La démarche de Kelvin : Modélisation mathématique de Kelvin du temps du refroidissement

La démarche de Kelvin : Modélisation mathématique de Kelvin du temps du refroidissement

Sommaire

Contexte

Problème

Hypothèse

Solution et interprétation

Comment utiliser concrètement la loi du refroidissement ?

Modélisation

Importance de la démarche de Kelvin pour l’âge de la Terre

Contexte

Au XIXᵉ siècle, la thermodynamique se développe et Lord Kelvin étudie les échanges de chaleur et le refroidissement des objets.

Problème

Lorsqu’un objet chaud est placé dans un milieu plus froid, sa température varie avec le temps, et il est nécessaire de prévoir cette évolution.

Hypothèse

Kelvin suppose que la vitesse de refroidissement dépend de l’écart de température entre l’objet et le milieu ambiant : plus l’écart est grand, plus le refroidissement est rapide.

Modélisation

Kelvin traduit cette hypothèse par une équation différentielle : dT/dt = −k(T − Tₐ), où T(t) est la température de l’objet à l’instant t, Tₐ la température ambiante, et k une constante dépendant des propriétés physiques de l’objet et du milieu.

Solution et interprétation

- Il traduit cette hypothèse par une équation différentielle reliant la variation de la température au temps et à l’écart de température avec le milieu extérieur, avec dT/dt = −k(T − Tₐ). - La solution de l’équation montre que la température suit une loi exponentielle , décroissant rapidement au début puis plus lentement.

Comment utiliser concrètement la loi du refroidissement ?

• Mesurer T₀ et Tₐ.

• Déterminer k.

• Utiliser la formule pour prévoir la température ou calculer le temps.

Importance de la démarche de Kelvin pour l’âge de la Terre