TEMA 1 - NÚMEROS BLOQUE ARITMÉTICA
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN El Conjunto de números naturales La relación de divisibilidad Números primos y compuestos Mínimo Común múltiplo Máximo Común Divisor El conjunto Z de los números enteros Operaciones con números enteros Potencias de números enteros Raiz cuadrada de un número entero
Los números naturales se han utilizado en todas las civilizaciones desde la Antigüedad para actividades cotidianas como contar, medir, comerciar, construir… Los griegos fueron más allá: cultivaron las matemáticas por el placer de saber. Pitágoras (siglo VI a. C.) y sus discípulos rindieron un culto a los números. Según ellos, los números lo regían todo: la música, el movimiento de los planetas, la geometría…
Indagaron en sus propiedades y relaciones, y realizaron clasificaciones, recogidas más adelante en el libro VII de Los Elementos de Euclides. Los números negativos surgen mucho después de los naturales, por las necesidades del comercio y tras aparecer los sistemas de numeración dotados del cero, imprescindible para su construcción. No aparecen sistematizados hasta el siglo VII, en escritos hindúes, ligados a actividades cotidianas como tener una deuda. La introducción en Europa, inicialmente a través de los árabes, fue lenta y desigual. Pero no fue hasta finales del siglo XIX, cuando el conjunto de los números enteros negativos es aceptado y reconocido.
Números naturales y enteros
Con lo que ya sabes, resuelve
Varios miembros de una pandilla están haciendo la misma colección de cromos de la liga de baloncesto, que se disputa entre dieciocho equipos. Cada equipo ocupa una doble página en el álbum y presenta 16 cromos de los jugadores, otro del entrenador y otro del escudo del club.
1. Marcos tenía ayer 73 cromos en el álbum y otros 27 repetidos para intercambiar. Hoy ha comprado tres sobres de 5 cromos cada uno, y le han salido seis que ya tenía. Después, ha intercambiado con Marta 13 de sus repetidos por otros que no tenía.
Ve resolviendo las siguientes preguntas, en el orden en que aparecen, y asocia cada una con la correspondiente expresión que ves a la derecha.
a) ¿Cuántos cromos tiene la colección?
b) ¿Cuántas páginas tiene el álbum, teniendo en cuenta que la primera contiene el índice y la última los créditos?
c) ¿En cuántos cromos ha mejorado hoy la colección de Marcos? d) ¿Cuántos cromos no repetidos tiene ahora?
e) ¿Cuántos le quedan repetidos? f) ¿Cuántos le faltan todavía para completar la colección?
Con lo que ya sabes, resuelve
2. Rodrigo tiene 42 cromos repetidos y los quiere colocar en montones igual de gruesos, de más de 5 y de menos de 10 unidades. ¿De cuántas formas diferentes puede hacerlo?. 3. Alberto dice que cuando tenga 250 cromos, sin repetidos, habrá llenado 13 páginas del álbum. Pero Adela no está de acuerdo, le dice que a lo mejor no habrá llenado ninguna. Y Ramiro opina que es posible que haya llenado unas pocas, tres o cuatro, pero ve difícil que sean más. ¿Cuál de los tres crees que tiene más posibilidades de estar en lo cierto? Explícalo. 4. A Noemí le quedan por reunir unos pocos cromos para completar la colección, porque tiene ya 310. ¿Cuántas páginas del álbum puedes asegurar que ha completado, como mínimo? ¿Y como máximo?
1- El Conjunto de los números naturales
Los números que usamos para contar objetos, uno a uno, se llaman números naturales.
El conjunto de los números naturales se designa con la letra ℤ, está ordenado. Tiene principio, pero no fin. ℤ= {0, 1, 2, 3, 4, …} Los números naturales se representan ordenados en la recta numérica:
El sistema de numeración decimal
las distintas culturas han ideado formas diversas de expresar los números naturales: son los sistemas de numeración.
Nosotros utilizamos el sistema de numeración decimal (SND), inventado en la India y extendido hacia el Mediterráneo por los árabes, durante la expansión del mundo islámico, a partir del siglo VIII.
1- El Conjunto de los números naturales
El sistema de numeración decimal
El Sistema numérico decimal es posicional: el valor de una cifra depende de la posición que ocupa. Y es decimal, porque 10 unidades de cualquier orden hacen una unidad del orden inmediato superior. (Es decir, 10 U = 1 D) 1 CM = 10 DM = 100 UM = 1 000 C = 10 000 D = 100 000 U Como consecuencia, un número se puede descomponer como muestra el siguiente ejemplo (descomposición polinómica): 16 535 208 = 1 · 107 + 6 · 106 + 5 · 105 + 3 · 104 + 5 · 103 + 2 · 102 + 0 · 10 + 8
1- El Conjunto de los números naturales
El sistema sexagesimal
De la misma forma que nosotros contamos de 10 en 10 (sistema decimal), otras culturas a lo largo de la historia han contado de 60 en 60 (sistema sexagesimal). La adopción del 60 se basa, probablemente, en la forma de contar que utiliza las 12 falanges de los dedos.
Medida del tiempo y de la amplitud angular
En la actualidad, el sistema sexagesimal se utiliza para medir el tiempo y la amplitud angular. En estas magnitudes, cada unidad se divide en 60 unidades del orden inferior.
1- El Conjunto de los números naturales
Expresiones complejas e incomplejas
La medida de las cantidades de una magnitud se puede expresar:✔ Utilizando varias unidades (forma compleja) ✔ Utilizando una unidad única (forma incompleja)
1 - Pasa a forma compleja. a) 257’ b) 873 s c) 8534 s 2 - Pasa 2 horas y 24 minutos a forma incompleja (primero a minutos y después a segundos). a) Paso a minutos: 2 h 24 min → (2 · 60 + 24) min = ( + ) min = min b) Paso a segundos: 2 h 24 min → (2 · 3 600 + 24 · ) s = s
2. La relación de divisibilidad
Múltiplos y divisores
Un número es divisible por otro cuando su cociente es exacto:
Los múltiplos y los divisores de un número
Los múltiplos de un número: se obtienen multiplicándolo por cualquier otro número natural.
|Ejemplo: Calculamos los primeros múltiplos de 12:
2. La relación de divisibilidad
Los divisores de un número: están contenidos en él una cantidad exacta de veces y, por tanto, lo dividen con cociente exacto
Ejemplo: Calculamos los divisores de 12:
✔ Un número tiene una cantidad finita de divisores. ✔ Un número tiene al menos dos divisores: él mismo y la unidad.
2. La relación de divisibilidad
Una propiedad de los múltiplos de un número
✔ Observa que al sumar dos múltiplos de 12 se obtiene otro múltiplo de 12.
36 + 60 = 12 · 3 + 12 · 5 = 12 · (3 + 5) = 12 · 8 = 96 ✔ La suma de dos múltiplos de un número a es otro múltiplo de a: m · a + n · a = (m + n) · a
Criterios de divisibilidad
Son reglas que permiten descubrir con rapidez si un número es múltiplo de 2, 3, 5, 11…
• Divisibilidad por 2, por 5 y por 10
2. La relación de divisibilidad
• Divisibilidad por 3 y por 9
Un número se puede descomponer en un múltiplo de 3 más la suma de sus cifras:
• Divisibilidad por 11
Ejercicios pg. 30
3. Números primos y compuestos
• Algunos números se pueden descomponer en forma de producto: 40 = 8 · 5 = 2 · 2 · 2 · 5 → Diremos que 40 es un número compuesto. • Otros números, como el 13, solo tienen dos divisores, 13 y 1, y, por tanto, no se pueden descomponer en forma de producto: 13 = 13 · 1 → no se puede descomponer → Diremos que 13 es un número primo.
✔ Un número que no se puede descomponer en factores es un número primo. ✔ Un número primo solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. ✔ Los números que no son primos se llaman compuestos.
3. Números primos y compuestos
Descomposición de un número en factores primos
El mayor nivel de descomposición se alcanza cuando todos los factores son primos: Para descomponer un número en factores primos, conviene actuar ordenadamente:
Ejercicios pg. 31- 1, 2 y 3
4. Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de varios números, a, b, c, … es el menor de sus múltiplos comunes, y se escribe así: mín. c. m. (a, b, c, …).
Cálculo del mínimo común múltiplo
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:
→ Se descomponen los números en factores primos.
→ Se toman todos los factores primos, comunes y no comunes, elevado cada uno al mayor de los exponentes con el que aparece.
Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de 200 y 240. - Primero: descomponemos los números en factores primos: 200 = 23 · 52 240 = 24 · 3 · 5 Seleccionamos los factores comunes y no comunes de mayor exponente:
Ejercicios pg. 32- 1, 2, 3 y 4
5. Máximo común divisor
El máximo común divisor de varios números, a, b, c, … es el mayor de sus divisores comunes, y se escribe así: máx. c. d. (a, b, c, …).
Cálculo del máximo común divisor
Para calcular el máximo común divisor de varios números:
→ Se descomponen los números en factores primos..
→ Se toman solamente los factores primos comunes, elevado cada uno al menor de los exponentes con el que aparece..
Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de 200 y 240. - Primero: descomponemos los números en factores primos: 200 = 23 · 52 240 = 24 · 3 · 5 Seleccionamos los factores comunes de menor exponente:
Ejercicios pg. 33- 1, 2, 3 y 4
6. El conjunto ℤ de los números enteros
Si tomamos el conjunto de los números naturales y por cada elemento +a añadimos otro con el signo negativo, –a, → obtenemos un conjunto llamado: Conjunto de los números enteros y se designa con la letra ℤ.
Valor absoluto y opuesto de un número entero
✔ El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo y se expresa escribiéndolo entre barras.| a | → valor absoluto de a
Ejemplo: |+7| = 7 ; |–7| = 7
✔ El opuesto de un número entero es otro entero con el mismo valor absoluto, pero de signo contrario.Ejemplo: Opuesto de (+7) → (–7) , Opuesto de (–7) → (+7)
6. El conjunto ℤ de los números enteros
Orden en el conjunto ℤ
El conjunto de los números enteros se representa, ordenado, en la recta numérica:
✔ Cualquier número positivo es mayor que el cero, y este, mayor que cualquier número negativo. ✔ Los números negativos se ordenan al revés que los positivos. Es mayor el que tenga menor valor absoluto.
Ejercicios pg. 33- 1, 2, 3 y 4 1 Escribe el valor absoluto y el opuesto de cada número.
a) –3 b) +8 c) –11 d) 23 e) -37 f) 60 2 Ordena de menor a mayor. d) +23–7, –13, +8, –1, +1, +5, 0, +10, –24
3 ¿Verdadero o falso?
a) Cualquier número entero es también natural.
b) Cualquier número natural es entero.
c) Solo los negativos tienen opuesto.
d) Dos números enteros opuestos tienen el mismo valor absoluto
7. Operaciones con números enteros
Suma y resta de números enteros
✔ Con el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tenían los sumandos.
+4 + 7 = +11 –3 – 6 = –9✔ Distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
– 4 + 10 = +6 +3 – 8 = –5
Para operar más de dos números positivos y negativos, podemos:
• Ir operando paso a paso, según aparecen: • Agrupar los positivos y los negativos y después, operar:
Ejercicios pg. 35- Fijar ideas y 1, 2, 3.
7. Operaciones con números enteros
Suma y resta de números enteros
✔ Con el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tenían los sumandos.
+4 + 7 = +11 –3 – 6 = –9✔ Distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
– 4 + 10 = +6 +3 – 8 = –5
Para operar más de dos números positivos y negativos, podemos:
• Ir operando paso a paso, según aparecen: • Agrupar los positivos y los negativos y después, operar:
Ejercicios pg. 35 y 36
7. Operaciones con números enteros
Multiplicación de números enteros
Ejemplo: (+4) · (+3) = +12 (–5) · (– 4) = +20 (+6) · (– 4) = –24 (– 4) · (+8) = –32
División de números enteros
Aplica las mismas reglas que la multiplicación.
Ej. pg. 37
7. Operaciones con números enteros
Operaciones Combinadas
Resuelve:
Ej. pg. 38
8. Potencias de números enteros
Una potencia es una multiplicación de factores iguales:
Ejemplos: (+4)2 = (+4) · (+4) = +16 (–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = +81 (–3)5 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = –243
Potencias de números negativos
Al elevar un número negativo a una potencia:
• Si el exponente es par, el resultado es positivo → (– a)n (par) → positivo • Si el exponente es impar, el resultado es negativo → (– a)n (impar) → negativo
8. Potencias de números enteros
Propiedades de las potencias
POTENCIA DE UN PRODUCTO: es igual al producto de las potencias de los factores
Propiedades de las potencias CON EL MISMO EXPONENTE
POTENCIA DE UN COCIENTE: es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.
Ej. pg. 40
8. Potencias de números enteros
PRODUCTO DE POTENCIAS CON MISMA BASE: Se SUMAN los exponentes:
COCIENTE DE POTENCIAS CON MISMA BASE: Se RESTAN los exponentes:
Propiedades de las potencias CON LA MISMA BASE
POTENCIA DE UNA POTENCIA: Se MULTIPLICAN los exponentes:
Ej. pg. 40
9. Raíz cuadrada de un número entero
→ La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado
→ Los números cuya raíz cuadrada es entera se llaman cuadrados perfectos.
Ejemplos:
→ Un número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa.
Las raices cuadradas de 16:
Un número negativo no tiene raíz cuadrada.
Ej. pg. 40
9. Raíz cuadrada de un número entero
OTRAS RAICES:
→ podemos obtener raíces de índice superior a dos:
Ejemplos:
Ej. pg. 40
9. Raíz cuadrada de un número entero
Introducir factores en el radical:
→ Para introducir un número dentro del radical se eleva el número al índice de la raíz y se multiplica por el radicando.
Ejemplo:
Extraer factores en el radical:
→ Para extraer números de un radical es preciso descomponer el radicando en factores:.
Ejemplo:
Suma y resta de radicales:
→ Para sumar y restar radicales, estos deben ser semejantes; en ese caso, se operan los coeficientes y se deja el mismo radical.
Ejemplo:
9. Raíz cuadrada de un número entero
Introducir factores en el radical:
→ Se debe verificar si los índices son iguales. Si lo son, se operan los radicandos (se multiplican o dividen) bajo el mismo índice y se simplifica el resultado.
Ejemplo:
Ejemplo
Una cita en Sevilla: Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a Sevilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Sevilla los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Sevilla?
TEMA 1 - NÚMEROS BLOQUE ARITMÉTICA
Nuria
Created on November 3, 2025
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TEMA 1 - NÚMEROS BLOQUE ARITMÉTICA
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN El Conjunto de números naturales La relación de divisibilidad Números primos y compuestos Mínimo Común múltiplo Máximo Común Divisor El conjunto Z de los números enteros Operaciones con números enteros Potencias de números enteros Raiz cuadrada de un número entero
Los números naturales se han utilizado en todas las civilizaciones desde la Antigüedad para actividades cotidianas como contar, medir, comerciar, construir… Los griegos fueron más allá: cultivaron las matemáticas por el placer de saber. Pitágoras (siglo VI a. C.) y sus discípulos rindieron un culto a los números. Según ellos, los números lo regían todo: la música, el movimiento de los planetas, la geometría… Indagaron en sus propiedades y relaciones, y realizaron clasificaciones, recogidas más adelante en el libro VII de Los Elementos de Euclides. Los números negativos surgen mucho después de los naturales, por las necesidades del comercio y tras aparecer los sistemas de numeración dotados del cero, imprescindible para su construcción. No aparecen sistematizados hasta el siglo VII, en escritos hindúes, ligados a actividades cotidianas como tener una deuda. La introducción en Europa, inicialmente a través de los árabes, fue lenta y desigual. Pero no fue hasta finales del siglo XIX, cuando el conjunto de los números enteros negativos es aceptado y reconocido.
Números naturales y enteros
Con lo que ya sabes, resuelve
Varios miembros de una pandilla están haciendo la misma colección de cromos de la liga de baloncesto, que se disputa entre dieciocho equipos. Cada equipo ocupa una doble página en el álbum y presenta 16 cromos de los jugadores, otro del entrenador y otro del escudo del club.
1. Marcos tenía ayer 73 cromos en el álbum y otros 27 repetidos para intercambiar. Hoy ha comprado tres sobres de 5 cromos cada uno, y le han salido seis que ya tenía. Después, ha intercambiado con Marta 13 de sus repetidos por otros que no tenía. Ve resolviendo las siguientes preguntas, en el orden en que aparecen, y asocia cada una con la correspondiente expresión que ves a la derecha. a) ¿Cuántos cromos tiene la colección? b) ¿Cuántas páginas tiene el álbum, teniendo en cuenta que la primera contiene el índice y la última los créditos? c) ¿En cuántos cromos ha mejorado hoy la colección de Marcos? d) ¿Cuántos cromos no repetidos tiene ahora? e) ¿Cuántos le quedan repetidos? f) ¿Cuántos le faltan todavía para completar la colección?
Con lo que ya sabes, resuelve
2. Rodrigo tiene 42 cromos repetidos y los quiere colocar en montones igual de gruesos, de más de 5 y de menos de 10 unidades. ¿De cuántas formas diferentes puede hacerlo?. 3. Alberto dice que cuando tenga 250 cromos, sin repetidos, habrá llenado 13 páginas del álbum. Pero Adela no está de acuerdo, le dice que a lo mejor no habrá llenado ninguna. Y Ramiro opina que es posible que haya llenado unas pocas, tres o cuatro, pero ve difícil que sean más. ¿Cuál de los tres crees que tiene más posibilidades de estar en lo cierto? Explícalo. 4. A Noemí le quedan por reunir unos pocos cromos para completar la colección, porque tiene ya 310. ¿Cuántas páginas del álbum puedes asegurar que ha completado, como mínimo? ¿Y como máximo?
1- El Conjunto de los números naturales
Los números que usamos para contar objetos, uno a uno, se llaman números naturales. El conjunto de los números naturales se designa con la letra ℤ, está ordenado. Tiene principio, pero no fin. ℤ= {0, 1, 2, 3, 4, …} Los números naturales se representan ordenados en la recta numérica:
El sistema de numeración decimal
las distintas culturas han ideado formas diversas de expresar los números naturales: son los sistemas de numeración.
Nosotros utilizamos el sistema de numeración decimal (SND), inventado en la India y extendido hacia el Mediterráneo por los árabes, durante la expansión del mundo islámico, a partir del siglo VIII.
1- El Conjunto de los números naturales
El sistema de numeración decimal
El Sistema numérico decimal es posicional: el valor de una cifra depende de la posición que ocupa. Y es decimal, porque 10 unidades de cualquier orden hacen una unidad del orden inmediato superior. (Es decir, 10 U = 1 D) 1 CM = 10 DM = 100 UM = 1 000 C = 10 000 D = 100 000 U Como consecuencia, un número se puede descomponer como muestra el siguiente ejemplo (descomposición polinómica): 16 535 208 = 1 · 107 + 6 · 106 + 5 · 105 + 3 · 104 + 5 · 103 + 2 · 102 + 0 · 10 + 8
1- El Conjunto de los números naturales
El sistema sexagesimal
De la misma forma que nosotros contamos de 10 en 10 (sistema decimal), otras culturas a lo largo de la historia han contado de 60 en 60 (sistema sexagesimal). La adopción del 60 se basa, probablemente, en la forma de contar que utiliza las 12 falanges de los dedos.
Medida del tiempo y de la amplitud angular
En la actualidad, el sistema sexagesimal se utiliza para medir el tiempo y la amplitud angular. En estas magnitudes, cada unidad se divide en 60 unidades del orden inferior.
1- El Conjunto de los números naturales
Expresiones complejas e incomplejas
La medida de las cantidades de una magnitud se puede expresar:✔ Utilizando varias unidades (forma compleja) ✔ Utilizando una unidad única (forma incompleja)
1 - Pasa a forma compleja. a) 257’ b) 873 s c) 8534 s 2 - Pasa 2 horas y 24 minutos a forma incompleja (primero a minutos y después a segundos). a) Paso a minutos: 2 h 24 min → (2 · 60 + 24) min = ( + ) min = min b) Paso a segundos: 2 h 24 min → (2 · 3 600 + 24 · ) s = s
2. La relación de divisibilidad
Múltiplos y divisores
Un número es divisible por otro cuando su cociente es exacto:
Los múltiplos y los divisores de un número
Los múltiplos de un número: se obtienen multiplicándolo por cualquier otro número natural.
|Ejemplo: Calculamos los primeros múltiplos de 12:
2. La relación de divisibilidad
Los divisores de un número: están contenidos en él una cantidad exacta de veces y, por tanto, lo dividen con cociente exacto
Ejemplo: Calculamos los divisores de 12:
✔ Un número tiene una cantidad finita de divisores. ✔ Un número tiene al menos dos divisores: él mismo y la unidad.
2. La relación de divisibilidad
Una propiedad de los múltiplos de un número
✔ Observa que al sumar dos múltiplos de 12 se obtiene otro múltiplo de 12. 36 + 60 = 12 · 3 + 12 · 5 = 12 · (3 + 5) = 12 · 8 = 96 ✔ La suma de dos múltiplos de un número a es otro múltiplo de a: m · a + n · a = (m + n) · a
Criterios de divisibilidad
Son reglas que permiten descubrir con rapidez si un número es múltiplo de 2, 3, 5, 11…
• Divisibilidad por 2, por 5 y por 10
2. La relación de divisibilidad
• Divisibilidad por 3 y por 9
Un número se puede descomponer en un múltiplo de 3 más la suma de sus cifras:
• Divisibilidad por 11
Ejercicios pg. 30
3. Números primos y compuestos
• Algunos números se pueden descomponer en forma de producto: 40 = 8 · 5 = 2 · 2 · 2 · 5 → Diremos que 40 es un número compuesto. • Otros números, como el 13, solo tienen dos divisores, 13 y 1, y, por tanto, no se pueden descomponer en forma de producto: 13 = 13 · 1 → no se puede descomponer → Diremos que 13 es un número primo.
✔ Un número que no se puede descomponer en factores es un número primo. ✔ Un número primo solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. ✔ Los números que no son primos se llaman compuestos.
3. Números primos y compuestos
Descomposición de un número en factores primos
El mayor nivel de descomposición se alcanza cuando todos los factores son primos: Para descomponer un número en factores primos, conviene actuar ordenadamente:
Ejercicios pg. 31- 1, 2 y 3
4. Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de varios números, a, b, c, … es el menor de sus múltiplos comunes, y se escribe así: mín. c. m. (a, b, c, …).
Cálculo del mínimo común múltiplo
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números: → Se descomponen los números en factores primos. → Se toman todos los factores primos, comunes y no comunes, elevado cada uno al mayor de los exponentes con el que aparece.
Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de 200 y 240. - Primero: descomponemos los números en factores primos: 200 = 23 · 52 240 = 24 · 3 · 5 Seleccionamos los factores comunes y no comunes de mayor exponente:
Ejercicios pg. 32- 1, 2, 3 y 4
5. Máximo común divisor
El máximo común divisor de varios números, a, b, c, … es el mayor de sus divisores comunes, y se escribe así: máx. c. d. (a, b, c, …).
Cálculo del máximo común divisor
Para calcular el máximo común divisor de varios números: → Se descomponen los números en factores primos.. → Se toman solamente los factores primos comunes, elevado cada uno al menor de los exponentes con el que aparece..
Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de 200 y 240. - Primero: descomponemos los números en factores primos: 200 = 23 · 52 240 = 24 · 3 · 5 Seleccionamos los factores comunes de menor exponente:
Ejercicios pg. 33- 1, 2, 3 y 4
6. El conjunto ℤ de los números enteros
Si tomamos el conjunto de los números naturales y por cada elemento +a añadimos otro con el signo negativo, –a, → obtenemos un conjunto llamado: Conjunto de los números enteros y se designa con la letra ℤ.
Valor absoluto y opuesto de un número entero
✔ El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo y se expresa escribiéndolo entre barras.| a | → valor absoluto de a Ejemplo: |+7| = 7 ; |–7| = 7 ✔ El opuesto de un número entero es otro entero con el mismo valor absoluto, pero de signo contrario.Ejemplo: Opuesto de (+7) → (–7) , Opuesto de (–7) → (+7)
6. El conjunto ℤ de los números enteros
Orden en el conjunto ℤ
El conjunto de los números enteros se representa, ordenado, en la recta numérica: ✔ Cualquier número positivo es mayor que el cero, y este, mayor que cualquier número negativo. ✔ Los números negativos se ordenan al revés que los positivos. Es mayor el que tenga menor valor absoluto.
Ejercicios pg. 33- 1, 2, 3 y 4 1 Escribe el valor absoluto y el opuesto de cada número. a) –3 b) +8 c) –11 d) 23 e) -37 f) 60 2 Ordena de menor a mayor. d) +23–7, –13, +8, –1, +1, +5, 0, +10, –24
3 ¿Verdadero o falso? a) Cualquier número entero es también natural. b) Cualquier número natural es entero. c) Solo los negativos tienen opuesto. d) Dos números enteros opuestos tienen el mismo valor absoluto
7. Operaciones con números enteros
Suma y resta de números enteros
✔ Con el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tenían los sumandos. +4 + 7 = +11 –3 – 6 = –9✔ Distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto. – 4 + 10 = +6 +3 – 8 = –5
Para operar más de dos números positivos y negativos, podemos:
• Ir operando paso a paso, según aparecen: • Agrupar los positivos y los negativos y después, operar:
Ejercicios pg. 35- Fijar ideas y 1, 2, 3.
7. Operaciones con números enteros
Suma y resta de números enteros
✔ Con el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tenían los sumandos. +4 + 7 = +11 –3 – 6 = –9✔ Distinto signo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto. – 4 + 10 = +6 +3 – 8 = –5
Para operar más de dos números positivos y negativos, podemos:
• Ir operando paso a paso, según aparecen: • Agrupar los positivos y los negativos y después, operar:
Ejercicios pg. 35 y 36
7. Operaciones con números enteros
Multiplicación de números enteros
Ejemplo: (+4) · (+3) = +12 (–5) · (– 4) = +20 (+6) · (– 4) = –24 (– 4) · (+8) = –32
División de números enteros
Aplica las mismas reglas que la multiplicación.
Ej. pg. 37
7. Operaciones con números enteros
Operaciones Combinadas
Resuelve:
Ej. pg. 38
8. Potencias de números enteros
Una potencia es una multiplicación de factores iguales:
Ejemplos: (+4)2 = (+4) · (+4) = +16 (–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = +81 (–3)5 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = –243
Potencias de números negativos
Al elevar un número negativo a una potencia: • Si el exponente es par, el resultado es positivo → (– a)n (par) → positivo • Si el exponente es impar, el resultado es negativo → (– a)n (impar) → negativo
8. Potencias de números enteros
Propiedades de las potencias
POTENCIA DE UN PRODUCTO: es igual al producto de las potencias de los factores
Propiedades de las potencias CON EL MISMO EXPONENTE
POTENCIA DE UN COCIENTE: es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor.
Ej. pg. 40
8. Potencias de números enteros
PRODUCTO DE POTENCIAS CON MISMA BASE: Se SUMAN los exponentes:
COCIENTE DE POTENCIAS CON MISMA BASE: Se RESTAN los exponentes:
Propiedades de las potencias CON LA MISMA BASE
POTENCIA DE UNA POTENCIA: Se MULTIPLICAN los exponentes:
Ej. pg. 40
9. Raíz cuadrada de un número entero
→ La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado
→ Los números cuya raíz cuadrada es entera se llaman cuadrados perfectos. Ejemplos:
→ Un número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Las raices cuadradas de 16:
Un número negativo no tiene raíz cuadrada.
Ej. pg. 40
9. Raíz cuadrada de un número entero
OTRAS RAICES:
→ podemos obtener raíces de índice superior a dos:
Ejemplos:
Ej. pg. 40
9. Raíz cuadrada de un número entero
Introducir factores en el radical:
→ Para introducir un número dentro del radical se eleva el número al índice de la raíz y se multiplica por el radicando.
Ejemplo:
Extraer factores en el radical:
→ Para extraer números de un radical es preciso descomponer el radicando en factores:.
Ejemplo:
Suma y resta de radicales:
→ Para sumar y restar radicales, estos deben ser semejantes; en ese caso, se operan los coeficientes y se deja el mismo radical.
Ejemplo:
9. Raíz cuadrada de un número entero
Introducir factores en el radical:
→ Se debe verificar si los índices son iguales. Si lo son, se operan los radicandos (se multiplican o dividen) bajo el mismo índice y se simplifica el resultado.
Ejemplo:
Ejemplo
Una cita en Sevilla: Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a Sevilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Sevilla los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Sevilla?