Structurer l'enseignement de la résolution de problèmes en cycle 2
c'est parti...
Christine GUILBAUD Stéphane LASTERE
Synthèse à partir des travaux du groupe RMC16 et des guides EDUSCOL
préambule...
la séance précédente
Nous avons fait émerger des interrogations communes sur la résolution de problèmes (autour de l'autonomie, de la catégorisation, de la schématisation...) et avons défini une première problématique : "Comment engager les élèves dans la résolution de problèmes pour les rendre plus autonomes ?"
Une situation homologique
Un Amphicoelias fragillimus pèse 84 tonnes de plus qu’un Diplodocus hallorum.Un Paralititan stromeri pèse 63 tonnes de moins qu’un Amphicoelias fragillimus.Ensemble ces dinosaures pèsent 219 tonnes.Quelle est la masse du Paralititan stromeri ?
Avant tout...
Pour vous, qu'est ce qu'un problème ?
des ressources...
Dans le guide :
"La résolution de problèmes est au cœur de l’activité mathématique et mobilise un ensemble complexe de savoirs et de compétences. Il est nécessaire d’enseigner des stratégies (efficaces) de résolution de problèmes, notamment dans le domaine arithmétique, qui se fondent sur des schémas aidant les élèves à appréhender la situation, à penser et à construire la modélisation, en vue de résoudre les problèmes posés. Ces stratégies aboutissent in fine à l’écriture symbolique mathématique des opérations en jeu." "La résolution de problèmes doit (...) reposer sur un travail régulier et structuré. Il est important de ne pas différer cet enseignement et de ne pas le corréler à l’autonomie en lecture des élèves."
Extraits du guide
De quoi nos élèves ont-ils besoin pour résoudre des problèmes ?
Utiliser leur mémoire à long terme
pour faire des analogies avec d’autres problèmes déjà rencontrés et éviter d’être dans une recherche inédite à chaque problème.
Mettre en oeuvre leurs connaissances mathématiques
Utiliser des compétences et des aptitudes transversales
Enjeux de la résolution de problèmes
Les 6 compétences mathématiques
Dans les programmes 2025
Problèmes basiques (élémentaires)
comprendre
modèle mathématique
compréhension de la situation
modéliser
réguler
calculer
résultat des calculs
réponse communiquée
répondre
Domaine des mathématiques
Monde réel
Dans les programmes 2025
Les données numériques
CP
CE1
CE2
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CE2, à savoir les nombres entiers jusqu’à 10 000. Le champ numérique dépend cependant fortement de la structure mathématique du problème : plus cette structure est complexe, plus le champ numérique est réduit. Les problèmes à la structure la plus complexe portent sur un champ numérique inférieur à 100.
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CP, à savoir les nombres entiers jusqu’à cent.
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CE1, à savoir les nombres entiers jusqu’à mille.
Dans les programmes 2025
Fréquence et structures
CP
CE1
CE2
Les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur l’ardoise.
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes ayant les structures qui sont répertoriées dans le programme. Des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être proposés tout au long de l’année.
Catégoriser les problèmes... pour qui ? pourquoi ?
Comment appréhendez-vous cette catégorisation ?
Catégoriser les problèmes... pour qui ? pourquoi ?
La catégorisation est un outil à disposition des enseignants
Objectif pour les enseignants : connaître et organiser la diversité des problèmes que les élèves doivent rencontrer et apprendre à résoudre. Objectif pour les élèves : apprendre à faire des liens et repérer des analogies leur permettant de mobiliser des stratégies de résolution rencontrées précédemment.
Catégoriser les problèmes
Pour Houdement
De quels problèmes parle-t-on ?
Problèmes basiques (élémentaires)
Problèmes complexes
Problèmes atypiques
Les programmes
Les programmes
au CP
Les programmes
au CP
au CE1
Les programmes
au CP
au CE1
au CE2
La résolution de problèmes
Olivier HUNAULT, Inspecteur général
Focus sur "Représenter, modéliser" dans le guide Cycle 2
Pour aller vers l'abstraction : de la manipulation à la représentation symbolique en passant par la verbalisation Un exemple pour illustrer la progressivité,du cycle 1 au cycle 2 :« Au supermarché, j’ai acheté 4 pommes rouges et 2 pommes vertes. Combien ai-je de pommes dans mon panier ? » p 84
Représenter, modéliser
"Grands principes" de la modélisation en barre :Un modèle commun qui se décline seulement en 4 schémas pour résoudre l’ensemble des problèmes à une étape ;Un modèle qui repose sur le principe d’égalité de longueurs et qui renforce le sens de l’addition : lorsque l’on associe deux longueurs (parties), la longueur obtenue (tout) est égale à la somme des deux longueurs initiales ;
Une entrée possible, la question essentielle à se poser : Connaît-on la plus grande valeur de l’énoncé ?
Représenter, modéliser
Problèmes additifs (parties/tout) :
Représenter, modéliser
Problèmes additifs (parties/tout) :
Représenter, modéliser
Problèmes additifs (comparaison) :
Représenter, modéliser
Problèmes multiplicatifs (partage en parts égales):
Représenter, modéliser
La modélisation en barres
Avantages
Vigilances
les livrets d'accompagnement
les observations croisées
les observations croisées
les observations croisées
Et ...
Comment accompagner les élèves pour aller versl’abstraction ?
Pour avoir le diaporama maintenant : https://edurl.fr/6wO1tXxU
En vous remerciant
c'est fini
Christine Guilbaud Stéphane Lastère
La phase "répondre"
CE1
CE2
CP
Elle "conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », que l’élève doit apprendre à se poser systématiquement.
La phase d’institutionnalisation permet d’expliciter les connaissances en jeu suite à la résolution d’un
problème par les élèves (construction d’affichages, traces écrites sur les notions importantes).
La phase "Calculer"
CP
CE1
CE2
Elle "peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves au moment où
est proposé le problème :
Elle "peut se limiter à réunir deux collections ou à identifier la quantité à retirer d’une collection, puis
à dénombrer les éléments restants, sans effectuer réellement de calculs."
- manipulation de matériel multibase, schéma représentant du matériel multibase, calcul mental
ou opération posée.
- le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées
La phase "modéliser"
Elle "conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver le résultat
cherché. Cette phase s’articule avec des manipulations ou des représentations schématiques qui vont contribuer à
comprendre le modèle mathématique en jeu."
Représenter, modéliser
La schématisation en barres
Avantages
La schématisation en barres renforce les compétences sur le sens des opérations et leurs propriétés ;Elles peuvent servir d’appui pour les calculs ;Elles peuvent également servir d’appui pour communiquer un raisonnement lorsque l’écrit ou même l’oral font défaut ;Elles permettent aussi de résoudre des problèmes complexes et présentent l’avantage de se libérer des données de l’énoncé et allègent ainsi la charge cognitive.
Représenter, modéliser
La schématisation en barres
Points de vigilances
Cette schématisation doit faire l’objet d’un apprentissage explicite, séquencé et structuré qui s’appuie sur la compréhension de la situation afin que l’élève soit capable de choisir et de réaliser un schéma en fonction de la situation ;Le recodage sémantique demande un fort étayage de l’enseignant au début de l’apprentissage qui est à poursuivre tant que cela est nécessaire pour les élèves qui en ont besoin. L’objectif étant que les élèves automatisent ce questionnement pour éviter « le remplissage de cases » ;Enfin, ne pas imposer une schématisation si elle n’est pas nécessaire.
exemple
« Léo a 7 billes rouges et 5 billes bleues. Combien Léo a-t-il de billes en tout ? » La résolution de ce problème à l’aide de 7 cubes rouges : et 5 cubes bleus : fait apparaître l’assemblage : puis le schéma : et enfin le schéma en barres :Il correspond au schéma générique suivant :
De quels problèmes parle-t-on ?
Problèmes basiques (élémentaires)
Une étapeUn énoncé court, une syntaxe simple, pas d’information superflueDeux ou trois donnéesRésolution à l’aide d’une des quatre opérations Ex : Il y a 36 oiseaux dans l'arbre, 21 oiseaux s'envolent. Combien en reste-t-il ?
De quels problèmes parle-t-on ?
Problèmes complexes
Agrégat de plusieurs problèmes basiques, plusieurs étapes souventimplicites Besoin de construire des problèmes élémentaires sous-jacents calculables et de les mettre en relation pour avancer vers la réponse finale. Les programmes précisent qu'il est important d'en proposer dès le CP pour les problèmes additifs Ex CE2 : « Dans la bibliothèque de la classe, il y a 84 livres. Il y a 35 albums jeunesse, 21 bandes dessinées. Les autres sont des livres documentaires. Combien y a-t-il de livres documentaires ? »
De quels problèmes parle-t-on ?
Problèmes atypiques
Problèmes « pour apprendre à chercher »Caractère non routinier visant à l'inventivitéPas de stratégies connues a priori pour les résoudreLa phase de recherche s’appuie sur la mémoire de problèmes etla mobilisation des acquis. Ex : « On veut habiller des clowns avec des costumes constitués d’un chapeau et d’un pantalon. Les chapeaux peuvent être rouge, jaune ou vert. Les pantalons peuvent être bleu, orange, marron ou noir. Combien de costumes différents peut-on constituer ? »
La phase "Comprendre"
"Pour être en mesure de résoudre un problème, l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème par l’élève lui-même, en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas l’opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes contenant des termes qui n’induisent pas l’opération attendue."
Une catégorisation des problèmes simplifiée
D'après Catherine Houdement
LES Problèmes pour apprendre
Problèmes basiques/élémentaire en une étape
Problèmes complexes en plusieurs étapes
LES Problèmes pour chercher
Problèmes atypiques
Enseigner progressivement des représentations pour aller vers l’abstraction / la modélisation
Représenter : une compétence qui s’enseigne
L’enseignement de la résolution de problèmes doit être pensé dans une construction pluriannuelle cohérente et progressive. La note de service sur la résolution de problèmes rappelle qu’il s’agit de mettre en place un enseignement construit pour développer l’aptitude des élèves à résoudre des problèmes. Cela nécessite de conduire, année après année, et dès le plus jeune âge, un travail structuré et régulier. [...] Le triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire » offre des repères pour concevoir l’enseignement de la résolution de problèmes. L’articulation entre matériel, représentations associées et les notions mathématiques convoquées est essentielle. Il convient donc à ce titre de privilégier dès le CP des matériels décontextualisés tels que les cubes emboîtables.Articuler représentation et modélisation : l’appui dès le CP sur des représentations à l’aide de schémas (notamment des schémas en barres) pourra faciliter l’accès à la modélisation et préparer un continuum didactique du cycle 2 au cycle 3 pour l’enseignement de la résolution de problèmes. Extraits du guide «Pour enseigner les nombres, le calcul et la résolution de problèmes au CP» p 97 et p 102 La compétence « représenter » peut soutenir l’activité de modélisation de l’élève. Elle permet de faire le lien entre le texte du problème et ses caractéristiques mathématiques. […]La compétence « représenter » ne se développe pas de façon spontanée chez les élèves : il ne suffit pas d’inviter chaque élève à effectuer le dessin ou le schéma « qui lui convient ». Elle se développe au contraire par un enseignement construit et structuré sur plusieurs années visant à faire acquérir aux élèves des outils pour construire des représentations efficaces et porteuses de sens facilitant la modélisation.Extrait du guide « La résolution de problèmes mathématiques au CM » p 48/49
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Exemple : Pour l’anniversaire de Tom, Pauline lui offre 6 figurines de ses héros préférés. Tom en a maintenant 13. Combien de figurines Tom avait-il avant de recevoir ce cadeau ?
Quels éléments de réflexion ?Des obstacles prévisibles ?
Quel type de problème ?
Problème de transformation avec une recherche de l’état initialProblème de partie / tout avec recherche d’une partie
Chronologie : nécessité d’un recodage sémantiqueLexique non concordant avec l’opération en jeu ("offre"/soustraction)Habillage du problème / univers de référenceNombres en jeuCalcul (passage sous la dizaine)
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Exemple : Pour l’anniversaire de Tom, Pauline lui offre 6 figurines de ses héros préférés. Tom en a maintenant 13. Combien de figurines Tom avait-il avant de recevoir ce cadeau ?
3 modes de représentation dans le processus d’apprentissage
des élèves (J. Bruner)
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Le mode énactif
Avantages : - il permet une meilleur représentation de la situation problème ; - il offre la possibilité de faire des essais, trouver des exemples, des régularités ; - il permet de valider empiriquement ou encore contrôler la résolution par le mode
symbolique. Points de vigilance :
- le mode énactif est insuffisant si on utilise des grands nombres ; - la manipulation peut s’avérer être une difficulté pour certains élèves (surcharge
cognitive). Le matériel en lui-même, sa quantité, son utilisation doivent être pensés
en amont afin que cette manipulation puisse aider les élèves ; - la manipulation peut s’avérer inutile voire délétère pour des élèves experts.
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Le mode iconique ou imagé
Avantages : - il permet la décentration du matériel ;- il permet premier niveau d’abstraction ;- il permet de faire évoluer l’élève au sein du mode énactif (compréhension)- il permet le lien entre les modes énactif et symbolique. Points de vigilance :
- ne pas limiter le mode iconique à des représentations figuratives, penser à le faire évoluer ;- il est nécessaire d’enseigner des représentations transférables pour tendre vers le mode pré-symbolique.
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Le mode symbolique
Avantages : - il permet la généralisation, voire l’engagement dans un processus de preuve ;- il permet de transférer des représentations dans différentes situations. Points de vigilance :
- ne pas amener les élèves trop vite dans la généralisation de ce mode pour éviter un passage àl’abstraction dénué de sens et générer des automatismes délétères (prendre les nombres et poser une opération sans réflexion par exemple) ; - de ce fait, penser la résolution en terme de différenciation.
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Représenter : une compétence qui s’enseigne
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Sphère cognitive : la capacité à lire et comprendre le problème qu’ils doivent traiter, l’aptitude à organiser et structurer leur travail, passer à l’abstraction... Sphère psycho-affective : la confiance qu’ont les élèves en leur capacité à traiter les problèmes qui leur sont soumis, l’engagement et l'autonomie dont ils font preuve pour chercher à résoudre le problème... Sphère psycho-sociale : l’aptitude à collaborer avec d’autres élèves pour effectuer une résolution de problèmes à plusieurs...
Dans le guide (p 89) : "Pour résoudre efficacement les problèmes arithmétiques au CP et tout au long du primaire, la modélisation joue un rôle important. Cependant il convient de faire une distinction entre «représentation » et « modélisation ». Représenter, c’est traduire par un dessin ou un schéma la situation. Le fait de représenter la situation permet de l’appréhender et de favoriser l’entrée dans la résolution. Certaines représentations (souvent de type pictural) ne sont pas traduisibles par un calcul. Modéliser, c’est traduire mathématiquement la situation. La modélisation amène ensuite à la procédure et au calcul ; elle rend la réalité calculable. Il s’agit d’un processus qui peut prendre appui sur diverses représentations."
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Dans le guide (p.79)
"Cela nécessite32 de conduire, année après année, et dès le plus jeune âge, un travail structuré et régulier pour faire acquérir aux élèves les connaissances et les compétences leur permettant de :— comprendre le problème posé ;— établir une stratégie pour le résoudre (en faisant par exemple des analogies avec un modèle connu, en décomposant ou recomposant le problème en sous-problèmes, en s’appuyant éventuellement sur des outils auxiliaires, par exemple un schéma ou un tableau, en faisant des essais, en partant de ce que l’on veut trouver) ;— mettre en œuvre la stratégie retenue ;— revenir sur la solution et prendre du recul sur leur travail."
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Confronter régulièrement les élèves à de la résolution de problèmes (environ dix problèmes par semaine ) ; Rencontrer une variété de problèmes suffisante pour pouvoir reconnaître les différents types de problèmes et ainsi ajuster la stratégie de résolution ; Re-convoquer cette mémoire grâce à des traces écrites à disposition des élèves.
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Identifier les nombres en jeu et leur natureentiers, décimaux, quelle que soit leur écriture (enlettres, en chiffres, avec ou sans virgule...) ; Connaître le sens des opérations ; Maîtriser les moyens d’effectuer les calculs nécessaires(mental, écrit, posé)
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Structure l'enseignement de la résolution de Problèmes en cycle 2
Stéphane LASTERE
Created on January 22, 2026
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Christine GUILBAUD Stéphane LASTERE
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Dans le guide :
"La résolution de problèmes est au cœur de l’activité mathématique et mobilise un ensemble complexe de savoirs et de compétences. Il est nécessaire d’enseigner des stratégies (efficaces) de résolution de problèmes, notamment dans le domaine arithmétique, qui se fondent sur des schémas aidant les élèves à appréhender la situation, à penser et à construire la modélisation, en vue de résoudre les problèmes posés. Ces stratégies aboutissent in fine à l’écriture symbolique mathématique des opérations en jeu." "La résolution de problèmes doit (...) reposer sur un travail régulier et structuré. Il est important de ne pas différer cet enseignement et de ne pas le corréler à l’autonomie en lecture des élèves."
Extraits du guide
De quoi nos élèves ont-ils besoin pour résoudre des problèmes ?
Utiliser leur mémoire à long terme
pour faire des analogies avec d’autres problèmes déjà rencontrés et éviter d’être dans une recherche inédite à chaque problème.
Mettre en oeuvre leurs connaissances mathématiques
Utiliser des compétences et des aptitudes transversales
Enjeux de la résolution de problèmes
Les 6 compétences mathématiques
Dans les programmes 2025
Problèmes basiques (élémentaires)
comprendre
modèle mathématique
compréhension de la situation
modéliser
réguler
calculer
résultat des calculs
réponse communiquée
répondre
Domaine des mathématiques
Monde réel
Dans les programmes 2025
Les données numériques
CP
CE1
CE2
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CE2, à savoir les nombres entiers jusqu’à 10 000. Le champ numérique dépend cependant fortement de la structure mathématique du problème : plus cette structure est complexe, plus le champ numérique est réduit. Les problèmes à la structure la plus complexe portent sur un champ numérique inférieur à 100.
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CP, à savoir les nombres entiers jusqu’à cent.
Les données numériques des problèmes proposés aux élèves sont dans le champ numérique maitrisé au CE1, à savoir les nombres entiers jusqu’à mille.
Dans les programmes 2025
Fréquence et structures
CP
CE1
CE2
Les élèves doivent traiter au moins dix problèmes par semaine, une partie d’entre eux pouvant être des problèmes élémentaires, à l’énoncé bref, proposés oralement, la réponse étant simplement notée sur l’ardoise.
Au cours de l’année, les élèves doivent apprendre à résoudre des problèmes ayant les structures qui sont répertoriées dans le programme. Des problèmes relevant d’autres structures peuvent également être proposés tout au long de l’année.
Catégoriser les problèmes... pour qui ? pourquoi ?
Comment appréhendez-vous cette catégorisation ?
Catégoriser les problèmes... pour qui ? pourquoi ?
La catégorisation est un outil à disposition des enseignants
Objectif pour les enseignants : connaître et organiser la diversité des problèmes que les élèves doivent rencontrer et apprendre à résoudre. Objectif pour les élèves : apprendre à faire des liens et repérer des analogies leur permettant de mobiliser des stratégies de résolution rencontrées précédemment.
Catégoriser les problèmes
Pour Houdement
De quels problèmes parle-t-on ?
Problèmes basiques (élémentaires)
Problèmes complexes
Problèmes atypiques
Les programmes
Les programmes
au CP
Les programmes
au CP
au CE1
Les programmes
au CP
au CE1
au CE2
La résolution de problèmes
Olivier HUNAULT, Inspecteur général
Focus sur "Représenter, modéliser" dans le guide Cycle 2
Pour aller vers l'abstraction : de la manipulation à la représentation symbolique en passant par la verbalisation Un exemple pour illustrer la progressivité,du cycle 1 au cycle 2 :« Au supermarché, j’ai acheté 4 pommes rouges et 2 pommes vertes. Combien ai-je de pommes dans mon panier ? » p 84
Représenter, modéliser
"Grands principes" de la modélisation en barre :Un modèle commun qui se décline seulement en 4 schémas pour résoudre l’ensemble des problèmes à une étape ;Un modèle qui repose sur le principe d’égalité de longueurs et qui renforce le sens de l’addition : lorsque l’on associe deux longueurs (parties), la longueur obtenue (tout) est égale à la somme des deux longueurs initiales ;
Une entrée possible, la question essentielle à se poser : Connaît-on la plus grande valeur de l’énoncé ?
Représenter, modéliser
Problèmes additifs (parties/tout) :
Représenter, modéliser
Problèmes additifs (parties/tout) :
Représenter, modéliser
Problèmes additifs (comparaison) :
Représenter, modéliser
Problèmes multiplicatifs (partage en parts égales):
Représenter, modéliser
La modélisation en barres
Avantages
Vigilances
les livrets d'accompagnement
les observations croisées
les observations croisées
les observations croisées
Et ...
Comment accompagner les élèves pour aller versl’abstraction ?
Pour avoir le diaporama maintenant : https://edurl.fr/6wO1tXxU
En vous remerciant
c'est fini
Christine Guilbaud Stéphane Lastère
La phase "répondre"
CE1
CE2
CP
Elle "conduit à quitter le domaine des mathématiques pour revenir au problème initialement posé en communiquant une solution. Cette phase est importante et doit être mise en lien avec la « Régulation » qui permet d’adopter une attitude critique sur le résultat trouvé. Cette attitude se manifeste notamment par des questions du type : « Le nombre de jetons rouges trouvé est inférieur au nombre de jetons verts, est-ce possible ? », « Le nombre de jetons rouges trouvé est supérieur au nombre total de jetons, est-ce possible ? », que l’élève doit apprendre à se poser systématiquement.
La phase d’institutionnalisation permet d’expliciter les connaissances en jeu suite à la résolution d’un problème par les élèves (construction d’affichages, traces écrites sur les notions importantes).
La phase "Calculer"
CP
CE1
CE2
Elle "peut être traitée de différentes façons selon les outils dont disposent les élèves au moment où est proposé le problème :
Elle "peut se limiter à réunir deux collections ou à identifier la quantité à retirer d’une collection, puis à dénombrer les éléments restants, sans effectuer réellement de calculs."
- manipulation de matériel multibase, schéma représentant du matériel multibase, calcul mental ou opération posée.
- le calcul mental et le calcul posé sont les modalités privilégiées
La phase "modéliser"
Elle "conduit l’élève à identifier la ou les opérations qu’il va devoir effectuer pour trouver le résultat cherché. Cette phase s’articule avec des manipulations ou des représentations schématiques qui vont contribuer à comprendre le modèle mathématique en jeu."
Représenter, modéliser
La schématisation en barres
Avantages
La schématisation en barres renforce les compétences sur le sens des opérations et leurs propriétés ;Elles peuvent servir d’appui pour les calculs ;Elles peuvent également servir d’appui pour communiquer un raisonnement lorsque l’écrit ou même l’oral font défaut ;Elles permettent aussi de résoudre des problèmes complexes et présentent l’avantage de se libérer des données de l’énoncé et allègent ainsi la charge cognitive.
Représenter, modéliser
La schématisation en barres
Points de vigilances
Cette schématisation doit faire l’objet d’un apprentissage explicite, séquencé et structuré qui s’appuie sur la compréhension de la situation afin que l’élève soit capable de choisir et de réaliser un schéma en fonction de la situation ;Le recodage sémantique demande un fort étayage de l’enseignant au début de l’apprentissage qui est à poursuivre tant que cela est nécessaire pour les élèves qui en ont besoin. L’objectif étant que les élèves automatisent ce questionnement pour éviter « le remplissage de cases » ;Enfin, ne pas imposer une schématisation si elle n’est pas nécessaire.
exemple
« Léo a 7 billes rouges et 5 billes bleues. Combien Léo a-t-il de billes en tout ? » La résolution de ce problème à l’aide de 7 cubes rouges : et 5 cubes bleus : fait apparaître l’assemblage : puis le schéma : et enfin le schéma en barres :Il correspond au schéma générique suivant :
De quels problèmes parle-t-on ?
Problèmes basiques (élémentaires)
Une étapeUn énoncé court, une syntaxe simple, pas d’information superflueDeux ou trois donnéesRésolution à l’aide d’une des quatre opérations Ex : Il y a 36 oiseaux dans l'arbre, 21 oiseaux s'envolent. Combien en reste-t-il ?
De quels problèmes parle-t-on ?
Problèmes complexes
Agrégat de plusieurs problèmes basiques, plusieurs étapes souventimplicites Besoin de construire des problèmes élémentaires sous-jacents calculables et de les mettre en relation pour avancer vers la réponse finale. Les programmes précisent qu'il est important d'en proposer dès le CP pour les problèmes additifs Ex CE2 : « Dans la bibliothèque de la classe, il y a 84 livres. Il y a 35 albums jeunesse, 21 bandes dessinées. Les autres sont des livres documentaires. Combien y a-t-il de livres documentaires ? »
De quels problèmes parle-t-on ?
Problèmes atypiques
Problèmes « pour apprendre à chercher »Caractère non routinier visant à l'inventivitéPas de stratégies connues a priori pour les résoudreLa phase de recherche s’appuie sur la mémoire de problèmes etla mobilisation des acquis. Ex : « On veut habiller des clowns avec des costumes constitués d’un chapeau et d’un pantalon. Les chapeaux peuvent être rouge, jaune ou vert. Les pantalons peuvent être bleu, orange, marron ou noir. Combien de costumes différents peut-on constituer ? »
La phase "Comprendre"
"Pour être en mesure de résoudre un problème, l’élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l’énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la reformulation de « l’histoire » du problème par l’élève lui-même, en utilisant ses propres mots. L’enseignant veille à ce que les élèves n’automatisent pas l’opération à effectuer à partir de termes de l’énoncé, en proposant régulièrement des problèmes contenant des termes qui n’induisent pas l’opération attendue."
Une catégorisation des problèmes simplifiée
D'après Catherine Houdement
LES Problèmes pour apprendre
Problèmes basiques/élémentaire en une étape
Problèmes complexes en plusieurs étapes
LES Problèmes pour chercher
Problèmes atypiques
Enseigner progressivement des représentations pour aller vers l’abstraction / la modélisation
Représenter : une compétence qui s’enseigne
L’enseignement de la résolution de problèmes doit être pensé dans une construction pluriannuelle cohérente et progressive. La note de service sur la résolution de problèmes rappelle qu’il s’agit de mettre en place un enseignement construit pour développer l’aptitude des élèves à résoudre des problèmes. Cela nécessite de conduire, année après année, et dès le plus jeune âge, un travail structuré et régulier. [...] Le triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire » offre des repères pour concevoir l’enseignement de la résolution de problèmes. L’articulation entre matériel, représentations associées et les notions mathématiques convoquées est essentielle. Il convient donc à ce titre de privilégier dès le CP des matériels décontextualisés tels que les cubes emboîtables.Articuler représentation et modélisation : l’appui dès le CP sur des représentations à l’aide de schémas (notamment des schémas en barres) pourra faciliter l’accès à la modélisation et préparer un continuum didactique du cycle 2 au cycle 3 pour l’enseignement de la résolution de problèmes. Extraits du guide «Pour enseigner les nombres, le calcul et la résolution de problèmes au CP» p 97 et p 102 La compétence « représenter » peut soutenir l’activité de modélisation de l’élève. Elle permet de faire le lien entre le texte du problème et ses caractéristiques mathématiques. […]La compétence « représenter » ne se développe pas de façon spontanée chez les élèves : il ne suffit pas d’inviter chaque élève à effectuer le dessin ou le schéma « qui lui convient ». Elle se développe au contraire par un enseignement construit et structuré sur plusieurs années visant à faire acquérir aux élèves des outils pour construire des représentations efficaces et porteuses de sens facilitant la modélisation.Extrait du guide « La résolution de problèmes mathématiques au CM » p 48/49
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Exemple : Pour l’anniversaire de Tom, Pauline lui offre 6 figurines de ses héros préférés. Tom en a maintenant 13. Combien de figurines Tom avait-il avant de recevoir ce cadeau ?
Quels éléments de réflexion ?Des obstacles prévisibles ?
Quel type de problème ?
Problème de transformation avec une recherche de l’état initialProblème de partie / tout avec recherche d’une partie
Chronologie : nécessité d’un recodage sémantiqueLexique non concordant avec l’opération en jeu ("offre"/soustraction)Habillage du problème / univers de référenceNombres en jeuCalcul (passage sous la dizaine)
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Exemple : Pour l’anniversaire de Tom, Pauline lui offre 6 figurines de ses héros préférés. Tom en a maintenant 13. Combien de figurines Tom avait-il avant de recevoir ce cadeau ?
3 modes de représentation dans le processus d’apprentissage des élèves (J. Bruner)
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Le mode énactif
Avantages : - il permet une meilleur représentation de la situation problème ; - il offre la possibilité de faire des essais, trouver des exemples, des régularités ; - il permet de valider empiriquement ou encore contrôler la résolution par le mode symbolique. Points de vigilance : - le mode énactif est insuffisant si on utilise des grands nombres ; - la manipulation peut s’avérer être une difficulté pour certains élèves (surcharge cognitive). Le matériel en lui-même, sa quantité, son utilisation doivent être pensés en amont afin que cette manipulation puisse aider les élèves ; - la manipulation peut s’avérer inutile voire délétère pour des élèves experts.
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Le mode iconique ou imagé
Avantages : - il permet la décentration du matériel ;- il permet premier niveau d’abstraction ;- il permet de faire évoluer l’élève au sein du mode énactif (compréhension)- il permet le lien entre les modes énactif et symbolique. Points de vigilance : - ne pas limiter le mode iconique à des représentations figuratives, penser à le faire évoluer ;- il est nécessaire d’enseigner des représentations transférables pour tendre vers le mode pré-symbolique.
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Le mode symbolique
Avantages : - il permet la généralisation, voire l’engagement dans un processus de preuve ;- il permet de transférer des représentations dans différentes situations. Points de vigilance : - ne pas amener les élèves trop vite dans la généralisation de ce mode pour éviter un passage àl’abstraction dénué de sens et générer des automatismes délétères (prendre les nombres et poser une opération sans réflexion par exemple) ; - de ce fait, penser la résolution en terme de différenciation.
Représenter : une compétence qui s’enseigne
Représenter : une compétence qui s’enseigne
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Sphère cognitive : la capacité à lire et comprendre le problème qu’ils doivent traiter, l’aptitude à organiser et structurer leur travail, passer à l’abstraction... Sphère psycho-affective : la confiance qu’ont les élèves en leur capacité à traiter les problèmes qui leur sont soumis, l’engagement et l'autonomie dont ils font preuve pour chercher à résoudre le problème... Sphère psycho-sociale : l’aptitude à collaborer avec d’autres élèves pour effectuer une résolution de problèmes à plusieurs...
Dans le guide (p 89) : "Pour résoudre efficacement les problèmes arithmétiques au CP et tout au long du primaire, la modélisation joue un rôle important. Cependant il convient de faire une distinction entre «représentation » et « modélisation ». Représenter, c’est traduire par un dessin ou un schéma la situation. Le fait de représenter la situation permet de l’appréhender et de favoriser l’entrée dans la résolution. Certaines représentations (souvent de type pictural) ne sont pas traduisibles par un calcul. Modéliser, c’est traduire mathématiquement la situation. La modélisation amène ensuite à la procédure et au calcul ; elle rend la réalité calculable. Il s’agit d’un processus qui peut prendre appui sur diverses représentations."
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Dans le guide (p.79)
"Cela nécessite32 de conduire, année après année, et dès le plus jeune âge, un travail structuré et régulier pour faire acquérir aux élèves les connaissances et les compétences leur permettant de :— comprendre le problème posé ;— établir une stratégie pour le résoudre (en faisant par exemple des analogies avec un modèle connu, en décomposant ou recomposant le problème en sous-problèmes, en s’appuyant éventuellement sur des outils auxiliaires, par exemple un schéma ou un tableau, en faisant des essais, en partant de ce que l’on veut trouver) ;— mettre en œuvre la stratégie retenue ;— revenir sur la solution et prendre du recul sur leur travail."
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Confronter régulièrement les élèves à de la résolution de problèmes (environ dix problèmes par semaine ) ; Rencontrer une variété de problèmes suffisante pour pouvoir reconnaître les différents types de problèmes et ainsi ajuster la stratégie de résolution ; Re-convoquer cette mémoire grâce à des traces écrites à disposition des élèves.
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Identifier les nombres en jeu et leur natureentiers, décimaux, quelle que soit leur écriture (enlettres, en chiffres, avec ou sans virgule...) ; Connaître le sens des opérations ; Maîtriser les moyens d’effectuer les calculs nécessaires(mental, écrit, posé)
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