Trigonometría (2ª parte)
Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Resolución de triángulos cualesquiera
Reducción al primer cuadrante
Circunferencia goniométrica
Teorema del seno
Teorema del coseno
Razones trigonométricas en la circunferencia goniometrica
Ejercicios
Ejercicios
Ejercicios
Manuel A. García de Viedma Alonso
RAZONES tRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
Hasta ahora hemos estudiado las razones que relacionan la longitud de los lados en un ángulo agudo, a partir de ahora vaos a estudiar si esos valores pueden ser extrapolados a otros ángulos mayores, para ello vamos a empezar estudiando una circunferencia que tiene unas condiciones particulares y veremos que concusiones podemos obtener al estudiar las relaciones en esa circunferencia . Como primer punto a recordar hay que acordarse de que el valor de las razones trigonométricas solo depende de la apertura del ángulo, siendo independiente de la longitud que tengan los lados del mismo.
Reducción al primer cuadrante
Razones trigonométricas en la circunferencia goniométrica
Circunferencia Goniométrica
Circunferencia goniométrica
Denominamos como circunferencia goniométrica a una circunferencia de radio 1 cuyo centro se encuentra en el origen de coordenadas
Si nos fijamos en el dibujo adjunto vemos que dibujando una semirrecta que pase por el centro de la circunferencia y tomamos las coordenadas del punto donde esa recta corta a la circunferencia (C), la coordenada Y de dicho punto coincide con el valor del Seno del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje de abcisas, el Coseno con la coordenada X del punto y la Tangente con la coordenada Y del punto donde la recta corta a la tangente a la circunferencia en en punto de corte de esta con el eje de abcisas
Teniendo esto en cuenta podemos definir el seno de un ángulo (β) como el valor de la coordenada Y del punto de corte de una recta que forma ese ángulo con la rama positiva del eje de abcisas en la circunferencia goniométrica e igualmente con el resto de razones trigonométricas
Circunferencia goniométrica
Si recordamos lo que estudiamos en cursos anteriores los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes. Si dibujamos una circunferencia goniometrica en esos ejes de coordenadas, podemos observar que si trazamos una semirrecta que tenga origen en el origen de coordenadas y forme un ángulo de menos de 90 º con la parte positica del eje de abcisas estará situada en el 1er cuadrante, si el ángulo está entre 90 y 180º estará en el 2º cuadrante, si entre 180 y 270º en el 3er cuadrante y si entre 270 y 360º estará en el 4º cuadrante.
Como todos los puntos situados en el 2º cuadrante tienen coordenada X negativa y coordenada Y positiva el punto de corte de la semirrecta situada en el 2º cuadrante con la circunferencia goniométrica tendrá coordenda X negativa y coordenda Y positiva, razonando de la misma forma el punto de corte de la semirrecta del 3er cuadrante con la circunferencia goniométrica tendrá coordenada X negativa y coordenada Y negativa y en de la semirrecta situada en el 4º cuadrante tendrña coordenada X positiva y coordenada Y negativa
Razones trigonométricas en la Circunferencia goniométrica
De acuerdo con todo lo visto, entonces, los ángulos que midan entre 0 y 90º tendrán el seno y el coseno positivos, los que midan entre 90 y 180º tendrán el seno positivo y el coseno negativo, los que midan entre 180 y 270º tendrán el seno negativo y el coseno negativo y los que midan entre 270 y 360º tendran el seno negativo y el coseno positivo. De acuerdo con esto, como la tangente de un ángulo se puede calcular como el seno del ángulo / coseno del ángulo la tangente de un ángulo situado en el segundo cuadrante será negativa (+/- =-), si el ángulo esta´en el 3er cuadrante será positiva (-/-=+) y en el 4º negativa (-/+ = -)
Reducción al primer cuadrante
Vamos a ver la relación existente entre los ángulos situados en el 2º, 3er y 4º cuadrante con los situados en el primer cuadrante y como podemos calcular el valor de las razones trigonométricas de estos ángulos situados en estos sabiendo el valor de las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante. Para ello vamos a ir estudiando cuadrante por cuadrante
2º Cuadrante
Si nos fijamos en la imagen adjunta para cualquier ángulo A situado en el 2º cuadrante tenemos un ángulo B suplementario de A (B=180-A) que cumple que está en el primer cuadrante y Sen A = Sen B', Cos A = -Cos B' y Tan A = - Tan B'. Luego podemos decir que si el ángulo está situado en el 2º cuadrante Sen A = Sen (180 - A), Cos A = - Cos (180-A) Tan A = -Tan (180-A).
Reducción al primer cuadrante
3er Cuadrante
Si nos fijamos en la imagen adjunta para cualquier ángulo A situado en el 3er cuadrante tenemos un ángulo A' igual a A-180 que está en el primer cuadrante y Sen A = -Sen A', Cos A = -Cos A' y Tan A = Tan A'. Luego podemos decir que si el ángulo está situado en el 3er cuadrante Sen A = - Sen (A-180), Cos A = - Cos (A-180) y Tan A = Tan (A-180).
4º Cuadrante
Si nos fijamos en la imagen adjunta para cualquier ángulo A situado en el 4º cuadrante tenemos un ángulo A' igual a 360-A que está en el primer cuadrante y Sen A = -Sen A', Cos A = Cos A' y Tan A = -Tan A'. Luego podemos decir que si el ángulo está situado en el 4º cuadrante Sen A = - Sen (360-A), Cos A = Cos (360-A) y Tan A = -Tan (360-A).
Ejercicios
Ejercicios Reducción al primer cuadrante
1. Encuentra todos los ángulos menores de 360∘ que cumplen: * Que el seno es igual a 0,5. * Que el coseno es igual a -√3 / 2. * Que la tangente es igual a 1. * Que el seno valga 0. * Que el coseno valga 0. 3. Relaciona las siguientes razones trigonométricas con la razón trigonométrica del ángulo A sabiendo que el ángulo A está en el primer cuadrante * Sen (180 - A) * Cos (180 + A) * Tg (360 - A) * Cotg (360 - A) * Sec (180 - A) * Cosec (180 + A) 5. Reduce la expresión * Sen (90 + x)·Sec (180 - x)
2. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos reduciéndolas primero a uno del primer cuadrante. * 150º * 5π/4rad * −60º * 120º * 315º 4. Calcula las siguientes razones trigonométricas reduciendolas primero a ángulos del primer cuadrante * Sen 100 * Cos 200 * Tg 225 * Cotg 8π/7 * Cosec 5π/3 * Sec 7π/4 6. Simplifica la expresión * Sen (360 - x)+Cos (3π/2 + x) + Tg (180 + x)
Soluciones
Solución ejercicios Reducción al primer cuadrante
1. Encuentra todos los ángulos menores de 360∘ que cumplen: * Que el seno es igual a 0,5. 30º y 330º * Que el coseno es igual a -√3 / 2. 120º y 240º * Que la tangente es igual a 1. 45º y 225º * Que el seno valga 0. 0º y 180º * Que el coseno valga 0. 90º y 270º 2. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos reduciéndolas primero a uno del primer cuadrante. * 150º Sen 150º = Sen 30º = 1/2 Cos 150º = -Cos 30º = -√3 / 2 Tg 150º = -Tg 30º = - √3 / 3 Cosec 150º = Cosec 30º = 2 Sec 150º = -Sec 30º = -2√3 / 3 Cotg 150º = - Cotg 30º = - √3
* 315ºSen 315º = -Sen 45º = -√2/ 2 Cos 315º = Cos 45º = √2/ 2 Tg 315º = -Tg 45º = - 1 Cosec 315º = -Cosec 45º = -√2 Sec 315º = Sec 45º = √2 Cotg 315º = - Cotg 45º = -1
* 5π/4radSen 5π/4 = -Sen π/4 = -√2/2 Cos 5π/4 = -Cos π/4 = -√2 / 2 Tg 5π/4 = Tg π/4 = 1 Cosec 5π/4 = -Cosec π/4 = - √2 Sec 5π/4 = -Sec π/4 = - √2 Cotg 5π/4º = Cotg π/4 =1* −60º Sen −60º = -Sen 60º = -√3 / 2 Cos −60º = Cos 60º = 1 / 2 Tg −60º = -Tg 60º = - √3 Cosec −60º = -Cosec 60º = -2√3 / 3 Sec −60º = Sec 60º = 2 Cotg −60º = - Cotg 60º = - √3/3 * 120º Sen 120º = Sen 60º = √3 / 2 Cos 120º = -Cos 60º = - 1 / 2 Tg 120º = -Tg 60º = - √3 Cosec 120º = Cosec 60º = 2√3 / 3 Sec 120º = -Sec 60º = -2 Cotg 120º = - Cotg 60º = - √3/3
Solución ejercicios Reducción al primer cuadrante
3. Relaciona las siguientes razones trigonométricas con la razón trigonométrica del ángulo A sabiendo que el ángulo A está en el primer cuadrante * Sen (180 - A) = Sen A * Cos (180 + A) = - Cos A * Tg (360 - A) = - Tg A * Cotg (360 - A) = -Cotg A * Sec (180 - A) = - Sec A * Cosec (180 + A) = - Cosec A 5. Reduce la expresión * Sen (90 + x)·Sec (180 - x) Sen (90 + x) = Sen (90 -x) = Cos x Sec (180 - x) = - Sec x = -1/Cos x Sen (90 + x)·Sec (180 - x) = Cos x · -1/Cos x = -1
4. Calcula las siguientes razones trigonométricas reduciendolas primero a ángulos del primer cuadrante * Sen 100 = Sen (180 - 80) = Sen 80 = 0.985 * Cos 200 = Cos (180 +20) = - Cos 20 = -0.94 * Tg 225 = Tg (180 + 45) = Tg 45 = 1 * Cotg 8π/7 = Cotg (π + π/7) = Cotg π/7 = 2.076 * Cosec 5π/3 = Cosec (2π - π/3) = - Cosec π/3 = -1.155 * Sec 7π/4 = Sec(2π - π/4) = Sec π/4 = 1.414 6. Simplifica la expresión (sabiendo que x < π/2) * Sen (360 - x)+ Cos (3π/2 + x) + Tg (180 + x) Sen (360 - x) = -Sen x Cos (3π/2 + x) = Cos (π/2 - x) = Cos x Tg (180 + x) = Tg x Sen (360 - x)+ Cos (3π/2 + x) + Tg (180 + x) = -Sen x + Cos x + Sen x/Cos x
Resolución de triángulos cualesquiera
Hasta ahora hemos utilizado las razones trigonométricas para resolver una caso especial de triángulos, los triángulos rectángulos. Pero las razones trigonométricas se pueden utilizar para resolver todos los triángulos. Para ello vamos a utilizar dos teoremas que nos van a ser fundamentales para resolver situaciones en el futuro. El Teorema del Seno y el Teorema de Coseno Empezamos enunciándolos para posteriormente demostrarlos y luego haremos algún ejercicio de ejemplo de su aplicación.
Teorema del Seno
Teorema del Coseno
Teorema del Seno
El teorema del Seno establece que en todo triángulo se cumple que las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Si quieres ver la demostración de este teorema pulsa en el boton de la parte inferior de la página
Ejercicios
Demostración
Teorema del seno
(Demostración)
Fijandonos en la imagen adjunta, tomando el triángulo DAB tenemos que Sen A= h/C -> h = C ·Sen A y tomando el triángulo DCB tenemos que Sen C =h/a-> h=a · Sen C Si unimos estas dos ecuaciones obtenemos a. Sen C = c· Sen A, pasando los senos al otro término tenemos a/Sen A = c/Sen C
Cogiendo ahora loa triángulos ECB y ECA tenemos que Sen A= h1/b -> h1 = b ·Sen A y Sen B =h1/a-> h1=a · Sen B Si unimos estados dos ecuaciones obtenemos a. Sen B = b· Sen A, pasando los senos al otro término tenemos a/Sen A = b/Sen B Uniendo las dos ecuaciones obtenidas tenemos:
Ejercicios Teorema del Seno
1.Dado el triángulo de la figura, calcula en cada caso los valores que faltan de la longitud de los lados y la apertura de los ángulos a. a = 30 cm, A = 45º, c = 40 cm b. A = 30º, B = 70º, b = 35 cm c. c = 6 m, a = 8 m, C = 35 º d. a = 8 m, A = 22º, B = 79º
Problemas.2. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol formando en un triángulo. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo 3. Una torre inclinada 10º respecto de la vertical, está sujeta por un cable desde un punto P a 15 metros de la base de la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25º, calcula la longitud del cable y la altura de la torre. 4. Mariana observa un castillo desde su casa bajo un ángulo de 70º. Luego de unos minutos sale a dar un paseo y estando a 50 metros de su casa, observa el mismo castillo bajo un ángulo de 85º. ¿A qué distancia de ella y de su casa, se encuentra dicho castillo?
Soluciones
Soluciones ejercicios teorema del Seno
1.Dado el triángulo de la figura, calcula en cada caso los valores que faltan de la longitud de los lados y la apertura de los ángulos
a. a = 30 cm, A = 45º, c = 40 cma/ Sen A = c/Sen C -> Sen C =c·Sen A/a = 40 · Sen 45º / 30 = 0.942 -> C = arcSen 0.942 = 70.53º B = 180 - (A + C) = 180 - 45 - 70.53 = 64.47 º ; b/SenB = a/SenA -> b = a·Sen B/Sen A = 30· Sen 64.47º/Sen 45º = 38.28 cm b. A = 30º, B = 70º, b = 35 cm b/SenB = a/SenA -> a=b·Sen A /Sen B = 35 · Sen 30/Sen 70 = 18.64 cm ->C = 180 - (A + B) = 180 - 30 - 70 = 80º a/ Sen A = c/Sen C ->c=a·Sen C/Sen A = 18.64 · Sen 80 / Sen 30 = 36.68 cm c. c = 6 m, a = 8 m, C = 35 º a/ Sen A = c/Sen C -> Sen A =a·Sen C/c = 8 · Sen 35º / 6 = 0.765 -> C = arcSen 0.765 = 49.91º ->B = 180 - (A + C) = 180 - 35 - 49.91 = 85.09 º ; b/SenB = c/Sen C -> b = c·Sen B/Sen C = 6· Sen 85.09º/Sen 35º = 10.42 cm d. a = 8 m, A = 22º, B = 79º b/SenB = a/SenA -> b=a·Sen >B /Sen A = 8 · Sen 79/Sen 22 = 20.96 m ->C = 180 - (A + B) = 180 - 22 - 79 = 79º -> a/ Sen A = c/Sen C ->c=a·Sen C/Sen A = 8 · Sen 79 / Sen 22 = 20.96 m
Soluciones ejercicios teorema del Seno
Problemas.2. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol formando en un triángulo. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo Vamos a empezar representando el problema que se plantea
A continuaciónsustituimos incluimos en el esquema las letras correspondientes a los datos y el resto de los elementos del triángulo
Y utilizando el Teorema del Seno pasaos a calcular el elemento solicitado, para ello calculamos el valor de los restantes ángulos del triánguloc/Sen C =a/Sen A -> Sen A = a · Sen C / c = 12 · Sen 20 /25 = 0.164 -> A = arc Sen 20 = 9.45º B = 180 - 20 - 9.45 = 150.55 º Con los ángulos ya calculados calculamos la distancia pedida c/Sen C =b/Sen B -> b= c · Sen B / Sen C = 35.94 m Distancia entre Alberto y Camilo 35.94 m.
Soluciones ejercicios teorema del Seno
3. Una torre inclinada 10º respecto de la vertical, está sujeta por un cable desde un punto P a 15 metros de la base de la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25º, calcula la longitud del cable y la altura de la torre. Dibujamos el esquema incorporando las letras correspodientes a los elementos del triángulo
y resolvemos el triángulo calculando el reto de elementos desconocidos C = 180 - 100 - 20 = 60º c/ Sen C = b/Sen B -> b = 15 · Sen 100/ Sen 60 = 17.06 m c/ Sen C = a/Sen A -> a = 15 · Sen 25 / Sen 60 = 7.32 m. Cuerda 16.06 m, Torre 7.32 m
4. Mariana observa un castillo desde su casa bajo un ángulo de 70º. Luego de unos minutos sale a dar un paseo y estando a 50 metros de su casa, observa el mismo castillo bajo un ángulo de 85º. ¿A qué distancia de ella y de su casa, se encuentra dicho castillo? Hacemos igual que en el ejercicio anterior
Calculamos el valor del ángulo C C = 180 - 70 - 85 = 25º Utilizamos el Teorema del Seno para calcular la distancia pedida c/ Sen C = b/Sen B -> b = c· Sen B / Sen C = 50 · Sen 85/ Sen 25 = 117.86 m. Distancia de la casa al Castillo 117.86 m
Teorema del COSeno
El teorema de los cosenos establece que en un triángulo ABC cualquiera se cumple que la longitud de un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de los otros dos lados por el coseno del ángulo que forman. Puesto en forma de ecuación las ecuaciones del teorema del coseno son: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
Si quieres ver la demostración de este teorema pulsa en el boton de la parte inferior de la página
Ejercicios
Demostración
Teorema del COSeno
(Demostración)
Vamos a fijarnos en la figura adjunta. Según el teorema de Pitágoras como los triángulos ADB y CDB son rectángulos c2=u2+h2 y a2 = h2+(b-u)2, despejando h2 en la 2ª ecuación tenemos h2 = a2-(b-u)2 sustituyendo h2 en la 1ª ecuación por el valor obtenido en la 2ª ecuacion ->c2= u2 + a2 − (b-u)2 eliminado el paréntesis c2 = u2 +a2 - b2 − u2 + 2bu, simplificando c2= a2 - b2 + 2bu * Volviendonos a fijar Cos C = (b-u)/a -> (b-u)=a·Cos C ->u=b - a·Cos C. Sustituyendo en * c2= a2 - b2 + 2b(b - aCosC)->c2= a2 - b2 + 2b2 - 2abCosC -> c2 = a2+b2-2ab·Cos C
Ejercicios
Ejercicios Teorema del Coseno
1. Dado el triángulo de la figura, calcula en cada caso los valores que faltan de la longitud de los lados y la apertura de los ángulos a. a = 20 cm, b = 30 cm, c = 40 cm b. A = 30º, b = 35 cm, c = 40 cm c. c = 6 m, a = 8 m, B = 35 º d. a = 8 m, b= 7 m, C = 79º
Problemas.2. Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rumbos que forman un ángulo de 82º. El primero navega a 18 millas por hora, y el segundo a 25 millas por hora. Si mantienen inalterados los rumbos, ¿cuánto distarán entre sí al cabo de 3 horas? 3. Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla. 4. Los lados de un triángulo isósceles forman un ángulo de 80º con la base. Si los lados iguales miden 70 cm, calcula la longitud de sus lados.
Soluciones
Soluciones ejercicios Teorema del Coseno
1. Dado el triángulo de la figura, calcula en cada caso los valores que faltan de la longitud de los lados y la apertura de los ángulos a. a = 20 cm, b = 30 cm, c = 40 cm c2 = a2 + b2 -2ab·Cos C -> -Cos C = (c2 - a2 - b2)/2ab -> Cos C = (a2+b2-c2)/2ab = (400+900-1600) / 2·20·30 = -300/1200 = -0.25 -> C = arcCos -0.25 =104.48º b2 = a2 + c2 -2ac·Cos B -> -Cos B = (b2 - a2 - c2)/2ac -> Cos B = (a2+c2-b2)/2ac = (400+1600-900) / 2·20·40 = 1100/1600 =0.69 -> B = arcCos 0.69 =46.56º a = 180 - 104.48 - 46.56 = 28.95 cm
b. A = 30º, b = 35 cm, c = 40 cm a2 = b2 + c2 -2bcCos A = 1225 + 1600 - 2800 Cos 30 = 400.13 -> a = √400.13 = 20.003 cm b2 = a2 + c2 -2ac·Cos B -> -Cos B = (b2 - a2 - c2)/2ac -> Cos B = (a2+c2-b2)/2ac = (400.13+1600-1225)/2·20.003·40 =0.48 -> B = arcCos 0.48 = 61.03º C = 180 - 30 - 61.03 = 89.97º c. c = 6 m, a = 8 m, B = 35 º b2 = a2 + c2 -2acCos B = 36 + 64 - 96 Cos 35 = 21.36 -> b = √21.36 = 4.62 cm a2 = b2 + c2 -2ab·Cos A -> Cos A = (b2+c2-a2)/2bc = (21.36+64-36)/73.92 =0.67 -> A = arcCos 0.67 = 48.11º C = 180 - 48.11 - 35 = 96.89º
Soluciones ejercicios Teorema del Coseno
1. Dado el triángulo de la figura, calcula en cada caso los valores que faltan de la longitud de los lados y la apertura de los ángulos (Continuación) d. a = 8 m, b= 7 m, C = 79º c2 = a2 + b2 -2abCos C = 64 + 49 - 112 Cos 79 = 91.63 -> c = √91.63 = 9.57 m a2 = b2 + c2 -2ab·Cos A -> Cos A = (b2+c2-a2)/2bc = (49+91.63-64)/113.98 = 0.57 -> A = arcCos 0.57 = 55.11º B = 180 - 79 - 55.11= 45.89º
Problemas.2. Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rumbos que forman un ángulo de 82º. El primero navega a 18 millas por hora, y el segundo a 25 millas por hora. Si mantienen inalterados los rumbos, ¿cuánto distarán entre sí al cabo de 3 horas? Distancia recorrida por los barcos a las 3 horas 1º = 3 · 18 =54 millas, 2º 3 · 25 = 75 millas Realizamos un esquema con los datos y resolvemos el triángulo para solucionar el problema
a2 = b2 + c2 -2bcCos A = 2916 + 5625 - 8100 Cos 30 = 7413.70 -> a = √7413.70 = 86.10 millas Distancia entre los dos barcos 86.10 millas
Soluciones ejercicios Teorema del Coseno
Problemas.3. Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla. Realizamos el esquema con los datos
a2 = b2 + c2 -2bcCos A = 36 + 400 - 240 Cos 60 = 316 -> a = √316 = 17.78 mLongitud de la valla = 20 + 17.78 + 6 = 43.78 m
4. Los lados de un triángulo isósceles forman un ángulo de 80º con la base. Si los lados iguales miden 70 cm, calcula la longitud de sus lados.Realizamos un esquema con los datos
C = 180 - 80 - 80 = 20ºc2 = a2 + b2 -2abCos C = 4900 + 4900 - 9800 Cos 20 =591.01 -> c = √591.01 = 24.31 cmLongitud de los lados = 24.31+ 70 + 70 = 164.31 cm
Gracias por la atención
Espero que te haya sido útil
Autor: Manuel Gª de Viedma Alonso
Trigonometría 2ª parte
Manuel García de Vie
Created on January 3, 2026
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Trigonometría (2ª parte)
Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Resolución de triángulos cualesquiera
Reducción al primer cuadrante
Circunferencia goniométrica
Teorema del seno
Teorema del coseno
Razones trigonométricas en la circunferencia goniometrica
Ejercicios
Ejercicios
Ejercicios
Manuel A. García de Viedma Alonso
RAZONES tRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
Hasta ahora hemos estudiado las razones que relacionan la longitud de los lados en un ángulo agudo, a partir de ahora vaos a estudiar si esos valores pueden ser extrapolados a otros ángulos mayores, para ello vamos a empezar estudiando una circunferencia que tiene unas condiciones particulares y veremos que concusiones podemos obtener al estudiar las relaciones en esa circunferencia . Como primer punto a recordar hay que acordarse de que el valor de las razones trigonométricas solo depende de la apertura del ángulo, siendo independiente de la longitud que tengan los lados del mismo.
Reducción al primer cuadrante
Razones trigonométricas en la circunferencia goniométrica
Circunferencia Goniométrica
Circunferencia goniométrica
Denominamos como circunferencia goniométrica a una circunferencia de radio 1 cuyo centro se encuentra en el origen de coordenadas
Si nos fijamos en el dibujo adjunto vemos que dibujando una semirrecta que pase por el centro de la circunferencia y tomamos las coordenadas del punto donde esa recta corta a la circunferencia (C), la coordenada Y de dicho punto coincide con el valor del Seno del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje de abcisas, el Coseno con la coordenada X del punto y la Tangente con la coordenada Y del punto donde la recta corta a la tangente a la circunferencia en en punto de corte de esta con el eje de abcisas
Teniendo esto en cuenta podemos definir el seno de un ángulo (β) como el valor de la coordenada Y del punto de corte de una recta que forma ese ángulo con la rama positiva del eje de abcisas en la circunferencia goniométrica e igualmente con el resto de razones trigonométricas
Circunferencia goniométrica
Si recordamos lo que estudiamos en cursos anteriores los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes. Si dibujamos una circunferencia goniometrica en esos ejes de coordenadas, podemos observar que si trazamos una semirrecta que tenga origen en el origen de coordenadas y forme un ángulo de menos de 90 º con la parte positica del eje de abcisas estará situada en el 1er cuadrante, si el ángulo está entre 90 y 180º estará en el 2º cuadrante, si entre 180 y 270º en el 3er cuadrante y si entre 270 y 360º estará en el 4º cuadrante.
Como todos los puntos situados en el 2º cuadrante tienen coordenada X negativa y coordenada Y positiva el punto de corte de la semirrecta situada en el 2º cuadrante con la circunferencia goniométrica tendrá coordenda X negativa y coordenda Y positiva, razonando de la misma forma el punto de corte de la semirrecta del 3er cuadrante con la circunferencia goniométrica tendrá coordenada X negativa y coordenada Y negativa y en de la semirrecta situada en el 4º cuadrante tendrña coordenada X positiva y coordenada Y negativa
Razones trigonométricas en la Circunferencia goniométrica
De acuerdo con todo lo visto, entonces, los ángulos que midan entre 0 y 90º tendrán el seno y el coseno positivos, los que midan entre 90 y 180º tendrán el seno positivo y el coseno negativo, los que midan entre 180 y 270º tendrán el seno negativo y el coseno negativo y los que midan entre 270 y 360º tendran el seno negativo y el coseno positivo. De acuerdo con esto, como la tangente de un ángulo se puede calcular como el seno del ángulo / coseno del ángulo la tangente de un ángulo situado en el segundo cuadrante será negativa (+/- =-), si el ángulo esta´en el 3er cuadrante será positiva (-/-=+) y en el 4º negativa (-/+ = -)
Reducción al primer cuadrante
Vamos a ver la relación existente entre los ángulos situados en el 2º, 3er y 4º cuadrante con los situados en el primer cuadrante y como podemos calcular el valor de las razones trigonométricas de estos ángulos situados en estos sabiendo el valor de las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante. Para ello vamos a ir estudiando cuadrante por cuadrante
2º Cuadrante
Si nos fijamos en la imagen adjunta para cualquier ángulo A situado en el 2º cuadrante tenemos un ángulo B suplementario de A (B=180-A) que cumple que está en el primer cuadrante y Sen A = Sen B', Cos A = -Cos B' y Tan A = - Tan B'. Luego podemos decir que si el ángulo está situado en el 2º cuadrante Sen A = Sen (180 - A), Cos A = - Cos (180-A) Tan A = -Tan (180-A).
Reducción al primer cuadrante
3er Cuadrante
Si nos fijamos en la imagen adjunta para cualquier ángulo A situado en el 3er cuadrante tenemos un ángulo A' igual a A-180 que está en el primer cuadrante y Sen A = -Sen A', Cos A = -Cos A' y Tan A = Tan A'. Luego podemos decir que si el ángulo está situado en el 3er cuadrante Sen A = - Sen (A-180), Cos A = - Cos (A-180) y Tan A = Tan (A-180).
4º Cuadrante
Si nos fijamos en la imagen adjunta para cualquier ángulo A situado en el 4º cuadrante tenemos un ángulo A' igual a 360-A que está en el primer cuadrante y Sen A = -Sen A', Cos A = Cos A' y Tan A = -Tan A'. Luego podemos decir que si el ángulo está situado en el 4º cuadrante Sen A = - Sen (360-A), Cos A = Cos (360-A) y Tan A = -Tan (360-A).
Ejercicios
Ejercicios Reducción al primer cuadrante
1. Encuentra todos los ángulos menores de 360∘ que cumplen: * Que el seno es igual a 0,5. * Que el coseno es igual a -√3 / 2. * Que la tangente es igual a 1. * Que el seno valga 0. * Que el coseno valga 0. 3. Relaciona las siguientes razones trigonométricas con la razón trigonométrica del ángulo A sabiendo que el ángulo A está en el primer cuadrante * Sen (180 - A) * Cos (180 + A) * Tg (360 - A) * Cotg (360 - A) * Sec (180 - A) * Cosec (180 + A) 5. Reduce la expresión * Sen (90 + x)·Sec (180 - x)
2. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos reduciéndolas primero a uno del primer cuadrante. * 150º * 5π/4rad * −60º * 120º * 315º 4. Calcula las siguientes razones trigonométricas reduciendolas primero a ángulos del primer cuadrante * Sen 100 * Cos 200 * Tg 225 * Cotg 8π/7 * Cosec 5π/3 * Sec 7π/4 6. Simplifica la expresión * Sen (360 - x)+Cos (3π/2 + x) + Tg (180 + x)
Soluciones
Solución ejercicios Reducción al primer cuadrante
1. Encuentra todos los ángulos menores de 360∘ que cumplen: * Que el seno es igual a 0,5. 30º y 330º * Que el coseno es igual a -√3 / 2. 120º y 240º * Que la tangente es igual a 1. 45º y 225º * Que el seno valga 0. 0º y 180º * Que el coseno valga 0. 90º y 270º 2. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos reduciéndolas primero a uno del primer cuadrante. * 150º Sen 150º = Sen 30º = 1/2 Cos 150º = -Cos 30º = -√3 / 2 Tg 150º = -Tg 30º = - √3 / 3 Cosec 150º = Cosec 30º = 2 Sec 150º = -Sec 30º = -2√3 / 3 Cotg 150º = - Cotg 30º = - √3
* 315ºSen 315º = -Sen 45º = -√2/ 2 Cos 315º = Cos 45º = √2/ 2 Tg 315º = -Tg 45º = - 1 Cosec 315º = -Cosec 45º = -√2 Sec 315º = Sec 45º = √2 Cotg 315º = - Cotg 45º = -1
* 5π/4radSen 5π/4 = -Sen π/4 = -√2/2 Cos 5π/4 = -Cos π/4 = -√2 / 2 Tg 5π/4 = Tg π/4 = 1 Cosec 5π/4 = -Cosec π/4 = - √2 Sec 5π/4 = -Sec π/4 = - √2 Cotg 5π/4º = Cotg π/4 =1* −60º Sen −60º = -Sen 60º = -√3 / 2 Cos −60º = Cos 60º = 1 / 2 Tg −60º = -Tg 60º = - √3 Cosec −60º = -Cosec 60º = -2√3 / 3 Sec −60º = Sec 60º = 2 Cotg −60º = - Cotg 60º = - √3/3 * 120º Sen 120º = Sen 60º = √3 / 2 Cos 120º = -Cos 60º = - 1 / 2 Tg 120º = -Tg 60º = - √3 Cosec 120º = Cosec 60º = 2√3 / 3 Sec 120º = -Sec 60º = -2 Cotg 120º = - Cotg 60º = - √3/3
Solución ejercicios Reducción al primer cuadrante
3. Relaciona las siguientes razones trigonométricas con la razón trigonométrica del ángulo A sabiendo que el ángulo A está en el primer cuadrante * Sen (180 - A) = Sen A * Cos (180 + A) = - Cos A * Tg (360 - A) = - Tg A * Cotg (360 - A) = -Cotg A * Sec (180 - A) = - Sec A * Cosec (180 + A) = - Cosec A 5. Reduce la expresión * Sen (90 + x)·Sec (180 - x) Sen (90 + x) = Sen (90 -x) = Cos x Sec (180 - x) = - Sec x = -1/Cos x Sen (90 + x)·Sec (180 - x) = Cos x · -1/Cos x = -1
4. Calcula las siguientes razones trigonométricas reduciendolas primero a ángulos del primer cuadrante * Sen 100 = Sen (180 - 80) = Sen 80 = 0.985 * Cos 200 = Cos (180 +20) = - Cos 20 = -0.94 * Tg 225 = Tg (180 + 45) = Tg 45 = 1 * Cotg 8π/7 = Cotg (π + π/7) = Cotg π/7 = 2.076 * Cosec 5π/3 = Cosec (2π - π/3) = - Cosec π/3 = -1.155 * Sec 7π/4 = Sec(2π - π/4) = Sec π/4 = 1.414 6. Simplifica la expresión (sabiendo que x < π/2) * Sen (360 - x)+ Cos (3π/2 + x) + Tg (180 + x) Sen (360 - x) = -Sen x Cos (3π/2 + x) = Cos (π/2 - x) = Cos x Tg (180 + x) = Tg x Sen (360 - x)+ Cos (3π/2 + x) + Tg (180 + x) = -Sen x + Cos x + Sen x/Cos x
Resolución de triángulos cualesquiera
Hasta ahora hemos utilizado las razones trigonométricas para resolver una caso especial de triángulos, los triángulos rectángulos. Pero las razones trigonométricas se pueden utilizar para resolver todos los triángulos. Para ello vamos a utilizar dos teoremas que nos van a ser fundamentales para resolver situaciones en el futuro. El Teorema del Seno y el Teorema de Coseno Empezamos enunciándolos para posteriormente demostrarlos y luego haremos algún ejercicio de ejemplo de su aplicación.
Teorema del Seno
Teorema del Coseno
Teorema del Seno
El teorema del Seno establece que en todo triángulo se cumple que las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Si quieres ver la demostración de este teorema pulsa en el boton de la parte inferior de la página
Ejercicios
Demostración
Teorema del seno
(Demostración)
Fijandonos en la imagen adjunta, tomando el triángulo DAB tenemos que Sen A= h/C -> h = C ·Sen A y tomando el triángulo DCB tenemos que Sen C =h/a-> h=a · Sen C Si unimos estas dos ecuaciones obtenemos a. Sen C = c· Sen A, pasando los senos al otro término tenemos a/Sen A = c/Sen C
Cogiendo ahora loa triángulos ECB y ECA tenemos que Sen A= h1/b -> h1 = b ·Sen A y Sen B =h1/a-> h1=a · Sen B Si unimos estados dos ecuaciones obtenemos a. Sen B = b· Sen A, pasando los senos al otro término tenemos a/Sen A = b/Sen B Uniendo las dos ecuaciones obtenidas tenemos:
Ejercicios Teorema del Seno
1.Dado el triángulo de la figura, calcula en cada caso los valores que faltan de la longitud de los lados y la apertura de los ángulos a. a = 30 cm, A = 45º, c = 40 cm b. A = 30º, B = 70º, b = 35 cm c. c = 6 m, a = 8 m, C = 35 º d. a = 8 m, A = 22º, B = 79º
Problemas.2. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol formando en un triángulo. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo 3. Una torre inclinada 10º respecto de la vertical, está sujeta por un cable desde un punto P a 15 metros de la base de la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25º, calcula la longitud del cable y la altura de la torre. 4. Mariana observa un castillo desde su casa bajo un ángulo de 70º. Luego de unos minutos sale a dar un paseo y estando a 50 metros de su casa, observa el mismo castillo bajo un ángulo de 85º. ¿A qué distancia de ella y de su casa, se encuentra dicho castillo?
Soluciones
Soluciones ejercicios teorema del Seno
1.Dado el triángulo de la figura, calcula en cada caso los valores que faltan de la longitud de los lados y la apertura de los ángulos
a. a = 30 cm, A = 45º, c = 40 cma/ Sen A = c/Sen C -> Sen C =c·Sen A/a = 40 · Sen 45º / 30 = 0.942 -> C = arcSen 0.942 = 70.53º B = 180 - (A + C) = 180 - 45 - 70.53 = 64.47 º ; b/SenB = a/SenA -> b = a·Sen B/Sen A = 30· Sen 64.47º/Sen 45º = 38.28 cm b. A = 30º, B = 70º, b = 35 cm b/SenB = a/SenA -> a=b·Sen A /Sen B = 35 · Sen 30/Sen 70 = 18.64 cm ->C = 180 - (A + B) = 180 - 30 - 70 = 80º a/ Sen A = c/Sen C ->c=a·Sen C/Sen A = 18.64 · Sen 80 / Sen 30 = 36.68 cm c. c = 6 m, a = 8 m, C = 35 º a/ Sen A = c/Sen C -> Sen A =a·Sen C/c = 8 · Sen 35º / 6 = 0.765 -> C = arcSen 0.765 = 49.91º ->B = 180 - (A + C) = 180 - 35 - 49.91 = 85.09 º ; b/SenB = c/Sen C -> b = c·Sen B/Sen C = 6· Sen 85.09º/Sen 35º = 10.42 cm d. a = 8 m, A = 22º, B = 79º b/SenB = a/SenA -> b=a·Sen >B /Sen A = 8 · Sen 79/Sen 22 = 20.96 m ->C = 180 - (A + B) = 180 - 22 - 79 = 79º -> a/ Sen A = c/Sen C ->c=a·Sen C/Sen A = 8 · Sen 79 / Sen 22 = 20.96 m
Soluciones ejercicios teorema del Seno
Problemas.2. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol formando en un triángulo. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo Vamos a empezar representando el problema que se plantea
A continuaciónsustituimos incluimos en el esquema las letras correspondientes a los datos y el resto de los elementos del triángulo
Y utilizando el Teorema del Seno pasaos a calcular el elemento solicitado, para ello calculamos el valor de los restantes ángulos del triánguloc/Sen C =a/Sen A -> Sen A = a · Sen C / c = 12 · Sen 20 /25 = 0.164 -> A = arc Sen 20 = 9.45º B = 180 - 20 - 9.45 = 150.55 º Con los ángulos ya calculados calculamos la distancia pedida c/Sen C =b/Sen B -> b= c · Sen B / Sen C = 35.94 m Distancia entre Alberto y Camilo 35.94 m.
Soluciones ejercicios teorema del Seno
3. Una torre inclinada 10º respecto de la vertical, está sujeta por un cable desde un punto P a 15 metros de la base de la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25º, calcula la longitud del cable y la altura de la torre. Dibujamos el esquema incorporando las letras correspodientes a los elementos del triángulo
y resolvemos el triángulo calculando el reto de elementos desconocidos C = 180 - 100 - 20 = 60º c/ Sen C = b/Sen B -> b = 15 · Sen 100/ Sen 60 = 17.06 m c/ Sen C = a/Sen A -> a = 15 · Sen 25 / Sen 60 = 7.32 m. Cuerda 16.06 m, Torre 7.32 m
4. Mariana observa un castillo desde su casa bajo un ángulo de 70º. Luego de unos minutos sale a dar un paseo y estando a 50 metros de su casa, observa el mismo castillo bajo un ángulo de 85º. ¿A qué distancia de ella y de su casa, se encuentra dicho castillo? Hacemos igual que en el ejercicio anterior
Calculamos el valor del ángulo C C = 180 - 70 - 85 = 25º Utilizamos el Teorema del Seno para calcular la distancia pedida c/ Sen C = b/Sen B -> b = c· Sen B / Sen C = 50 · Sen 85/ Sen 25 = 117.86 m. Distancia de la casa al Castillo 117.86 m
Teorema del COSeno
El teorema de los cosenos establece que en un triángulo ABC cualquiera se cumple que la longitud de un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de los otros dos lados por el coseno del ángulo que forman. Puesto en forma de ecuación las ecuaciones del teorema del coseno son: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
Si quieres ver la demostración de este teorema pulsa en el boton de la parte inferior de la página
Ejercicios
Demostración
Teorema del COSeno
(Demostración)
Vamos a fijarnos en la figura adjunta. Según el teorema de Pitágoras como los triángulos ADB y CDB son rectángulos c2=u2+h2 y a2 = h2+(b-u)2, despejando h2 en la 2ª ecuación tenemos h2 = a2-(b-u)2 sustituyendo h2 en la 1ª ecuación por el valor obtenido en la 2ª ecuacion ->c2= u2 + a2 − (b-u)2 eliminado el paréntesis c2 = u2 +a2 - b2 − u2 + 2bu, simplificando c2= a2 - b2 + 2bu * Volviendonos a fijar Cos C = (b-u)/a -> (b-u)=a·Cos C ->u=b - a·Cos C. Sustituyendo en * c2= a2 - b2 + 2b(b - aCosC)->c2= a2 - b2 + 2b2 - 2abCosC -> c2 = a2+b2-2ab·Cos C
Ejercicios
Ejercicios Teorema del Coseno
1. Dado el triángulo de la figura, calcula en cada caso los valores que faltan de la longitud de los lados y la apertura de los ángulos a. a = 20 cm, b = 30 cm, c = 40 cm b. A = 30º, b = 35 cm, c = 40 cm c. c = 6 m, a = 8 m, B = 35 º d. a = 8 m, b= 7 m, C = 79º
Problemas.2. Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rumbos que forman un ángulo de 82º. El primero navega a 18 millas por hora, y el segundo a 25 millas por hora. Si mantienen inalterados los rumbos, ¿cuánto distarán entre sí al cabo de 3 horas? 3. Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla. 4. Los lados de un triángulo isósceles forman un ángulo de 80º con la base. Si los lados iguales miden 70 cm, calcula la longitud de sus lados.
Soluciones
Soluciones ejercicios Teorema del Coseno
1. Dado el triángulo de la figura, calcula en cada caso los valores que faltan de la longitud de los lados y la apertura de los ángulos a. a = 20 cm, b = 30 cm, c = 40 cm c2 = a2 + b2 -2ab·Cos C -> -Cos C = (c2 - a2 - b2)/2ab -> Cos C = (a2+b2-c2)/2ab = (400+900-1600) / 2·20·30 = -300/1200 = -0.25 -> C = arcCos -0.25 =104.48º b2 = a2 + c2 -2ac·Cos B -> -Cos B = (b2 - a2 - c2)/2ac -> Cos B = (a2+c2-b2)/2ac = (400+1600-900) / 2·20·40 = 1100/1600 =0.69 -> B = arcCos 0.69 =46.56º a = 180 - 104.48 - 46.56 = 28.95 cm
b. A = 30º, b = 35 cm, c = 40 cm a2 = b2 + c2 -2bcCos A = 1225 + 1600 - 2800 Cos 30 = 400.13 -> a = √400.13 = 20.003 cm b2 = a2 + c2 -2ac·Cos B -> -Cos B = (b2 - a2 - c2)/2ac -> Cos B = (a2+c2-b2)/2ac = (400.13+1600-1225)/2·20.003·40 =0.48 -> B = arcCos 0.48 = 61.03º C = 180 - 30 - 61.03 = 89.97º c. c = 6 m, a = 8 m, B = 35 º b2 = a2 + c2 -2acCos B = 36 + 64 - 96 Cos 35 = 21.36 -> b = √21.36 = 4.62 cm a2 = b2 + c2 -2ab·Cos A -> Cos A = (b2+c2-a2)/2bc = (21.36+64-36)/73.92 =0.67 -> A = arcCos 0.67 = 48.11º C = 180 - 48.11 - 35 = 96.89º
Soluciones ejercicios Teorema del Coseno
1. Dado el triángulo de la figura, calcula en cada caso los valores que faltan de la longitud de los lados y la apertura de los ángulos (Continuación) d. a = 8 m, b= 7 m, C = 79º c2 = a2 + b2 -2abCos C = 64 + 49 - 112 Cos 79 = 91.63 -> c = √91.63 = 9.57 m a2 = b2 + c2 -2ab·Cos A -> Cos A = (b2+c2-a2)/2bc = (49+91.63-64)/113.98 = 0.57 -> A = arcCos 0.57 = 55.11º B = 180 - 79 - 55.11= 45.89º
Problemas.2. Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rumbos que forman un ángulo de 82º. El primero navega a 18 millas por hora, y el segundo a 25 millas por hora. Si mantienen inalterados los rumbos, ¿cuánto distarán entre sí al cabo de 3 horas? Distancia recorrida por los barcos a las 3 horas 1º = 3 · 18 =54 millas, 2º 3 · 25 = 75 millas Realizamos un esquema con los datos y resolvemos el triángulo para solucionar el problema
a2 = b2 + c2 -2bcCos A = 2916 + 5625 - 8100 Cos 30 = 7413.70 -> a = √7413.70 = 86.10 millas Distancia entre los dos barcos 86.10 millas
Soluciones ejercicios Teorema del Coseno
Problemas.3. Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla. Realizamos el esquema con los datos
a2 = b2 + c2 -2bcCos A = 36 + 400 - 240 Cos 60 = 316 -> a = √316 = 17.78 mLongitud de la valla = 20 + 17.78 + 6 = 43.78 m
4. Los lados de un triángulo isósceles forman un ángulo de 80º con la base. Si los lados iguales miden 70 cm, calcula la longitud de sus lados.Realizamos un esquema con los datos
C = 180 - 80 - 80 = 20ºc2 = a2 + b2 -2abCos C = 4900 + 4900 - 9800 Cos 20 =591.01 -> c = √591.01 = 24.31 cmLongitud de los lados = 24.31+ 70 + 70 = 164.31 cm
Gracias por la atención
Espero que te haya sido útil
Autor: Manuel Gª de Viedma Alonso