Filosofía y matemáticas
serie 2026-1
Dr. J. Eduardo García Mendiola
Recursos académicos digitales
serie 2026-1
Filosofía y matemáticas
ÍNDICE
iNTRODUCCIÓN
Contenidos
objetivos
PLANIFICACIÓN
competencias
bibliografía
AUTOR
serie 2026-1
filosofía y matemáticas
INTRODUCCIÓN
sobre este recurso digital
Una serie de exposiciones audiovisuales sobre las relaciones entre el pensamiento filosófico y el quehacer matemático, entrelazando las nociones de límite, infinito, lo continuo, lo discreto, lo abstracto y lo intuitivo. Recorremos la historia de estas relaciones desde la Grecia antigua hasta el Islam medieval. Luego nos introducimos al álgebra abstracta desde un enfoque estructuralista de las matemáticas.
Conocimientos previos
serie 2026-1
filosofía y matemáticas
autor
José Eduardo García Mendiola
Doctor en filosofía - Investigador y académico
Filosofía de las matemáticas, ciencias cognitivas, filosofía de la ciencia, fenomenología
serie 2026-1
filosofía y matemáticas
objetivos
01
02
generales
específicos
- Visualizar la representación matemática de las ideas filosóficas fundamentales sobre el infinito y el continuo.
- Mostrar el tránsito entre la geometrización de la aritmética y la algebrización de la geometría.
- Identificar los principales conceptos y nociones vinculantes entre el pensamiento filosófico y el matemático.
- Exponer la historia de las relaciones entre la filosofía y las matemáticas desde la Grecia antigua hasta el Islam medieval.
+ info
+ info
serie 2026-1
filosofía y matemáticas
competencias
02
01
03
específicas
generales
transversales
Filosofía y matemáticas
Filosofía de las matemáticas
Ética de la ciencia
- Analiza problemas filosóficos y matemáticos en la ciencia griega antigua y la islámica medieval.
- Problematiza y conceptualiza la vinculación entre la filosofía y las matemáticas a partir de la contextualización histórico-cultural.
- Argumenta lógica y formalmente al planteamiento de problemas y soluciones en el pensamiento filosófico-matemático previo a la Modernidad.
- Evalúa éticamente las acciones derivadas de una cierta cosmovisión.
- Interpreta distintas perspectivas científicas buscando consensos.
- Aplica el pensamiento crítico para identificar las diferencias entre el pensamiento filosófico y el matemático.
- Aplica la capacidad de síntesis y de conceptualización para identificar los vínculos entre filosofía y matemáticas.
serie 2026-1
filosofía y matemáticas
CONTENIDOS
M1
M2
pARTE 1
pARTE 2
1. De Tales de Mileto a Pitágoras
5. Filosofía matemática islámica I
2. Las magnitudes inconmensurables
6. Filosofía matemática islámica II
3. De Pitágoras a Aristóteles
7. Introducción a la filosofía del álgebra
4. Eudoxo y Arquímedes
serie 2026-1
FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS
planificación temporal
serie 2026-1
FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS
Bibliografía
BIBLIOGRAFÍA general de la asignatura
BIBLIOGRAFÍA específica por tema
webgrafía
Material adicional
serie 2026-1
filosofía y matemáticas
fin de la serie
filosofía matemática islámica I
En este tema se abordan las contribuciones de la filosofía matemática islámica medieval, destacando su relación con la filosofía aristotélica, neoplatónica y las obras de Euclides. Se enfoca en la concepción del infinito y el continuo, integrando la lógica aristotélica y la estructura axiomática euclidiana.
Falsafa y Kalam
- Falsafa: Filosofía islámica inspirada en el pensamiento griego, que se desarrolló a través de la traducción y adaptación de obras de Aristóteles y el neoplatonismo.
- Kalam: Teología islámica que busca integrar la razón con la revelación del Corán, abordando temas como la naturaleza de Dios y la estructura del cosmos.
Contribuciones de Aristóteles y Neoplatonismo
- Aristóteles: Su lógica y teorías de la causalidad influyeron en la Falsafa. Introdujo conceptos como el silogismo, las cuatro causas y el motor inmóvil.
- Neoplatonismo: Se centra en la emanación del Uno y la jerarquía de seres, enfatizando el retorno del alma al Uno a través de la purificación y la contemplación.
Racionalismo Islámico
- Buscó un marco racional para los problemas teológicos y cosmológicos, integrando la lógica y la revelación. Los pensadores destacados incluyen a Al-Kindi, Al-Farabi, Avicena y Averroes.
Matemáticas en la Falsafa
- Las matemáticas se consideran un puente entre la metafísica y la física, con un estatus intermedio en la jerarquía del conocimiento. La geometría euclidiana se convirtió en el modelo de razonamiento y demostración.
Debate sobre el Infinito y el Continuo
- Kalam: Defiende el atomismo y la idea de un universo finito que requiere una causa primera, rechazando el infinito actual.
- Falsafa: Aboga por un continuo infinitamente divisible, argumentando que el universo puede ser eterno sin caer en paradojas lógicas.
El debate entre la Falsafa y el Kalam sobre la naturaleza del universo, el tiempo y la causalidad refleja una profunda interacción entre la filosofía y la teología islámicas, con implicaciones significativas en la comprensión del cosmos y la divinidad.
conocimientos previos
Conocimientos básicos:
- Trigonomería
- Álgebra
- Geometría analítica
Conocimientos deseables:
- Filosofía griega antigua (de los Jonios hasta Euclides)
¿Cómo surgieron los números irracionales? ¿Qué es el infinito? ¿Qué es el continuo? ¿Qué es el álgebra abstracta?
+ info
La armonía pitagórica
Del agua al número y de las proporciones numéricas a las geométricas. El teorema de Tales y el teorema de Pitágoras. Aritmética y geometría.
Filosofía del álgebra
Evolución del álgebra y un enfoque estructuralista a la filosofía del álgebra, mostrando las bases del álgebra abstracta (moderna).
filosofía matemática islámica II
La construcción de la ciencia islámica medieval como la conjugación de filosofía y teología mediante las matemáticas.
Larroyo, F. (1976). Filosofía de las matemáticas (1.a ed.). Editorial Porrúa, S.A. Lohlker, R. (2019). Global History: Understanding Islamic Astronomy. ACTA VIA SERICA Vol. 4, No . 2, December, 4(2), 97-118. https://doi.org/10.22679/avs.2019.4.2.005 López, A. L. (2014). Berkeley : el origen de la crítica a los infinitesimales. Cuadernos Salmantinos de Filosofía, 41, 195-217. https://doi.org/10.36576/summa.33508 López, C. A. (2014). El infinito en la historia de la matemática. Ciencia y Tecnología, 1(14). https://studylib.es/doc/4851813/el-infinito-en-la-historia-de-la-matemática Medrano, I., & Pino-Fan, L. R. (2016). Estadios de Comprensión de la Noción Matemática de Límite Finito desde el Punto de Vista Histórico. Journal Of Research In Mathematics Education, 5(3), 287. https://doi.org/10.17583/redimat.2016.1854 Mejías, C., & Alsina, Á. (2021). Desarrollo histórico-epistemológico del álgebra: evolución hacia distintos significados. Revista Digital Matemática Educación E Internet, 21(2). https://doi.org/10.18845/rdmei.v21i2.5607 Oñate, E. (2000). El bucle de los números. Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, 192. Universidad Politécnica de Cataluña. Pérez, J. (1984). Sobre los métodos en las matemáticas. Seminario Realizado en la ciudad de Tunja a lo largo del primer semestre de 1984. Tunja, Colombia. Rashed, R. (1994). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. En Boston studies in the philosophy of science. https://doi.org/10.1007/978-94-017-3274-1 Rivadeneyra, R. (2019). Armonía y cosmos: proporciones geométricas y orden. En Música, matemática y gimnasia como remedios y profilácticos para el mal físico, moral y psicológico en Platón. (Tesis doctoral). Universidad Panamericana. (pp. 121-210). Sánchez, J. C., & Valdivé, C. (2011). El número irracional: un punto de vista epistemológico con interés didáctico. Revista Científica Teorías, Enfoques y Aplicaciones en las Ciencias Sociales, 4(8), 31-45. https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4735446.pdf
Avicenna. (2010). The Physics of the Healing. https://www.amazon.com/Physics-Healing-English-Arabic-University-Translation/dp/0842527478 Caba, A. (1998). Algunas ventajas de la concepción estructuralista de la matemática. Contrastes Revista Internacional de Filosofía, 3. https://doi.org/10.24310/contrastescontrastes.v3i0.1560 Cabal, L. (2003). Aproximación Histórica a los Conceptos de Infinito Matemático, Físico y Metafísico [Tesis de licenciatura]. Universidad del Valle.
Cadavieco Castillo, M. J., (2002). Pitágoras y los números perfectos. Ingeniería, 6(2), 47-49.
Copleston, F. C. (1977). Historia de la filosofía: Grecia y Roma. Ariel.
Delgado, C. (2003). El modelo de Toulmin y la evolución del concepto de continuo en los clásicos griegos. Matemáticas: Enseñanza Universitaria, 91-127. https://bibliotecadigital.univalle.edu.co/bitstream/10893/4400/1/El%20modelo%20de%20Toulmin.pdf Espinosa, M. C. (2014). La solución de la ecuación de tercer grado según Omar Al-Khayyām. Potencialidades de su uso en la formación profesional de un profesor de matemáticas [Tesis de licenciatura, Universidad del Valle]. https://funes.uniandes.edu.co/wp-content/uploads/tainacan-items/32454/1146070/Espinosa2014La.pdf Ezenarro, E. (2017). Lo que nos dio y no nos dio Bourbaki. THEORIA An International Journal For Theory History And Foundations Of Science, 32(1), 25. https://doi.org/10.1387/theoria.15199 Fraile, Á. R. (1998). El álgebra: del arte de la cosa a las estructuras abstractas. Dialnet (Universidad de la Rioja). https://dialnet.unirioja.es/servlet/libro?codigo=98906 Gingerich, O. (1986). Islamic Astronomy. Scientific American, 254(4), 74-83. https://doi.org/10.1038/scientificamerican0486-74 Herstein, I. (1991). Álgebra abstracta. Kennedy, E. S. (1983). Studies in the Islamic Exact Sciences. En Medical Entomology and Zoology. American University of Beirut, Beirut. http://ci.nii.ac.jp/ncid/BA03280745
las magnitudes inconmensurables
El surgimiento de los números irracionales se remonta a la ruptura de paradigma que tuvo lugar con el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables por los pitagóricos.Ellos encontraron una solución mediante la geometrización de la aritmética.
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objetivos generales
1. Identificar los orígenes de los números irracionales.
2. Mostrar el contraste filosófico y matemático entre las Escuelas eleática y pitagórica. 3. Comprender la concepción aristotélica del infinito y de la continuidad. 4. Identificar las aportaciones de Eudoxo y de Arquímedes. 5. Explicar los debates ontológicos y el papel de la matemática en la filosofía y la ciencia islámicas medievales. 6. Identificar las dimensiones del Álgebra. 7. Comprender la noción de estructura como base del álgebra abstracta.
De Tales a Pitágoras
Este tema se centra en las contribuciones de la Escuela de Mileto y la Escuela Pitagórica, destacando su influencia en la teoría musical y la geometría, especialmente en trigonometría. Escuela de Mileto.
- Los filósofos jonios, como Tales, Anaximandro y Anaxímenes, buscaban explicaciones no mitológicas del universo.
- Tales consideraba el agua como el principio de todas las cosas, mientras que Anaximandro propuso el "ápeiron" (lo indefinido) como origen de todo.
- Anaxímenes identificó el aire como la sustancia fundamental.
- La ciencia y las matemáticas surgieron en Grecia con un enfoque naturalista, desarrollando la geometría y la aritmética.
Aportaciones de Tales de Mileto
- Fundador de la Escuela de Mileto y conocido por el teorema de Tales y otras proposiciones geométricas.
- Estableció principios fundamentales de la geometría que serían utilizados más tarde por Euclides.
Escuela Pitagórica
- Fundada por Pitágoras, quien creía que "todo es número" y que el mundo físico estaba estructurado en patrones numéricos.
- La escuela incluía tanto iniciados (matemáticos) como novicios (acusmáticos).
- Pitágoras y sus seguidores exploraron la relación entre números y fenómenos naturales, destacando conceptos como los números perfectos.
Teoremas y Conceptos Clave
- Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
- Números Perfectos: Números cuya suma de divisores (excluyendo el propio número) es igual al número mismo.
- Relaciones Musicales: Los pitagóricos identificaron relaciones armónicas en la música basadas en proporciones numéricas, como la octava, la quinta y la cuarta.
La Escuela Pitagórica y la Escuela de Mileto sentaron las bases de la matemática y la filosofía, influyendo en el desarrollo de la ciencia y la música a través de sus descubrimientos y teorías.
filosofía matemática islámica II
En este tema se profundiza en las intersecciones entre las matemáticas y la filosofía en el pensamiento islámico medieval, destacando el álgebra geométrica de Omar Khayyam para resolver ecuaciones cúbicas, los avances en la astronomía islámica que refinaron el sistema ptolemaico y las críticas filosóficas que distinguen el razonamiento matemático de la filosofía especulativa.
filosofía matemática islámica
Las nociones del infinito y del continuo fueron detonantes de importantes discusiones que derivaron en la identificación del estatus de la ciencia y la filosofía islámica medievales.
objetivos específicos
1. Identificar el contexto histórico de la ciencia en la Grecia antigua, a través de sus principales representantes. 2. Identificar los orígenes de los números irracionales en la geometría griega y su impacto en la cosmovisión pitagórica. 3. Describir los métodos para aproximar números irracionales como raíces cuadradas. 4. Mostrar el contraste filosófico y matemático entre las Escuelas eleática y pitagórica. 5. Explicar las principales paradojas de Zenón. 6. Comprender la concepción aristotélica del Infinito y de la continuidad. 7. Comprender la teoría de las proporciones, de Eudoxo, así como su método de exhaución. 8. Identificar las aportaciones de Arquímedes a la geometría. 9. Comprender el contraste entre las escuelas de la Falsafa y la del Kalam, así como las influencias aristotélicas y eculidianas a través del Burhán.
10. Explicar los debates ontológicos entre el atomismo y el continuo. 11. Identificar las relaciones entre la causalidad y la Teología islámica medieval. 12. Reconocer las aportaciones de la ciencia islámica al álgebra y a la astronomía. 13. Identificar las dimensiones del Álgebra, así como su evolución. 14. Comprender el concepto de un grupo y distinguirlo de un conjunto.
15. Comprender las bases de la teoría de grupos con un enfoque estructuralista.
16. Identificar isomorfismos entre grupos, así como algunas de sus aplicaciones.
Límite e infinito
Estas nociones fueron geométricamente operadas por Eudoxo y Arquímedes a partir del "método de exhaución", detonante del Cálculo integral.
de pitágoras a aristóteles
En este tema se exploran las nociones filosóficas del infinito y el continuo, comenzando con la ruptura de paradigma provocada por el descubrimiento de los números irracionales por los pitagóricos. Se comparan las concepciones de la escuela pitagórica y la escuela de Elea, destacando la influencia de Zenón de Elea en la filosofía y la matemática. Números Irracionales
- Pitagóricos: Creían que todo fenómeno podía ser explicado mediante números naturales y proporciones. Su visión se basaba en la armonía y la relación entre números y magnitudes geométricas.
- Descubrimiento de Hipaso: Reveló magnitudes inconmensurables, como la diagonal de un cuadrado, que no pueden expresarse como una razón de números naturales, lo que desafió la visión pitagórica.
- Alogos: Se refiere a los números irracionales, considerados como "lo inexpresable".
Paradojas de Zenón
Objetivo: Cuestionar la posibilidad del movimiento y la divisibilidad infinita del espacio y el tiempo.
Paradojas Clave
- Aquiles y la tortuga: Aquiles nunca puede alcanzar a la tortuga debido a la necesidad de recorrer una infinidad de puntos.
- Dicotomía: Para recorrer una distancia finita, se debe completar una serie infinita de mitades, lo que parece imposible.
- Flecha: Una flecha en vuelo ocupa un espacio igual a sí misma en cada instante, sugiriendo que no se mueve.
- Estadio: Contradicciones en el movimiento relativo entre filas en un estadio, mostrando la confusión entre unidades de tiempo y espacios indivisibles.
Aristóteles y el Infinito
- Infinito Potencial vs. Actual: Aristóteles distingue entre el infinito que puede ser alcanzado (potencial) y el infinito como un conjunto completo (actual), que él rechaza.
- Continuidad: Define lo continuo como algo que carece de interrupciones y que está formado por partes reales, no indivisibles.
Comparación de Concepciones
- Pitagóricos: El continuo es armónico y divisible, pero compuesto de puntos indivisibles.
- Zenón: Argumenta que el movimiento es ilusorio bajo su lógica de divisibilidad infinita.
- Aristóteles: Propone que el continuo es potencialmente divisible, pero está compuesto de partes reales y que el movimiento es continuo, no basado en instantes estáticos.
Las nociones de infinito y continuo evolucionaron desde los pitagóricos hasta Aristóteles. Las paradojas de Zenón desafiaron la comprensión del movimiento y el espacio, contribuyendo a la necesidad de aclarar conceptos en el ámbito de la matemática y de la filosofía.
las magnitudes inconmensuraBLES
En este tema se exploran los orígenes de los números irracionales y su impacto en la filosofía y matemáticas griegas, especialmente en la cosmovisión pitagórica. A continuación se presenta un resumen de los puntos clave:
Contexto Filosófico
- Se discute la noción de logos, que representa la relación entre el cosmos y la razón, y cómo esta idea es fundamental para comprender el universo y el cambio.
- Heráclito y Pitágoras representan figuras clave: Heráclito enfatiza el cambio y el equilibrio, mientras que Pitágoras ve el universo en términos numéricos y busca lo inmutable.
Números Irracionales
- Se introduce el concepto de conmensurabilidad: dos magnitudes son conmensurables si pueden expresarse como una razón de números naturales.
- Se enfatiza el descubrimiento de magnitudes inconmensurables, como la raíz cuadrada de dos, que desafió la creencia pitagórica de que todo podía ser medido con números naturales.
Impacto en la Matemática
- El descubrimiento de los números irracionales, atribuido a Hipaso de Metaponto, causó una crisis en la filosofía pitagórica, que sostenía que el universo era explicable únicamente por números naturales.
- Se discuten contribuciones de otros matemáticos como Eudoxo y Euclides, quienes abordaron las proporciones sin depender de la conmensurabilidad.
Armonía y Cosmogonía
- La armonía es un concepto central en la filosofía pitagórica, donde se considera que el cosmos es inherentemente ordenado y bello.
- Se exponen las proporciones musicales y la relación entre números y armonía.
Aproximaciones históricas
- Se aborda cómo civilizaciones antiguas, como los egipcios y mesopotámicos, hicieron aproximaciones a números irracionales en problemas prácticos.
- Arquímedes y su método de agotamiento para calcular el número pi se destacan como ejemplos de la búsqueda de comprensión de magnitudes irracionales.
La ruptura del paradigma pitagórico fue significativa, ya que reveló limitaciones en la comprensión matemática y filosófica de su tiempo. De ahí la importancia de los números irracionales en la evolución del pensamiento matemático.
de pitágoras a aristóteles
El tratamiento de la inconmensurabilidad numérica detonó cuestionamientos sobre las nociones del infinito y del continuo. Se muestra la confrontación entre las escuelas pitagórica y eleática así como la propuesta aristotélica.
TEMA 1 - TEMA 2 - TEMA 3 - TEMA 4 Cabal, L. (2003). Aproximación Histórica a los Conceptos de Infinito Matemático, Físico y Metafísico [Tesis de licenciatura]. Universidad del Valle. Cadavieco Castillo, M. J., (2002). Pitágoras y los números perfectos. Ingeniería, 6(2), 47-49. Copleston, F. C. (1977). Historia de la filosofía: Grecia y Roma. Ariel. Delgado, C. (2003). El modelo de Toulmin y la evolución del concepto de continuo en los clásicos griegos. Matemáticas: Enseñanza Universitaria, 91-127. https://bibliotecadigital.univalle.edu.co/bitstream/10893/4400/1/El%20modelo%20de%20Toulmin.pdf Larroyo, F. (1976). Filosofía de las matemáticas (1.a ed.). Editorial Porrúa, S.A. López, A. L. (2014). Berkeley : el origen de la crítica a los infinitesimales. Cuadernos Salmantinos de Filosofía, 41, 195-217. https://doi.org/10.36576/summa.33508 López, C. A. (2014). El infinito en la historia de la matemática. Ciencia y Tecnología, 1(14). https://studylib.es/doc/4851813/el-infinito-en-la-historia-de-la-matemática Medrano, I., & Pino-Fan, L. R. (2016). Estadios de Comprensión de la Noción Matemática de Límite Finito desde el Punto de Vista Histórico. Journal Of Research In Mathematics Education, 5(3), 287. https://doi.org/10.17583/redimat.2016.1854 Oñate, E. (2000). El bucle de los números. Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, 192. Universidad Politécnica de Cataluña.Pérez, J. (1984). Sobre los métodos en las matemáticas. Seminario Realizado en la ciudad de Tunja a lo largo del primer semestre de 1984. Tunja, Colombia. Rivadeneyra, R. (2019). Armonía y cosmos: proporciones geométricas y orden. En Música, matemática y gimnasia como remedios y profilácticos para el mal físico, moral y psicológico en Platón. (Tesis doctoral). Universidad Panamericana. (pp. 121-210). Sánchez, J. C., & Valdivé, C. (2011). El número irracional: un punto de vista epistemológico con interés didáctico. Revista Científica Teorías, Enfoques y Aplicaciones en las Ciencias Sociales, 4(8), 31-45. https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4735446.pdf
TEMA 5 - TEMA 6 Avicenna. (2010). The Physics of the Healing. https://www.amazon.com/Physics-Healing-English-Arabic-University-Translation/dp/0842527478 Espinosa, M. C. (2014). La solución de la ecuación de tercer grado según Omar Al-Khayyām. Potencialidades de su uso en la formación profesional de un profesor de matemáticas [Tesis de licenciatura, Universidad del Valle]. https://funes.uniandes.edu.co/wp-content/uploads/tainacan-items/32454/1146070/Espinosa2014La.pdf Gingerich, O. (1986). Islamic Astronomy. Scientific American, 254(4), 74-83. https://doi.org/10.1038/scientificamerican0486-74 Lohlker, R. (2019). Global History: Understanding Islamic Astronomy. ACTA VIA SERICA Vol. 4, No . 2, December, 4(2), 97-118. https://doi.org/10.22679/avs.2019.4.2.005 Rashed, R. (1994). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. En Boston studies in the philosophy of science. https://doi.org/10.1007/978-94-017-3274-1 TEMA 7 Caba, A. (1998). Algunas ventajas de la concepción estructuralista de la matemática. Contrastes Revista Internacional de Filosofía, 3. https://doi.org/10.24310/contrastescontrastes.v3i0.1560 Ezenarro, E. (2017). Lo que nos dio y no nos dio Bourbaki. THEORIA An International Journal For Theory History And Foundations Of Science, 32(1), 25. https://doi.org/10.1387/theoria.15199 Fraile, Á. R. (1998). El álgebra: del arte de la cosa a las estructuras abstractas. Dialnet (Universidad de la Rioja). https://dialnet.unirioja.es/servlet/libro?codigo=98906 Herstein, I. (1991). Álgebra abstracta. Kennedy, E. S. (1983). Studies in the Islamic Exact Sciences. En Medical Entomology and Zoology. American University of Beirut, Beirut. http://ci.nii.ac.jp/ncid/BA03280745 Mejías, C., & Alsina, Á. (2021). Desarrollo histórico-epistemológico del álgebra: evolución hacia distintos significados. Revista Digital Matemática Educación E Internet, 21(2). https://doi.org/10.18845/rdmei.v21i2.5607
eudoxo y arquímedes
En este tema se aborda lo siguiente: Concepciones Filosófico-Matemáticas
- Paradojas de Zenón:
- Estas paradojas sugieren que el movimiento es una ilusión debido a la necesidad de recorrer infinitos intervalos.
- Se exploran las ideas de Eudoxo y Arquímedes sobre el infinito y los límites.
- Se discuten las magnitudes inconmensurables y los números irracionales.
Cambio Metodológico
- La transición de una visión pitagórica (magnitudes como agregados de partes) a una visión sintética (magnitudes como totalidades manipulables).
- Teoría de las Proporciones de Eudoxo
- Eudoxo resolvió la crisis de los inconmensurables mediante la teoría de proporciones, evitando el cálculo numérico de magnitudes irracionales.
Método de Exhaución
- Este método permite aproximar magnitudes a través de sucesivas reducciones, logrando resultados finitos al calcular áreas, como el área de un círculo.
Contribuciones de Arquímedes
- Utilizó el método de exhaustión para calcular el área del círculo y desarrolló técnicas para aproximar el número pi.
- Su enfoque se basa en polígonos inscritos y circunscritos, usando la geometría para manejar magnitudes inconmensurables.
Diferencias entre enfoques Antiguo y Moderno
- La concepción del infinito en Arquímedes es potencial, mientras que en la matemática moderna se considera como un infinito actual.
- Arquímedes utilizó el método de exhaución como una técnica heurística, mientras que la matemática moderna usa límites formales.
La obra de Eudoxo y Arquímedes sentó las bases para el desarrollo de la geometría y el cálculo, influyendo en la forma en que se entienden las magnitudes y el infinito en la matemática contemporánea.
¿Sabías que...
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sitios web sobre filosofía y matemáticas
- Journal for the Philosophy of Mathematics
- Journal for the Philosophy of Mathematics's (JPM)
- Philosophy of Mathematics (SEP)
- Internet Encyclopedia of Philosophy (IEP)
- PhilPapers Philosophy of Mathematics
- Philosophy of Mathematics Archive
- La filosofía de las matemáticas de Aristóteles
¿Qué tienen en común la filosofía y las matemáticas?
Estructura formal de la mente
Filosofía de las matemáticas
filosofía del álgebra
En este tema se explora la filosofía y evolución del álgebra, destacando su transición desde la resolución de ecuaciones específicas hasta los reinos abstractos de grupos, anillos y campos. Se discuten figuras históricas clave como Abel y Galois, junto con conceptos fundamentales como permutaciones, grupos e isomorfismo, enfatizando las estructuras y relaciones matemáticas.
Filosofía y matemáticas
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Filosofía y matemáticas
serie 2026-1
Dr. J. Eduardo García Mendiola
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Filosofía y matemáticas
ÍNDICE
iNTRODUCCIÓN
Contenidos
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PLANIFICACIÓN
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AUTOR
serie 2026-1
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INTRODUCCIÓN
sobre este recurso digital
Una serie de exposiciones audiovisuales sobre las relaciones entre el pensamiento filosófico y el quehacer matemático, entrelazando las nociones de límite, infinito, lo continuo, lo discreto, lo abstracto y lo intuitivo. Recorremos la historia de estas relaciones desde la Grecia antigua hasta el Islam medieval. Luego nos introducimos al álgebra abstracta desde un enfoque estructuralista de las matemáticas.
Conocimientos previos
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autor
José Eduardo García Mendiola
Doctor en filosofía - Investigador y académico
Filosofía de las matemáticas, ciencias cognitivas, filosofía de la ciencia, fenomenología
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objetivos
01
02
generales
específicos
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competencias
02
01
03
específicas
generales
transversales
Filosofía y matemáticas
Filosofía de las matemáticas
Ética de la ciencia
serie 2026-1
filosofía y matemáticas
CONTENIDOS
M1
M2
pARTE 1
pARTE 2
1. De Tales de Mileto a Pitágoras
5. Filosofía matemática islámica I
2. Las magnitudes inconmensurables
6. Filosofía matemática islámica II
3. De Pitágoras a Aristóteles
7. Introducción a la filosofía del álgebra
4. Eudoxo y Arquímedes
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planificación temporal
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FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS
Bibliografía
BIBLIOGRAFÍA general de la asignatura
BIBLIOGRAFÍA específica por tema
webgrafía
Material adicional
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fin de la serie
filosofía matemática islámica I
En este tema se abordan las contribuciones de la filosofía matemática islámica medieval, destacando su relación con la filosofía aristotélica, neoplatónica y las obras de Euclides. Se enfoca en la concepción del infinito y el continuo, integrando la lógica aristotélica y la estructura axiomática euclidiana. Falsafa y Kalam
- Falsafa: Filosofía islámica inspirada en el pensamiento griego, que se desarrolló a través de la traducción y adaptación de obras de Aristóteles y el neoplatonismo.
- Kalam: Teología islámica que busca integrar la razón con la revelación del Corán, abordando temas como la naturaleza de Dios y la estructura del cosmos.
Contribuciones de Aristóteles y Neoplatonismo- Aristóteles: Su lógica y teorías de la causalidad influyeron en la Falsafa. Introdujo conceptos como el silogismo, las cuatro causas y el motor inmóvil.
- Neoplatonismo: Se centra en la emanación del Uno y la jerarquía de seres, enfatizando el retorno del alma al Uno a través de la purificación y la contemplación.
Racionalismo Islámico- Buscó un marco racional para los problemas teológicos y cosmológicos, integrando la lógica y la revelación. Los pensadores destacados incluyen a Al-Kindi, Al-Farabi, Avicena y Averroes.
Matemáticas en la Falsafa- Las matemáticas se consideran un puente entre la metafísica y la física, con un estatus intermedio en la jerarquía del conocimiento. La geometría euclidiana se convirtió en el modelo de razonamiento y demostración.
Debate sobre el Infinito y el Continuo- Kalam: Defiende el atomismo y la idea de un universo finito que requiere una causa primera, rechazando el infinito actual.
- Falsafa: Aboga por un continuo infinitamente divisible, argumentando que el universo puede ser eterno sin caer en paradojas lógicas.
El debate entre la Falsafa y el Kalam sobre la naturaleza del universo, el tiempo y la causalidad refleja una profunda interacción entre la filosofía y la teología islámicas, con implicaciones significativas en la comprensión del cosmos y la divinidad.conocimientos previos
Conocimientos básicos:
- Trigonomería
- Álgebra
- Geometría analítica
Conocimientos deseables:¿Cómo surgieron los números irracionales? ¿Qué es el infinito? ¿Qué es el continuo? ¿Qué es el álgebra abstracta?
+ info
La armonía pitagórica
Del agua al número y de las proporciones numéricas a las geométricas. El teorema de Tales y el teorema de Pitágoras. Aritmética y geometría.
Filosofía del álgebra
Evolución del álgebra y un enfoque estructuralista a la filosofía del álgebra, mostrando las bases del álgebra abstracta (moderna).
filosofía matemática islámica II
La construcción de la ciencia islámica medieval como la conjugación de filosofía y teología mediante las matemáticas.
Larroyo, F. (1976). Filosofía de las matemáticas (1.a ed.). Editorial Porrúa, S.A. Lohlker, R. (2019). Global History: Understanding Islamic Astronomy. ACTA VIA SERICA Vol. 4, No . 2, December, 4(2), 97-118. https://doi.org/10.22679/avs.2019.4.2.005 López, A. L. (2014). Berkeley : el origen de la crítica a los infinitesimales. Cuadernos Salmantinos de Filosofía, 41, 195-217. https://doi.org/10.36576/summa.33508 López, C. A. (2014). El infinito en la historia de la matemática. Ciencia y Tecnología, 1(14). https://studylib.es/doc/4851813/el-infinito-en-la-historia-de-la-matemática Medrano, I., & Pino-Fan, L. R. (2016). Estadios de Comprensión de la Noción Matemática de Límite Finito desde el Punto de Vista Histórico. Journal Of Research In Mathematics Education, 5(3), 287. https://doi.org/10.17583/redimat.2016.1854 Mejías, C., & Alsina, Á. (2021). Desarrollo histórico-epistemológico del álgebra: evolución hacia distintos significados. Revista Digital Matemática Educación E Internet, 21(2). https://doi.org/10.18845/rdmei.v21i2.5607 Oñate, E. (2000). El bucle de los números. Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, 192. Universidad Politécnica de Cataluña. Pérez, J. (1984). Sobre los métodos en las matemáticas. Seminario Realizado en la ciudad de Tunja a lo largo del primer semestre de 1984. Tunja, Colombia. Rashed, R. (1994). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. En Boston studies in the philosophy of science. https://doi.org/10.1007/978-94-017-3274-1 Rivadeneyra, R. (2019). Armonía y cosmos: proporciones geométricas y orden. En Música, matemática y gimnasia como remedios y profilácticos para el mal físico, moral y psicológico en Platón. (Tesis doctoral). Universidad Panamericana. (pp. 121-210). Sánchez, J. C., & Valdivé, C. (2011). El número irracional: un punto de vista epistemológico con interés didáctico. Revista Científica Teorías, Enfoques y Aplicaciones en las Ciencias Sociales, 4(8), 31-45. https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4735446.pdf
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las magnitudes inconmensurables
El surgimiento de los números irracionales se remonta a la ruptura de paradigma que tuvo lugar con el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables por los pitagóricos.Ellos encontraron una solución mediante la geometrización de la aritmética.
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objetivos generales
1. Identificar los orígenes de los números irracionales. 2. Mostrar el contraste filosófico y matemático entre las Escuelas eleática y pitagórica. 3. Comprender la concepción aristotélica del infinito y de la continuidad. 4. Identificar las aportaciones de Eudoxo y de Arquímedes. 5. Explicar los debates ontológicos y el papel de la matemática en la filosofía y la ciencia islámicas medievales. 6. Identificar las dimensiones del Álgebra. 7. Comprender la noción de estructura como base del álgebra abstracta.
De Tales a Pitágoras
Este tema se centra en las contribuciones de la Escuela de Mileto y la Escuela Pitagórica, destacando su influencia en la teoría musical y la geometría, especialmente en trigonometría. Escuela de Mileto.
- Los filósofos jonios, como Tales, Anaximandro y Anaxímenes, buscaban explicaciones no mitológicas del universo.
- Tales consideraba el agua como el principio de todas las cosas, mientras que Anaximandro propuso el "ápeiron" (lo indefinido) como origen de todo.
- Anaxímenes identificó el aire como la sustancia fundamental.
- La ciencia y las matemáticas surgieron en Grecia con un enfoque naturalista, desarrollando la geometría y la aritmética.
Aportaciones de Tales de Mileto- Fundador de la Escuela de Mileto y conocido por el teorema de Tales y otras proposiciones geométricas.
- Estableció principios fundamentales de la geometría que serían utilizados más tarde por Euclides.
Escuela Pitagórica- Fundada por Pitágoras, quien creía que "todo es número" y que el mundo físico estaba estructurado en patrones numéricos.
- La escuela incluía tanto iniciados (matemáticos) como novicios (acusmáticos).
- Pitágoras y sus seguidores exploraron la relación entre números y fenómenos naturales, destacando conceptos como los números perfectos.
Teoremas y Conceptos Clave- Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
- Números Perfectos: Números cuya suma de divisores (excluyendo el propio número) es igual al número mismo.
- Relaciones Musicales: Los pitagóricos identificaron relaciones armónicas en la música basadas en proporciones numéricas, como la octava, la quinta y la cuarta.
La Escuela Pitagórica y la Escuela de Mileto sentaron las bases de la matemática y la filosofía, influyendo en el desarrollo de la ciencia y la música a través de sus descubrimientos y teorías.filosofía matemática islámica II
En este tema se profundiza en las intersecciones entre las matemáticas y la filosofía en el pensamiento islámico medieval, destacando el álgebra geométrica de Omar Khayyam para resolver ecuaciones cúbicas, los avances en la astronomía islámica que refinaron el sistema ptolemaico y las críticas filosóficas que distinguen el razonamiento matemático de la filosofía especulativa.
filosofía matemática islámica
Las nociones del infinito y del continuo fueron detonantes de importantes discusiones que derivaron en la identificación del estatus de la ciencia y la filosofía islámica medievales.
objetivos específicos
1. Identificar el contexto histórico de la ciencia en la Grecia antigua, a través de sus principales representantes. 2. Identificar los orígenes de los números irracionales en la geometría griega y su impacto en la cosmovisión pitagórica. 3. Describir los métodos para aproximar números irracionales como raíces cuadradas. 4. Mostrar el contraste filosófico y matemático entre las Escuelas eleática y pitagórica. 5. Explicar las principales paradojas de Zenón. 6. Comprender la concepción aristotélica del Infinito y de la continuidad. 7. Comprender la teoría de las proporciones, de Eudoxo, así como su método de exhaución. 8. Identificar las aportaciones de Arquímedes a la geometría. 9. Comprender el contraste entre las escuelas de la Falsafa y la del Kalam, así como las influencias aristotélicas y eculidianas a través del Burhán.
10. Explicar los debates ontológicos entre el atomismo y el continuo. 11. Identificar las relaciones entre la causalidad y la Teología islámica medieval. 12. Reconocer las aportaciones de la ciencia islámica al álgebra y a la astronomía. 13. Identificar las dimensiones del Álgebra, así como su evolución. 14. Comprender el concepto de un grupo y distinguirlo de un conjunto. 15. Comprender las bases de la teoría de grupos con un enfoque estructuralista. 16. Identificar isomorfismos entre grupos, así como algunas de sus aplicaciones.
Límite e infinito
Estas nociones fueron geométricamente operadas por Eudoxo y Arquímedes a partir del "método de exhaución", detonante del Cálculo integral.
de pitágoras a aristóteles
En este tema se exploran las nociones filosóficas del infinito y el continuo, comenzando con la ruptura de paradigma provocada por el descubrimiento de los números irracionales por los pitagóricos. Se comparan las concepciones de la escuela pitagórica y la escuela de Elea, destacando la influencia de Zenón de Elea en la filosofía y la matemática. Números Irracionales
- Pitagóricos: Creían que todo fenómeno podía ser explicado mediante números naturales y proporciones. Su visión se basaba en la armonía y la relación entre números y magnitudes geométricas.
- Descubrimiento de Hipaso: Reveló magnitudes inconmensurables, como la diagonal de un cuadrado, que no pueden expresarse como una razón de números naturales, lo que desafió la visión pitagórica.
- Alogos: Se refiere a los números irracionales, considerados como "lo inexpresable".
Paradojas de Zenón Objetivo: Cuestionar la posibilidad del movimiento y la divisibilidad infinita del espacio y el tiempo. Paradojas Clave- Aquiles y la tortuga: Aquiles nunca puede alcanzar a la tortuga debido a la necesidad de recorrer una infinidad de puntos.
- Dicotomía: Para recorrer una distancia finita, se debe completar una serie infinita de mitades, lo que parece imposible.
- Flecha: Una flecha en vuelo ocupa un espacio igual a sí misma en cada instante, sugiriendo que no se mueve.
- Estadio: Contradicciones en el movimiento relativo entre filas en un estadio, mostrando la confusión entre unidades de tiempo y espacios indivisibles.
Aristóteles y el Infinito- Infinito Potencial vs. Actual: Aristóteles distingue entre el infinito que puede ser alcanzado (potencial) y el infinito como un conjunto completo (actual), que él rechaza.
- Continuidad: Define lo continuo como algo que carece de interrupciones y que está formado por partes reales, no indivisibles.
Comparación de Concepciones- Pitagóricos: El continuo es armónico y divisible, pero compuesto de puntos indivisibles.
- Zenón: Argumenta que el movimiento es ilusorio bajo su lógica de divisibilidad infinita.
- Aristóteles: Propone que el continuo es potencialmente divisible, pero está compuesto de partes reales y que el movimiento es continuo, no basado en instantes estáticos.
Las nociones de infinito y continuo evolucionaron desde los pitagóricos hasta Aristóteles. Las paradojas de Zenón desafiaron la comprensión del movimiento y el espacio, contribuyendo a la necesidad de aclarar conceptos en el ámbito de la matemática y de la filosofía.las magnitudes inconmensuraBLES
En este tema se exploran los orígenes de los números irracionales y su impacto en la filosofía y matemáticas griegas, especialmente en la cosmovisión pitagórica. A continuación se presenta un resumen de los puntos clave: Contexto Filosófico
- Se discute la noción de logos, que representa la relación entre el cosmos y la razón, y cómo esta idea es fundamental para comprender el universo y el cambio.
- Heráclito y Pitágoras representan figuras clave: Heráclito enfatiza el cambio y el equilibrio, mientras que Pitágoras ve el universo en términos numéricos y busca lo inmutable.
Números Irracionales- Se introduce el concepto de conmensurabilidad: dos magnitudes son conmensurables si pueden expresarse como una razón de números naturales.
- Se enfatiza el descubrimiento de magnitudes inconmensurables, como la raíz cuadrada de dos, que desafió la creencia pitagórica de que todo podía ser medido con números naturales.
Impacto en la Matemática- El descubrimiento de los números irracionales, atribuido a Hipaso de Metaponto, causó una crisis en la filosofía pitagórica, que sostenía que el universo era explicable únicamente por números naturales.
- Se discuten contribuciones de otros matemáticos como Eudoxo y Euclides, quienes abordaron las proporciones sin depender de la conmensurabilidad.
Armonía y Cosmogonía- La armonía es un concepto central en la filosofía pitagórica, donde se considera que el cosmos es inherentemente ordenado y bello.
- Se exponen las proporciones musicales y la relación entre números y armonía.
Aproximaciones históricas- Se aborda cómo civilizaciones antiguas, como los egipcios y mesopotámicos, hicieron aproximaciones a números irracionales en problemas prácticos.
- Arquímedes y su método de agotamiento para calcular el número pi se destacan como ejemplos de la búsqueda de comprensión de magnitudes irracionales.
La ruptura del paradigma pitagórico fue significativa, ya que reveló limitaciones en la comprensión matemática y filosófica de su tiempo. De ahí la importancia de los números irracionales en la evolución del pensamiento matemático.de pitágoras a aristóteles
El tratamiento de la inconmensurabilidad numérica detonó cuestionamientos sobre las nociones del infinito y del continuo. Se muestra la confrontación entre las escuelas pitagórica y eleática así como la propuesta aristotélica.
TEMA 1 - TEMA 2 - TEMA 3 - TEMA 4 Cabal, L. (2003). Aproximación Histórica a los Conceptos de Infinito Matemático, Físico y Metafísico [Tesis de licenciatura]. Universidad del Valle. Cadavieco Castillo, M. J., (2002). Pitágoras y los números perfectos. Ingeniería, 6(2), 47-49. Copleston, F. C. (1977). Historia de la filosofía: Grecia y Roma. Ariel. Delgado, C. (2003). El modelo de Toulmin y la evolución del concepto de continuo en los clásicos griegos. Matemáticas: Enseñanza Universitaria, 91-127. https://bibliotecadigital.univalle.edu.co/bitstream/10893/4400/1/El%20modelo%20de%20Toulmin.pdf Larroyo, F. (1976). Filosofía de las matemáticas (1.a ed.). Editorial Porrúa, S.A. López, A. L. (2014). Berkeley : el origen de la crítica a los infinitesimales. Cuadernos Salmantinos de Filosofía, 41, 195-217. https://doi.org/10.36576/summa.33508 López, C. A. (2014). El infinito en la historia de la matemática. Ciencia y Tecnología, 1(14). https://studylib.es/doc/4851813/el-infinito-en-la-historia-de-la-matemática Medrano, I., & Pino-Fan, L. R. (2016). Estadios de Comprensión de la Noción Matemática de Límite Finito desde el Punto de Vista Histórico. Journal Of Research In Mathematics Education, 5(3), 287. https://doi.org/10.17583/redimat.2016.1854 Oñate, E. (2000). El bucle de los números. Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, 192. Universidad Politécnica de Cataluña.Pérez, J. (1984). Sobre los métodos en las matemáticas. Seminario Realizado en la ciudad de Tunja a lo largo del primer semestre de 1984. Tunja, Colombia. Rivadeneyra, R. (2019). Armonía y cosmos: proporciones geométricas y orden. En Música, matemática y gimnasia como remedios y profilácticos para el mal físico, moral y psicológico en Platón. (Tesis doctoral). Universidad Panamericana. (pp. 121-210). Sánchez, J. C., & Valdivé, C. (2011). El número irracional: un punto de vista epistemológico con interés didáctico. Revista Científica Teorías, Enfoques y Aplicaciones en las Ciencias Sociales, 4(8), 31-45. https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4735446.pdf
TEMA 5 - TEMA 6 Avicenna. (2010). The Physics of the Healing. https://www.amazon.com/Physics-Healing-English-Arabic-University-Translation/dp/0842527478 Espinosa, M. C. (2014). La solución de la ecuación de tercer grado según Omar Al-Khayyām. Potencialidades de su uso en la formación profesional de un profesor de matemáticas [Tesis de licenciatura, Universidad del Valle]. https://funes.uniandes.edu.co/wp-content/uploads/tainacan-items/32454/1146070/Espinosa2014La.pdf Gingerich, O. (1986). Islamic Astronomy. Scientific American, 254(4), 74-83. https://doi.org/10.1038/scientificamerican0486-74 Lohlker, R. (2019). Global History: Understanding Islamic Astronomy. ACTA VIA SERICA Vol. 4, No . 2, December, 4(2), 97-118. https://doi.org/10.22679/avs.2019.4.2.005 Rashed, R. (1994). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. En Boston studies in the philosophy of science. https://doi.org/10.1007/978-94-017-3274-1 TEMA 7 Caba, A. (1998). Algunas ventajas de la concepción estructuralista de la matemática. Contrastes Revista Internacional de Filosofía, 3. https://doi.org/10.24310/contrastescontrastes.v3i0.1560 Ezenarro, E. (2017). Lo que nos dio y no nos dio Bourbaki. THEORIA An International Journal For Theory History And Foundations Of Science, 32(1), 25. https://doi.org/10.1387/theoria.15199 Fraile, Á. R. (1998). El álgebra: del arte de la cosa a las estructuras abstractas. Dialnet (Universidad de la Rioja). https://dialnet.unirioja.es/servlet/libro?codigo=98906 Herstein, I. (1991). Álgebra abstracta. Kennedy, E. S. (1983). Studies in the Islamic Exact Sciences. En Medical Entomology and Zoology. American University of Beirut, Beirut. http://ci.nii.ac.jp/ncid/BA03280745 Mejías, C., & Alsina, Á. (2021). Desarrollo histórico-epistemológico del álgebra: evolución hacia distintos significados. Revista Digital Matemática Educación E Internet, 21(2). https://doi.org/10.18845/rdmei.v21i2.5607
eudoxo y arquímedes
En este tema se aborda lo siguiente: Concepciones Filosófico-Matemáticas
- Paradojas de Zenón:
- Estas paradojas sugieren que el movimiento es una ilusión debido a la necesidad de recorrer infinitos intervalos.
- Se exploran las ideas de Eudoxo y Arquímedes sobre el infinito y los límites.
- Se discuten las magnitudes inconmensurables y los números irracionales.
Cambio Metodológico- La transición de una visión pitagórica (magnitudes como agregados de partes) a una visión sintética (magnitudes como totalidades manipulables).
- Teoría de las Proporciones de Eudoxo
- Eudoxo resolvió la crisis de los inconmensurables mediante la teoría de proporciones, evitando el cálculo numérico de magnitudes irracionales.
Método de Exhaución- Este método permite aproximar magnitudes a través de sucesivas reducciones, logrando resultados finitos al calcular áreas, como el área de un círculo.
Contribuciones de Arquímedes- Utilizó el método de exhaustión para calcular el área del círculo y desarrolló técnicas para aproximar el número pi.
- Su enfoque se basa en polígonos inscritos y circunscritos, usando la geometría para manejar magnitudes inconmensurables.
Diferencias entre enfoques Antiguo y Moderno- La concepción del infinito en Arquímedes es potencial, mientras que en la matemática moderna se considera como un infinito actual.
- Arquímedes utilizó el método de exhaución como una técnica heurística, mientras que la matemática moderna usa límites formales.
La obra de Eudoxo y Arquímedes sentó las bases para el desarrollo de la geometría y el cálculo, influyendo en la forma en que se entienden las magnitudes y el infinito en la matemática contemporánea.¿Sabías que...
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En este tema se explora la filosofía y evolución del álgebra, destacando su transición desde la resolución de ecuaciones específicas hasta los reinos abstractos de grupos, anillos y campos. Se discuten figuras históricas clave como Abel y Galois, junto con conceptos fundamentales como permutaciones, grupos e isomorfismo, enfatizando las estructuras y relaciones matemáticas.