SEMANA 12
PENSAMIENTO MATEMATICO
Interés compuesto continuo
DOCENTE: DR. AGAPITO TAIPE HAQQUEHUA
Propósito
Al término de la sesión, el estudiante estará en la capacidad de resolver problemas de interés compuesto de manera continúa interpretando los resultados obtenidos.
INTERES SIMPLE
El interés simple se calcula sobre el capital inicial de una inversión o préstamo durante un período específico, sin considerar intereses generados en periodos anteriores.
I = Prt
La cantidad acumulada (A) que corresponde a la suma del principal e interés después de t años, está dada por:
A(t) = P + I = P + Prt = P(1 + rt)
A(t) = P(1 + rt)
Ejemplo. Calcule el monto acumulado de invertir 1 000 soles durante 2 años a una tasa del 2% anual.
A(t) = P(1 + rt)
Solución: A(2) = 1 000(1 + 0,02(2)) = 1 040 soles.
Interés compuesto
El interés compuesto es el que se va sumando al capital inicial y sobre el que se van generando nuevos intereses. El dinero, en este caso, tiene un efecto multiplicador porque los intereses producen nuevos intereses. Sin embargo, en el caso del interés o capitalización simple, los rendimientos siempre se generan sobre el capital inicial.
Ejemplo 2. El Sr. Fernández vendió un terreno en $25,000.00 al mismo tiempo tomo la decisión de invertir ese dinero en el Banco el cual le ofrecen un rendimiento del 28% anual de interés compuesto. Su intención es dejarlo 4 años en el banco, a) ¿Cuánto tendrá al final del tiempo estipulado? b) ¿Cuánto es el interés compuesto?
Ejemplo 3. Una persona recibió un dinero como herencia por la cantidad de $860,000.00 que quiere invertir el dinero en el Banco, la institución bancaria le ofrece un rendimiento del 35% como tasa líder en el mercado, una vez convencido decide invertir $800,000.00 en un periodo de 5 años. a) ¿Qué cantidad de dinero recibirá al final del periodo? b) ¿Cuánto es el interés compuesto?
Ejemplo 4. Una persona recibió un dinero como herencia por la cantidad de $860,000.00 que quiere invertir el dinero en el Banco, la institución bancaria le ofrece un rendimiento del 35% como tasa líder en el mercado, una vez convencido decide invertir $800,000.00 en un periodo de 5 años. a) ¿Qué cantidad de dinero recibirá al final del periodo? b) ¿Cuánto es el interés compuesto?
Interés compuesto capitalizable
Ejemplo
Costo de univversidad. Supóngase que asistir a una universidad cuesta S/. 21 500 en el año escolar 2000-2001. Este precio incluye matrícula, habitación, alimentación, libros y otros gastos. Spuniendo una tasa de inflación de 6% para estos costos, determine cuales serán los gastos universitarios para el año escolar 2010-2011.
Ejemplo 1. Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% al año. Encuentre las cantidades en la cuenta después de 3 años si el interés se capitaliza anual, semestral, trimestral, mensualmente y a diario. Solución:
Ejemplo 2. Una persona ahorra S/. 1 000 000 en un banco que le ofrece que le ofrece una tasa de interés compuesto mensual de 2%. ¿Cuánto de dinero recibirá la persona si retira al cabo de 5 meses?
Ejemplo 3. Si depositamos S/. 3 000 000 en una cuenta que paga el 12% anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto dinero tendremos después de 18 meses?
Ejemplo 4. ¿Cuánto dinero debo invertir en un banco que paga el 9% anual, si después de 18 meses quiero retirar un otal de S/. 1 500 000
Ejemplo 5. ¿Cuánto tiempo tomará para que $500 asciendan a $700, si se invierten al 8% compuesto cada trimestre?
Ejemplo 6. ¿Cuánto tiempo tomará para que $600 se conviertan en $900 a una tasa anual de 6% compuesto trimestralmente?
Ejemplo 7. Supóngase que $500 crecen a $588.38 en una cuenta de ahorros después de 3 años. Si el interés fue capitalizado semestralmente, encontrar la tasa de interés nominal, compuesta cada semestre, que fue devengada por el dinero.
Ejemplo 8. Calcule el interés compuesto que genera un capital de S/. 20 300 colocado con una tasa de 7% capitalizable semestralmente durante 2 años.
Ejemplo 9. Interés compuesto. Si se invierten $10,000 a una tasa de interés del 3% al año, capitalizada semestralmente, encuentre el valor de la inversión después del número dado de años. (a) 5 años (b) 10 años (c) 15 años
Ejemplo 10. Interés compuesto. Interés compuesto Si se invierten $2500 a una tasa de interés del 2.5% por año, capitalizado a diario, encuentre el valor de la inversión después del número dado de años. (a) 2 años (b) 3 años (c) 6 años
Ejemplo 11. Interés compuesto. Interés compuesto Si se invierten $500 a una tasa de interés del 3.75% por año, capitalizado trimestralmente, encuentre el valor de la inversión después del número dado de años. (a) 1 año (b) 2 años (c) 10 años
Ejemplo 12. Interés compuesto. Una inversión de $5000 se deposita en una cuenta en la que el interés se capitaliza mensualmente. Complete la tabla escribiendo las cantidades a las que crece la inversión en los tiempos indicados o tasas de interés.
t = 5 años
r = 4%
Ejemplo 13. Interés compuesto. Pedro desea invertir, cierta cantidad en una entidad financiera, para obtener $4000 dentro de 12 años, se sabe que la financiera paga una tasa de 7% anual, capitalizable semestralmente.
Ejemplo 14. Interés compuesto. Si mi hermano desea invertir, cierta cantidad en una entidad financiera, para obtener $8000 dentro de 5 años, sabiendo que la entidad paga una tasa de 10% por año, capitalizable mensualmente.
Interés compuesto contínuo
Una pregunta que surge de forma natural en el estudio de interés compuesto es: ¿Qué pasa con la cantidad acumulada a lo largo de un período fijo si el interés se calcula cada vez con mayor frecuencia?
En el interés continuo los intereses son generados en cada instante de tiempo.
Número e
Resolvemos problemas
1. Encuentre la cantidad después de 3 años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado continuamente.
Ejemplo 2. ¿Cuánto dinero se deberá invertir hoy a 7,85% capitalizable continuamente, de manera que dentro 20 años se tenga S/ 20 000?
Ejemplo 3. ¿Calcule el tiempo que tiene que transcurrir para que un capital aumente en 125%, si se sabe que el dinero depositado está a una tasa de interés anual del 6,85% capitalizable continuamente?
Ejemplo 4. Determina cuánto de capital deberá invertir en la actualidad en una caja municipal para obtener 3 mil dólares después de quince años, si dicha caja municipal paga una tasa anual del 1,03%, capitalizándose de manera continua.
Ejemplo 5. Encuentre la cantidad después de 3 años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado continuamente.
Ejemplo 5. Interés compuesto. Si se invierten $2000 a una tasa de in
terés del 3.5% al año, capitalizado continuamente, encuentre el
valor de la inversión después del número dado de años.
(a) 2 años (b) 4 años (c) 12 años
Ejemplo 6. Interés compuesto. Si se invierten $3500 a una tasa del 6.25% al año, capitalizado continuamente, encuentre el valor de la inversión después del número dado de años. (a) 3 años (b) 6 años (c) 9 años
Ejemplo 7. Interés compuesto. Si se invierte $8000 en una cuenta
para la cual el interés se capitaliza continuamente, encuentre la
cantidad de la inversión al término de 12 años para las siguien
tes tasas de interés.
(a) 2% (b) 3% (c) 4.5% (d) 7%
Ejemplo 8. Interés compuesto. Una inversión de $7000 se deposita en una cuenta en la que el interés se capitaliza continuamente. Complete la tabla escribiendo las cantidades a las que crece la inversión en los tiempos o tasas de interés indicados.
r = 3%
t = 10 años
Modelación de funciones exponenciales
Número de Euler
Modelo de crecimiento poblacional
Modelo de crecimiento poblacional
Modelación de funciones exponenciales
Cultivo de bacterias. La cantidad inicial de bacterias en un cultivo es 500. Posteriormente, un biólogo hace un conteo de muestra de bacterias del cultivo y encuentra que la tasa de crecimiento relativa es 40% por hora. (a) Encuentre una función que modele el número de bacterias después de t horas.
(b) ¿Cuál es la cantidad estimada después de 10 horas?
(c) ¿Cuándo llegará a 80,000 la cantidad de bacterias?
(d) Trace la gráfica de la función n(t).
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Bacterias. Un grupo de investigadores estudian un cultivo de bacterias. Si al inicio de la observación se tienen 3500 bacterias y media hora después se tienen 5489, encuentra: a) Una función que modele el número de bacterias después de t horas.
(b) ¿Cuál es la cantidad estimada después de 3 horas?
(c) ¿Cuándo llegará a 15,000 la cantidad de bacterias
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Crecimiento poblacional. La población proyectada, P, de una ciudad está dada por:
donde t es el número de años después de 1990. Pronosticar la población para el año 2010.
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Decaimiento radiactivo. Un elemento radiactivo decae de modo que después de t días el número de miligramos presentes está dado por:
a. ¿Cuántos miligramos están presentes inicialmente? b. ¿Cuántos miligramos están presentes después de 10 días?
Modelación de funciones exponenciales
Desintegración radiactiva. Unos médicos usan yodo radiactivo como trazador en el diagnóstico de ciertas enfermedades de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra en forma tal que la masa restante después de t días está dada por la función:
donde m(t) se mide en gramos. a. Encuentre la masa en el tiempo t=0 b. ¿Cuánta masa resta después de 20 días?
ucontinental.edu.pe
PENSAMIENTO MATEMATICO
Antonieta Alanoca Aragon
Created on November 7, 2025
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SEMANA 12
PENSAMIENTO MATEMATICO
Interés compuesto continuo
DOCENTE: DR. AGAPITO TAIPE HAQQUEHUA
Propósito
Al término de la sesión, el estudiante estará en la capacidad de resolver problemas de interés compuesto de manera continúa interpretando los resultados obtenidos.
INTERES SIMPLE
El interés simple se calcula sobre el capital inicial de una inversión o préstamo durante un período específico, sin considerar intereses generados en periodos anteriores.
I = Prt
La cantidad acumulada (A) que corresponde a la suma del principal e interés después de t años, está dada por:
A(t) = P + I = P + Prt = P(1 + rt)
A(t) = P(1 + rt)
Ejemplo. Calcule el monto acumulado de invertir 1 000 soles durante 2 años a una tasa del 2% anual.
A(t) = P(1 + rt)
Solución: A(2) = 1 000(1 + 0,02(2)) = 1 040 soles.
Interés compuesto
El interés compuesto es el que se va sumando al capital inicial y sobre el que se van generando nuevos intereses. El dinero, en este caso, tiene un efecto multiplicador porque los intereses producen nuevos intereses. Sin embargo, en el caso del interés o capitalización simple, los rendimientos siempre se generan sobre el capital inicial.
Ejemplo 2. El Sr. Fernández vendió un terreno en $25,000.00 al mismo tiempo tomo la decisión de invertir ese dinero en el Banco el cual le ofrecen un rendimiento del 28% anual de interés compuesto. Su intención es dejarlo 4 años en el banco, a) ¿Cuánto tendrá al final del tiempo estipulado? b) ¿Cuánto es el interés compuesto?
Ejemplo 3. Una persona recibió un dinero como herencia por la cantidad de $860,000.00 que quiere invertir el dinero en el Banco, la institución bancaria le ofrece un rendimiento del 35% como tasa líder en el mercado, una vez convencido decide invertir $800,000.00 en un periodo de 5 años. a) ¿Qué cantidad de dinero recibirá al final del periodo? b) ¿Cuánto es el interés compuesto?
Ejemplo 4. Una persona recibió un dinero como herencia por la cantidad de $860,000.00 que quiere invertir el dinero en el Banco, la institución bancaria le ofrece un rendimiento del 35% como tasa líder en el mercado, una vez convencido decide invertir $800,000.00 en un periodo de 5 años. a) ¿Qué cantidad de dinero recibirá al final del periodo? b) ¿Cuánto es el interés compuesto?
Interés compuesto capitalizable
Ejemplo
Costo de univversidad. Supóngase que asistir a una universidad cuesta S/. 21 500 en el año escolar 2000-2001. Este precio incluye matrícula, habitación, alimentación, libros y otros gastos. Spuniendo una tasa de inflación de 6% para estos costos, determine cuales serán los gastos universitarios para el año escolar 2010-2011.
Ejemplo 1. Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% al año. Encuentre las cantidades en la cuenta después de 3 años si el interés se capitaliza anual, semestral, trimestral, mensualmente y a diario. Solución:
Ejemplo 2. Una persona ahorra S/. 1 000 000 en un banco que le ofrece que le ofrece una tasa de interés compuesto mensual de 2%. ¿Cuánto de dinero recibirá la persona si retira al cabo de 5 meses?
Ejemplo 3. Si depositamos S/. 3 000 000 en una cuenta que paga el 12% anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto dinero tendremos después de 18 meses?
Ejemplo 4. ¿Cuánto dinero debo invertir en un banco que paga el 9% anual, si después de 18 meses quiero retirar un otal de S/. 1 500 000
Ejemplo 5. ¿Cuánto tiempo tomará para que $500 asciendan a $700, si se invierten al 8% compuesto cada trimestre?
Ejemplo 6. ¿Cuánto tiempo tomará para que $600 se conviertan en $900 a una tasa anual de 6% compuesto trimestralmente?
Ejemplo 7. Supóngase que $500 crecen a $588.38 en una cuenta de ahorros después de 3 años. Si el interés fue capitalizado semestralmente, encontrar la tasa de interés nominal, compuesta cada semestre, que fue devengada por el dinero.
Ejemplo 8. Calcule el interés compuesto que genera un capital de S/. 20 300 colocado con una tasa de 7% capitalizable semestralmente durante 2 años.
Ejemplo 9. Interés compuesto. Si se invierten $10,000 a una tasa de interés del 3% al año, capitalizada semestralmente, encuentre el valor de la inversión después del número dado de años. (a) 5 años (b) 10 años (c) 15 años
Ejemplo 10. Interés compuesto. Interés compuesto Si se invierten $2500 a una tasa de interés del 2.5% por año, capitalizado a diario, encuentre el valor de la inversión después del número dado de años. (a) 2 años (b) 3 años (c) 6 años
Ejemplo 11. Interés compuesto. Interés compuesto Si se invierten $500 a una tasa de interés del 3.75% por año, capitalizado trimestralmente, encuentre el valor de la inversión después del número dado de años. (a) 1 año (b) 2 años (c) 10 años
Ejemplo 12. Interés compuesto. Una inversión de $5000 se deposita en una cuenta en la que el interés se capitaliza mensualmente. Complete la tabla escribiendo las cantidades a las que crece la inversión en los tiempos indicados o tasas de interés.
t = 5 años
r = 4%
Ejemplo 13. Interés compuesto. Pedro desea invertir, cierta cantidad en una entidad financiera, para obtener $4000 dentro de 12 años, se sabe que la financiera paga una tasa de 7% anual, capitalizable semestralmente.
Ejemplo 14. Interés compuesto. Si mi hermano desea invertir, cierta cantidad en una entidad financiera, para obtener $8000 dentro de 5 años, sabiendo que la entidad paga una tasa de 10% por año, capitalizable mensualmente.
Interés compuesto contínuo
Una pregunta que surge de forma natural en el estudio de interés compuesto es: ¿Qué pasa con la cantidad acumulada a lo largo de un período fijo si el interés se calcula cada vez con mayor frecuencia? En el interés continuo los intereses son generados en cada instante de tiempo.
Número e
Resolvemos problemas
1. Encuentre la cantidad después de 3 años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado continuamente.
Ejemplo 2. ¿Cuánto dinero se deberá invertir hoy a 7,85% capitalizable continuamente, de manera que dentro 20 años se tenga S/ 20 000?
Ejemplo 3. ¿Calcule el tiempo que tiene que transcurrir para que un capital aumente en 125%, si se sabe que el dinero depositado está a una tasa de interés anual del 6,85% capitalizable continuamente?
Ejemplo 4. Determina cuánto de capital deberá invertir en la actualidad en una caja municipal para obtener 3 mil dólares después de quince años, si dicha caja municipal paga una tasa anual del 1,03%, capitalizándose de manera continua.
Ejemplo 5. Encuentre la cantidad después de 3 años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado continuamente.
Ejemplo 5. Interés compuesto. Si se invierten $2000 a una tasa de in terés del 3.5% al año, capitalizado continuamente, encuentre el valor de la inversión después del número dado de años. (a) 2 años (b) 4 años (c) 12 años
Ejemplo 6. Interés compuesto. Si se invierten $3500 a una tasa del 6.25% al año, capitalizado continuamente, encuentre el valor de la inversión después del número dado de años. (a) 3 años (b) 6 años (c) 9 años
Ejemplo 7. Interés compuesto. Si se invierte $8000 en una cuenta para la cual el interés se capitaliza continuamente, encuentre la cantidad de la inversión al término de 12 años para las siguien tes tasas de interés. (a) 2% (b) 3% (c) 4.5% (d) 7%
Ejemplo 8. Interés compuesto. Una inversión de $7000 se deposita en una cuenta en la que el interés se capitaliza continuamente. Complete la tabla escribiendo las cantidades a las que crece la inversión en los tiempos o tasas de interés indicados.
r = 3%
t = 10 años
Modelación de funciones exponenciales
Número de Euler
Modelo de crecimiento poblacional
Modelo de crecimiento poblacional
Modelación de funciones exponenciales
Cultivo de bacterias. La cantidad inicial de bacterias en un cultivo es 500. Posteriormente, un biólogo hace un conteo de muestra de bacterias del cultivo y encuentra que la tasa de crecimiento relativa es 40% por hora. (a) Encuentre una función que modele el número de bacterias después de t horas. (b) ¿Cuál es la cantidad estimada después de 10 horas? (c) ¿Cuándo llegará a 80,000 la cantidad de bacterias? (d) Trace la gráfica de la función n(t).
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Bacterias. Un grupo de investigadores estudian un cultivo de bacterias. Si al inicio de la observación se tienen 3500 bacterias y media hora después se tienen 5489, encuentra: a) Una función que modele el número de bacterias después de t horas. (b) ¿Cuál es la cantidad estimada después de 3 horas? (c) ¿Cuándo llegará a 15,000 la cantidad de bacterias
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Crecimiento poblacional. La población proyectada, P, de una ciudad está dada por:
donde t es el número de años después de 1990. Pronosticar la población para el año 2010.
Modelación de funciones exponenciales
Modelación de funciones exponenciales
Decaimiento radiactivo. Un elemento radiactivo decae de modo que después de t días el número de miligramos presentes está dado por:
a. ¿Cuántos miligramos están presentes inicialmente? b. ¿Cuántos miligramos están presentes después de 10 días?
Modelación de funciones exponenciales
Desintegración radiactiva. Unos médicos usan yodo radiactivo como trazador en el diagnóstico de ciertas enfermedades de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra en forma tal que la masa restante después de t días está dada por la función:
donde m(t) se mide en gramos. a. Encuentre la masa en el tiempo t=0 b. ¿Cuánta masa resta después de 20 días?
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