRA FORMA

Reformular el enunciado de un problema para facilitar su comprensión.

• Begoña es más baja que Javier. Javier es.......................................................
• Javier tiene más años que Begoña. Begoña tiene.........................................
• Javier está a la derecha de Begoña. Begoña está...........
• Begoña tiene tres años menos que Javier. Javier tiene.............................
• Javier pesa más que Begoña. Begoña........................

Marta tiene 4 cromos, que son dos más de Alberto. ¿Cuántos cromos tiene Alberto?

Marta tiene 2 más. Alberto tiene 2 menos

CONTAR LA HISTORIA DANDO MARCHA ATRÁS

Pretende desarrollar en los alumnos la capacidad de recordar en orden dos o tres acciones encadenadas, contadas siguiendo una secuencia, así como que sean capaces de contarlas al revés, deshaciendo lo hecho.

El problema: Lucas tenía algunos cromos en su bolsillo. Fue al parque y su amigo le regaló 3 cromos más. Al llegar a casa, Lucas miró su mano y vio que tenía 10 cromos en total. ¿Cuántos cromos tenía Lucas al principio?

Cómo resolverlo "Dando Marcha Atrás" Para saber el principio, vamos a contar la historia desde el final hacia atrás:

• ¿Cómo terminó la historia? (El final): Lucas tiene 10 cromos.
• ¿Qué pasó justo antes? Su amigo le dio 3.
• Damos marcha atrás (Operación inversa): Como queremos saber cuántos tenía antes de recibir el regalo, tenemos que quitar (restar) esos 3 cromos.

10 - 3 = 7 Respuesta: Lucas tenía 7 cromos al principio.

Los alumnos deben analizar qué es lo que se puede calcular a partir de los datos que se presentan en el enunciado.

¿QUÉ PUEDE CALCULARSE CON LOS DATOS CONOCIDOS?

Se proponen dos tipos de problemas:

• Aquellos en los que los alumnos deben formular preguntas, en principio oralmente y después también por escrito, que se respondan a partir de los datos recogidos en el enunciado.
• Problemas en los que, dados unos datos y varias preguntas, los alumnos deben determinar cuáles de ellas pueden contestarse a partir de la información proporcionada.

TRABAJAR A PARTIR DE DATOS MÁS SENCILLOS

Es una técnica que se utiliza habitualmente en los problemas de generalización-inducción. A veces los datos que aparecen en el enunciado son números grandes y eso puede suponer una dificultad añadida. Se recomienda en esos casos simplificar su valor para centrar más la atención en comprender el problema, idear el plan de resolución y evitar posibles distractores.

En un almacén gigante de juguetes han recibido 4.530 piezas de LEGO. Quieren repartirlas en cajas iguales y en cada caja caben 150 piezas. ¿Cuántas cajas completas pueden llenar?"

Tienes 10 piezas de LEGO y quieres guardarlas en cajas donde caben 2 piezas. ¿Cuántas cajas necesitas?

¿QUÉ DATOS SON NECESARIOS PARA PODER CONTESTAR A LA PREGUNTA?

INVENTAR PROBLEMAS

Se establecen relaciones entre los datos y las preguntas

Ayuda no solo a comprender la situación planteada, sino además a establecer relaciones entre los datos aportados en el enunciado para poder llegar a la solución.

REALIZACIÓN DE ESQUEMAS, TABLAS, DIBUJOS DIAGRAMAS..

En otras ocasiones se les puede presentar un problema con dos esquemas y que ellos deduzcan cuál de los dos está mal porque no responde a la situación planteada y por qué.

Se les presenta un esquema y el texto incompleto del enunciado del problema. Su tarea consiste en analizar la información que se les da y completar el enunciado de manera que responda al esquema resolutor.

PARTE- TODO

Es una estrategia de representación que facilita la visualización de lasrelaciones entre las partes y el total en un problema.

Consiste en probar posibles soluciones hasta encontraruna que funcione. Aunque pueda parecer poco sofisticado, es una estrategia válida, especialmente cuando no hay una vía directa evidente.

ENSAYO-ERROR

Pasos de la estrategia: Primer ensayo (Azar): Supongamos que hay 5 gallinas y 5 conejos. Cálculo: (5 x 2) + (5 x 4) = 10 + 20 = 30 patas. Verificación: 30 es menor que 32. Necesitamos más patas, por lo que debe haber más conejos. Segundo ensayo (Ajuste): Probamos con 4 gallinas y 6 conejos. Cálculo: (4 x 2) + (6 x 4) = 8 + 24 = 32 patas. Verificación: ¡Correcto! La suma de animales es 10 y el total de patas es 32. Resultado: Hay 4 gallinas y 6 conejos.

MODELIZACIÓN

Traducir el problema real a un esquema lógico o matemático,simplificando la realidad y abstrayendo sus aspectos esenciales.

Descomponer el problema en subproblemas:

Dividir un problema complejo en partes más pequeñas y manejables, resolviendo cada una y luego integrando las soluciones

Problema: "En una mesa hay 8 manzanas y 4 plátanos. Si vienen 3 niños y cada uno se come una fruta, ¿cuántas frutas quedan en total?" Para resolverlo, lo dividimos en misiones pequeñas:

• Subproblema 1 (¿Cuánta fruta hay?): Sumamos todas las frutas que tenemos al principio.

8 manzanas+ 4 plátanos= 12 frutas.

• Subproblema 2 (¿Cuánta fruta se comen?):

Si hay 3 niños y cada uno come una, se comen 3 frutas.

• Subproblema 3 (La resta final): Quitamos la fruta comida del total.

12 frutas-3 frutas= 9 frutas. Resultado final: Quedan 9 frutas.

Los datos relevantes estén expuestos en forma de tabla.

PROBLEMAS CON TABLAS DE DATOS

Para ser capaces de resolver cualquier situación, tenemos que saber leer, discriminar y manejarnos con todo tipo de datos y formas de exponerlos

Problemas de matemáticas en los que hay que identificar la tabla correcta

Fuente: Smartick

PROBLEMAS CON TABLAS DE DATOS DE DOBLE ENTRADA

Fuente: Smartick

RECURSOS

• Enunciados
• Decir lo mismo
• Inventa problemas- preguntas
• Representa el problema
• Lenguaje matemático

MÉTODOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

MÉTODO POLYA

George Pólya (1887–1985) fue un matemático húngaro de gran renombre, especialmente conocido por sus contribuciones a la resolución de problemas y la educación matemática

El método Pólya es una estrategia pedagógica que fortalece la competencia y resolución de problemas matemáticos con operaciones básicas. Consiste en una sucesión de pasos que van desde la comprensión de un problema hasta la evaluación de los procedimientos empleados en un ejercicio. Esta técnica se aplica cuando se necesita diseñar, implementar y operar el pensamiento matemático del estudiante con un enfoque lógico.

1. Comprender el problema (entender el problema):

• ¿Entiendes todo lo que dice el problema? ¿Puedes reformularlo con tus propias palabras?
• Además, deben reflexionar sobre si distinguen cuáles son los datos relevantes y si saben a dónde quieren llegar, cuestionándose también: ¿Hay suficiente información? ¿Existe algún dato extra o fuera de lugar?
• Finalmente, resulta esencial considerar si la situación presentada se asemeja a algún otro problema ya resuelto, lo que facilita la aplicación de estrategias conocidas y el fortalecimiento de su proceso de aprendizaje.

Pautas y acciones:

• Lectura analítica: "Lee" el texto varias veces, buscando palabras clave y prestando atención a los detalles.
• Representación: Realiza un esquema o un dibujo para visualizar la situación. Esto es especialmente útil para alumnado que necesitan visualizar los conceptos.
• Pensar en voz alta: Anima al alumnado a verbalizar su pensamiento.
• Organizar los datos: Una vez que se comprende el problema, se extraen los datos conocidos y lo que se busca (incógnitas). Revisa las unidades y detecta datos superfluos.

2.Trazar un plan (concebir un plan):

En esta fase, el objetivo principal es establecer las relaciones entre los datos disponibles y la incógnita que se desea resolver. Es en este punto donde se toman decisiones clave sobre las estrategias a seguir, y para ello resulta útil que el alumnado se plantee preguntas como: ¿Cómo puedo resolver el problema? ¿Se parece a otros que ya he resuelto? ¿Qué se puede calcular con la información que tengo? Considerar problemas análogos previamente trabajados también puede ser de gran ayuda para elegir el enfoque más eficaz.

Estrategias específicas para trazar el plan:

• Resolver un problema más sencillo
• Descomponer el problema en subproblemas
• Decir lo mismo de otra manera
• Trabajar marcha atrás
• Inventar problemas
• Hacer tablas, diagramas o dibujos

3.Ejecutar el plan:

En esta fase se pone en marcha la estrategia o estrategias elegidas para resolver el problema, lo que supone pasar de la planificación a la acción concreta. Es recomendable tomarse un tiempo razonable para llevarla a cabo y, si no se obtiene el resultado esperado, no temer a comenzar de nuevo: muchas veces, un nuevo enfoque conduce a mejores soluciones. A medida que se avanza, es fundamental ir anotando los resultados obtenidos y revisar con atención cada paso, asegurando que el procedimiento se mantiene coherente y preciso.

4.Revisar (Examinar la solución obtenida)

Una vez alcanzada la solución, resulta esencial dedicar un momento a revisarla, con atención, valorando si tiene sentido dentro del contexto del problema planteado y si responde efectivamente a lo que se buscaba. Esta reflexión final no solo permite validar el resultado, sino también revisar el camino seguido, detectando aciertos y posibles mejoras. Así, el alumnado no solo resuelve, sino que desarrolla habilidades como identificar, organizar, justificar, explicar o interpretar, fortaleciendo su pensamiento crítico y su capacidad para argumentar con solidez.

¿Cuántas ruedas hay en el garaje?(Infantil)

1. Comprender el problema

Lectura analítica y verbalización: el/la docente propone oralmente el siguiente reto, sin apoyos escritos:“En nuestro garaje de juguete tenemos un coche y una bicicleta. ¿Cuántas ruedas hay en total?” Reformulación: en gran grupo, los niños reformulan el enunciado con sus propias palabras: “Hay un coche que tiene ruedas y una bici que también tiene ruedas, y queremos saber cuántas son entre las dos”. Organizar los datos: identifican los elementos clave: -Coche → ¿cuántas ruedas? -Bicicleta → ¿cuántas ruedas? -Total → lo que buscamos, lo que queremos saber, lo que tenemos que averiguar Representación inicial: con juguetes o recortes de cartón, cada equipo coloca un coche y una bicicleta sobre la mesa, observando y contando sus ruedas (sin realizar aún la suma).

2. Trazar un plan

Estrategia visual (“dibujos”): en una hoja, cada niño dibuja un coche y una bicicleta, dejando espacio junto a ellos para representar sus ruedas. Estrategia de casos sencillos: el/la docente sugiere primero contar solo las ruedas de la bicicleta (más fácil), luego las del coche, y finalmente unir ambos conteos. Preguntas guía: “¿Cómo podemos aprovechar lo que ya sabemos?” (recoger primero las ruedas de un juguete). “¿Qué dibujo nos ayuda a no equivocarnos al contar?

3. Ejecutar el plan

Registro en el dibujo: cada niño dibuja el coche y sus cuatro ruedas y la bici con sus dos ruedas. Conteo ordenado: cuentan en voz alta las ruedas del coche (1, 2, 3, 4) y las de la bici (1, 2), y anotan esos números junto a cada dibujo. Suma final con fichas: colocan fichas redondas (una por cada rueda) para agrupar visualmente y volver a contar el total. Realizan la suma: 4 + 2 = 6 ruedas.

4. Revisar la solución

Comparación de resultados: cada grupo anuncia su resultado: “¡Tenemos 6 ruedas!”. Se comparan los resultados y se verifica que todos/as han llegado a la misma solución.Preguntas de reflexión: “¿Hay alguna ficha que no contasteis bien?” “¿Cómo os ayudó el dibujo a no equivocaros?”“¿Qué harías si tuvieras dos coches en vez de uno o tres bicicletas?” Conclusión compartida: el/la docente refuerza la utilidad de contar por partes, representar visualmente (dibujar) y verificar la suma. Les anima a usar siempre este tipo de estrategia cuando se enfrenten a conteos o problemas con varios elementos (juguetes) o conjuntos.

Globos y velas para la fiesta de clase (3º primaria)

1. Comprender el problema

Lectura analítica: el/la docente reparte el enunciado por escrito y lo lee en voz alta al grupo “Para la fiesta de fin de curso hay 5 mesas. Cada mesa llevará 3 globos y 4 velas. ¿Cuántos globos y cuántas velas harán falta en total?” Reformulación en su cuaderno: cada alumno/a o por equipos reescriben con sus palabras en su cuaderno: “Tenemos 5 mesas. En cada una ponemos 3 globos y 4 velas. Queremos saber cuántos globos y cuántas velas necesitamos en total. Organizar datos y unidades: Mesas = 5 Globos/mesa = 3 Velas/mesa = 4 Incógnitas: total de globos; total de velas Identificación de parecidos: el grupo clase recuerda un problema similar trabajado anteriormente sobre repartir caramelos entre niños y niñas, en el que se emplearon sumas y multiplicaciones para cantidades repetidas.

2. Trazar un plan

Tablas de doble entrada: cada alumno dibuja dos tablas en su cuaderno: una para “Mesas / Globos” y otra para “Mesas / Velas”, lo que les ayuda a organizar la información.Estrategia de casos sencillos: antes de calcular directamente, prueban con 2 mesas y luego generalizan para 5 (3×2 = 6 globos; repetimos o ajustamos). Preguntas de reflexión: “¿Qué operación uso si hay 3 globos en cada mesa y 5 mesas?” “¿Cómo te ayuda la tabla a no mezclar los datos de globos y velas?” “¿Cuál es la manera más rápida de saber el total sin sumar uno a uno?”

3. Ejecutar el plan

Cálculos organizados: Para globos: 5 × 3 = 15 Para velas: 5 × 4 = 20 Registro en la tabla: anotan los cálculos y resultados en sus tablas correspondientes, indicando claramente las operaciones. Verificación por suma sucesiva: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 / 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20. Así comprueban que la multiplicación ha sido correcta.

4. Revisar la solución

Validación en gran grupo: Cada equipo expone sus resultados en la pizarra borrable. Todos coinciden en que se necesitan 15 globos y 20 velas.Reflexión guiada: “¿Cómo comprobaste que no te habías equivocado?” “¿Qué cambiaría si en vez de 5 hubiera 6 mesas?” “¿Qué método te pareció más fácil y por qué?” Aprendizaje de metacognición: el/la docente pone en valor el uso de tablas y la estrategia de verificación doble (multiplicación y suma sucesiva), animando al alumnado a anotar siempre un segundo método para contrastar sus soluciones.

PROBLEMAS DE FERMI

La esencia del problema de Fermi: Descomposición: Dividir un problema grande en partes más pequeñas manejables. Suposiciones simplificadas: Redondear números para facilitar cálculos mentales. Estimación, no exactitud: El objetivo es obtener una respuesta razonable, no una cifra precisa.

Los Problemas de Fermi reciben su nombre en honor al físico italiano Enrico Fermi, quien era famoso por su asombrosa capacidad para realizar estimaciones rápidas y precisas de cantidades complejas utilizando muy pocos datos y lógica básica.

OBJETIVOS

• Nos pueden servir para mostrar al alumnado la conexión entre las matemáticas y el mundo real, a veces de manera asombrosa según qué enunciados.
• A través de ellos, el alumnado tiene la oportunidad de descubrir múltiples caminos para resolver un problema, a la vez que desarrollan habilidades de estimación y sentido crítico.
• La memorización de los hechos se vuelve menos importante ya que se prima el desarrollo de las herramientas para resolver tales cuestiones.
• Requiere pocos conocimientos matemáticos previos y con ellos se evalúa más la capacidad de pensar que unos conocimientos específicos de matemáticas.
• Resultan muy fáciles de plantear o buscar a través de Internet y pueden adaptarse a cualquier nivel educativo sin más que establecer unos enunciados acordes al nivel deseado.

PROCEDIMIENTO ( sugerencias)

• Descomponer el problema principal en otros secundarios más fáciles de abordar.
• Nuestra experiencia nos permite aproximar muchos datos sin ningún tipo de técnica especial.
• Si la cantidad a estimar se escapa de nuestra experiencia, podemos proceder dando un
• límite superior y otro inferior que nos parezcan razonables y hallar su media.
• Simplificar los números redondeándolos ya que no tiene sentido buscar una solución exacta.
• Conseguir datos concretos por nosotros mismos o buscarlos en enciclopedias, la web.

¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago?

• Hay 5 millones de personas viviendo en Chicago.
• En promedio, viven dos personas en cada casa de Chicago.
• Una de cada veinte casas tiene un piano que es afinado regularmente.
• Dichos pianos son afinados una vez por año.
• A un afinador de pianos le lleva dos horas afinar un piano, incluyendo el viaje.
• Cada afinador trabaja 8 horas por día, 5 días a la semana y 50 semanas en un año.

A partir de estas suposiciones se puede determinar que el número de afinaciones de piano en un año en Chicago es:

5.000.000 personas / 2 personas/casa * (1 piano/20 casas) * (1 afinación por piano por año) = 125.000 afinaciones por año. Como cada afinador trabaja 50 * 5 * 8 = 2000 horas por año y cada afinación requiere 2 horas, cada afinador realiza 1000 afinaciones por año. Como se calcularon 125.000 afinaciones por año, resulta que en Chicago hay 125 afinadores.

FASE 3

FASE 2

FASE 5

FASE 1

FASE 6

FASE 4

Reflexión y validación

Contexto cercano y significativo

Pregunta abierta e indagatoria

Herramientas aritméticas básicas

Descomposición del problema

Estimación y suposición

Pensar antes de operar. La respuesta no es inmediata, obligar a trazar un plan.

Del objeto al número (modelización).

Argumentación y razonabilidad del resultado

Conectar con la realidad inmediata y despertar curiosidad.

Estrategia "divide y vencerás".

Manipular y tantear

CONCRECIÓN CURRICULAR (5º PRIMARIA)

Competencia específica 2: Resolver situaciones problematizadas, aplicadno diferentes técnicas, estrategias y formas de razonamiento para explorar distintas maneras de proceder, obtener soluciones y asegurar su validez desde un punto de vista formal y en relación con el contexto planteado".

Criterio de Evaluación 2.2.b: "Obtener posibles soluciones de un problema siguiendo alguna estrategia conocida, manipulando, tanteando y realizando analogías”.

Saberes básicos:

• MAT.2.A.1.1. Estrategias variadas de conteo, recuento sistemático y adaptación del conteo al tamaño de los números en situaciones de la vida cotidiana en cantidades hasta el 9999.
• MAT.2.A.2.2. Estimaciones y aproximaciones razonadas de cantidades en contextos de resolución de problemas.
• MAT.2.A.3.7. Desarrollo de estrategias para tantear soluciones antes de realizar operaciones: resolución mental, datos que sobran, posibles soluciones, comparación con las soluciones previas de los compañeros y compañeras.
• MAT.2.A.2.5. Comprobación del resultado en problemas matemáticos mediante pruebas de las operaciones.

"El misterio de la Montaña de Papel"

"Esta mañana, al llegar a clase, el conserje del colegio estaba descargando un camión lleno de cajas de folios blancos. Al ver tantas cajas, se ha rascado la cabeza y ha dicho: '¡Madre mía! Si pusiéramos todos estos folios uno encima de otro, llegaríamos hasta las nubes'. Vuestra tutora, que pasaba por allí, se ha quedado pensando... ¿Es verdad lo que dice el conserje? ¿Cuánto papel gastamos en este colegio en un año? Si juntáramos todas las fichas, exámenes y dibujos de todos los alumnos del centro... ¿Podríamos construir una torre de papel más alta que el propio edificio del colegio?"

FASE 1

Contexto cercano y significativo

FASE 2

"¿Cuántos folios creéis que gastamos en el cole? No podemos contarlos uno a uno porque tardaríamos mucho ¿Cómo podemos averiguarlo de forma inteligente?"

Pregunta abierta e indagatoria

"Saber lo que se gasta en un curso es complicado.... ¿Podemos averiguar primero Cuántos folios gasta un alumno al día? Si sabemos cuántos son, ¿nos ayuda eso a saber el total?"

FASE 3

Descomposición del problema

Estimación: Un par de fichas de mates, una de lengua, algún dibujo... digamos unos 5 folios al día por niño. Cómputo semanal: 5 folios × 5 días = 25 folios a la semana.

FASE 4

Estimación y suposición (tanteo)

Alumnos en el cole: Si hay 2 clases por curso (desde Infantil hasta 6º), son 18 clases. Unas 25 personas por clase... digamos unos 450 alumnos. Semanas de clase: Un curso tiene unas 36 semanas. Cálculo: 25 folios × 450 alumnos × 36 semanas ≈ 405.000 folios al año.

FASE 5

Herramientas aritméticas básicas (modelización)

¿Cuánto mide esa torre? Los alumnos deben observar cuánto mide un paquete de folios. Observación: Un paquete de 500 folios mide unos 5 centímetros de grosor. Cálculo de la torre: Si 500 folios = 5 cm. Entonces 1.000 folios = 10 cm. Si tenemos 400.000 folios... tenemos que multiplicar 10 cm × 400 = 4.000 cm. Conversión a metros: 4.000 cm = 40 metros.

Reflexión y validación

FASE 6

Finalmente, salimos al patio y miramos el edificio del colegio. Un piso mide unos 3 metros. Si el colegio tiene 2 o 3 plantas, medirá unos 10 metros. Resultado: "¡Nuestra torre de papel de un solo año mediría 40 metros! Es decir, sería 4 veces más alta que nuestro colegio".

¿Qué hemos aprendido?

• Cálculo mental y potencias de 10: Multiplicar por números grandes de forma sencilla.
• Integración de Saberes: Hemos unido conteo, estimación y tanteo (que suelen

explicarse aislados) en una única situación con sentido.

• Enfoque Fermi: Hemos transformado un problema de recuento imposible en un problema de estimación manejable .
• Conversión de medidas: Pasar de centímetros a metros.
• Conciencia ecológica: Al visualizar la "montaña de papel", comprenden mejor por qué es importante reciclar y no malgastar folios.
• Verificación de hipótesis: Han comprobado que la frase del conserje tenía parte de razón (¡es una torre altísima!).

1. Imaginar el tamaño (La unidad) Pregunta a los niños: "¿Qué es más grande, un caramelo o una goma de borrar?". Supongamos que un caramelo pequeño es más o menos como un cubito de hielo o una pieza pequeña de LEGO. 2. Llenar "puñados" (Agrupar) En lugar de imaginar toda la mochila de golpe, pídeles que miren su mano: ¿Cuántos caramelos creéis que caben en un puñado cerrado?Respuesta sugerida: Unos 10 caramelos. 3. Llenar un estuche (Escalar) Ahora, ¿cuántos puñados caben en vuestro estuche de lápices? Si caben unos 5 puñados...Entonces, en un estuche caben: (10+10+10+10+10=\) 50 caramelos. 4. Llenar la mochila (El paso final) ¿Cuántos estuches caben dentro de la mochila? Hacemos la prueba visual: parece que caben unos 10 estuches.Si en cada "espacio de estuche" hay 50 caramelos y tenemos 10 espacios... Resultado estimado: ¡Caben unos 500 caramelos!

"¿Cuántos caramelos caben en mi mochila?"

Descomposición: Aprenden que un problema grande (la mochila) se puede dividir en trozos pequeños (puñados y estuches). Referencial: Usan su propio cuerpo (la mano) como herramienta de medida. Aceptación del error: No importa si son 400 o 600; lo importante es saber que no son 10 y no son un millón.

MÉTODO EL QUINZET

(Lluis Segarra y David Barba)

Es un método educativo para mejorar el cálculo mental y la resolución de problemas matemáticos en niños

Es una técnica estructurada que busca automatizar operaciones básicas y desarrollar estrategias de pensamiento. Al desarrollar estrategias mentales para calcular, los estudiantes adquieren habilidades transferibles a otras áreas del conocimiento, como la lectura comprensiva y la toma de decisiones.

“El Quinzet” consta de:

• Problemas graduados de cálculo global.
• Series de rapidez de cálculo mental.
• Tarjetas de rapidez de cálculo mental.
• Estimación numérica.
• Series de habilidades de cálculo.
• Series de cálculo analítico.

Problemas graduados de cálculo global

Se trata de una serie de problemas concretos que se plantean al alumnado de forma oral y siguiendo un orden determinado, de manera que, a través de una tabla de resultados, al alumnado que responde correctamente se le otorga un punto que irá sumando en su puntuación total, y de lo contrario no se suma nada. Los problemas que el método propone son siempre con cantidades reducidas y situaciones familiares para el alumnado. Las estrategias para la resolución de los problemas pueden ser varias: puede utilizar estrategias aprendidas en el aula o estrategias propias que él mismo irá descubriendo a lo largo del proceso.

Las series se agrupan de la siguiente forma: 

• Series 1, 2 y 3: Educación Infantil. 
• Series 4, 5 y 6: Primer ciclo de Primaria. 
• Series 7, 8 y 9: Segundo ciclo de Primaria. 
• Series 9, 10 y 11: Tercer ciclo de Primaria. 
• Series 12, 13 y 14: Primer ciclo de Secundaria.
• Series 15 y 16: Segundo ciclo de Secundaria.

RECURSOS

¿En qué consiste?

Marcos Marrero

Didactilam

Matesmaniacos