1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geometria płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
Zdążyć przed E8
Egzamin Ósmoklasisty tuż za rogiem! Podejmij wyzwanie, rozwiąż matematyczne zagadki z 6 kluczowych działów i udowodnij, że nic Cię nie zaskoczy. Pamiętaj: Masz jedeną szansę w każdym pytaniu! Na koniec otrzymasz wynik!
Pytań jest sporo! Zaplanuj sobie odpowiednio dużo czasu na ten test! Dodatkowo, przyogtuj sobie kartkę i długopis.
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Liczby i działania
Zbiory liczb
Kolejność działań
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Ułamki dziesiętne
Ułamki zwykłe
Działania na ułamkach zwykłych
Działania na ułamkach dziesiętnych
Potęgi
Pierwiastki
Własności potęg
Własności pieriwastków
Waga, długość, czas
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:05
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:06
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:07
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:08
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Procenty
Procent
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Zamiana procent -> ułamek
Zamiana ułamek -> procent
Jakim procentem jest liczna
Obliczanie procentu z liczby
Szukanie liczby (gdy znasz procent)
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:05
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:06
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:07
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Równania
Co to jest równanie?
Rozwiązywanie równań
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Liczba rozwiązań
Metoda "wagi"
Zapisywanie treści zadania
Zadania tekstowe - Rozwiązywanie
Przekształcanie wzorów
Pułapka - Dzielenie przez liczbę przy x
Równania
Lekcja:03 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:05
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:06
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:07
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Geometria płaska
Rodzaje kątów
Co to kąt?
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Kąty w wielokątach
Pary kątów
Rodzaje trójkątów
Twierdzenie Pitagorasa
Szczególne trójkąty: 45/45/90 i 30/60/90
Kwadrat i prostokąt
Równoległobok i romb
Trapez
Obwody i pola
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Geometria przestrzenna
Elementy brył
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Graniastosłup
Sześcian i prostopadłościan
Ostrosłup
Działania na ułamkach dziesiętnych
Jednostki pola
Pole powierzchni
Jednostki objętości
Objętość
Geometria przestrzenna
Lekcja:05 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Geometria przestrzenna
Lekcja:05 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Geometria przestrzenna
Lekcja:05 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Geometria przestrzenna
Lekcja:05 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Średnia arytmetyczna
Mediana
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Dominanta
Prawdopodobieństwo - Podstawy
Zdarzenie pewne i niemożliwe
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:05
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:06
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:07
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:08
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:09
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:10
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
Dyplom
Gratulacje!
Szkoła szyta na miarę
Gratulujemy! Własnie ukończyłeś(aś) nasz test "Zdążyć przed E8". Mamy nadzieję, że pytania nie sprawiły Ci zbyt dużej trudności!
Powodzenia na egzaminie!
Sklep Szkoły szytej na miarę
Liczby i działania
Tekst
Sześcian i prostopadłościan
To specjalne rodzaje graniastosłupów czworokątnych, w których wszystkie ściany są prostokątami lub kwadratami.PROSTOPADŁOŚCIAN:
- Wszystkie jego ściany (jest ich 6) to prostokąty.
- Ma 3 pary identycznych ścian (podstawy, boki lewe-prawe, boki przód-tył).
- Wymiary prostopadłościanu nazywamy długością, szerokością i wysokością (często oznaczane jako a, b, c).
SZEŚCIAN:
- To „idealny” prostopadłościan, w którym każda ściana jest takim samym kwadratem.
- Wszystkie krawędzie mają tę samą długość (oznaczamy ją jako a).
- Sześcian ma 6 identycznych ścian, 12 identycznych krawędzi i 8 wierzchołków.
Objętość
Objętość to ilość miejsca, jaką bryła zajmuje. Dla wszystkich graniastosłupów (pudełek, klocków, bloków) obowiązuje jedna główna zasada:ZASADA: Oblicz pole podstawy i pomnóż je przez wysokość bryły. PROSTOPADŁOŚCIAN: Pomnóż przez siebie wszystkie trzy wymiary (długość razy szerokość razy wysokość). WYOBRAŹNIA: Objętość mówi nam, ile kostek cukru o boku 1 cm zmieściłoby się wewnątrz danego przedmiotu. Ostrosłupy (piramidy) mają specyficzną cechę – zajmują mniej miejsca niż graniastosłupy o tej samej podstawie. ZASADA: Objętość ostrosłupa to jedna trzecia objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości. Jak to liczyć? Oblicz pole podstawy, pomnóż przez wysokość bryły, a wynik podziel przez 3.
Kąty w wielokątach
Każdy wielokąt ma określoną sumę kątów w środku. Im więcej figura ma boków, tym ta suma jest większa.
- TRÓJKĄT:Suma kątów to zawsze 180 stopni.
- CZWOROKĄT (kwadrat, prostokąt, trapez itp.): Suma to zawsze 360 stopni.
- WZÓR NA DOWOLNY WIELOKĄT:Jeśli chcesz policzyć sumę kątów wewnętrznych dla figury, która ma więcej boków, użyj prostej zasady:
- Odejmij 2 od liczby boków, a wynik pomnóż przez 180 stopni.(n-2)*180n - liczba boków figury foremnej
- Przykład dla pięciokąta:5 boków minus 2 daje 3.3 razy 180 stopni to 540 stopni
Wskazówka 💡
Zapisz wiek obu osób za pomocą x i zsumuj je.
Obwody i pola
W trakcie budowy!
Rodzaje trójkątów
Trójkąty możemy dzielić na dwa sposoby: ze względu na ich boki oraz ze względu na ich kąty.PODZIAŁ ZE WZGLĘDU NA BOKI:
- Różnoboczny: Każdy bok ma inną długość.
- Równoramienny: Ma dwa boki tej samej długości (ramiona) i jeden inny (podstawa). Kąty przy podstawie są identyczne!
- Równoboczny: Wszystkie boki są równe. Każdy jego kąt ma dokładnie 60 stopni.
PODZIAŁ ZE WZGLĘDU NA KĄTY:
- Ostrokątny: Wszystkie kąty w środku są ostre (mają mniej niż 90 stopni).
- Prostokątny: Ma jeden kąt prosty (90 stopni). Boki przy nim to przyprostokątne, a najdłuższy to przeciwprostokątna.
- Rozwartokątny: Ma jeden kąt rozwarty (więcej niż 90 stopni).
Wskazówka 💡
Pamiętaj, że suma kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi dokładnie 180°.
Metoda "wagi"
Wyobraź sobie, że równanie to waga szalkowa w równowadze. Aby waga nadal stała prosto, każdą operację musisz wykonać na obu szalach jednocześnie. Jeśli odejmujesz 10 od lewej strony, musisz odjąć 10 także od prawej. Jeśli mnożysz lewą stronę przez 2, prawą też musisz pomnożyć przez 2.
Wskazówka 💡
Jaką liczbę musisz pomnożyć przez samą siebie, żeby otrzymać 64? (Szukamy pierwiastka z 64).
Wskazówka 💡
Oznacz wiek Basi jako x, wtedy wiek Ani to x+4.
Pierwiastki
CZYM JEST PIERWIASTEK?Pierwiastkowanie to szukanie liczby, która podniesiona do potęgi da nam wynik pod pierwiastkiem. To takie matematyczne "śledztwo" wstecz.PIERWIASTEK DRUGIEGO STOPNIA (KWADRATOWY): Szukamy liczby, która pomnożona przez samą siebie da liczbę pod znakiem pierwiastka. Przykład: Pierwiastek z 25 to 5, bo 5 * 5 = 25. PIERWIASTEK TRZECIEGO STOPNIA (SZEŚCIENNY): Szukamy liczby, która pomnożona przez samą siebie TRZY RAZY da liczbę pod znakiem pierwiastka. Przykład: Pierwiastek trzeciego stopnia z 27 to 3, bo 3 * 3 * 3 = 27. WAŻNA ZASADA: Nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej (np. nie da się wyciągnąć pierwiastka z -16), bo żadna liczba pomnożona przez samą siebie nie da minusa.
Wskazówka 💡
Zapisz te liczby jako x, x+1 oraz x+2.
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Zbiory liczb
Klasyfikacja liczb 🗂️
W matematyce liczby dzielimy na grupy, które nazywamy zbiorami. Oto te najważniejsze:
- Liczby naturalne (N): To te, których używamy do liczenia przedmiotów: 0, 1, 2, 3, 10, 100... (pamiętaj, że 0 też jest naturalne!).
- Liczby całkowite (C): To liczby naturalne oraz ich ujemne odpowiedniki: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...
- Liczby wymierne (W): To wszystkie liczby, które da się zapisać w ułamku zwykłym. Należą tu ułamki kończone (np. 0,25), okresowe (np. 0,333...) oraz wszystkie liczby całkowite.
- Liczby niewymierne: To takie, których nie da się zapisać ułamkiem. Najpopularniejsze to pierwiastki, z których nie wychodzi liczba całkowita (np. pierwiastek z 2) oraz liczba pi.
Wskazówka 💡
Policz, która liczba powtarza się najwięcej razy.
Liczba rozwiązań
RÓWNANIE OZNACZONE - JEDNO ROZWIĄZANIE:To najczęstszy przypadek. Po obliczeniach otrzymujesz konkretny wynik, np. $ = 5. Oznacza to, że tylko ta jedna liczba spełnia równanie. RÓWNANIE TOŻSAMOŚCIOWE - NIESKOŃCZENIE WIELE ROZWIĄZAŃ: Gdy po obu stronach wyjdzie Ci to samo, np. 0 = 0 lub 5 = 5. To oznacza, że każda liczba, jaką podstawisz pod x, będzie poprawna. Lewa strona zawsze równa się prawej. RÓWNANIE SPRZECZNE - BRAK ROZWIĄZAŃ: Gdy po obliczeniach wyjdzie bzdura, np. 0 = 7 lub 2 = -3. To znak, że nie istnieje żadna liczba, która mogłaby spełnić to równanie. Po prostu nie da się go rozwiązać.
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie, jakie mamy części liczby, a potem zasadę zaokrąglania w górę i w dół.
Pole powierzchni
Pole powierzchni to łączny obszar wszystkich ścian, z których zbudowana jest bryła. Wyobraź sobie, że chcesz idealnie okleić pudełko papierem prezentowym bez żadnych zakładek.
- POLE CAŁKOWITE (Pc): To suma pól wszystkich ścian. Zazwyczaj dzielimy je na:
- Pole Podstawy (Pp): Obszar "dołu" i "góry" bryły.
- Pole Boczne (Pb): Obszar wszystkich ścian dookoła.
- W Graniastosłupach: Pole całkowite to 2 razy Pole Podstawy + Pole Boczne.
- W Ostrosłupach: Pole całkowite to Pole Podstawy + Pole Boczne (bo mają tylko jeden dół, a góra kończy się w punkcie).
- Sześcian: Ma 6 identycznych ścian-kwadratów. Policz pole jednego kwadratu i pomnóż przez 6.
Pułapka - Dzielenie przez liczbę przy x
To najczęściej ostatni krok rozwiązywania. Gdy dojdziesz do momentu typu: 3x = 12.Musisz podzielić obie strony przez to, co stoi przy iksie. UWAŻAJ: Dzielimy przez tę samą liczbę, z tym samym znakiem! Jeśli masz -2x = 10, to dzielisz przez -2. Wynik to x = -5.
Wskazówka 💡
Najpierw podziel obie strony przez 2, a potem dodaj 1.
Wskazówka 💡
Obliczaj krokowo: najpierw cenę po obniżce, a potem od TEJ NOWEJ ceny policz 10% podwyżki.
Rozwiązywanie równań
- UPROŚĆ: Wymnóż nawiasy i dodaj do siebie wyrazy podobne po obu stronach.
- PRZENIEŚ: Niewiadome (iksy) przesuń na lewą stronę, a same liczby na prawą.
- ZMIEŃ ZNAK: Pamiętaj! Przenosząc przez znak =, zmieniasz "+" na "-" i odwrotnie.
- WYLICZ: Podziel obie strony przez liczbę, która stoi przy x.
Własności pierwiastków
MNOŻENIE PIERWIASTKÓW: Gdy mnożysz dwa pierwiastki tego samego stopnia, możesz wrzucić obie liczby pod jeden wspólny znak pierwiastka i je pomnożyć.DZIELENIE PIERWIASTKÓW: Podobnie jak przy mnożeniu – możesz dzielić liczby pod jednym wspólnym znakiem pierwiastka. PIERWIASTEK Z POTĘGI: Jeśli podnosisz pierwiastek kwadratowy do potęgi drugiej, to pierwiastek i potęga "znoszą się". PIERWIASTEK Z ILOCZYNU/ILORAZU: Możesz "rozbić" jeden duży pierwiastek na dwa mniejsze.
Wskazówka 💡
Najpierw zapisz te liczby w kolejności od najmniejszej do największej.
Kolejność wykoynwania działań
Kolejność wykonywania działań to matematyczny "kodeks drogowy", który gwarantuje, że każdy na świecie otrzyma dokładnie ten sam wynik z tego samego zapisu.Bez tych reguł skomplikowane obliczenia byłyby niejednoznaczne, co prowadziłoby do błędów w nauce, technice i codziennych finansach. Właściwa kolejność to:
- Działania w nawiasach
- Potęgowanie i pierwiastkowanie
- Mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej!)
- Dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej!)
Wskazówka 💡
Przenieś 5 na prawą stronę ze zmienionym znakiem, a potem podziel wynik przez 3.
Dominanta
To najprostsze pojęcie w statystyce. Moda to „modny” wynik, czyli taki, który występuje najczęściej.
- Przykład: W grupie uczniów są wzrosty: 160 cm, 165 cm, 160 cm, 170 cm. Modą jest 160 cm, bo pojawia się dwa razy.
- WAŻNE: W jednym zbiorze może być więcej niż jedna moda (np. dwie liczby występują równie często) lub może nie być jej wcale, jeśli każdy wynik jest inny.
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie, jakie mamy części liczby, a potem zasadę zaokrąglania w górę i w dół.
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie co to jest potęga🧮!
Przypomnij sobie jak działa potęgowanie. Najczęstszym błędem jest mówienie, że 5^2, to 5+5 (a to oczywiście nie prawda!).
Wskazówka 💡
Zastanów się, jakie liczby znajdują się na ściankach kostki.
Wskazówka 💡
Skoro cena wzrosła o 20%, to 1200 zł stanowi 120% starej ceny. Użyj proporcji!
Wskazówka 💡
Oblicz najpierw, jaka musi być suma wszystkich trzech temperatur, aby średnia wynosiła 15.
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie jaka jest kolejność działań i dopiero wtedy rozwiązuj podany przykład.
Wskazówka 💡
Zbiory liczb
Przypomnij sobie, jakie mamy zbiory liczb! Zaliczmy do nich:
- Liczby naturalne
- Liczby całkowite
- Liczby wymierne
- Liczby niewymierne
- Liczby rzeczywiste
Szukanie liczby (gdy znasz procent)
Stosujesz, gdy wiesz, że np. "15% to 30 zł. Ile wynosi cała kwota?".METODA 1% (najbezpieczniejsza): 1. Oblicz ile to 1% (podziel 30 zł przez 15 = 2 zł). 2. Pomnóż wynik przez 100, żeby mieć całość (2 zł * 100 = 200 zł).
Twiedzenie Pitagorasa
To najważniejsze narzędzie do obliczania długości boków.KIEDY UŻYWAMY: Tylko i wyłącznie w trójkątach prostokątnych (takich, które mają kąt 90 stopni). ZASADA: Suma kwadratów dwóch krótszych boków (przyprostokątnych) jest równa kwadratowi najdłuższego boku (przeciwprostokątnej). WZÓR: a do kwadratu + b do kwadratu = c do kwadratu. Przykład: Jeśli boki przy kącie prostym mają 3 cm i 4 cm, to: 9 + 16 = 25. Skoro c do kwadratu to 25, to bok c ma 5 cm.
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie co to jest potęga🧮!
Przypomnij sobie jak działa potęgowanie. Najczęstszym błędem jest mówienie, że 5^2, to 5+5 (a to oczywiście nie prawda!).
Wskazówka 💡
Ile krawędzi ma sześcian? Podziel całkowitą sumę przez tę liczbę.
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Zdarzenie pewne i niemożliwe
Nie o wszystkim musimy myśleć w kategoriach „może się uda”.
- ZDARZENIE PEWNE: To takie, które na 100 procent się wydarzy. Jego prawdopodobieństwo wynosi 1. (Np. wyciągnięcie białej kuli z worka, w którym są tylko białe kule).
- ZDARZENIE NIEMOŻLIWE: To takie, które nie ma prawa się stać. Jego prawdopodobieństwo wynosi 0. (Np. wyrzucenie 7 oczek na zwykłej kostce).
Wskazówka 💡
Pamiętaj, że graniastosłup ma dwie podstawy – dolną i górną.
Zapisywanie treści zadania tekstowego
To tłumaczenie z polskiego (treści zadania) na matematyczny (wzór):
- Liczba o 5 większa od x -> x + 5
- Liczba 3 razy mniejsza od x -> 3
- Połowa liczby x -> 0,5 * x
- Liczba y jest o 10% większa od x -> y = 1,1 * x
Jakim procentem jest liczba
Stosujesz, gdy masz pytanie typu: "Klasa liczy 20 osób, w tym 5 osób ma piątki. Jaki to procent?".METODA: Zrób ułamek: (To, o co pytają) / (Całość). Pomnóż wynik przez 100%. Przykład: 5/20 * 100% = 1/4 * 100% = 25%.
Rodzaje kątów
Kąty nazywamy w zależności od tego, ile mają stopni:
- OSTRY: ma więcej niż 0, ale mniej niż 90 (jest "chudy").
- PROSTY: ma dokładnie 90. To kąt, który tworzą ściany w pokoju. Zaznaczamy go kropką w łuku.
- ROZWARTY: ma więcej niż 90, ale mniej niż 180.
- PÓŁPEŁNY: ma dokładnie 180. Wygląda jak linia prosta.
- WKLESŁY: ma więcej niż 180, ale mniej niż 360.
- PEŁNY: ma dokładnie 360. To pełny obrót (koło).
Wskazówka 💡
Skoro 25% to ćwiartka, pomnóż podaną wartość przez 4, aby otrzymać całość.
Wskazówka 💡
Skoro są 4 liczby i ich średnia to 5, to ich suma musi wynosić 20.
Wskazówka 💡
Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa: a2 + b2 = c2Pamiętaj, że a i b w tym wzorze to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna!
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Mediana
Mediana to liczba, która leży dokładnie w środku zbioru. Często jest lepsza niż średnia, bo nie „psują” jej wyniki bardzo wysokie lub bardzo niskie.
- ZŁOTA ZASADA: Zanim znajdziesz medianę, musisz ustawić liczby od najmniejszej do największej!
- LICZBA WYNIKÓW NIEPARZYSTA: Mediana to ta jedna liczba, która stoi w samym środku.
- LICZBA WYNIKÓW PARZYSTA: Bierzesz dwie środkowe liczby, dodajesz je i dzielisz przez 2 (wyciągasz z nich średnią).
Wskazówka 💡
Oblicz, ile jest losów, które NIE wygrywają.
Obliczanie procentu z liczby
ZASADA:Aby obliczyć np. 20% z liczby 60: Zamień procent na ułamek (20% = 0,20).Pomnóż ten ułamek przez liczbę (0,20 * 60 = 12). SZYBKI TRICK: Aby obliczyć 10% z dowolnej liczby, po prostu przesuń przecinek o jedno miejsce w lewo!
Wskazówka 💡
Pamiętaj, że obwód prostokąta to suma wszystkich czterech boków (dwie pary).
Waga, długość i czas
JEDNOSTKI DŁUGOŚCI:
- 1 cm = 10 mm
- 1 dm = 10 cm
- 1 m = 100 cm
- 1 km = 1000 m
JEDNOSTKI MASY (WAGI):
- 1 g = 1000 mg
- 1 dag = 10 g
- 1 kg = 100 dag = 1000 g
- 1 tona (t) = 1000 kg
JEDNOSTKI CZASU (Uważaj! Tu nie ma setek!):
- 1 minuta = 60 sekund
- 1 godzina = 60 minut = 3600 sekund
- 1 doba = 24 godziny
Wskazówka 💡
Oblicz liczbę chłopców, a potem zapisz ją jako ułamek wszystkich uczniów.
Działania na ułamkach dziesiętnych
DODAWANIE I ODEJMOWANIE:Najważniejsza zasada: przecinek pod przecinkiem!Jeśli liczby mają różną ilość cyfr po przecinku, dopisz zera na końcu. MNOŻENIE:Pomnóż liczby tak, jakby nie było przecinków.W wyniku odlicz od końca tyle miejsc, ile było łącznie w obu liczbach. DZIELENIE PRZEZ LICZBĘ Z PRZECINKIEM:Przesuń przecinek w obu liczbach w prawo tak długo, aż będziesz dzielić przez liczbę całkowitą.Przykład: 2,4 : 0,08 -> 240 : 8 = 30. MNOŻENIE/DZIELENIE PRZEZ 10, 100, 1000: Przesuwasz przecinek w prawo (mnożenie) lub w lewo (dzielenie) o tyle miejsc, ile jest zer.
Działania na ułamkach zwykłych
DODAWANIE I ODEJMOWANIE:Musisz mieć wspólny mianownik! Jeśli są różne, rozszerz ułamki tak, aby na dole była ta sama liczba.Dodajesz/odejmujesz tylko liczniki (górę), mianownik zostaje bez zmian. MNOŻENIE: Nie potrzebujesz wspólnego mianownika! Licznik * Licznik oraz Mianownik * Mianownik. Zawsze sprawdzaj, czy możesz coś skrócić na krzyż przed mnożeniem – to oszczędza czas! Przy mnożeniu i dzieleniu zawsze zamień je najpierw na ułamki niewłaściwe DZIELENIE: Pierwszy ułamek zostawiasz, zmieniasz znak na mnożenie i odwracasz drugi ułamek "do góry nogami". Przy mnożeniu i dzieleniu zawsze zamień je najpierw na ułamki niewłaściwe Przykład: 2/3 : 5/7 = 2/3 * 7/5
Graniastosłup
Graniastosłup to bryła, która „wygląda tak samo” na dole i na górze. Jej nazwa zawsze zależy od tego, co ma w podstawie.BUDOWA: Ma dwie identyczne i równoległe podstawy (np. dwa trójkąty lub dwa sześciokąty). ŚCIANY BOCZNE: W graniastosłupach prostych wszystkie ściany boczne są prostokątami. Jest ich dokładnie tyle, ile boków ma figura w podstawie. RODZAJE GRANIASTOSŁUPÓW: TRÓJKĄTNY: Ma trójkąty w podstawach. Ma 5 ścian (2 podstawy + 3 boczne). CZWOROKĄTNY: Ma czworokąty w podstawach. Najbardziej znane to sześcian i prostopadłościan. PRAWIDŁOWY: To taki, który w podstawie ma figurę foremną (np. kwadrat lub trójkąt równoboczny). Wszystkie jego ściany boczne są wtedy identycznymi prostokątami.
Wskazówka 💡
Prawdopodobieństwo 1/2 oznacza, że połowa wszystkich kul jest biała.
Ułamki zwykle
BUDOWA:
- Licznik (na górze) – mówi, ile części mamy.
- Mianownik (na dole) – mówi, na ile części podzielono całość.
- Kreska ułamkowa – to nic innego jak znak DZIELENIA.
RODZAJE UŁAMKÓW:
- Właściwe: Licznik jest mniejszy od mianownika (np. 1/2, 3/4). Są zawsze mniejsze od 1.
- Niewłaściwe: Licznik jest większy lub równy mianownikowi (np. 5/4, 7/3). Są równe lub większe od 1. Można z nich wyłączyć całości!
- Liczby mieszane: Połączenie całości i ułamka (np. 2 i 1/3).
SKRACANIE I ROZSZERZANIE:
- To zmiana wyglądu ułamka, ale jego wartość pozostaje ta sama!
- Skracanie: Dzielimy górę i dół przez tę samą liczbę.
- Rozszerzanie: Mnożymy górę i dół przez tę samą liczbę.
Wskazówka 💡
Aby podjąć decyzję, zadaj sobie dwa pytania:Przecinek: Czy liczba, która ma "coś" po przecinku (części ułamkowe), może być nazywana naturalną lub całkowitą? Przypomnij sobie definicję "całości".
Zapis: Czy tę liczbę da się zapisać w formie ułamka zwykłego? Jeśli tak, to automatycznie ląduje w zbiorze liczb wymiernych.
Wskazówka 💡
Oznacz cenę zeszytu jako x, a cenę długopisu jako x+2.
Zamiana ułamek -> procent
ZASADA: Aby zamienić ułamek na procent, musisz pomnożyć przez 100%.METODA 1 (Rozszerzanie): Jeśli się da, rozszerz ułamek zwykły tak, aby w mianowniku (na dole) było 100. Licznik to Twój wynik w %. Przykład: 3/50 = 6/100 = 6%. METODA 2 (Mnożenie): Pomnóż ułamek przez 100 i dopisz symbol %. Przykład: 1/4 * 100% = 100/4 % = 25%. Z UŁAMKA DZIESIĘTNEGO: Przesuń przecinek o dwa miejsca w prawo. Przykład: 0,6 = 60%.
Wskazówka 💡
Uporządkuj liczby i sprawdź, co stoi w środku.
Elementy brył
Każda bryła (figura przestrzenna) składa się z trzech podstawowych elementów, które musisz umieć rozpoznać i policzyć:ŚCIANA: To płaska powierzchnia bryły (np. kwadrat lub prostokąt). Bryły mają ściany podstawy (na dole i na górze) oraz ściany boczne (dookoła). KRAWĘDŹ: To linia, w której łączą się dwie ściany. Możemy wyróżnić krawędzie podstawy oraz krawędzie boczne. WIERZCHOŁEK: To punkt, w którym spotykają się krawędzie (rogi bryły). Ważne pojęcia: Wysokość bryły (H): Odcinek łączący podstawy (w graniastosłupach) lub wierzchołek z podstawą (w ostrosłupach) pod kątem prostym. Przekątna bryły: Odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie (przechodzi przez środek bryły).
Ostrosłup
Ostrosłup to bryła, która ma tylko jedną podstawę, a wszystkie jej ściany boczne spotykają się w jednym punkcie u góry, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa.PODSTAWA: Może nią być dowolny wielokąt (trójkąt, czworokąt, pięciokąt itd.). Nazwa ostrosłupa pochodzi właśnie od figury w podstawie (np. ostrosłup czworokątny). ŚCIANY BOCZNE: W ostrosłupach ściany boczne są zawsze trójkątami. Mają one jeden wspólny wierzchołek. KRAWĘDZIE: Mamy krawędzie podstawy oraz krawędzie boczne (te, które biegną do wierzchołka u góry). WAŻNE POJĘCIA WYSOKOŚĆ BRYŁY (H): Odcinek łączący wierzchołek z podstawą pod kątem prostym (wpada prosto do środka bryły). WYSOKOŚĆ ŚCIANY BOCZNEJ (h): Wysokość jednego z trójkątów, które tworzą boki piramidy.
Wskazówka 💡
Zacznij od wysokości: Wyobraź sobie, że wysokość trójkąta i wysokość trapezu to ten sam "patyk". Musisz najpierw obliczyć jego długość. Skorzystaj ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego lub narysuj go i podziel na pół – powstanie trójkąt o kątach 30, 60 i 90 stopni.
Co to jest kąt?
- DEFINICJA:Kąt to figura, którą tworzą dwie półproste (nazywane ramionami) wychodzące z jednego wspólnego punktu (nazywanego wierzchołkiem).
- MIERZENIE:Kąty mierzymy w stopniach.
- WAŻNA ZASADA:Rozmiar kąta zależy tylko od tego, jak mocno rozwarte są jego ramiona, a nie od tego, jak długie te ramiona narysujemy!
Wskazówka 💡
Najpierw policz, ile jest dziewcząt, a potem zapisz to jako ułamek wszystkich uczniów.
Przekształcanie wzorów
Działa identycznie jak rozwiązywanie równań, ale zamiast liczb masz inne litery. Twoim celem jest zostawienie jednej wybranej litery samej po lewej stronie.
- Chcesz się pozbyć dodawania? Odejmij tę literę od obu stron.
- Chcesz się pozbyć mnożenia? Podziel obie strony przez tę literę.
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Wskazówka 💡
Oblicz najpierw 10% (to 30 zł) i 5% (to 15 zł), a potem je dodaj i odejmij od całości.
Wskazówka 💡
Wypisz wszystkie 4 możliwe kombinacje wyników rzutu dwiema monetami.
Zamiana procent -> ułamek
ZASADA: Aby zamienić procent na ułamek, musisz podzielić przez 100 i usunąć symbol %.NA UŁAMEK ZWYKŁY: Zapisz liczbę w liczniku, a w mianowniku daj 100. Potem skróć ułamek, jeśli się da. Przykład: 20% = 20/100 = 1/5. NA UŁAMEK DZIESIĘTNY: Przesuń przecinek o dwa miejsca w lewo. Przykład: 7% = 0,07. Przykład: 12,5% = 0,125.
Trapez
Najszersza grupa czworokątów. Jedynym wymogiem jest posiadanie co najmniej jednej pary boków równoległych (nazywamy je podstawami).ZASADA KĄTÓW: Suma kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu zawsze wynosi 180 stopni. TRAPEZ RÓWNORAMIENNY: Ma ramiona tej samej długości. Kąty przy podstawach są równe, a przekątne mają taką samą długość. TRAPEZ PROSTOKĄNY: Jedno z jego ramion jest prostopadłe do podstaw (tworzy z nimi dwa kąty po 90 stopni). To ramię jest jednocześnie wysokością trapezu.
Wskazówka 💡
W koszyku są 3 kule białe i 2 czarne. Czy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej wynosi 2/3?
Wskazówka 💡
Oblicz najpierw 10% z 200 zł, potem połowę tego (czyli 5%) i odejmij sumę od ceny początkowej.Ewentualnie oblicz ile to jest 15% z 200 zł. Wykonasz to mnożąc 15% * 200, czyli 15/100 * 200.
Co to jest procent?
DEFINICJA: Procent to po prostu inny zapis ułamka o mianowniku 100.SYMBOL: % oznacza „na sto” (z łaciny per centum). ZASADA: 1% to 1/100 (jedna setna) lub 0,01. CAŁOŚĆ: 100% to zawsze 1 (całość).
Wskazówka 💡
Narysuj ten ogród oraz skrót i sprawdź z czym Ci się to kojarzy!
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie co to jest potęga🧮!
Przypomnij sobie jak działa potęgowanie. Najczęstszym błędem jest mówienie, że 5^2, to 5+5 (a to oczywiście nie prawda!).
Średnia arytmetyczna
To najpopularniejszy sposób wyliczania „środka” wyników. Wyobraź sobie, że chcesz sprawdzić swoją średnią ocen.
- Jak to liczyć? Dodaj do siebie wszystkie liczby, a wynik podziel przez to, ile ich było.
- Przykład: Twoje oceny to 4, 5, 3. Suma to 12. Masz 3 oceny, więc dzielisz 12 przez 3. Średnia wynosi 4.
- WAŻNE: Średnia wcale nie musi być jedną z liczb, które dodawałeś (może wyjść np. 4,25).
Równoległobok i romb
Tu kluczowe są boki i kąty leżące naprzeciwko siebie.RÓWNOLEGŁOBOK: Ma dwie pary boków równoległych i równej długości. Kąty leżące naprzeciw siebie są takie same. Przekątne przecinają się w połowie, ale mają różne długości. ROMB: To równoległobok, który ma wszystkie boki równe. Jego przekątne są różnej długości, ale przecinają się w połowie pod kątem prostym. Każdy romb jest równoległobokiem, ale nie każdy równoległobok jest rombem!
Wskazówka 💡
Kąty przy tym samym boku równoległoboku (lub trapezu) zawsze dają razem 180°.
Własności potęg
MNOŻENIE (te same podstawy): Gdy mnożymy dwie potęgi o tej samej podstawie (np. 5^3 razy 5^4), wtedy PODSTAWĘ PRZEPISUJEMY, A WYKŁADNIKI DODAJEMY.Przykład: 2^3 * 2^5 = 2^8. DZIELENIE (te same podstawy): Gdy dzielimy dwie potęgi o tej samej podstawie, wtedy PODSTAWĘ PRZEPISUJEMY, A WYKŁADNIKI ODEJMUJEMY. Przykład: 7^10 : 7^2 = 7^8. POTĘGOWANIE POTĘGI: Gdy mamy potęgę do potęgi to wtedy WYKŁADNIKI MNOŻYMY. Przykład: (4^2)^3 = 4^6. MNOŻENIE/DZIELENIE (różne podstawy, ten sam wykładnik): Możemy wziąć liczby pod jeden wspólny nawias i najpierw je pomnożyć lub podzielić, a potem podnieść do potęgi. Przykład: 2^3 * 5^3 = (2 * 5)^3 = 10^3.
Jednostki pola
WAŻNA ZASADA:Jeśli 1 metr ma 10 decymetrów, to 1 metr kwadratowy ma 100 decymetrów kwadratowych (10 * 10).Rolnictwo: 1 ar to kwadrat 10m na 10m (100 metrów kwadratowych), a 1 hektar (ha) to 100 arów.
Wskazówka 💡
Oblicz potęgi lub pierwiastki, a potem dodaj lub odejmij liczby. Na koniec posortuj poprawnie liczby.
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie zasadę 'szpica' – ostrosłup to zawsze jedna trzecia graniastosłupa.
Szczególne trójkąty: 45/45/90 i 30/60/90
Niektóre trójkąty pozwalają wyliczyć boki bez Pitagorasa, jeśli znasz ich kąty:
- Trójkąt 45-45-90 stopni: To połowa kwadratu.
- Dwa boki są równe (oznaczmy je jako a).
- Najdłuższy bok to a razy pierwiastek z 2.
- Trójkąt 30-60-90 stopni: To połowa trójkąta równobocznego.
- Najkrótszy bok leży naprzeciw kąta 30 stopni (oznaczmy go jako a).
- Najdłuższy bok jest dwa razy większy (2a).
- Średni bok to a razy pierwiastek z 3.
Kwadrat i prostokąt
To najbardziej regularne czworokąty. Każdy z nich ma wszystkie kąty proste (90 stopni).KWADRAT: Ma wszystkie boki równej długości. Jego przekątne są równe, przecinają się w połowie i – co najważniejsze – robią to pod kątem prostym. Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem! PROSTOKĄT: Ma dwie pary boków równej długości. Jego przekątne są równej długości i przecinają się w połowie, ale nie muszą być prostopadłe.
Zadania tekstowe - Rozwiązywanie
Kluczem jest wyznaczenie niewiadomej.
- Przeczytaj zadanie i wybierz, co będzie Twoim x (najlepiej najmniejsza z szukanych liczb).
- Opisz pozostałe wielkości za pomocą tego x.
- Ułóż równanie na podstawie informacji z zadania (np. "suma tych liczb wynosi 50").
- Rozwiąż równanie i sprawdź, czy wynik ma sens (np. wiek nie może być ujemny!).
Wskazówka 💡
Najpierw wyznacz długość krawędzi (a), wiedząc, że pole kwadratu to a razy a.
Ułamki zwykle
BUDOWA:
- Przecinek oddziela część całkowitą (po lewej) od części ułamkowej (po prawej).
- Pierwsze miejsce po przecinku to części dziesiąte.
- Drugie miejsce po przecinku to części setne.
- Trzecie miejsce po przecinku to części tysięczne.
DOPISYWANIE ZER:
- Na końcu ułamka dziesiętnego możesz dopisać dowolną liczbę zer i wartość liczby się nie zmieni! (np. 0,5 = 0,50 = 0,500). To bardzo pomaga przy porównywaniu ułamków.
ZAMIANA NA UŁAMEK ZWYKŁY:
- W liczniku wpisujesz liczbę bez przecinka, a w mianowniku 10, 100 lub 1000 (tyle zer, ile było miejsc po przecinku).
- Przykład: 0,75 =75/100 = 3/4
Pary kątów
Na egzaminie najczęściej spotkasz te cztery sytuacje. Pozwalają one "przeskakiwać" z jedną miarą kąta po całym rysunku:
- KĄTY PRZYLEGŁE: Leżą obok siebie przy jednej prostej. Razem tworzą linię prostą.Zasada: Ich suma wynosi zawsze 180 stopni.Jeśli jeden ma 60 stopni, to drugi ma 120 stopni.
- KĄTY WIERZCHOŁKOWE: Leżą naprzeciwko siebie na "X".Zasada: Mają identyczną miarę.Jeśli jeden ma 40 stopni, to ten naprzeciwko też ma 40 stopni.
- KĄTY ODPOWIADAJĄCE: Leżą w tym samym miejscu przy dwóch różnych "skrzyżowaniach" (gdy proste są równoległe).Zasada: Są takie same.Górny lewy kąt na pierwszym skrzyżowaniu jest taki sam jak górny lewy na drugim.
- KĄTY NAPRZEMIANLEGŁE: Leżą po przeciwnych stronach kreski przecinającej dwie proste równoległe (tworzą literę Z).Zasada: Mają tę samą miarę.
Co to jest równanie?
Równanie to zapis matematyczny, w którym dwie strony są sobie równe. Składa się z liczb, liter (niewiadomych, najczęściej x) oraz znaku =. Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć taką liczbę, którą gdy podstawisz pod x, sprawi, że lewa strona będzie identyczna jak prawa.
Potęgi
ZAPIS: Zamiast pisać 2 * 2 * 2 * 2 * 2, piszemy 2 do potęgi 5.BUDOWA: Podstawa (ta duża liczba) – mówi, jaką liczbę mnożymy. Wykładnik (ta mała liczba u góry) – mówi, ile razy tę liczbę przez siebie mnożymy. WAŻNE ZASADY:
- Dowolna liczba do potęgi 0 zawsze daje 1 (np. 100 do potęgi 0 = 1).
- Dowolna liczba do potęgi 1 to po prostu ta sama liczba (np. 7 do potęgi 1 = 7).
- Liczba 1 podniesiona do dowolnej potęgi to zawsze 1.
- Liczba 0 do dowolnej potęgi (oprócz zera) to zawsze 0.
Prawdopodobieństwo - Podstawy
To matematyczne określenie szansy na to, że coś się wydarzy. Wynik zawsze zapisujemy jako ułamek.
- WZÓR: Na górze ułamka wpisz liczbę wyników, które Cię interesują (sukcesy). Na dole wpisz liczbę wszystkich możliwych wyników.
- PRZYKŁAD (KOSTKA): Jaka jest szansa, że wypadnie 5? Jest tylko jedna piątka, a wszystkich ścianek jest 6. Szansa to 1/6.
- SKALA: Prawdopodobieństwo nigdy nie jest mniejsze niż 0 i nigdy większe niż 1.
Jednostki objętości
Jednostki objętości mają małą trójkę u góry. Ta trójka podpowiada nam, że przy zamianie jednostek dzieją się "dziwne" rzeczy z zerami.ZASADA 3 ZER: Jeśli zamieniasz zwykłe metry na centymetry, dodajesz 2 zera. Ale jeśli zamieniasz metry sześcienne na centymetry sześcienne, to każde zero potrajasz! 1 metr sześcienny to aż 1 000 000 (milion) centymetrów sześciennych. KLUCZOWA MIARA: Najważniejszą jednostką w zadaniach jest 1 decymetr sześcienny. To sześcian o boku 10 cm na 10 cm na 10 cm.
Zdążyć przed E8
Bartosz Skurpel-Bujoczek
Created on January 7, 2026
Quiz z całości materiału do egzaminu E8 Temat: Zdążyć przed E8 Szkoła szyta na miarę
Start designing with a free template
Discover more than 1500 professional designs like these:
View
Essential Business Proposal
View
Project Roadmap Timeline
View
Step-by-Step Timeline: How to Develop an Idea
View
Artificial Intelligence History Timeline
View
Polka Dots Presentation
View
Carrera de estrellas PRUEBA
View
Pictures quiz
Explore all templates
Transcript
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geometria płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
Zdążyć przed E8
Egzamin Ósmoklasisty tuż za rogiem! Podejmij wyzwanie, rozwiąż matematyczne zagadki z 6 kluczowych działów i udowodnij, że nic Cię nie zaskoczy. Pamiętaj: Masz jedeną szansę w każdym pytaniu! Na koniec otrzymasz wynik!
Pytań jest sporo! Zaplanuj sobie odpowiednio dużo czasu na ten test! Dodatkowo, przyogtuj sobie kartkę i długopis.
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Liczby i działania
Zbiory liczb
Kolejność działań
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Ułamki dziesiętne
Ułamki zwykłe
Działania na ułamkach zwykłych
Działania na ułamkach dziesiętnych
Potęgi
Pierwiastki
Własności potęg
Własności pieriwastków
Waga, długość, czas
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:05
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:06
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:07
WSKAZÓWKA
Liczby i działania
Lekcja:01 Pytanie:08
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Procenty
Procent
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Zamiana procent -> ułamek
Zamiana ułamek -> procent
Jakim procentem jest liczna
Obliczanie procentu z liczby
Szukanie liczby (gdy znasz procent)
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:05
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:06
WSKAZÓWKA
Procenty
Lekcja:02 Pytanie:07
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Równania
Co to jest równanie?
Rozwiązywanie równań
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Liczba rozwiązań
Metoda "wagi"
Zapisywanie treści zadania
Zadania tekstowe - Rozwiązywanie
Przekształcanie wzorów
Pułapka - Dzielenie przez liczbę przy x
Równania
Lekcja:03 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:05
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:06
WSKAZÓWKA
Równania
Lekcja:03 Pytanie:07
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Geometria płaska
Rodzaje kątów
Co to kąt?
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Kąty w wielokątach
Pary kątów
Rodzaje trójkątów
Twierdzenie Pitagorasa
Szczególne trójkąty: 45/45/90 i 30/60/90
Kwadrat i prostokąt
Równoległobok i romb
Trapez
Obwody i pola
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Geometria płaska
Lekcja:04 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Geometria przestrzenna
Elementy brył
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Graniastosłup
Sześcian i prostopadłościan
Ostrosłup
Działania na ułamkach dziesiętnych
Jednostki pola
Pole powierzchni
Jednostki objętości
Objętość
Geometria przestrzenna
Lekcja:05 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Geometria przestrzenna
Lekcja:05 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Geometria przestrzenna
Lekcja:05 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Geometria przestrzenna
Lekcja:05 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
INSTRUKCJA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Średnia arytmetyczna
Mediana
W tym dziale zajmiemy się kolejnością wykonywania działań, ułamkami zwykłymi oraz dziesiętnymi, potęgami i pierwiastkami Z prawej strony znajdziesz kilka informacji, które pomogą Ci w rozwiązywaniu zadań.
Dominanta
Prawdopodobieństwo - Podstawy
Zdarzenie pewne i niemożliwe
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:01
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:02
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:03
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:04
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:05
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:06
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:07
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:08
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:09
WSKAZÓWKA
Statystyka i prawdopodobieństwo
Lekcja:06 Pytanie:10
WSKAZÓWKA
Wybierz lekcję:
1) Liczby i działania
2) Procenty
3) Równania
4) Geomeitra płaska
5) Geometria przestrzenna
6) Statystyka i prawdopodobieństwo
Dyplom
Gratulacje!
Szkoła szyta na miarę
Gratulujemy! Własnie ukończyłeś(aś) nasz test "Zdążyć przed E8". Mamy nadzieję, że pytania nie sprawiły Ci zbyt dużej trudności!
Powodzenia na egzaminie!
Sklep Szkoły szytej na miarę
Liczby i działania
Tekst
Sześcian i prostopadłościan
To specjalne rodzaje graniastosłupów czworokątnych, w których wszystkie ściany są prostokątami lub kwadratami.PROSTOPADŁOŚCIAN:
- Wszystkie jego ściany (jest ich 6) to prostokąty.
- Ma 3 pary identycznych ścian (podstawy, boki lewe-prawe, boki przód-tył).
- Wymiary prostopadłościanu nazywamy długością, szerokością i wysokością (często oznaczane jako a, b, c).
SZEŚCIAN:Objętość
Objętość to ilość miejsca, jaką bryła zajmuje. Dla wszystkich graniastosłupów (pudełek, klocków, bloków) obowiązuje jedna główna zasada:ZASADA: Oblicz pole podstawy i pomnóż je przez wysokość bryły. PROSTOPADŁOŚCIAN: Pomnóż przez siebie wszystkie trzy wymiary (długość razy szerokość razy wysokość). WYOBRAŹNIA: Objętość mówi nam, ile kostek cukru o boku 1 cm zmieściłoby się wewnątrz danego przedmiotu. Ostrosłupy (piramidy) mają specyficzną cechę – zajmują mniej miejsca niż graniastosłupy o tej samej podstawie. ZASADA: Objętość ostrosłupa to jedna trzecia objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości. Jak to liczyć? Oblicz pole podstawy, pomnóż przez wysokość bryły, a wynik podziel przez 3.
Kąty w wielokątach
Każdy wielokąt ma określoną sumę kątów w środku. Im więcej figura ma boków, tym ta suma jest większa.
Wskazówka 💡
Zapisz wiek obu osób za pomocą x i zsumuj je.
Obwody i pola
W trakcie budowy!
Rodzaje trójkątów
Trójkąty możemy dzielić na dwa sposoby: ze względu na ich boki oraz ze względu na ich kąty.PODZIAŁ ZE WZGLĘDU NA BOKI:
- Różnoboczny: Każdy bok ma inną długość.
- Równoramienny: Ma dwa boki tej samej długości (ramiona) i jeden inny (podstawa). Kąty przy podstawie są identyczne!
- Równoboczny: Wszystkie boki są równe. Każdy jego kąt ma dokładnie 60 stopni.
PODZIAŁ ZE WZGLĘDU NA KĄTY:Wskazówka 💡
Pamiętaj, że suma kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi dokładnie 180°.
Metoda "wagi"
Wyobraź sobie, że równanie to waga szalkowa w równowadze. Aby waga nadal stała prosto, każdą operację musisz wykonać na obu szalach jednocześnie. Jeśli odejmujesz 10 od lewej strony, musisz odjąć 10 także od prawej. Jeśli mnożysz lewą stronę przez 2, prawą też musisz pomnożyć przez 2.
Wskazówka 💡
Jaką liczbę musisz pomnożyć przez samą siebie, żeby otrzymać 64? (Szukamy pierwiastka z 64).
Wskazówka 💡
Oznacz wiek Basi jako x, wtedy wiek Ani to x+4.
Pierwiastki
CZYM JEST PIERWIASTEK?Pierwiastkowanie to szukanie liczby, która podniesiona do potęgi da nam wynik pod pierwiastkiem. To takie matematyczne "śledztwo" wstecz.PIERWIASTEK DRUGIEGO STOPNIA (KWADRATOWY): Szukamy liczby, która pomnożona przez samą siebie da liczbę pod znakiem pierwiastka. Przykład: Pierwiastek z 25 to 5, bo 5 * 5 = 25. PIERWIASTEK TRZECIEGO STOPNIA (SZEŚCIENNY): Szukamy liczby, która pomnożona przez samą siebie TRZY RAZY da liczbę pod znakiem pierwiastka. Przykład: Pierwiastek trzeciego stopnia z 27 to 3, bo 3 * 3 * 3 = 27. WAŻNA ZASADA: Nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej (np. nie da się wyciągnąć pierwiastka z -16), bo żadna liczba pomnożona przez samą siebie nie da minusa.
Wskazówka 💡
Zapisz te liczby jako x, x+1 oraz x+2.
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Zbiory liczb
Klasyfikacja liczb 🗂️
W matematyce liczby dzielimy na grupy, które nazywamy zbiorami. Oto te najważniejsze:
Wskazówka 💡
Policz, która liczba powtarza się najwięcej razy.
Liczba rozwiązań
RÓWNANIE OZNACZONE - JEDNO ROZWIĄZANIE:To najczęstszy przypadek. Po obliczeniach otrzymujesz konkretny wynik, np. $ = 5. Oznacza to, że tylko ta jedna liczba spełnia równanie. RÓWNANIE TOŻSAMOŚCIOWE - NIESKOŃCZENIE WIELE ROZWIĄZAŃ: Gdy po obu stronach wyjdzie Ci to samo, np. 0 = 0 lub 5 = 5. To oznacza, że każda liczba, jaką podstawisz pod x, będzie poprawna. Lewa strona zawsze równa się prawej. RÓWNANIE SPRZECZNE - BRAK ROZWIĄZAŃ: Gdy po obliczeniach wyjdzie bzdura, np. 0 = 7 lub 2 = -3. To znak, że nie istnieje żadna liczba, która mogłaby spełnić to równanie. Po prostu nie da się go rozwiązać.
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie, jakie mamy części liczby, a potem zasadę zaokrąglania w górę i w dół.
Pole powierzchni
Pole powierzchni to łączny obszar wszystkich ścian, z których zbudowana jest bryła. Wyobraź sobie, że chcesz idealnie okleić pudełko papierem prezentowym bez żadnych zakładek.
Pułapka - Dzielenie przez liczbę przy x
To najczęściej ostatni krok rozwiązywania. Gdy dojdziesz do momentu typu: 3x = 12.Musisz podzielić obie strony przez to, co stoi przy iksie. UWAŻAJ: Dzielimy przez tę samą liczbę, z tym samym znakiem! Jeśli masz -2x = 10, to dzielisz przez -2. Wynik to x = -5.
Wskazówka 💡
Najpierw podziel obie strony przez 2, a potem dodaj 1.
Wskazówka 💡
Obliczaj krokowo: najpierw cenę po obniżce, a potem od TEJ NOWEJ ceny policz 10% podwyżki.
Rozwiązywanie równań
Własności pierwiastków
MNOŻENIE PIERWIASTKÓW: Gdy mnożysz dwa pierwiastki tego samego stopnia, możesz wrzucić obie liczby pod jeden wspólny znak pierwiastka i je pomnożyć.DZIELENIE PIERWIASTKÓW: Podobnie jak przy mnożeniu – możesz dzielić liczby pod jednym wspólnym znakiem pierwiastka. PIERWIASTEK Z POTĘGI: Jeśli podnosisz pierwiastek kwadratowy do potęgi drugiej, to pierwiastek i potęga "znoszą się". PIERWIASTEK Z ILOCZYNU/ILORAZU: Możesz "rozbić" jeden duży pierwiastek na dwa mniejsze.
Wskazówka 💡
Najpierw zapisz te liczby w kolejności od najmniejszej do największej.
Kolejność wykoynwania działań
Kolejność wykonywania działań to matematyczny "kodeks drogowy", który gwarantuje, że każdy na świecie otrzyma dokładnie ten sam wynik z tego samego zapisu.Bez tych reguł skomplikowane obliczenia byłyby niejednoznaczne, co prowadziłoby do błędów w nauce, technice i codziennych finansach. Właściwa kolejność to:
Wskazówka 💡
Przenieś 5 na prawą stronę ze zmienionym znakiem, a potem podziel wynik przez 3.
Dominanta
To najprostsze pojęcie w statystyce. Moda to „modny” wynik, czyli taki, który występuje najczęściej.
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie, jakie mamy części liczby, a potem zasadę zaokrąglania w górę i w dół.
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie co to jest potęga🧮! Przypomnij sobie jak działa potęgowanie. Najczęstszym błędem jest mówienie, że 5^2, to 5+5 (a to oczywiście nie prawda!).
Wskazówka 💡
Zastanów się, jakie liczby znajdują się na ściankach kostki.
Wskazówka 💡
Skoro cena wzrosła o 20%, to 1200 zł stanowi 120% starej ceny. Użyj proporcji!
Wskazówka 💡
Oblicz najpierw, jaka musi być suma wszystkich trzech temperatur, aby średnia wynosiła 15.
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie jaka jest kolejność działań i dopiero wtedy rozwiązuj podany przykład.
Wskazówka 💡
Zbiory liczb
Przypomnij sobie, jakie mamy zbiory liczb! Zaliczmy do nich:
Szukanie liczby (gdy znasz procent)
Stosujesz, gdy wiesz, że np. "15% to 30 zł. Ile wynosi cała kwota?".METODA 1% (najbezpieczniejsza): 1. Oblicz ile to 1% (podziel 30 zł przez 15 = 2 zł). 2. Pomnóż wynik przez 100, żeby mieć całość (2 zł * 100 = 200 zł).
Twiedzenie Pitagorasa
To najważniejsze narzędzie do obliczania długości boków.KIEDY UŻYWAMY: Tylko i wyłącznie w trójkątach prostokątnych (takich, które mają kąt 90 stopni). ZASADA: Suma kwadratów dwóch krótszych boków (przyprostokątnych) jest równa kwadratowi najdłuższego boku (przeciwprostokątnej). WZÓR: a do kwadratu + b do kwadratu = c do kwadratu. Przykład: Jeśli boki przy kącie prostym mają 3 cm i 4 cm, to: 9 + 16 = 25. Skoro c do kwadratu to 25, to bok c ma 5 cm.
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie co to jest potęga🧮! Przypomnij sobie jak działa potęgowanie. Najczęstszym błędem jest mówienie, że 5^2, to 5+5 (a to oczywiście nie prawda!).
Wskazówka 💡
Ile krawędzi ma sześcian? Podziel całkowitą sumę przez tę liczbę.
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Zdarzenie pewne i niemożliwe
Nie o wszystkim musimy myśleć w kategoriach „może się uda”.
Wskazówka 💡
Pamiętaj, że graniastosłup ma dwie podstawy – dolną i górną.
Zapisywanie treści zadania tekstowego
To tłumaczenie z polskiego (treści zadania) na matematyczny (wzór):
Jakim procentem jest liczba
Stosujesz, gdy masz pytanie typu: "Klasa liczy 20 osób, w tym 5 osób ma piątki. Jaki to procent?".METODA: Zrób ułamek: (To, o co pytają) / (Całość). Pomnóż wynik przez 100%. Przykład: 5/20 * 100% = 1/4 * 100% = 25%.
Rodzaje kątów
Kąty nazywamy w zależności od tego, ile mają stopni:
Wskazówka 💡
Skoro 25% to ćwiartka, pomnóż podaną wartość przez 4, aby otrzymać całość.
Wskazówka 💡
Skoro są 4 liczby i ich średnia to 5, to ich suma musi wynosić 20.
Wskazówka 💡
Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa: a2 + b2 = c2Pamiętaj, że a i b w tym wzorze to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna!
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Mediana
Mediana to liczba, która leży dokładnie w środku zbioru. Często jest lepsza niż średnia, bo nie „psują” jej wyniki bardzo wysokie lub bardzo niskie.
Wskazówka 💡
Oblicz, ile jest losów, które NIE wygrywają.
Obliczanie procentu z liczby
ZASADA:Aby obliczyć np. 20% z liczby 60: Zamień procent na ułamek (20% = 0,20).Pomnóż ten ułamek przez liczbę (0,20 * 60 = 12). SZYBKI TRICK: Aby obliczyć 10% z dowolnej liczby, po prostu przesuń przecinek o jedno miejsce w lewo!
Wskazówka 💡
Pamiętaj, że obwód prostokąta to suma wszystkich czterech boków (dwie pary).
Waga, długość i czas
JEDNOSTKI DŁUGOŚCI:
- 1 cm = 10 mm
- 1 dm = 10 cm
- 1 m = 100 cm
- 1 km = 1000 m
JEDNOSTKI MASY (WAGI):- 1 g = 1000 mg
- 1 dag = 10 g
- 1 kg = 100 dag = 1000 g
- 1 tona (t) = 1000 kg
JEDNOSTKI CZASU (Uważaj! Tu nie ma setek!):Wskazówka 💡
Oblicz liczbę chłopców, a potem zapisz ją jako ułamek wszystkich uczniów.
Działania na ułamkach dziesiętnych
DODAWANIE I ODEJMOWANIE:Najważniejsza zasada: przecinek pod przecinkiem!Jeśli liczby mają różną ilość cyfr po przecinku, dopisz zera na końcu. MNOŻENIE:Pomnóż liczby tak, jakby nie było przecinków.W wyniku odlicz od końca tyle miejsc, ile było łącznie w obu liczbach. DZIELENIE PRZEZ LICZBĘ Z PRZECINKIEM:Przesuń przecinek w obu liczbach w prawo tak długo, aż będziesz dzielić przez liczbę całkowitą.Przykład: 2,4 : 0,08 -> 240 : 8 = 30. MNOŻENIE/DZIELENIE PRZEZ 10, 100, 1000: Przesuwasz przecinek w prawo (mnożenie) lub w lewo (dzielenie) o tyle miejsc, ile jest zer.
Działania na ułamkach zwykłych
DODAWANIE I ODEJMOWANIE:Musisz mieć wspólny mianownik! Jeśli są różne, rozszerz ułamki tak, aby na dole była ta sama liczba.Dodajesz/odejmujesz tylko liczniki (górę), mianownik zostaje bez zmian. MNOŻENIE: Nie potrzebujesz wspólnego mianownika! Licznik * Licznik oraz Mianownik * Mianownik. Zawsze sprawdzaj, czy możesz coś skrócić na krzyż przed mnożeniem – to oszczędza czas! Przy mnożeniu i dzieleniu zawsze zamień je najpierw na ułamki niewłaściwe DZIELENIE: Pierwszy ułamek zostawiasz, zmieniasz znak na mnożenie i odwracasz drugi ułamek "do góry nogami". Przy mnożeniu i dzieleniu zawsze zamień je najpierw na ułamki niewłaściwe Przykład: 2/3 : 5/7 = 2/3 * 7/5
Graniastosłup
Graniastosłup to bryła, która „wygląda tak samo” na dole i na górze. Jej nazwa zawsze zależy od tego, co ma w podstawie.BUDOWA: Ma dwie identyczne i równoległe podstawy (np. dwa trójkąty lub dwa sześciokąty). ŚCIANY BOCZNE: W graniastosłupach prostych wszystkie ściany boczne są prostokątami. Jest ich dokładnie tyle, ile boków ma figura w podstawie. RODZAJE GRANIASTOSŁUPÓW: TRÓJKĄTNY: Ma trójkąty w podstawach. Ma 5 ścian (2 podstawy + 3 boczne). CZWOROKĄTNY: Ma czworokąty w podstawach. Najbardziej znane to sześcian i prostopadłościan. PRAWIDŁOWY: To taki, który w podstawie ma figurę foremną (np. kwadrat lub trójkąt równoboczny). Wszystkie jego ściany boczne są wtedy identycznymi prostokątami.
Wskazówka 💡
Prawdopodobieństwo 1/2 oznacza, że połowa wszystkich kul jest biała.
Ułamki zwykle
BUDOWA:
- Licznik (na górze) – mówi, ile części mamy.
- Mianownik (na dole) – mówi, na ile części podzielono całość.
- Kreska ułamkowa – to nic innego jak znak DZIELENIA.
RODZAJE UŁAMKÓW:- Właściwe: Licznik jest mniejszy od mianownika (np. 1/2, 3/4). Są zawsze mniejsze od 1.
- Niewłaściwe: Licznik jest większy lub równy mianownikowi (np. 5/4, 7/3). Są równe lub większe od 1. Można z nich wyłączyć całości!
- Liczby mieszane: Połączenie całości i ułamka (np. 2 i 1/3).
SKRACANIE I ROZSZERZANIE:Wskazówka 💡
Aby podjąć decyzję, zadaj sobie dwa pytania:Przecinek: Czy liczba, która ma "coś" po przecinku (części ułamkowe), może być nazywana naturalną lub całkowitą? Przypomnij sobie definicję "całości". Zapis: Czy tę liczbę da się zapisać w formie ułamka zwykłego? Jeśli tak, to automatycznie ląduje w zbiorze liczb wymiernych.
Wskazówka 💡
Oznacz cenę zeszytu jako x, a cenę długopisu jako x+2.
Zamiana ułamek -> procent
ZASADA: Aby zamienić ułamek na procent, musisz pomnożyć przez 100%.METODA 1 (Rozszerzanie): Jeśli się da, rozszerz ułamek zwykły tak, aby w mianowniku (na dole) było 100. Licznik to Twój wynik w %. Przykład: 3/50 = 6/100 = 6%. METODA 2 (Mnożenie): Pomnóż ułamek przez 100 i dopisz symbol %. Przykład: 1/4 * 100% = 100/4 % = 25%. Z UŁAMKA DZIESIĘTNEGO: Przesuń przecinek o dwa miejsca w prawo. Przykład: 0,6 = 60%.
Wskazówka 💡
Uporządkuj liczby i sprawdź, co stoi w środku.
Elementy brył
Każda bryła (figura przestrzenna) składa się z trzech podstawowych elementów, które musisz umieć rozpoznać i policzyć:ŚCIANA: To płaska powierzchnia bryły (np. kwadrat lub prostokąt). Bryły mają ściany podstawy (na dole i na górze) oraz ściany boczne (dookoła). KRAWĘDŹ: To linia, w której łączą się dwie ściany. Możemy wyróżnić krawędzie podstawy oraz krawędzie boczne. WIERZCHOŁEK: To punkt, w którym spotykają się krawędzie (rogi bryły). Ważne pojęcia: Wysokość bryły (H): Odcinek łączący podstawy (w graniastosłupach) lub wierzchołek z podstawą (w ostrosłupach) pod kątem prostym. Przekątna bryły: Odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie (przechodzi przez środek bryły).
Ostrosłup
Ostrosłup to bryła, która ma tylko jedną podstawę, a wszystkie jej ściany boczne spotykają się w jednym punkcie u góry, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa.PODSTAWA: Może nią być dowolny wielokąt (trójkąt, czworokąt, pięciokąt itd.). Nazwa ostrosłupa pochodzi właśnie od figury w podstawie (np. ostrosłup czworokątny). ŚCIANY BOCZNE: W ostrosłupach ściany boczne są zawsze trójkątami. Mają one jeden wspólny wierzchołek. KRAWĘDZIE: Mamy krawędzie podstawy oraz krawędzie boczne (te, które biegną do wierzchołka u góry). WAŻNE POJĘCIA WYSOKOŚĆ BRYŁY (H): Odcinek łączący wierzchołek z podstawą pod kątem prostym (wpada prosto do środka bryły). WYSOKOŚĆ ŚCIANY BOCZNEJ (h): Wysokość jednego z trójkątów, które tworzą boki piramidy.
Wskazówka 💡
Zacznij od wysokości: Wyobraź sobie, że wysokość trójkąta i wysokość trapezu to ten sam "patyk". Musisz najpierw obliczyć jego długość. Skorzystaj ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego lub narysuj go i podziel na pół – powstanie trójkąt o kątach 30, 60 i 90 stopni.
Co to jest kąt?
Wskazówka 💡
Najpierw policz, ile jest dziewcząt, a potem zapisz to jako ułamek wszystkich uczniów.
Przekształcanie wzorów
Działa identycznie jak rozwiązywanie równań, ale zamiast liczb masz inne litery. Twoim celem jest zostawienie jednej wybranej litery samej po lewej stronie.
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Wskazówka 💡
Oblicz najpierw 10% (to 30 zł) i 5% (to 15 zł), a potem je dodaj i odejmij od całości.
Wskazówka 💡
Wypisz wszystkie 4 możliwe kombinacje wyników rzutu dwiema monetami.
Zamiana procent -> ułamek
ZASADA: Aby zamienić procent na ułamek, musisz podzielić przez 100 i usunąć symbol %.NA UŁAMEK ZWYKŁY: Zapisz liczbę w liczniku, a w mianowniku daj 100. Potem skróć ułamek, jeśli się da. Przykład: 20% = 20/100 = 1/5. NA UŁAMEK DZIESIĘTNY: Przesuń przecinek o dwa miejsca w lewo. Przykład: 7% = 0,07. Przykład: 12,5% = 0,125.
Trapez
Najszersza grupa czworokątów. Jedynym wymogiem jest posiadanie co najmniej jednej pary boków równoległych (nazywamy je podstawami).ZASADA KĄTÓW: Suma kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu zawsze wynosi 180 stopni. TRAPEZ RÓWNORAMIENNY: Ma ramiona tej samej długości. Kąty przy podstawach są równe, a przekątne mają taką samą długość. TRAPEZ PROSTOKĄNY: Jedno z jego ramion jest prostopadłe do podstaw (tworzy z nimi dwa kąty po 90 stopni). To ramię jest jednocześnie wysokością trapezu.
Wskazówka 💡
W koszyku są 3 kule białe i 2 czarne. Czy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej wynosi 2/3?
Wskazówka 💡
Oblicz najpierw 10% z 200 zł, potem połowę tego (czyli 5%) i odejmij sumę od ceny początkowej.Ewentualnie oblicz ile to jest 15% z 200 zł. Wykonasz to mnożąc 15% * 200, czyli 15/100 * 200.
Co to jest procent?
DEFINICJA: Procent to po prostu inny zapis ułamka o mianowniku 100.SYMBOL: % oznacza „na sto” (z łaciny per centum). ZASADA: 1% to 1/100 (jedna setna) lub 0,01. CAŁOŚĆ: 100% to zawsze 1 (całość).
Wskazówka 💡
Narysuj ten ogród oraz skrót i sprawdź z czym Ci się to kojarzy!
Zasady gry 💡
1) Uważaj na pułapki! 🧐 W teście czekają na Ciebie pytania jednokrotnego oraz wielokrotnego wyboru. Czytaj uważnie, by nie stracić czasu! 2) Błąd też się liczy! ⛔ Jeśli podasz złą odpowiedź, przejdziesz dalej, Ale pamiętaj! Na koniec otrzymasz podsumowanie ilości błędnych i poprawnych odpowiedzi. Nie spiesz się! 3) Odblokuj kolejne poziomy! 🔓 Każdy z 6 tematów to nowa lekcja. Dopiero gdy bezbłędnie przejdziesz przez wszystkie zadania z jednego działu, otworzą się przed Tobą kolejne drzwi do wiedzy!
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie co to jest potęga🧮! Przypomnij sobie jak działa potęgowanie. Najczęstszym błędem jest mówienie, że 5^2, to 5+5 (a to oczywiście nie prawda!).
Średnia arytmetyczna
To najpopularniejszy sposób wyliczania „środka” wyników. Wyobraź sobie, że chcesz sprawdzić swoją średnią ocen.
Równoległobok i romb
Tu kluczowe są boki i kąty leżące naprzeciwko siebie.RÓWNOLEGŁOBOK: Ma dwie pary boków równoległych i równej długości. Kąty leżące naprzeciw siebie są takie same. Przekątne przecinają się w połowie, ale mają różne długości. ROMB: To równoległobok, który ma wszystkie boki równe. Jego przekątne są różnej długości, ale przecinają się w połowie pod kątem prostym. Każdy romb jest równoległobokiem, ale nie każdy równoległobok jest rombem!
Wskazówka 💡
Kąty przy tym samym boku równoległoboku (lub trapezu) zawsze dają razem 180°.
Własności potęg
MNOŻENIE (te same podstawy): Gdy mnożymy dwie potęgi o tej samej podstawie (np. 5^3 razy 5^4), wtedy PODSTAWĘ PRZEPISUJEMY, A WYKŁADNIKI DODAJEMY.Przykład: 2^3 * 2^5 = 2^8. DZIELENIE (te same podstawy): Gdy dzielimy dwie potęgi o tej samej podstawie, wtedy PODSTAWĘ PRZEPISUJEMY, A WYKŁADNIKI ODEJMUJEMY. Przykład: 7^10 : 7^2 = 7^8. POTĘGOWANIE POTĘGI: Gdy mamy potęgę do potęgi to wtedy WYKŁADNIKI MNOŻYMY. Przykład: (4^2)^3 = 4^6. MNOŻENIE/DZIELENIE (różne podstawy, ten sam wykładnik): Możemy wziąć liczby pod jeden wspólny nawias i najpierw je pomnożyć lub podzielić, a potem podnieść do potęgi. Przykład: 2^3 * 5^3 = (2 * 5)^3 = 10^3.
Jednostki pola
WAŻNA ZASADA:Jeśli 1 metr ma 10 decymetrów, to 1 metr kwadratowy ma 100 decymetrów kwadratowych (10 * 10).Rolnictwo: 1 ar to kwadrat 10m na 10m (100 metrów kwadratowych), a 1 hektar (ha) to 100 arów.
Wskazówka 💡
Oblicz potęgi lub pierwiastki, a potem dodaj lub odejmij liczby. Na koniec posortuj poprawnie liczby.
Wskazówka 💡
Przypomnij sobie zasadę 'szpica' – ostrosłup to zawsze jedna trzecia graniastosłupa.
Szczególne trójkąty: 45/45/90 i 30/60/90
Niektóre trójkąty pozwalają wyliczyć boki bez Pitagorasa, jeśli znasz ich kąty:
Kwadrat i prostokąt
To najbardziej regularne czworokąty. Każdy z nich ma wszystkie kąty proste (90 stopni).KWADRAT: Ma wszystkie boki równej długości. Jego przekątne są równe, przecinają się w połowie i – co najważniejsze – robią to pod kątem prostym. Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem! PROSTOKĄT: Ma dwie pary boków równej długości. Jego przekątne są równej długości i przecinają się w połowie, ale nie muszą być prostopadłe.
Zadania tekstowe - Rozwiązywanie
Kluczem jest wyznaczenie niewiadomej.
Wskazówka 💡
Najpierw wyznacz długość krawędzi (a), wiedząc, że pole kwadratu to a razy a.
Ułamki zwykle
BUDOWA:
- Przecinek oddziela część całkowitą (po lewej) od części ułamkowej (po prawej).
- Pierwsze miejsce po przecinku to części dziesiąte.
- Drugie miejsce po przecinku to części setne.
- Trzecie miejsce po przecinku to części tysięczne.
DOPISYWANIE ZER:- Na końcu ułamka dziesiętnego możesz dopisać dowolną liczbę zer i wartość liczby się nie zmieni! (np. 0,5 = 0,50 = 0,500). To bardzo pomaga przy porównywaniu ułamków.
ZAMIANA NA UŁAMEK ZWYKŁY:Pary kątów
Na egzaminie najczęściej spotkasz te cztery sytuacje. Pozwalają one "przeskakiwać" z jedną miarą kąta po całym rysunku:
Co to jest równanie?
Równanie to zapis matematyczny, w którym dwie strony są sobie równe. Składa się z liczb, liter (niewiadomych, najczęściej x) oraz znaku =. Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć taką liczbę, którą gdy podstawisz pod x, sprawi, że lewa strona będzie identyczna jak prawa.
Potęgi
ZAPIS: Zamiast pisać 2 * 2 * 2 * 2 * 2, piszemy 2 do potęgi 5.BUDOWA: Podstawa (ta duża liczba) – mówi, jaką liczbę mnożymy. Wykładnik (ta mała liczba u góry) – mówi, ile razy tę liczbę przez siebie mnożymy. WAŻNE ZASADY:
Prawdopodobieństwo - Podstawy
To matematyczne określenie szansy na to, że coś się wydarzy. Wynik zawsze zapisujemy jako ułamek.
Jednostki objętości
Jednostki objętości mają małą trójkę u góry. Ta trójka podpowiada nam, że przy zamianie jednostek dzieją się "dziwne" rzeczy z zerami.ZASADA 3 ZER: Jeśli zamieniasz zwykłe metry na centymetry, dodajesz 2 zera. Ale jeśli zamieniasz metry sześcienne na centymetry sześcienne, to każde zero potrajasz! 1 metr sześcienny to aż 1 000 000 (milion) centymetrów sześciennych. KLUCZOWA MIARA: Najważniejszą jednostką w zadaniach jest 1 decymetr sześcienny. To sześcian o boku 10 cm na 10 cm na 10 cm.