Distribuciones Muestrales y el Teorema del Límite Central
Christopher Carmona 11005605
Ejercicio 1
Una máquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de μ onzas por botella. Se ha observado que la cantidad de contenido que suministra la máquina presenta una distribución normal con σ=1.0 onza. De la producción de la máquina un cierto día, se obtiene una muestra aleatoria de n=9 botellas llenas (todas fueron llenadas con las mismas posiciones del control operativo) y se miden las onzas del contenido de cada una. Determinar la probabilidad de que la media muestral se encuentre a lo más a 0.3 onzas de la media real μ para tales posiciones de control.
Datos: Media poblacional μ = desconocida Desviación estándar poblacional σ = 1.0 onza Tamaño de la muestra n=9 botellas Margen de error = 0.3 onzas
Ejercicio 2 Con base al ejemplo anterior, ¿Cuántas observaciones deben incluirse en la muestrasi se desea que la media muestral esté a lo más a 0.3 onzas de μ con una probabilidad de 0.95?
Para determinar el tamaño mínimo de muestra n necesario para que la media muestral esté a lo más a 0.3 onzas de la media poblacional μ con una probabilidad del 95%, usamos el concepto de margen de error en una distribución normal.
Datos:Nivel de confianza: 95\% Margen de error deseado: E=0.3 onzas Desviación estándar poblacional: σ =1.0 onza Distribución: Normal
Ejercicio Extra Un guardabosque que estudia los efectos de la fertilización en ciertos bosques de pino, se interesa en estimar el área fertilizada promedio de la base de los pinos. Al estudiar las áreas de la base de los árboles similares durante muchos años, descubrió que estas mediciones (en pulgadas cuadradas) tienen una distribución normal con desviación estándar de aproximadamente 4 pulgadas cuadradas. Si el guardabosques selecciona una muestra aleatoria de n=9 árboles, encuentre la probabilidad de que la media muestral se desvíe a lo más 2 pulgadas cuadradas de la media poblacional.
Ejercicio 3 En el ejemplo anterior, se supone que las onzas del contenido que vacía la máquina embotelladora tienen una distribución normal con σ2=1. Supóngase que se desea obtener una muestra aleatoria de 10 botellas y medir el contenido de cada una. Si se utilizan estas 10 observaciones para calcular S2 , podría ser útil especificar un intervalo de valores que incluyeran a S2 con un alta probabilidad. Encuentre los números b1 yb2 tales que: P (b1 ≤ s^2 ≤ b_2) = 0.90
Datos del problema: Varianza poblacional: σ^2=1
Tamaño de muestra: n=10
Grados de libertad: df = n-1= 9
Nivel de confianza: 90%
Ejercicio 4 Los resultados de las pruebas finales de todos los alumnos del último año de las preparatorias de cierto estado tienen una media de 60 y una varianza de 64. Una generación específica de cierta preparatoria de n=100 alumnos tuvo una media de 58. ¿Puede afirmarse que esta preparatoria sea inferior? (calcular la probabilidad de que la media muestral sea a lo más 58 cuando n=100)
Datos del problema: Media poblacional: (μ = 60) Varianza poblacional: ( σ^2 = 64) Desviación estándar: (σ = 8) Tamaño de la muestra: (n = 100) Media muestral observada: (x ̅ = 58)
Ejercicio 5 Los resultados de las pruebas finales de todos los alumnos del último año de las preparatorias de cierto estado tienen una media de 60 y una varianza de 64. Una generación específica de cierta preparatoria de n=100 alumnos tuvo una media de 58. ¿Puede afirmarse que esta preparatoria sea inferior? (calcular la probabilidad de que la media muestral sea a lo más 58 cuando n=100)
Datos del problema: Media poblacional: (μ = 2600) Desviación estándar poblacional: (σ = 450) Tamaño de la muestra: (n = 36) Valor de interés: (x ̅ = 2500)
Primero encontramos la desviación muestral:
σ_x=σ/√n
σ_x=1/√9
σ_x=0.33
Ahora convertimos el intervalo a una puntuación Z:
Z =(0.3)/(0.33)
Z =0.9
Usando la tabla de la distribución normal estándar:
P(Z≤ 0.9) = 0.8159
P(Z≤ -0.9) = 0.1841
Entonces:
P(x ̅-μ≤ 0.3) =0.8159-0.1841=0.6318
La probabilidad de que la media muestral esté a lo más a 0.3 onzas de la media real es aproximadamente 0.6318, es decir, 63.18%.
Ecuación para el tamaño de muestra: Donde:
es el valor crítico de la distribución normal estándar para un nivel de confianza del 95%, que es aproximadamente 1.96
σ =1.0
E=0.3
Sustituyendo valores
Con 43 observaciones, podemos tener un 95% de confianza de que la media muestral estará a lo más a 0.3 onzas de la media real μ .
Para resolver este ejercicio, aplicamos la teoría de la distribución de la media muestral en una población normal.
Distribución: Normal
Desviación estándar poblacional: σ =4 pulgadas²
Tamaño de la muestra: n=9
Margen de error: E=2 pulgadas²
Queremos calcular:
P(x ̅-μ ≤2)
La desviación estándar de la media muestral es:
σ_x ̅ =σ/√n=4/√9=4/3=1.33
Convertimos el margen de error a una puntuación z:
z=2/σ_x ̅ =2/1.33=1.5
Buscamos la probabilidad de que z esté entre -1.5 y 1.5:
P(-1.5≤ Z≤ 1.5) = P(Z≤ 1.5)-P(Z≤ -1.5)
Usando la tabla de la distribución normal estándar:
P(Z≤ 1.5) = 0.9332
P(Z≤ -1.5) = 0.0668
Entonces:
P(x ̅-μ ≤2) = 0.9332-0.0668= 0.8664
La probabilidad de que la media muestral esté a lo más a 2 pulgadas cuadradas de la media poblacional es aproximadamente 0.8664, es decir, 86.64%.
Distribuciones Muestrales y el Teorema del Límite Central
Christopher Carmona
Created on November 6, 2025
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Distribuciones Muestrales y el Teorema del Límite Central
Christopher Carmona 11005605
Ejercicio 1 Una máquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de μ onzas por botella. Se ha observado que la cantidad de contenido que suministra la máquina presenta una distribución normal con σ=1.0 onza. De la producción de la máquina un cierto día, se obtiene una muestra aleatoria de n=9 botellas llenas (todas fueron llenadas con las mismas posiciones del control operativo) y se miden las onzas del contenido de cada una. Determinar la probabilidad de que la media muestral se encuentre a lo más a 0.3 onzas de la media real μ para tales posiciones de control.
Datos: Media poblacional μ = desconocida Desviación estándar poblacional σ = 1.0 onza Tamaño de la muestra n=9 botellas Margen de error = 0.3 onzas
Ejercicio 2 Con base al ejemplo anterior, ¿Cuántas observaciones deben incluirse en la muestrasi se desea que la media muestral esté a lo más a 0.3 onzas de μ con una probabilidad de 0.95?
Para determinar el tamaño mínimo de muestra n necesario para que la media muestral esté a lo más a 0.3 onzas de la media poblacional μ con una probabilidad del 95%, usamos el concepto de margen de error en una distribución normal.
Datos:Nivel de confianza: 95\% Margen de error deseado: E=0.3 onzas Desviación estándar poblacional: σ =1.0 onza Distribución: Normal
Ejercicio Extra Un guardabosque que estudia los efectos de la fertilización en ciertos bosques de pino, se interesa en estimar el área fertilizada promedio de la base de los pinos. Al estudiar las áreas de la base de los árboles similares durante muchos años, descubrió que estas mediciones (en pulgadas cuadradas) tienen una distribución normal con desviación estándar de aproximadamente 4 pulgadas cuadradas. Si el guardabosques selecciona una muestra aleatoria de n=9 árboles, encuentre la probabilidad de que la media muestral se desvíe a lo más 2 pulgadas cuadradas de la media poblacional.
Ejercicio 3 En el ejemplo anterior, se supone que las onzas del contenido que vacía la máquina embotelladora tienen una distribución normal con σ2=1. Supóngase que se desea obtener una muestra aleatoria de 10 botellas y medir el contenido de cada una. Si se utilizan estas 10 observaciones para calcular S2 , podría ser útil especificar un intervalo de valores que incluyeran a S2 con un alta probabilidad. Encuentre los números b1 yb2 tales que: P (b1 ≤ s^2 ≤ b_2) = 0.90
Datos del problema: Varianza poblacional: σ^2=1 Tamaño de muestra: n=10 Grados de libertad: df = n-1= 9 Nivel de confianza: 90%
Ejercicio 4 Los resultados de las pruebas finales de todos los alumnos del último año de las preparatorias de cierto estado tienen una media de 60 y una varianza de 64. Una generación específica de cierta preparatoria de n=100 alumnos tuvo una media de 58. ¿Puede afirmarse que esta preparatoria sea inferior? (calcular la probabilidad de que la media muestral sea a lo más 58 cuando n=100)
Datos del problema: Media poblacional: (μ = 60) Varianza poblacional: ( σ^2 = 64) Desviación estándar: (σ = 8) Tamaño de la muestra: (n = 100) Media muestral observada: (x ̅ = 58)
Ejercicio 5 Los resultados de las pruebas finales de todos los alumnos del último año de las preparatorias de cierto estado tienen una media de 60 y una varianza de 64. Una generación específica de cierta preparatoria de n=100 alumnos tuvo una media de 58. ¿Puede afirmarse que esta preparatoria sea inferior? (calcular la probabilidad de que la media muestral sea a lo más 58 cuando n=100)
Datos del problema: Media poblacional: (μ = 2600) Desviación estándar poblacional: (σ = 450) Tamaño de la muestra: (n = 36) Valor de interés: (x ̅ = 2500)
Primero encontramos la desviación muestral: σ_x=σ/√n σ_x=1/√9 σ_x=0.33 Ahora convertimos el intervalo a una puntuación Z: Z =(0.3)/(0.33) Z =0.9 Usando la tabla de la distribución normal estándar: P(Z≤ 0.9) = 0.8159 P(Z≤ -0.9) = 0.1841 Entonces: P(x ̅-μ≤ 0.3) =0.8159-0.1841=0.6318 La probabilidad de que la media muestral esté a lo más a 0.3 onzas de la media real es aproximadamente 0.6318, es decir, 63.18%.
Ecuación para el tamaño de muestra: Donde: es el valor crítico de la distribución normal estándar para un nivel de confianza del 95%, que es aproximadamente 1.96 σ =1.0 E=0.3 Sustituyendo valores Con 43 observaciones, podemos tener un 95% de confianza de que la media muestral estará a lo más a 0.3 onzas de la media real μ .
Para resolver este ejercicio, aplicamos la teoría de la distribución de la media muestral en una población normal. Distribución: Normal Desviación estándar poblacional: σ =4 pulgadas² Tamaño de la muestra: n=9 Margen de error: E=2 pulgadas² Queremos calcular: P(x ̅-μ ≤2) La desviación estándar de la media muestral es: σ_x ̅ =σ/√n=4/√9=4/3=1.33 Convertimos el margen de error a una puntuación z: z=2/σ_x ̅ =2/1.33=1.5 Buscamos la probabilidad de que z esté entre -1.5 y 1.5: P(-1.5≤ Z≤ 1.5) = P(Z≤ 1.5)-P(Z≤ -1.5) Usando la tabla de la distribución normal estándar: P(Z≤ 1.5) = 0.9332 P(Z≤ -1.5) = 0.0668 Entonces: P(x ̅-μ ≤2) = 0.9332-0.0668= 0.8664 La probabilidad de que la media muestral esté a lo más a 2 pulgadas cuadradas de la media poblacional es aproximadamente 0.8664, es decir, 86.64%.