Términos clave
de Integrales múltiples
2.Coordenadas cilínidricas
1.integral triple
4.Cambio de variable
3.COORDENADAS ESFÉRICAS
6.dETERMINANTE JACOBIANO
5.Matriz JACOBIANA
8.Región g (plano uv)
7.Región r (plano xy)
10.Aplicaciones (integral triple)
9.pRIMER OCTANTE
mATRIZ JACOBIANA
Es la matriz de todas las derivadas parciales de primer orden de una función vectorial. Representa la mejor aproximación lineal de una transformación en un punto específico.
- Fórmula 2D: J(u, v) = | dx/du dx/dv | | dy/du dy/dv |
Aplicaciones (Integral Triple)
Además de calcular el Volumen de un sólido E (usando Triple integral en E de 1 dV, las integrales triples se usan para encontrar:
- Masa: m = triple integral en E de rho(x, y, z) dV., donde p es la función de densidad.
- Centro de masas: El punto de equilibrio (x, y, z) del solido.
- Momentos de Inercia: Miden la resistencia de un objeto a la rotación.
Integral triple
Es una extensión de la integral definida a funciones de tres variables. f(x,y,z). Se utiliza para sumar propiedades sobre un volumen 3D. Su aplicación más común es calcular el volumen de un sólido (integrando la función f = 1), o la masa total si f(x,y,z) representa la densidad del objeto.
pRIMER OCTANTE
Es la región del espacio 3D donde todas las coordenadas son positivas ((x >= 0, y >= 0, z >= 0).). Cuando un problema está limitado al primer octante, los límites inferiores de integración suelen ser cero.
Region r (plano xy)
En un cambio de variable, esta es la región de integración original en el sistema de coordenadas cartesiano (x, y). En muchos problemas, esta región es "difícil" de describir, por ejemplo, un paralelogramo o una forma inclinada.
DETERMINANTE JACOBIANO
Es el determinante de la Matriz Jacobiana. Su valor absoluto |J(u, v)| es el factor de escala que mide cuánto se estira o encoge el área (o volumen) durante la transformación. Es el término que se debe agregar a la integral transformada.
Coordenadas cilíndricas
En un sistema de coordenadas 3D(r, θ, z)que combina las coordenadas polares (r, θ) en el plano xy con la coordenada z cartesiana. Es ideal para integrar sobre objetos con simetría cilíndrica (como cilindros o conos).
- Fórmulas: x = r cos(θ),y = r sin(θ),z = z.
- Diferencial de volumen: dV = r dz dr dθ.
cOORDENADAS ESFÉRICAS
Es un sistema 3D (rho, phi, theta) ideal para simetría esférica.
- rho (rho): Es la distancia 3D desde el origen.
- phi (phi): Es el ángulo "hacia abajo" desde el eje z positivo.
- theta (theta): Es el ángulo de giro en el plano xy.
- Diferencial de volumen: dV = rho^2 sin(phi) drho dphi dtheta.
REGIÓN G (PLANO UV)
Es la región en el nuevo sistema de coordenadas (u, v) que corresponde a la Región R. También se le conoce como la "preimagen". El objetivo de una buena transformación es que esta región G sea simple, como un rectángulo.
Cambio de variable
Es una técnica para simplificar integrales múltiples. Consiste en transformar una región de integración R (en el plano xy) a una región G mas simple (en un plano uv)
- Fórmula: Doble integral en R de f(x, y) dxdy = Doble integral en G de f(g(u, v), h(u, v)) |J(u, v)| dudv.
Términos clave de Integrales Múltiples
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Created on October 31, 2025
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Términos clave
de Integrales múltiples
2.Coordenadas cilínidricas
1.integral triple
4.Cambio de variable
3.COORDENADAS ESFÉRICAS
6.dETERMINANTE JACOBIANO
5.Matriz JACOBIANA
8.Región g (plano uv)
7.Región r (plano xy)
10.Aplicaciones (integral triple)
9.pRIMER OCTANTE
mATRIZ JACOBIANA
Es la matriz de todas las derivadas parciales de primer orden de una función vectorial. Representa la mejor aproximación lineal de una transformación en un punto específico.
Aplicaciones (Integral Triple)
Además de calcular el Volumen de un sólido E (usando Triple integral en E de 1 dV, las integrales triples se usan para encontrar:
Integral triple
Es una extensión de la integral definida a funciones de tres variables. f(x,y,z). Se utiliza para sumar propiedades sobre un volumen 3D. Su aplicación más común es calcular el volumen de un sólido (integrando la función f = 1), o la masa total si f(x,y,z) representa la densidad del objeto.
pRIMER OCTANTE
Es la región del espacio 3D donde todas las coordenadas son positivas ((x >= 0, y >= 0, z >= 0).). Cuando un problema está limitado al primer octante, los límites inferiores de integración suelen ser cero.
Region r (plano xy)
En un cambio de variable, esta es la región de integración original en el sistema de coordenadas cartesiano (x, y). En muchos problemas, esta región es "difícil" de describir, por ejemplo, un paralelogramo o una forma inclinada.
DETERMINANTE JACOBIANO
Es el determinante de la Matriz Jacobiana. Su valor absoluto |J(u, v)| es el factor de escala que mide cuánto se estira o encoge el área (o volumen) durante la transformación. Es el término que se debe agregar a la integral transformada.
Coordenadas cilíndricas
En un sistema de coordenadas 3D(r, θ, z)que combina las coordenadas polares (r, θ) en el plano xy con la coordenada z cartesiana. Es ideal para integrar sobre objetos con simetría cilíndrica (como cilindros o conos).
cOORDENADAS ESFÉRICAS
Es un sistema 3D (rho, phi, theta) ideal para simetría esférica.
REGIÓN G (PLANO UV)
Es la región en el nuevo sistema de coordenadas (u, v) que corresponde a la Región R. También se le conoce como la "preimagen". El objetivo de una buena transformación es que esta región G sea simple, como un rectángulo.
Cambio de variable
Es una técnica para simplificar integrales múltiples. Consiste en transformar una región de integración R (en el plano xy) a una región G mas simple (en un plano uv)