Fraktale
Wonders of Nature
Start your journey
Grunder Tobias, Liechti Mateo
IDPA BM2TALS-S2025f
Abstract
Diese Arbeit untersucht natürliche Phänomene mit fraktalen Eigenschaften. Ausgangspunkt war die Fragestellung: In welchem bisher nicht gross beschriebenen Bereich der Natur, in dem fraktale Eigenschaften auftreten, können wir uns spezialisieren, und wie können wir diese Fraktale beschreiben und nachbauen? Nach einer Einführung in die Grundlagen der Fraktalgeometrie wurden Metalldendriten sowie das Ringsystem des Saturn als Spezialisierungsbereiche ausgewählt. Die Strukturen wurden anhand von Bildanalysen untersucht und ihre fraktalen Eigenschaften systematisch beschrieben. Anschliessend erfolgte eine digitale Rekonstruktion mit der 3D-Software Blender, wobei iterative Verfahren zur Modellierung der Selbstähnlichkeit eingesetzt wurden. Die Ergebnisse zeigen, dass beide untersuchten Phänomene klare fraktale Merkmale aufweisen und sich in vereinfachter Form erfolgreich nachbilden lassen. Damit wird deutlich, dass Fraktale nicht nur theoretische Konstruktionen sind, sondern auch in realen physikalischen Systemen auftreten und mathematisch und in Worten beschreibbar sind.
Was haben all diese...
gemeinsam?
Die Struktur kann durch Fraktale erklärt werden!
Julia Set
Schneeflocke
Romanesco
Küstenlinie
Gehirn
Mendelbrot-Menge
Gemeinsames Merkmal: Selbstähnlichkeit
Menü
Fazit
Abstract
Objekt 2
Quellen
Beispiele
Einleitung
Fragestellung
Auswahl
Objekt 1
Methode
Dimensionen
Fraktale
Selbstähnlickeit
Einleitung
Bevor wir zum spassigen Teil kommen, warum machen wir das eigentlich?
Wir alle haben in der Natur bereits faszinierende Strukturen gesehen – Küstenlinien, Schneeflocken, Pflanzen, Blutgefässe oder Wolkenformationen. Auf den ersten Blick wirken diese Formen chaotisch oder zufällig. Betrachtet man sie jedoch genauer, erkennt man, dass sie bestimmten Mustern folgen.
Viele dieser Strukturen lassen sich mithilfe von Fraktalen beschreiben.
Fraktale sind kein rein theoretisches mathematisches Konzept, sondern ein Werkzeug, mit dem reale Strukturen modelliert und analysiert werden können. Sie spielen eine Rolle in der Biologie, der Medizin, der Geologie, der Computergrafik und vielen weiteren Bereichen.
Abb 7:Benoît B. Mandelbrot
Vater der fraktalen Geometrie
Erarbeitung der Fragestellung
Wir alle haben in der Natur bereits faszinierende Strukturen gesehen – Küstenlinien, Schneeflocken, Pflanzen, Blutgefässe oder Wolkenformationen. Auf den ersten Blick wirken diese Formen chaotisch oder zufällig. Betrachtet man sie jedoch genauer, erkennt man, dass sie bestimmten Mustern folgen. Denn viele dieser Strukturen sind fraktal. Fraktale sind kein rein theoretisches mathematisches Konzept, sondern ein Werkzeug, mit dem reale Strukturen modelliert und analysiert werden können. Sie spielen eine Rolle in der Biologie, der Medizin, der Geologie, der Computergrafik und vielen weiteren Bereichen. Bei unserer Recherche in Büchern und im Internet ist uns aufgefallen, dass häufig immer wieder dieselben Beispiele für Fraktale genannt werden. Oft handelt es sich dabei um sehr abstrakte mathematische Konstruktionen oder um Strukturen, die nur mit viel Interpretation als Fraktale bezeichnet werden können. Dadurch stellte sich für uns eine neue Frage: Müssen Fraktale immer stark abstrakt sein oder gibt es auch Beispiele aus der Natur, die klar erkennbar, nachvollziehbar und dennoch mathematisch beschreibbar sind? Uns wurde schnell bewusst, dass es kaum realistisch ist, ein völlig neues Fraktal zu entdecken. Stattdessen wollten wir einen Bereich finden, in dem fraktale Eigenschaften auftreten, der jedoch nicht zu theoretisch oder konstruiert wirkt.
Und so kam unsere Fragestellung zustande: In welchem bisher nicht gross beschriebenen Bereich der Natur, in dem fraktale Eigenschaften auftreten, können wir uns spezialisieren, und wie können wir diese Fraktale beschreiben und nachbauen?
Methode
Um die Fragestellung beantworten zu können, haben wir uns entschieden am Anfang grösstenteils zu recherchieren. Dies auf verschiedenen Websites, in Videos und in Büchern, um einen Überblick über die verschiedenen Bereiche zu erhalten. So konnten wir uns dann für spezifische Beispiele entscheiden, welche wir dann genauer untersuchten und nachbauen konnten. Für die Art der Arbeit haben wir uns entschieden eine Webstite mit Genially zu erstellen, da so die Interaktivität und die Visualisierungsmöglichkeiten gegeben sind, welches für die Darstellung von Fraktalen sehr wichtig ist. Um die natürlichen Phänomene mit fraktalen Eigen-schaften nachzukonstruieren, wurde schnell klar, dass Blender ein sehr geeignetes Tool dafür ist. Zum einen, da wir dies bereits kennen und auch, da es sehr viele verschiedene Möglichkeiten bietet, um an ein jeweiliges Ziel zu kommen. Zusätzlich gibt es in Blender die Möglichkeit die Szenen durch Konfiguration von Materialien und Beleuchtung realistischer aussehen zu lassen, was Modelle viel ansprechender macht, als rein geometrische Formen.
Einführung Fraktale
Fraktale sind geometrische Muster, die selbstähnlich sind und wessen Dimension nicht eine Ganzzahl ist.
Um Fraktale zu verstehen, müssen daher die Begriffe Selbstähnlichkeit und Dimension genauer betrachtet werden.
Natürliche
Selbsähnlichkeit
Beispiele
Theorie
Mathematische
Dimensionen
Selbstähnlichkeit
Selbstähnlichkeit: Ein Muster ist dann selbstähnlich, wenn die Elemente, aus welchen es besteht, dem Originalmuster ähnlich (gleich in Form, aber nicht zwingend in Grösse) sind.
Das bedeutet: Wenn man einen kleinen Ausschnitt vergrössert, erkennt man wieder eine ähnliche Struktur wie im Gesamtbild. Man unterscheidet verschiedene Arten von Selbstähnlichkeit:
- Exakte Selbstähnlichkeit: Die Teilstrukturen sind identisch zum Ganzen (z. B. das Sierpinski-Dreieck).
- Statistische Selbstähnlichkeit: Die Muster ähneln sich nur ungefähr (z.B. bei Wolken).
- Quasi-Selbstähnlichkeit: Die Wiederholung ist leicht verändert oder verzerrt. (z.B. Broccoli)
Selbstähnlichkeit kommt nicht nur in der Mathematik vor, sondern auch häufig in der Natur. Beispiele sind Farnblätter, Romanesco-Kohl oder Schneeflocken. Diese Strukturen wirken komplex, beruhen aber auf wiederholten Mustern.
Dimensionen
(Bild 2) Wird eine Linie halbiert, entstehen zwei selbstähnliche Linien mit dem Skalierungsfaktor 1/2 – die Länge/ Masse wird halbiert. (Bild 2) Beim Quadrat führt die Halbierung in Breite und Höhe zu vier kleineren Quadraten: Die Seitenlänge wird mit 1/2 skaliert, die Fläche/ Masse mit 1/4. (Bild 3) Beim Würfel entstehen durch drei Halbierungen acht kleinere Würfel: Die Kantenlänge wird mit 1/2, das Volumen/ Masse mit 1/8 skaliert. Allgemein gilt: Die Grössenskalierung entspricht r^d (Skalierungsfaktor hoch Dimension). (Bild 4) Am Beispiel des Sierpinski-Dreiecks zeigt sich, dass Fraktale eine nicht-ganzzahlige Dimension besitzen: Mit Skalierungsfaktor 1/2 entstehen 3 selbstähnliche Teile, woraus sich ergibt: Das Sierpinski-Dreieck ist ein 1.585-dimensionales Fraktal.
Abb 9
Beispiele
Mathematische Beispiele
Mathematische Fraktale entstehen durch klar definierte Regeln oder Formeln. Sie sind exakt selbstähnlich und theoretisch unendlich fortsetzbar.
Nebst dem bereits beschriebenen Sierpinski-Dreieck gibt es noch viele weitere mathematische Fraktale. Ein Weiteres, das in ähnlicher Weise erstellt werden kann, ist die koch'sche Schneeflocke.
Bei der koch'schen Schneeflocke wird das gleichschenklige Dreieck gleich oft mals kopiert, wie Seiten vorhanden sind, um den Faktor 1/3 skaliert und anschliessend in die Mitte der Seiten plaziert. Danach wird iteriert.
Beispiele
Mathematische Beispiele
Die nach Benoît B. Mandelbrot – Vater der Fraktal-Geometrie – benannte Mandelbrot-Menge ist eines der ersten computergenerierten Fraktale.
Fraktale können auch im dreidimensionalen Raum vorkommen, was an dieser in Blender selbst erstellten (nicht im Rahmen der IDPA) sogennanten Mandelknolle zu sehen ist:
Die Erstellung der Mandelbrot-Menge ist etwas komplzierter und benötigt für das Verstehen Kentnisse der komplexen Zahlen ℂ.
Abb 13: Mandelknolle
3D
Abb 3: Mandelbrot-Menge
Cooles Video
Beispiele
Natürliche Beispiele
Ein Bereich der Natur, worin oft fraktale Eigenschaften zu sehen sind, ist die Pflanzenwelt.
Weitere Interessante Beispiele:
Untersuchung natürlicher Fraktale
Eigenanteil der IDPA
Um in der Natur vorkommende Phänomene auszuwählen, welche sich eignen, mit Blender nachzukonstruieren, muss aufgepasst werden, dass Phänomene gewählt werden, welche tatsächlich eine gewisse Selbstähnlichkeit aufweisen – unendliche wahre Selbstähnlichkeit, wie bei den mathematischen Fraktalen, ist in der Natur nicht zu finden, da hier Limits in der Auflösung auftauchen, wie z.B. wenn Atome erreicht werden.
Vorgehen
Suche
Auswahl
Analyse
Nachbau
Vergleich
Beispielsuche
Wie haben wir passende Beispiele gesucht?
Es gibt viele Beispiele, die sogar auf Seiten wie Wikipedia als natürlichen Phänomene mit fraktalen Eigenschaften gelistet werden, welche aber weder eine gewisse Selbstähnlichkeit aufweisen, noch eine nichtganzzahlige Dimension haben, weshalb solche Phänomene in unseren Augen nicht als Fraktale bezeichnet werden sollten. Solche Beispiele sind z.B. Honigwaben oder Basaltsäulen, welche ein regelmässiges Muster aufweisen, aber nicht selbstähnlich sind, da die Elemente, aus welchen sie bestehen, nicht dem Originalmuster ähnlich sind.
Was wir brauchen:
-Selbstähnlichkeit
-seltenes Beispiel
-Machbarkeit/ Aufwand auf Blender
Auswahl
Zwei Naturphänomene
Metalldentriten
in Lithium-Ionen-Batterien
Wie sie entstehen
Analyse
3D-Design
3D-Design
Wie wirs gemacht haben
Um die Dentriten in Blender zu erstellen, wurde zuerst ein Würfel ein-gefügt und dieser in der Z-Achse um das 10-fache skaliert, um den zentralen Stamm zu erhalten. Um die Selbstähnlichkeit zu erreichen, wurde mit Geometry Nodes gearbeitet. Diese erlauben es, die Geometrie eines Objekts zu verändern, indem verschiedene Operationen als Nodes miteinander verknüpft werden. Zuerst wird der zentrale Stamm viermal genommen und leicht in jeweils X;-X; Y;-Y Richtung verschoben, rotiert und skaliert, damit die neuen kleineren Stämme schräg nach oben schauen. Zusammen ergibt dies die Node Gruppe 1
Abb. 28: Node Gruppe 1
3D-Design
Abb. 29: Node Gruppe 2
Anschliessend wird die Node Gruppe 1 viermal kopiert und jede davon verschieden stark in Z-Richtung verschoben, um die an verschiedenen Höhen abspaltende Dentriten zu erhalten.Um etwas Imperfektion hereinzubringen, wie bei Dendriten aus der Natur, wurden einige dieser abspaltenden Stämme entfernt. Um das Ganze etwas übersichtlicher zu machen wurde die Node Gruppe 1, sowie dessen Kopien in jeweils einen Node zusammengefügt. Wiederum diese zusammen ergeben die Node Gruppe 2.
Damit das ganze nun für mehr als eine Iteration selbstähnlich ist, wurde das Ganze in einen Repeat-Node gepackt, wobei hier die Anzahl Iterationen auf 4 gesetzt wurde.
Abb. 30: Node Gruppe 2.1
3D-Design
Die gesamten Geometry Nodes zusammen unverpackt sehen folgendermassen aus:
Zum Ergebnis
Abb. 31: Gesamte Nodes
After-Effects
Video
Vergleich
Abb. 32: Gerenderte Metalldendriten
Ringsystem
des Saturn
Analyse
3D-Design
Wie sie entstehen
3D-Design
Wie wirs gemacht haben
Da das tatsächliche Ringsystem des Saturn sehr komplex ist, haben wir uns entschieden, eine vereinfachte Version davon zu erstellen, welche aber dennoch fraktale Eigenschaften aufweist: Konzentrische Ringe, wobei die äusseren Ringe mit jeder Iteration dünner werden. Auch hier wurde mit Geometry Nodes gearbeitet: Zuerst wurde ein Kreis erstellt und diesen nach aussen extrudiert um einen Kreisring zu erhalten. Dies wurde anschliessend in einen Repeat-Node gesetzt. Um nun die äusseren Ringe zu erhalten, wurde eine Node Gruppe erstellt (übersichthalber verpackt), welche mit jeder Iteration den Radius, die Distanz des Extrudierens und die Grösse der Lücke zwischen den Ringen verändert.
Abb 36: Ringe des Saturn eingefärbt
Abb 37: Geometry Nodes Ringystem
3D-Design
Die Node Gruppe, welche die Veränderungen der Ringe mit jeder Iteration vornimmt, funk-tioniert folgendermassen: Um auf den neuen Radius für die nächste Iteration zu kommen, wird der aktuelle Radius genommen, und die Distanz des Extrudierens addiert. Auch addiert wird noch ein zusätzlicher Wert, damit eine Lücke zum vorherigen Kreisring entsteht. Zuerst wird dieser Wert aber noch mit einem Skalierungsfaktor multipliziert, damit die Lücke mit jeder Iteration kleiner wird. Um auf neue Distanz des Extru-dierens der nächsten Iteration zu kommen, wird lediglich der Wert der aktuellen Iteration genommen und mit dem selben Skalierungs-faktor multipliziert, wie der Abstand zwischen den Ringen, damit dieser Abstand und die Breite des jeweils neuen Rings um den selben Faktor kleiner werden relativ zum jeweils vorherigen Ring.
Abb 38: Math Node Gruppe
Zum Ergebnis
Abb 39: Ringsystem um Saturn
Video
Vergleich
After- Effects
Fazit
Und noch zum Schluss:
Beantwortung der Fragenstellung
Schwachstellen und Nutzen
Persönliches Fazit
Unsere Gedanken...
Abb 41: Tobias Grunder
Abb 42: Mateo Liechti
Quellen
Unsere wichtigsten Quellen:
Metalldendriten
Ringsystem
Fraktale
Quellen, Abbildungsverzeichnis und die Eigenständigkeitserklärung sind hier:
After-Effects
Damit das Endresultat auch wie Metall aussieht – wir haben uns für Kupfer entschieden – wurde noch ein Material erstellt, bei welchem die Farbe und Rauheit konfiguriert wurde. Um ein Bild zu erhalten, wurde die Kamera geeignet positioniert, Beleuchtung zur Szene hinzugefügt und das Bild bei einer Auflösung von 4K gerendert.
Wie entstehen die Ringe des Saturns?
Das Ringsystem des Saturn besteht aus unzähligen kleinen Partikeln, welches von weitem betrachtet, wie konzentrische Ringe aussieht. Diese Partikel bestehen aus Eis und Gestein, welche in der Grösse von Staub, hin bis zu mehreren Metern reichen. Es wird angenommen, dass diese Partikel Überreste von Monden oder Kometen sind, welche durch die Gravitation des Saturns zerrissen wurden. Die Struktur der Ringe ist jedoch nicht vollkommen gleichmäßig. Durch die Gravitationskräfte des Saturns und seiner Monde entstehen Lücken, Verdichtungen und feine Unterteilungen innerhalb des Ringsystems. Besonders sogenannte Schäfermonde beeinflussen die Form einzelner Ringbereiche und sorgen für klar abgegrenzte Strukturen.
Saturn und sein Ringe fotografiert von Voyager 2, 1981.
In dieser beeindruckenden Aufnahme des prächtigen Ringsystems des Planeten sind Details der eisigen Ringe zu sehen. Fotografiert von der Sonde Cassini aus ca. 1,1 Millionen Kilometer Entfernung.
Vergleich Natur vs Render
Wenn man nicht gut weiss, wie Metalldendriten aussehen, könnte es schwierig sein, diese in unserer Rekonstruktion wiederzuerkennen. Auch haben wir uns beim konstruieren häufig gedacht, dass es wie ein Baum aussieht. Dies bedeutet aber nicht, dass die Visualiserung misslungen ist, da beim Vergleich von Bäumen und Metalldendriten in der Natur durchaus Ähnlichkeiten zu sehen sind. Was sicherlich hilft um klarer zu machen, dass es sich um Metalldendriten handelt, ist die Materialwahl, woduch klar wird, dass es sich um etwas metallenes handelt. Zuerst haben wir den zentralen Stamm so erstellt, dass er gegen oben spitzer wird, wie Darstellungen von Dendriten oft zeigen. Wir haben uns aber für das Gegenteil entschiedenkommt ebenfalls vor– was eine gute Entscheidung war da so an den Enden der Stämme die eckige Kristallstruktur besser zu sehen ist, was für Dendriten charakteristisch ist. Grunsätzlich erfüllt das Modell alle wichtigen Eigenschaften von allgemeinen Metalldendriten, welche bei der Analyse beschrieben wurden, weshalb wir mit dem Resultat zufrieden sind.
Abb. 32: Schematische Darstellung einer Lithium-Metall-Batterie mit Dendrit.
Wie entstehen die Ringe des Saturns?
Das Ringsystem des Saturn besteht aus unzähligen kleinen Partikeln, welches von weitem betrachtet, wie konzentrische Ringe aussehen. Diese Partikeln bestehen aus Eis und Gestein, welche in der Grösse von Staub, hin bis zu mehreren Metern reichen. Es wird angenommen, dass diese Partikeln Überreste von Monden oder Kometen sind, welche durch die Gravitation des Saturns zerrissen wurden. Die Struktur der Ringe ist jedoch nicht vollkommen gleichmässig. Durch die Gravitationskräfte des Saturns und seiner Monde entstehen Lücken, Verdichtungen und feine Unterteilungen innerhalb des Ringsystems. Besonders sogenannte Schäfermonde beeinflussen die Form einzelner Ringbereiche und sorgen für klar abgegrenzte Strukturen.
Abb. 33: Saturn und sein Ringe fotografiert von Voyager 2, 1981.
Abb. 34: In dieser beeindruckenden Aufnahme des prächtigen Ringsystems des Planeten sind Details der eisigen Ringe zu sehen. Fotografiert von der Sonde Cassini aus ca. 1,1 Millionen Kilometer Entfernung.
Welche Fraktale Eigenschaften haben sie?
Bilder des Ringsystems des Saturn wurden in einem Paper von 2015 untersucht, wobei festgestellt wurde, dass das Ringsystem eine fraktale Dimension von ca. 1.7 aufweist. Betrachtet man Bilder der Ringe in unterschiedlichen Massstäben, so erkennt man, dass sich die Struktur wiederholt: Breite Ringsegmente zerfallen in schmalere Ringsegmente, diese wiederum in noch feinere Unterteilungen. Ähnlich wie bei Metalldendriten gibt es auch beim Ringsystem des Saturn Variabilität im Detail: Manche Bereiche sind dichter als andere, es entstehen scharfe Kanten, Lücken und feine Bänder.
Ringe des Saturns aus verschiedene Blickwinkel durch Cassini (a-d) und Voyager 2 (e). Manche dieser Bilder sind künstlich eingefärbt, um wissenschaftliche Messdaten sichtbar zu machen. Sie zeigen Unterschiede in Zusammensetzung oder Struktur.
Abb. 35: Ringe des Saturn
Wie entstehen Metalldendriten?
Metalldendriten sind baumartig verzweigte Metallstrukturen, die sich u.a. beim Laden von Lithium-Ionen-Batterien an der Anode bilden können. Dabei lagern sich Lithium-Ionen nicht gleich-mässig auf der Elektrodenoberfläche ab, sondern bevorzugt an kleinen Unebenheiten oder bereits vorhandenen Vorsprüngen. Durch diesen Prozess wachsen feine, nadel- oder baumartige Strukturen in Richtung der gegenüberliegenden Elektrode. Dieses Wachstum wird durch elektrische Feldunterschiede und lokale Stromdichteverstärkungen begünstigt. Kleine Unregel-mässigkeiten verstärken sich dabei selbst, Bereiche mit stärkerem Feldunterschiede ziehen mehr Lithium-Ionen an und wachsen schneller weiter. Metalldendriten können im Extremfall interne Kurzschlüsse verursachen, die zu starker Erwärmung und im schlimmsten Fall zu Bränden oder Explosionen führen.
Links Abb.25: Übergang von moosartigem zu dendritischem Lithium.Rechts Abb.24: Schematische Darstellung einer Lithium-Metall-Batterie mit Dendrit.
Benoît B. Mandelbrot,
(1924–2010) war ein polnisch-französischer Mathematiker, der als Begründer der fraktalen Geometrie gilt. Sein bekanntester Beitrag ist die sogenannte Mandelbrot-Menge, ein mathematisches Objekt, das bei starker Vergrösserung immer wieder ähnliche Muster zeigt. Mit Hilfe von Computern machte er diese Strukturen sichtbar und veränderte damit das Verständnis von Geometrie grundlegend. Seine Arbeit beeinflusste nicht nur die Mathematik, sondern auch Physik, Informatik, Biologie und Kunst. Ein Witz gibt auf die Frage „Wofür steht das B in Benoît B. Mandelbrot?“ die Antwort: „Benoît B. Mandelbrot“
Abb 8: Benoît B. Mandelbrot
Schwachstellen und Nutzen
Die Methode, die wir gewählt haben – mit Recherche, Analyse, Nachbauen und Vergleich, um die Fragestellung zu beantworten, war für dieses Thema sehr gut geeignet. Vor allem in Betracht, dass anfänglich ein möglicher Eigenanteil nicht einfach zu erkennen war und wir nun doch eindeutig ein originelles Ergebnis erhalten haben. Um jeweils die Texte zu erstellen, bevor wir diese in Genially eingefügt haben und um eine gewisse Übersicht der Arbeit zu erhalten, haben wir die Texte zuerst in geschrieben, um ein übersichtliches PDF (bei den Quellen verlinkt) zu erhalten. Dies war eine gute Entscheidung, da es die Organisation der Arbeit erleichterte. Eine Schwachstelle im Versuch natürliche Fraktale nachzubauen, liegt darin, dass diese zum einen sehr komplex sein können, und zum anderen, da diese Imperfektionen beinhalten, welche schwierig sind in einem mathematisch perfekten Modell einzubauen. Bei den Metalldendriten haben wir versucht, diese Imperfektionen manuell hereinzubringen, was eher suboptimal ist, da dies die Reproduktion des Modells erschwert. Es wäre sicherlich besser, wenn die Imperfektionen durch eine Art von Zufallsgenerator in den Geometry Nodes erzeugt werden würden. Eine weitere Schwierigkeit in Blender liegt darin überhaupt zu erkennen, welche Nodes am besten verwendet werden sollten, um das Ziel zu erreichen. Hierbei kam es, bevor wir die finalen Modelle hatten, zu einigen Fehlversuchen, was sehr zeitintensiv war. Wiederum der Nutzen der Arbeit liegt klar im Verständnis von Fraktalen in realen Systemen. Wir konnten zeigen, dass Fraktale nicht nur theoretische Objekte sind, sondern konkrete Anwendungen in der Arbeitswelt haben. Die Kombination aus theoretischer Analyse und praktischer Nachkonstruktion zeigte, wie mathematische Konzepte zur Beschreibung komplexer Naturphänomene eingesetzt werden können.
Beantwortung der Fragestellung
Unsere Fragestellung lautete: In welchem bisher nicht gross beschriebenen Bereich der Natur, in dem fraktale Eigenschaften auftreten, können wir uns spezialisieren, und wie können wir diese Fraktale beschreiben und nachbauen? Im Verlauf unserer Arbeit konnten wir zeigen, dass sowohl Metall-dendriten, wie auch die Ringe des Saturns klare fraktale Eigenschaften besitzen. Wir haben aber auch gesehen, dass es noch viele weitere Beispiele gibt, welche wir hätten untersuchen können. Bei den Dendriten zeigt sich die Fraktalität in der wiederholten Verzweigung der Kristallarme über mehrere Iterationen hinweg. Beim Ringsystem des Saturns zeigt sich eine hierarchische, skalenübergreifende Unterteilung der Ringstruktur mit einer nichtganzzahligen fraktalen Dimension. Damit können wir unsere Fragestellung beantworten: Die Bereiche in der Natur mit fraktalen Eigenschaften, welche nicht gross beschrieben sind, sind endlos. Aus Grunden, wie Zeit und Komplexität, haben wir uns für zwei Beispiele entschieden, welche sich geeignet haben zur Spezialisierung: Metalldendriten und das Ringsystem des Saturns. Die Beschreibung dieser Fraktale erfolgte durch visuelles Betrachten und Analysieren von Bildern, um die fraktalen Eigenschaften zu identifizieren, und durch anschliessendes Verschriftlichen dieser Eigenschaften. Das Nachbauen wurde mit Blender durchgeführt, wobei iterative Verfahren zum Einsatz kamen.
Welche Fraktale Eigenschaften haben sie?
Beim Betrachten von Metalldendriten, ist zu sehen, dass diese aus einem zentralen Kristallstamm bestehen, von welchem, gewinkelt kleinere Stämme abzweigen, von welchen wiederum noch kleinere Stämme abzweigen. Ebenso ist zu sehen, dass die Selbstähnlichkeit meist bei drei oder vier Iterationen liegt. Es scheint, als gibt es viele verschiedene Arten, wie die Dentriten/Stämme im Detail aussehen können: Manchmal sind die Stämme eher gerade und manchmal etwas krumm. Auch sind diese manchmal sehr nahe beieinander und manchmal weiter auseinander. Diese starke Varianz im Aussehen gibt uns eine gewisse Freiheit, wie wir die Dentriten in Blender erstellen können.
Oben und Links: MetalldendritenRechts: Gemessenes (Links) und Simuliertes (Rechts) Dendritenwachstum.
After- Effects
Damit das finale Bild etwas ansprechender aussieht, wurde noch eine Kugel hinzugefügt und ein Bild der Oberflächentextur des Saturn darauf angewendet. Dem Ringsystem wurde ein Material gegeben, welches so konfiguriert wurde, dass jeder Ring eine etwas andere bräunliche Farbe hat. Wie bei den Metalldendriten wurde die Szene bei 4K gerendert.
Vergleich Natur vs Render
Abb 40: Der echte Saturn mit seine Ringe
Beim betrachten unserer Rekonstruktion, ist sofort zu erkennen, dass es sich um das Ringsystem des Saturns handelt – sicherlich begünstigt durch die Kugel (Saturn) in der Mitte und die bräunlichen Farben der Ringe. Die fraktalen Eigenschaften der Ringe sind ebenfalls klar zu erkennen, auch wenn diese nicht auf die genau gleiche Weise fraktal sind, wie das tat-sächliche Ringsystem des Saturns. Somit gäbe es hier noch Verbesserungspotential, wobei es durch die Komplexität sehr schwierig wäre die exakten Eigen-schaften zu treffen, weshalb wir dennoch ein zufrieden-stellendes Resultat erhalten haben.
Abb 39: Gerenderter Ringsystem um Saturn
Komplexe Zahlen ℂ
Nebst den reellen Zahlen, welche alle auf dem Zahlenstrahl notiert werden können, gibt es noch die komplexen Zahlen ℂ (wobei R⊂ ℂ), soondern auf einer Ebene darstellen – der sogenannten komplexen Ebene.
Eine komplexe Zahl 𝑧 hat die Form:
wobei 𝑎 der Realteil und 𝑏 der Imaginärteil ist. Der Wert 𝑏 ist dabei ein reeller Faktor der imaginären Einheit 𝑖, für die gilt:
Um zu überprüfen, ob eine komplexe Zahl 𝑐 zur Mandelbrot-Menge gehört, verwendet man folgende Iterationsvorschrift:
Gestartet wird mit . . Das erhaltene Ergebnis wird jeweils wieder als neues 𝑧 eingesetzt und der Prozess wird iteriert. Bleibt die resultierende Zahlenfolge betragsmässig beschränkt (divergiert also nicht gegen unendlich), so gehört die komplexe Zahl 𝑐 zur Mandelbrot-Menge. In der grafischen Darstellung entspricht dies dem schwarzen Bereich. Die farbigen Bereiche ausserhalb der schwarzen Menge zeigen an, wie schnell die Folge divergiert – also nach wie vielen Iterationen der Betrag von 𝑧 einen bestimmten Grenzwert überschreitet. Die Mandelbrot-Menge ist somit eine zweidimensionale Darstellung auf der komplexen Ebene.
ddsds
IDPA Fraktale
Mateo Liechti Saenz
Created on January 11, 2026
Start designing with a free template
Discover more than 1500 professional designs like these:
View
Mind Map: The 4 Pillars of Success
View
Big Data: The Data That Drives the World
View
Momentum: Onboarding Presentation
View
Urban Illustrated Presentation
View
3D Corporate Reporting
View
Discover Your AI Assistant
View
Vision Board
Explore all templates
Transcript
Fraktale
Wonders of Nature
Start your journey
Grunder Tobias, Liechti Mateo
IDPA BM2TALS-S2025f
Abstract
Diese Arbeit untersucht natürliche Phänomene mit fraktalen Eigenschaften. Ausgangspunkt war die Fragestellung: In welchem bisher nicht gross beschriebenen Bereich der Natur, in dem fraktale Eigenschaften auftreten, können wir uns spezialisieren, und wie können wir diese Fraktale beschreiben und nachbauen? Nach einer Einführung in die Grundlagen der Fraktalgeometrie wurden Metalldendriten sowie das Ringsystem des Saturn als Spezialisierungsbereiche ausgewählt. Die Strukturen wurden anhand von Bildanalysen untersucht und ihre fraktalen Eigenschaften systematisch beschrieben. Anschliessend erfolgte eine digitale Rekonstruktion mit der 3D-Software Blender, wobei iterative Verfahren zur Modellierung der Selbstähnlichkeit eingesetzt wurden. Die Ergebnisse zeigen, dass beide untersuchten Phänomene klare fraktale Merkmale aufweisen und sich in vereinfachter Form erfolgreich nachbilden lassen. Damit wird deutlich, dass Fraktale nicht nur theoretische Konstruktionen sind, sondern auch in realen physikalischen Systemen auftreten und mathematisch und in Worten beschreibbar sind.
Was haben all diese...
gemeinsam?
Die Struktur kann durch Fraktale erklärt werden!
Julia Set
Schneeflocke
Romanesco
Küstenlinie
Gehirn
Mendelbrot-Menge
Gemeinsames Merkmal: Selbstähnlichkeit
Menü
Fazit
Abstract
Objekt 2
Quellen
Beispiele
Einleitung
Fragestellung
Auswahl
Objekt 1
Methode
Dimensionen
Fraktale
Selbstähnlickeit
Einleitung
Bevor wir zum spassigen Teil kommen, warum machen wir das eigentlich?
Wir alle haben in der Natur bereits faszinierende Strukturen gesehen – Küstenlinien, Schneeflocken, Pflanzen, Blutgefässe oder Wolkenformationen. Auf den ersten Blick wirken diese Formen chaotisch oder zufällig. Betrachtet man sie jedoch genauer, erkennt man, dass sie bestimmten Mustern folgen.
Viele dieser Strukturen lassen sich mithilfe von Fraktalen beschreiben.
Fraktale sind kein rein theoretisches mathematisches Konzept, sondern ein Werkzeug, mit dem reale Strukturen modelliert und analysiert werden können. Sie spielen eine Rolle in der Biologie, der Medizin, der Geologie, der Computergrafik und vielen weiteren Bereichen.
Abb 7:Benoît B. Mandelbrot
Vater der fraktalen Geometrie
Erarbeitung der Fragestellung
Wir alle haben in der Natur bereits faszinierende Strukturen gesehen – Küstenlinien, Schneeflocken, Pflanzen, Blutgefässe oder Wolkenformationen. Auf den ersten Blick wirken diese Formen chaotisch oder zufällig. Betrachtet man sie jedoch genauer, erkennt man, dass sie bestimmten Mustern folgen. Denn viele dieser Strukturen sind fraktal. Fraktale sind kein rein theoretisches mathematisches Konzept, sondern ein Werkzeug, mit dem reale Strukturen modelliert und analysiert werden können. Sie spielen eine Rolle in der Biologie, der Medizin, der Geologie, der Computergrafik und vielen weiteren Bereichen. Bei unserer Recherche in Büchern und im Internet ist uns aufgefallen, dass häufig immer wieder dieselben Beispiele für Fraktale genannt werden. Oft handelt es sich dabei um sehr abstrakte mathematische Konstruktionen oder um Strukturen, die nur mit viel Interpretation als Fraktale bezeichnet werden können. Dadurch stellte sich für uns eine neue Frage: Müssen Fraktale immer stark abstrakt sein oder gibt es auch Beispiele aus der Natur, die klar erkennbar, nachvollziehbar und dennoch mathematisch beschreibbar sind? Uns wurde schnell bewusst, dass es kaum realistisch ist, ein völlig neues Fraktal zu entdecken. Stattdessen wollten wir einen Bereich finden, in dem fraktale Eigenschaften auftreten, der jedoch nicht zu theoretisch oder konstruiert wirkt.
Und so kam unsere Fragestellung zustande: In welchem bisher nicht gross beschriebenen Bereich der Natur, in dem fraktale Eigenschaften auftreten, können wir uns spezialisieren, und wie können wir diese Fraktale beschreiben und nachbauen?
Methode
Um die Fragestellung beantworten zu können, haben wir uns entschieden am Anfang grösstenteils zu recherchieren. Dies auf verschiedenen Websites, in Videos und in Büchern, um einen Überblick über die verschiedenen Bereiche zu erhalten. So konnten wir uns dann für spezifische Beispiele entscheiden, welche wir dann genauer untersuchten und nachbauen konnten. Für die Art der Arbeit haben wir uns entschieden eine Webstite mit Genially zu erstellen, da so die Interaktivität und die Visualisierungsmöglichkeiten gegeben sind, welches für die Darstellung von Fraktalen sehr wichtig ist. Um die natürlichen Phänomene mit fraktalen Eigen-schaften nachzukonstruieren, wurde schnell klar, dass Blender ein sehr geeignetes Tool dafür ist. Zum einen, da wir dies bereits kennen und auch, da es sehr viele verschiedene Möglichkeiten bietet, um an ein jeweiliges Ziel zu kommen. Zusätzlich gibt es in Blender die Möglichkeit die Szenen durch Konfiguration von Materialien und Beleuchtung realistischer aussehen zu lassen, was Modelle viel ansprechender macht, als rein geometrische Formen.
Einführung Fraktale
Fraktale sind geometrische Muster, die selbstähnlich sind und wessen Dimension nicht eine Ganzzahl ist.
Um Fraktale zu verstehen, müssen daher die Begriffe Selbstähnlichkeit und Dimension genauer betrachtet werden.
Natürliche
Selbsähnlichkeit
Beispiele
Theorie
Mathematische
Dimensionen
Selbstähnlichkeit
Selbstähnlichkeit: Ein Muster ist dann selbstähnlich, wenn die Elemente, aus welchen es besteht, dem Originalmuster ähnlich (gleich in Form, aber nicht zwingend in Grösse) sind.
Das bedeutet: Wenn man einen kleinen Ausschnitt vergrössert, erkennt man wieder eine ähnliche Struktur wie im Gesamtbild. Man unterscheidet verschiedene Arten von Selbstähnlichkeit:
Selbstähnlichkeit kommt nicht nur in der Mathematik vor, sondern auch häufig in der Natur. Beispiele sind Farnblätter, Romanesco-Kohl oder Schneeflocken. Diese Strukturen wirken komplex, beruhen aber auf wiederholten Mustern.
Dimensionen
(Bild 2) Wird eine Linie halbiert, entstehen zwei selbstähnliche Linien mit dem Skalierungsfaktor 1/2 – die Länge/ Masse wird halbiert. (Bild 2) Beim Quadrat führt die Halbierung in Breite und Höhe zu vier kleineren Quadraten: Die Seitenlänge wird mit 1/2 skaliert, die Fläche/ Masse mit 1/4. (Bild 3) Beim Würfel entstehen durch drei Halbierungen acht kleinere Würfel: Die Kantenlänge wird mit 1/2, das Volumen/ Masse mit 1/8 skaliert. Allgemein gilt: Die Grössenskalierung entspricht r^d (Skalierungsfaktor hoch Dimension). (Bild 4) Am Beispiel des Sierpinski-Dreiecks zeigt sich, dass Fraktale eine nicht-ganzzahlige Dimension besitzen: Mit Skalierungsfaktor 1/2 entstehen 3 selbstähnliche Teile, woraus sich ergibt: Das Sierpinski-Dreieck ist ein 1.585-dimensionales Fraktal.
Abb 9
Beispiele
Mathematische Beispiele
Mathematische Fraktale entstehen durch klar definierte Regeln oder Formeln. Sie sind exakt selbstähnlich und theoretisch unendlich fortsetzbar.
Nebst dem bereits beschriebenen Sierpinski-Dreieck gibt es noch viele weitere mathematische Fraktale. Ein Weiteres, das in ähnlicher Weise erstellt werden kann, ist die koch'sche Schneeflocke.
Bei der koch'schen Schneeflocke wird das gleichschenklige Dreieck gleich oft mals kopiert, wie Seiten vorhanden sind, um den Faktor 1/3 skaliert und anschliessend in die Mitte der Seiten plaziert. Danach wird iteriert.
Beispiele
Mathematische Beispiele
Die nach Benoît B. Mandelbrot – Vater der Fraktal-Geometrie – benannte Mandelbrot-Menge ist eines der ersten computergenerierten Fraktale.
Fraktale können auch im dreidimensionalen Raum vorkommen, was an dieser in Blender selbst erstellten (nicht im Rahmen der IDPA) sogennanten Mandelknolle zu sehen ist:
Die Erstellung der Mandelbrot-Menge ist etwas komplzierter und benötigt für das Verstehen Kentnisse der komplexen Zahlen ℂ.
Abb 13: Mandelknolle
3D
Abb 3: Mandelbrot-Menge
Cooles Video
Beispiele
Natürliche Beispiele
Ein Bereich der Natur, worin oft fraktale Eigenschaften zu sehen sind, ist die Pflanzenwelt.
Weitere Interessante Beispiele:
Untersuchung natürlicher Fraktale
Eigenanteil der IDPA
Um in der Natur vorkommende Phänomene auszuwählen, welche sich eignen, mit Blender nachzukonstruieren, muss aufgepasst werden, dass Phänomene gewählt werden, welche tatsächlich eine gewisse Selbstähnlichkeit aufweisen – unendliche wahre Selbstähnlichkeit, wie bei den mathematischen Fraktalen, ist in der Natur nicht zu finden, da hier Limits in der Auflösung auftauchen, wie z.B. wenn Atome erreicht werden.
Vorgehen
Suche
Auswahl
Analyse
Nachbau
Vergleich
Beispielsuche
Wie haben wir passende Beispiele gesucht?
Es gibt viele Beispiele, die sogar auf Seiten wie Wikipedia als natürlichen Phänomene mit fraktalen Eigenschaften gelistet werden, welche aber weder eine gewisse Selbstähnlichkeit aufweisen, noch eine nichtganzzahlige Dimension haben, weshalb solche Phänomene in unseren Augen nicht als Fraktale bezeichnet werden sollten. Solche Beispiele sind z.B. Honigwaben oder Basaltsäulen, welche ein regelmässiges Muster aufweisen, aber nicht selbstähnlich sind, da die Elemente, aus welchen sie bestehen, nicht dem Originalmuster ähnlich sind.
Was wir brauchen:
-Selbstähnlichkeit
-seltenes Beispiel
-Machbarkeit/ Aufwand auf Blender
Auswahl
Zwei Naturphänomene
Metalldentriten
in Lithium-Ionen-Batterien
Wie sie entstehen
Analyse
3D-Design
3D-Design
Wie wirs gemacht haben
Um die Dentriten in Blender zu erstellen, wurde zuerst ein Würfel ein-gefügt und dieser in der Z-Achse um das 10-fache skaliert, um den zentralen Stamm zu erhalten. Um die Selbstähnlichkeit zu erreichen, wurde mit Geometry Nodes gearbeitet. Diese erlauben es, die Geometrie eines Objekts zu verändern, indem verschiedene Operationen als Nodes miteinander verknüpft werden. Zuerst wird der zentrale Stamm viermal genommen und leicht in jeweils X;-X; Y;-Y Richtung verschoben, rotiert und skaliert, damit die neuen kleineren Stämme schräg nach oben schauen. Zusammen ergibt dies die Node Gruppe 1
Abb. 28: Node Gruppe 1
3D-Design
Abb. 29: Node Gruppe 2
Anschliessend wird die Node Gruppe 1 viermal kopiert und jede davon verschieden stark in Z-Richtung verschoben, um die an verschiedenen Höhen abspaltende Dentriten zu erhalten.Um etwas Imperfektion hereinzubringen, wie bei Dendriten aus der Natur, wurden einige dieser abspaltenden Stämme entfernt. Um das Ganze etwas übersichtlicher zu machen wurde die Node Gruppe 1, sowie dessen Kopien in jeweils einen Node zusammengefügt. Wiederum diese zusammen ergeben die Node Gruppe 2.
Damit das ganze nun für mehr als eine Iteration selbstähnlich ist, wurde das Ganze in einen Repeat-Node gepackt, wobei hier die Anzahl Iterationen auf 4 gesetzt wurde.
Abb. 30: Node Gruppe 2.1
3D-Design
Die gesamten Geometry Nodes zusammen unverpackt sehen folgendermassen aus:
Zum Ergebnis
Abb. 31: Gesamte Nodes
After-Effects
Video
Vergleich
Abb. 32: Gerenderte Metalldendriten
Ringsystem
des Saturn
Analyse
3D-Design
Wie sie entstehen
3D-Design
Wie wirs gemacht haben
Da das tatsächliche Ringsystem des Saturn sehr komplex ist, haben wir uns entschieden, eine vereinfachte Version davon zu erstellen, welche aber dennoch fraktale Eigenschaften aufweist: Konzentrische Ringe, wobei die äusseren Ringe mit jeder Iteration dünner werden. Auch hier wurde mit Geometry Nodes gearbeitet: Zuerst wurde ein Kreis erstellt und diesen nach aussen extrudiert um einen Kreisring zu erhalten. Dies wurde anschliessend in einen Repeat-Node gesetzt. Um nun die äusseren Ringe zu erhalten, wurde eine Node Gruppe erstellt (übersichthalber verpackt), welche mit jeder Iteration den Radius, die Distanz des Extrudierens und die Grösse der Lücke zwischen den Ringen verändert.
Abb 36: Ringe des Saturn eingefärbt
Abb 37: Geometry Nodes Ringystem
3D-Design
Die Node Gruppe, welche die Veränderungen der Ringe mit jeder Iteration vornimmt, funk-tioniert folgendermassen: Um auf den neuen Radius für die nächste Iteration zu kommen, wird der aktuelle Radius genommen, und die Distanz des Extrudierens addiert. Auch addiert wird noch ein zusätzlicher Wert, damit eine Lücke zum vorherigen Kreisring entsteht. Zuerst wird dieser Wert aber noch mit einem Skalierungsfaktor multipliziert, damit die Lücke mit jeder Iteration kleiner wird. Um auf neue Distanz des Extru-dierens der nächsten Iteration zu kommen, wird lediglich der Wert der aktuellen Iteration genommen und mit dem selben Skalierungs-faktor multipliziert, wie der Abstand zwischen den Ringen, damit dieser Abstand und die Breite des jeweils neuen Rings um den selben Faktor kleiner werden relativ zum jeweils vorherigen Ring.
Abb 38: Math Node Gruppe
Zum Ergebnis
Abb 39: Ringsystem um Saturn
Video
Vergleich
After- Effects
Fazit
Und noch zum Schluss:
Beantwortung der Fragenstellung
Schwachstellen und Nutzen
Persönliches Fazit
Unsere Gedanken...
Abb 41: Tobias Grunder
Abb 42: Mateo Liechti
Quellen
Unsere wichtigsten Quellen:
Metalldendriten
Ringsystem
Fraktale
Quellen, Abbildungsverzeichnis und die Eigenständigkeitserklärung sind hier:
After-Effects
Damit das Endresultat auch wie Metall aussieht – wir haben uns für Kupfer entschieden – wurde noch ein Material erstellt, bei welchem die Farbe und Rauheit konfiguriert wurde. Um ein Bild zu erhalten, wurde die Kamera geeignet positioniert, Beleuchtung zur Szene hinzugefügt und das Bild bei einer Auflösung von 4K gerendert.
Wie entstehen die Ringe des Saturns?
Das Ringsystem des Saturn besteht aus unzähligen kleinen Partikeln, welches von weitem betrachtet, wie konzentrische Ringe aussieht. Diese Partikel bestehen aus Eis und Gestein, welche in der Grösse von Staub, hin bis zu mehreren Metern reichen. Es wird angenommen, dass diese Partikel Überreste von Monden oder Kometen sind, welche durch die Gravitation des Saturns zerrissen wurden. Die Struktur der Ringe ist jedoch nicht vollkommen gleichmäßig. Durch die Gravitationskräfte des Saturns und seiner Monde entstehen Lücken, Verdichtungen und feine Unterteilungen innerhalb des Ringsystems. Besonders sogenannte Schäfermonde beeinflussen die Form einzelner Ringbereiche und sorgen für klar abgegrenzte Strukturen.
Saturn und sein Ringe fotografiert von Voyager 2, 1981.
In dieser beeindruckenden Aufnahme des prächtigen Ringsystems des Planeten sind Details der eisigen Ringe zu sehen. Fotografiert von der Sonde Cassini aus ca. 1,1 Millionen Kilometer Entfernung.
Vergleich Natur vs Render
Wenn man nicht gut weiss, wie Metalldendriten aussehen, könnte es schwierig sein, diese in unserer Rekonstruktion wiederzuerkennen. Auch haben wir uns beim konstruieren häufig gedacht, dass es wie ein Baum aussieht. Dies bedeutet aber nicht, dass die Visualiserung misslungen ist, da beim Vergleich von Bäumen und Metalldendriten in der Natur durchaus Ähnlichkeiten zu sehen sind. Was sicherlich hilft um klarer zu machen, dass es sich um Metalldendriten handelt, ist die Materialwahl, woduch klar wird, dass es sich um etwas metallenes handelt. Zuerst haben wir den zentralen Stamm so erstellt, dass er gegen oben spitzer wird, wie Darstellungen von Dendriten oft zeigen. Wir haben uns aber für das Gegenteil entschiedenkommt ebenfalls vor– was eine gute Entscheidung war da so an den Enden der Stämme die eckige Kristallstruktur besser zu sehen ist, was für Dendriten charakteristisch ist. Grunsätzlich erfüllt das Modell alle wichtigen Eigenschaften von allgemeinen Metalldendriten, welche bei der Analyse beschrieben wurden, weshalb wir mit dem Resultat zufrieden sind.
Abb. 32: Schematische Darstellung einer Lithium-Metall-Batterie mit Dendrit.
Wie entstehen die Ringe des Saturns?
Das Ringsystem des Saturn besteht aus unzähligen kleinen Partikeln, welches von weitem betrachtet, wie konzentrische Ringe aussehen. Diese Partikeln bestehen aus Eis und Gestein, welche in der Grösse von Staub, hin bis zu mehreren Metern reichen. Es wird angenommen, dass diese Partikeln Überreste von Monden oder Kometen sind, welche durch die Gravitation des Saturns zerrissen wurden. Die Struktur der Ringe ist jedoch nicht vollkommen gleichmässig. Durch die Gravitationskräfte des Saturns und seiner Monde entstehen Lücken, Verdichtungen und feine Unterteilungen innerhalb des Ringsystems. Besonders sogenannte Schäfermonde beeinflussen die Form einzelner Ringbereiche und sorgen für klar abgegrenzte Strukturen.
Abb. 33: Saturn und sein Ringe fotografiert von Voyager 2, 1981.
Abb. 34: In dieser beeindruckenden Aufnahme des prächtigen Ringsystems des Planeten sind Details der eisigen Ringe zu sehen. Fotografiert von der Sonde Cassini aus ca. 1,1 Millionen Kilometer Entfernung.
Welche Fraktale Eigenschaften haben sie?
Bilder des Ringsystems des Saturn wurden in einem Paper von 2015 untersucht, wobei festgestellt wurde, dass das Ringsystem eine fraktale Dimension von ca. 1.7 aufweist. Betrachtet man Bilder der Ringe in unterschiedlichen Massstäben, so erkennt man, dass sich die Struktur wiederholt: Breite Ringsegmente zerfallen in schmalere Ringsegmente, diese wiederum in noch feinere Unterteilungen. Ähnlich wie bei Metalldendriten gibt es auch beim Ringsystem des Saturn Variabilität im Detail: Manche Bereiche sind dichter als andere, es entstehen scharfe Kanten, Lücken und feine Bänder.
Ringe des Saturns aus verschiedene Blickwinkel durch Cassini (a-d) und Voyager 2 (e). Manche dieser Bilder sind künstlich eingefärbt, um wissenschaftliche Messdaten sichtbar zu machen. Sie zeigen Unterschiede in Zusammensetzung oder Struktur.
Abb. 35: Ringe des Saturn
Wie entstehen Metalldendriten?
Metalldendriten sind baumartig verzweigte Metallstrukturen, die sich u.a. beim Laden von Lithium-Ionen-Batterien an der Anode bilden können. Dabei lagern sich Lithium-Ionen nicht gleich-mässig auf der Elektrodenoberfläche ab, sondern bevorzugt an kleinen Unebenheiten oder bereits vorhandenen Vorsprüngen. Durch diesen Prozess wachsen feine, nadel- oder baumartige Strukturen in Richtung der gegenüberliegenden Elektrode. Dieses Wachstum wird durch elektrische Feldunterschiede und lokale Stromdichteverstärkungen begünstigt. Kleine Unregel-mässigkeiten verstärken sich dabei selbst, Bereiche mit stärkerem Feldunterschiede ziehen mehr Lithium-Ionen an und wachsen schneller weiter. Metalldendriten können im Extremfall interne Kurzschlüsse verursachen, die zu starker Erwärmung und im schlimmsten Fall zu Bränden oder Explosionen führen.
Links Abb.25: Übergang von moosartigem zu dendritischem Lithium.Rechts Abb.24: Schematische Darstellung einer Lithium-Metall-Batterie mit Dendrit.
Benoît B. Mandelbrot,
(1924–2010) war ein polnisch-französischer Mathematiker, der als Begründer der fraktalen Geometrie gilt. Sein bekanntester Beitrag ist die sogenannte Mandelbrot-Menge, ein mathematisches Objekt, das bei starker Vergrösserung immer wieder ähnliche Muster zeigt. Mit Hilfe von Computern machte er diese Strukturen sichtbar und veränderte damit das Verständnis von Geometrie grundlegend. Seine Arbeit beeinflusste nicht nur die Mathematik, sondern auch Physik, Informatik, Biologie und Kunst. Ein Witz gibt auf die Frage „Wofür steht das B in Benoît B. Mandelbrot?“ die Antwort: „Benoît B. Mandelbrot“
Abb 8: Benoît B. Mandelbrot
Schwachstellen und Nutzen
Die Methode, die wir gewählt haben – mit Recherche, Analyse, Nachbauen und Vergleich, um die Fragestellung zu beantworten, war für dieses Thema sehr gut geeignet. Vor allem in Betracht, dass anfänglich ein möglicher Eigenanteil nicht einfach zu erkennen war und wir nun doch eindeutig ein originelles Ergebnis erhalten haben. Um jeweils die Texte zu erstellen, bevor wir diese in Genially eingefügt haben und um eine gewisse Übersicht der Arbeit zu erhalten, haben wir die Texte zuerst in geschrieben, um ein übersichtliches PDF (bei den Quellen verlinkt) zu erhalten. Dies war eine gute Entscheidung, da es die Organisation der Arbeit erleichterte. Eine Schwachstelle im Versuch natürliche Fraktale nachzubauen, liegt darin, dass diese zum einen sehr komplex sein können, und zum anderen, da diese Imperfektionen beinhalten, welche schwierig sind in einem mathematisch perfekten Modell einzubauen. Bei den Metalldendriten haben wir versucht, diese Imperfektionen manuell hereinzubringen, was eher suboptimal ist, da dies die Reproduktion des Modells erschwert. Es wäre sicherlich besser, wenn die Imperfektionen durch eine Art von Zufallsgenerator in den Geometry Nodes erzeugt werden würden. Eine weitere Schwierigkeit in Blender liegt darin überhaupt zu erkennen, welche Nodes am besten verwendet werden sollten, um das Ziel zu erreichen. Hierbei kam es, bevor wir die finalen Modelle hatten, zu einigen Fehlversuchen, was sehr zeitintensiv war. Wiederum der Nutzen der Arbeit liegt klar im Verständnis von Fraktalen in realen Systemen. Wir konnten zeigen, dass Fraktale nicht nur theoretische Objekte sind, sondern konkrete Anwendungen in der Arbeitswelt haben. Die Kombination aus theoretischer Analyse und praktischer Nachkonstruktion zeigte, wie mathematische Konzepte zur Beschreibung komplexer Naturphänomene eingesetzt werden können.
Beantwortung der Fragestellung
Unsere Fragestellung lautete: In welchem bisher nicht gross beschriebenen Bereich der Natur, in dem fraktale Eigenschaften auftreten, können wir uns spezialisieren, und wie können wir diese Fraktale beschreiben und nachbauen? Im Verlauf unserer Arbeit konnten wir zeigen, dass sowohl Metall-dendriten, wie auch die Ringe des Saturns klare fraktale Eigenschaften besitzen. Wir haben aber auch gesehen, dass es noch viele weitere Beispiele gibt, welche wir hätten untersuchen können. Bei den Dendriten zeigt sich die Fraktalität in der wiederholten Verzweigung der Kristallarme über mehrere Iterationen hinweg. Beim Ringsystem des Saturns zeigt sich eine hierarchische, skalenübergreifende Unterteilung der Ringstruktur mit einer nichtganzzahligen fraktalen Dimension. Damit können wir unsere Fragestellung beantworten: Die Bereiche in der Natur mit fraktalen Eigenschaften, welche nicht gross beschrieben sind, sind endlos. Aus Grunden, wie Zeit und Komplexität, haben wir uns für zwei Beispiele entschieden, welche sich geeignet haben zur Spezialisierung: Metalldendriten und das Ringsystem des Saturns. Die Beschreibung dieser Fraktale erfolgte durch visuelles Betrachten und Analysieren von Bildern, um die fraktalen Eigenschaften zu identifizieren, und durch anschliessendes Verschriftlichen dieser Eigenschaften. Das Nachbauen wurde mit Blender durchgeführt, wobei iterative Verfahren zum Einsatz kamen.
Welche Fraktale Eigenschaften haben sie?
Beim Betrachten von Metalldendriten, ist zu sehen, dass diese aus einem zentralen Kristallstamm bestehen, von welchem, gewinkelt kleinere Stämme abzweigen, von welchen wiederum noch kleinere Stämme abzweigen. Ebenso ist zu sehen, dass die Selbstähnlichkeit meist bei drei oder vier Iterationen liegt. Es scheint, als gibt es viele verschiedene Arten, wie die Dentriten/Stämme im Detail aussehen können: Manchmal sind die Stämme eher gerade und manchmal etwas krumm. Auch sind diese manchmal sehr nahe beieinander und manchmal weiter auseinander. Diese starke Varianz im Aussehen gibt uns eine gewisse Freiheit, wie wir die Dentriten in Blender erstellen können.
Oben und Links: MetalldendritenRechts: Gemessenes (Links) und Simuliertes (Rechts) Dendritenwachstum.
After- Effects
Damit das finale Bild etwas ansprechender aussieht, wurde noch eine Kugel hinzugefügt und ein Bild der Oberflächentextur des Saturn darauf angewendet. Dem Ringsystem wurde ein Material gegeben, welches so konfiguriert wurde, dass jeder Ring eine etwas andere bräunliche Farbe hat. Wie bei den Metalldendriten wurde die Szene bei 4K gerendert.
Vergleich Natur vs Render
Abb 40: Der echte Saturn mit seine Ringe
Beim betrachten unserer Rekonstruktion, ist sofort zu erkennen, dass es sich um das Ringsystem des Saturns handelt – sicherlich begünstigt durch die Kugel (Saturn) in der Mitte und die bräunlichen Farben der Ringe. Die fraktalen Eigenschaften der Ringe sind ebenfalls klar zu erkennen, auch wenn diese nicht auf die genau gleiche Weise fraktal sind, wie das tat-sächliche Ringsystem des Saturns. Somit gäbe es hier noch Verbesserungspotential, wobei es durch die Komplexität sehr schwierig wäre die exakten Eigen-schaften zu treffen, weshalb wir dennoch ein zufrieden-stellendes Resultat erhalten haben.
Abb 39: Gerenderter Ringsystem um Saturn
Komplexe Zahlen ℂ
Nebst den reellen Zahlen, welche alle auf dem Zahlenstrahl notiert werden können, gibt es noch die komplexen Zahlen ℂ (wobei R⊂ ℂ), soondern auf einer Ebene darstellen – der sogenannten komplexen Ebene.
Eine komplexe Zahl 𝑧 hat die Form:
wobei 𝑎 der Realteil und 𝑏 der Imaginärteil ist. Der Wert 𝑏 ist dabei ein reeller Faktor der imaginären Einheit 𝑖, für die gilt:
Um zu überprüfen, ob eine komplexe Zahl 𝑐 zur Mandelbrot-Menge gehört, verwendet man folgende Iterationsvorschrift:
Gestartet wird mit . . Das erhaltene Ergebnis wird jeweils wieder als neues 𝑧 eingesetzt und der Prozess wird iteriert. Bleibt die resultierende Zahlenfolge betragsmässig beschränkt (divergiert also nicht gegen unendlich), so gehört die komplexe Zahl 𝑐 zur Mandelbrot-Menge. In der grafischen Darstellung entspricht dies dem schwarzen Bereich. Die farbigen Bereiche ausserhalb der schwarzen Menge zeigen an, wie schnell die Folge divergiert – also nach wie vielen Iterationen der Betrag von 𝑧 einen bestimmten Grenzwert überschreitet. Die Mandelbrot-Menge ist somit eine zweidimensionale Darstellung auf der komplexen Ebene.
ddsds