MAD5405 - Semana 2

Instrumentos financieros básicos: forwards, swaps y opciones Vanilla

¡Vamos!

Introducción

En este tema se presentan los instrumentos derivados básicos que constituyen el “lenguaje” del mercado moderno: forwards/futuros, swaps y opciones vanilla. El énfasis recae en su valoración bajo ausencia de arbitraje, la lógica de replicación y la conexión con conceptos de teoría de carteras, en preparación para Black–Scholes y métodos numéricos posteriores.

Índice

Forwards y futuros: valoración bajo no arbitraje

Swaps: interés fijo vs flotante, currency swaps

Opciones vanilla (call y put, europeas y americanas): características, payoff y paridad put–call

Conexión con la teoría de carteras y ausencia de arbitraje

Forwards y futuros: valoración bajo no arbitraje

En este apartado se estudian los contratos forward y futuros como los derivados más elementales para fijar un precio futuro. Se desarrolla su valoración desde el principio de no arbitraje, mostrando cómo el precio forward surge de costos de financiamiento, almacenamiento y beneficios por tenencia, y cómo esto se relaciona con la estructura temporal de tasas.

No arbitraje: idea central

Definiciones y estructura del contrato

Precio forward sobre un activo sin ingresos (caso base)

Cost-of-carry general (con costos de almacenamiento)

Precio forward con ingreso (dividend yield) o “convenience yield”

Forward sobre divisas: paridad cubierta de tasas de interés

Valor del contrato forward en un tiempo intermedio

Diferencia forward vs futuro

Forwards, futuros y opciones

Swaps: interés fijo vs flotante, currency swaps

Convenciones del swap de tasas (IRS)

Qué es un swap

En esta sección se presenta el swap como un contrato para intercambiar flujos de caja, particularmente útil para gestionar riesgo de tasas y divisas. Se desarrolla la valoración de swaps de tasas (fijo vs flotante) usando curvas de descuento y forwards, y se extiende el análisis a currency swaps como combinación de instrumentos de tasas y FX.

Valoración por no arbitraje: idea general

Curva de descuento y factores 𝑃(0,𝑇)

Valor presente de la pierna flotante (resultado elegante)

Valor presente de la pierna fija

Swaps y bootstrap de curvas (conexión práctica)

Tasa swap par (fair fixed rate)

Currency swaps: estructura y valoración conceptual

No arbitraje en currency swaps (idea de paridad)

Opciones vanilla (call y put, europeas y americanas)

Valores intrínseco y temporal

Definiciones: call y put

Payoffs al vencimiento

En esta sección se introducen las opciones vanilla como instrumentos no lineales cuya valoración exige herramientas más ricas que forwards o swaps. Se describen calls y puts, diferencias entre estilos europeo y americano, representación de payoffs y la paridad put–call como relación fundamental derivada de no arbitraje.

Ejercicio temprano: casos importantes

Moneyness y sensibilidad

Europeo vs Americano

Paridad put–call (sin dividendos)

Paridad con dividendos (yield continuo 𝑞)

Paridad como herramienta de verificación de precios

Convexidad y Jensen: por qué la volatilidad “vale”

Cotas de no arbitraje (bounds) para opciones europeas

Conexión con teoría de carteras y ausencia de arbitraje

En este apartado se articula el vínculo entre derivados y teoría de carteras: el precio de un derivado se determina por su capacidad de ser replicado mediante instrumentos básicos y por el principio de ausencia de arbitraje. Se introduce la intuición de mercados completos/incompletos y la idea de medida neutral al riesgo como marco unificador.

Replicación y portafolio auto-financiado

Ausencia de arbitraje y Ley del Precio Único

Compleción de mercado y rol de la volatilidad

Medida neutral al riesgo (intuición fundamental)

Conexión con teoría moderna de portafolios (MPT)

Interpretación económica: hedging como construcción de carteras

Video

Midamos tus conocimientos

Bibliografía

• Oosterlee, C. W. & Grzelak L. A. (2020). Modelos Matemáticos y Métodos Numéricos en Finanzas Cuantitativas: Con Ejercicios y Códigos para Python y MATLAB. World Scientific. ISBN 978-1-78634-794-7
• Oscar, R. (2024). Métodos Numéricos. EUCASA. ISBN 978-950-623-314-3
• Dunbar, S. R. (2019). Mathematical Modeling in Economics and Finance: Probability, Stochastic Processes, and Differential Equations. MAA Press. ISBN 978-1-47-044839-4

Si un payoff 𝑋𝑇 puede replicarse, su precio es único: 𝑉0=costo de la cartera replicante Cualquier desviación produce arbitraje. Esto explica por qué forwards y swaps “se fijan” por curvas, y por qué la paridad put–call es obligatoria.

Un derivado puede valorarse si existe una estrategia de trading en activos básicos que replique sus flujos. Sea una cartera con:

• Δ𝑡 unidades del activo riesgoso 𝑆𝑡
• 𝐵𝑡 en cuenta libre de riesgo

Valor del portafolio: 𝑉𝑡=Δ𝑡𝑆𝑡+𝐵𝑡 Auto-financiado: cambios de 𝑉𝑡 provienen solo de cambios de precios, no de aportes externos. Idea esencial: Si dos carteras tienen el mismo payoff futuro, deben tener el mismo precio hoy (Ley del Precio Único).

Mercado completo: todo payoff razonable puede replicarse.

• Ejemplo ideal: Black–Scholes con un Browniano y un activo.

Mercado incompleto: no todo payoff es replicable.

• Ejemplos: volatilidad estocástica, saltos, riesgos de crédito.

Consecuencia: En mercados incompletos existen múltiples precios compatibles con no arbitraje, y aparecen criterios adicionales (mínima varianza, utilidad, calibración).

En commodities o índices existe un “beneficio por tenencia” o yield continuo 𝑞, por ejemplo:

• dividendos en un índice (aproximación),
• convenience yield en commodities.

Entonces: Interpretación: El yield 𝑞 “reduce” el precio forward porque mantener el activo genera beneficios.

En commodities también puede existir costo continuo 𝑢 (storage cost). Una forma general es: Intuición:

• Financiar (r) + almacenar (u) incrementa el forward,
• beneficios por tenencia (q) lo disminuyen.

Si las tasas son determinísticas o independientes del subyacente, forward ≈ futuro. Si hay correlación entre tasas y precio del subyacente, puede aparecer convexity adjustment: Esto es relevante en tasas de interés y algunos commodities.

Para un tipo de cambio spot 𝑆0 (precio en moneda doméstica por 1 unidad de moneda extranjera), con tasas:

• 𝑟𝑑: doméstica
• 𝑟𝑓: extranjera

El precio forward libre de arbitraje es: Interpretación: La moneda extranjera se comporta como un activo que “paga yield” igual a 𝑟𝑓.

Si el contrato fue pactado con precio 𝐾 y al tiempo 𝑡 el nuevo forward para vencimiento 𝑇 es 𝐹𝑡(𝑇), el valor del forward largo es: Lectura: el forward es “lineal” en el precio forward actual, descontado al presente.

Forward

Futuro

Un forward es un contrato OTC en el que dos partes acuerdan intercambiar un activo subyacente en una fecha futura 𝑇 por un precio preacordado 𝐾 (precio forward). No requiere desembolso inicial significativo (idealmente valor inicial ≈ 0). Se liquida al vencimiento. Payoff al vencimiento (posición larga): donde 𝑆𝑇 es el precio spot en 𝑇. Posición corta:

Un futuro es similar en idea a un forward, pero:

• Se negocia en mercado organizado.
• Se marca a mercado diariamente (daily settlement).
• Requiere márgenes.
• El riesgo de contraparte se reduce por cámara de compensación.

Comentario técnico importante: Forward y futuro tienen payoffs finales “similares”, pero el marcado a mercado puede hacer que el precio futuro difiera del forward cuando las tasas son estocásticas y correlacionadas con el subyacente.

El principio de no arbitraje establece que no deben existir estrategias con:

• costo inicial cero (o negativo),
• sin riesgo,
• y ganancia positiva con probabilidad positiva.

En derivados básicos, esto conduce a precios “forzados” por replicación o dominancia.

Derivación por portafolio replicante (esencia):

Supóngase:

• Activo sin dividendos/ingresos.
• Tasa libre de riesgo constante 𝑟.
• Sin costos de transacción.

La relación sin arbitraje es:

• Comprar el activo hoy cuesta 𝑆0.
• Financiarlo a tasa 𝑟 implica un costo futuro 𝑆0𝑒𝑟𝑇.
• Un forward que entrega el activo en 𝑇 debe costar lo mismo en valor futuro → determina 𝐹0.

Bajo no arbitraje, el valor del swap es: 𝑉𝑠𝑤𝑎𝑝(0)=𝑃𝑉(float)−𝑃𝑉(fixed) En la “tasa swap par” (fair swap rate), el valor inicial se fija en cero: 𝑉𝑠𝑤𝑎𝑝(0)=0⇒𝑃𝑉(float)=𝑃𝑉(fixed) Esto determina 𝐾.

Pierna fija Pago en 𝑇𝑖: 𝑁𝐾𝛼𝑖 Pierna flotante (forma simplificada) Pago en 𝑇𝑖: 𝑁𝐿(𝑇𝑖−1,𝑇𝑖)𝛼𝑖 donde 𝐿(⋅) es la tasa forward aplicable al periodo.

Se define:

• Nocional 𝑁
• Fechas de pago 𝑇1,…,𝑇𝑛
• Año-fracción 𝛼𝑖 (day-count)
• Tasa fija del swap 𝐾
• Pierna flotante (por ejemplo LIBOR/SOFR compounded, según mercado)

La valoración se basa en factores de descuento: 𝑃(0,𝑇)=precio hoy de recibir 1 en 𝑇 En términos continuos con tasa instantánea 𝑟(𝑡):

Un swap es un acuerdo para intercambiar una serie de flujos en fechas futuras {𝑇𝑖}. Los swaps más comunes:

• Interest Rate Swap (IRS): fijo vs flotante en la misma moneda.
• Currency swap: intercambio en dos monedas, típicamente con nocional.

Concepto clave: un swap es un portafolio de forwards sobre tasas o divisas.

Los swaps permiten construir la curva de tasas por bootstrap: Depósitos → parte corta FRA/futuros → mediano Swaps → largo Resultado práctico: del mercado se infieren 𝑃(0,𝑇) y forwards consistentes con no arbitraje.

Es decir, una anualidad descontada. Se define la anualidad del swap: Entonces:

Imponiendo 𝑃𝑉𝑓𝑙𝑜𝑎𝑡=𝑃𝑉𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑: Interpretación: La tasa fija par es una tasa promedio “ponderada por descuento” que equilibra ambas piernas.

Bajo supuestos estándar (y reset en 𝑇0=0), la pierna flotante tiene valor: Intuición: la pierna flotante equivale a comprar un bono flotante que se reajusta al par, y su valor depende solo del descuento del último pago.

La valoración requiere:

• Curva doméstica 𝑃𝑑(0,𝑇)
• Curva extranjera 𝑃𝑓(0,𝑇)
• Forward FX 𝐹0(𝑇)

Con paridad cubierta: Punto clave: la consistencia entre curvas y FX evita arbitraje.

Un currency swap incluye flujos en dos monedas (doméstica 𝑑 y extranjera 𝑓): Componentes típicos:

• Intercambio inicial de nocionales: 𝑁𝑑 por 𝑁𝑓 al spot 𝑆0
• Pagos de intereses en cada moneda
• Reintercambio final de nocionales

Interpretación Un currency swap puede verse como:

• Un swap de tasas en moneda doméstica +
• Un swap de tasas en moneda extranjera +
• Una posición en forwards de FX sobre nocionales

Una opción otorga un derecho, no una obligación.

• Call: derecho a comprar el activo a precio 𝐾.
• Put: derecho a vender el activo a precio 𝐾.

Parámetros:

• Subyacente 𝑆
• Strike 𝐾
• Vencimiento 𝑇
• Prima (precio) pagada hoy

Valor intrínseco (si ejerciera hoy):

• Call: max (𝑆0−𝐾,0)
• Put: max (𝐾−𝑆0,0)

Valor temporal: parte del precio asociada a incertidumbre/volatilidad restante. Idea clave: la volatilidad incrementa el valor de opciones por convexidad (Jensen).

Call europea (larga): Put europea (larga): Interpretación geométrica:

• El call es convexidad hacia arriba (beneficio de subidas).
• El put protege caídas (seguro).

Europea

• Ejercicio solo en 𝑇.
• Más simple de valorar (PDE/esperanza/Monte Carlo).

Americana

• Ejercicio en cualquier 𝑡∈[0,𝑇].
• Implica problema de optimización:
• regla de ejercicio óptimo
• “free boundary problem”
• Normalmente más costosa (nunca más barata que la europea).

Relación general:

Call americano sin dividendos: típicamente no conviene ejercer temprano.

• Razón: se pierde valor temporal y se posterga pago de strike.
• Resultado clásico: 𝐶𝐴𝑚=𝐶𝐸𝑢 (si no hay dividendos).

Put americano: puede ser óptimo ejercer temprano en ciertos escenarios.

• Razón: capturar strike, reinvertir al interés, y evitar riesgo de caída limitada..

Clasificación (para calls):

• ITM: 𝑆0>𝐾
• ATM: 𝑆0≈𝐾
• OTM: 𝑆0<𝐾

Interpretación financiera: La sensibilidad del precio (delta/gamma) y la probabilidad de ejercicio dependen fuertemente de la moneyness.

Para opciones europeas sobre un activo sin dividendos: Interpretación de no arbitraje: La estrategia “call – put” replica un forward sintético.

Si existe yield continuo 𝑞: Lectura: el subyacente se descuenta por dividendos esperados (o yield).

La paridad permite detectar inconsistencias:

• Si se observa 𝐶0−𝑃0 muy distinto del RHS, existe oportunidad de arbitraje teórico.
• En práctica, spreads, fricciones y márgenes limitan el arbitraje perfecto, pero la relación guía pricing bounds.

Como 𝑥↦max(𝑥−𝐾,0) es convexa: Esto explica por qué mayor dispersión (volatilidad) incrementa el valor esperado del payoff, lo cual se refleja en primas de opciones.

Para activo sin dividendos: Call europea Put europea Mensaje: el precio no puede violar estas cotas sin inducir arbitraje.

• En MPT, el retorno esperado y la covarianza determinan decisiones (Markowitz).
• En pricing por no arbitraje, el precio depende de riesgos sistemáticos y de cómo el mercado los remunera.

Una forma de puente conceptual:

• En equilibrio (p.ej. CAPM), el precio refleja compensación por riesgo.
• En no arbitraje, el precio surge de replicación o expectativas bajo .
• Ambas perspectivas son consistentes bajo supuestos estructurales, aunque enfatizan mecanismos distintos.

Bajo ausencia de arbitraje, existe una medida tal que:Precio hoy = [payoff descontado] Formalmente, para payoff 𝑋𝑇: Lectura: no se “predice” el mundo real; se utiliza una medida que hace consistentes los precios con no arbitraje.

Los derivados permiten:

• fijar precios futuros (forwards),
• transformar exposición de tasa (swaps),
• obtener convexidad y protección (opciones).

Estos instrumentos se entienden como:

• herramientas de gestión de riesgo
• y como objetos cuyo precio resulta de portafolios equivalentes