Distribución de probabilidad Discreta - Continua

Distribución de probabilidadDiscreta - Continua

Christopher Carmona 11005605

¡Vamos!

Distribuciones de probabilidad

Las distribuciones de probabilidad se dividen en dos grandes tipos: discretas y continuas, según el tipo de variable aleatoria que modelan. A continuación se presenta una breve investigación con definiciones, ejemplos y ecuaciones clave.

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Distribuciones discretas

Distribuciones continuas

• Bernoulli
• Binomial
• Poisson
• Geométrica

• Normal (Gaussiana)
• t de Student
• F de Snedecor
• Ji Cuadrado (Chi-Square)

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Distribuciones Discretas

Modelan variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo, incluyendo fraccionarios.

• Bernoulli

Esta distribución describe un experimento aleatorio con dos posibles resultados: éxito o fracaso. Se utiliza para modelar eventos que solo pueden tener dos resultados mutuamente excluyentes, como "sí" o "no", "verdadero" o "falso", "éxito" o "fracaso".

Ecuación =

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• Poisson

• Binomial

Es una herramienta estadística que modela la probabilidad de que ocurra un número específico de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, cuando dichos eventos suceden de manera independiente y con una tasa promedio constante.

Describe el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes, donde cada ensayo tiene solo dos posibles resultados: éxito o fracaso. Cada ensayo sigue una distribución de Bernoulli con una probabilidad fija de éxito p.

Ecuación:

Ecuación:

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• Geométrica

La distribución geométrica es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de ensayos necesarios hasta obtener el primer éxito en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes.

Ecuación:

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Distribuciones de probabilidad Continua

Modelan variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo, incluyendo fraccionarios.

• Normal (Gaussiana)

La distribución normal, también conocida como distribución gaussiana, es una distribución de probabilidad continua que describe cómo se distribuyen los valores de una variable alrededor de su media, formando una curva simétrica en forma de campana.

Ecuación:

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• t Student

• F

La distribución t de Student fue desarrollada por William Sealy Gosset bajo el seudónimo “Student” en 1908. Es especialmente útil en estadística inferencial, ya que permite realizar pruebas de hipótesis y construir intervalos de confianza cuando no se puede aplicar la distribución normal debido a muestras pequeñas o incertidumbre en la varianza poblacional.

La distribución F de Snedecor, también conocida como distribución F de Fisher-Snedecor, es una distribución de probabilidad continua utilizada principalmente para comparar varianzas entre dos poblaciones y en el análisis de la varianza (ANOVA).

Ecuación:

Ecuación:

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• Ji Cuadrado (Chi-Square)

Es una distribución de probabilidad continua que se utiliza principalmente en estadística inferencial para analizar la variabilidad de datos categóricos y evaluar hipótesis sobre varianzas y relaciones entre variables.

Ecuación:

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Segunda Parte

Nota: por favor notar que las gráficas se pueden ampliar al dar click sobre ellas.

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1. Determine el área bajo la curva normal a) A la derecha de z = -0.85. b) Entre z = 0.40 y z = 1.30. c) Entre z <=0.30 y z => 0.90. d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45

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2. Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con media de 480 y desviación estándar de 90. a) ¿Cuál es la proposición de puntuaciones mayores a 700? b) ¿Cuál es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones? c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En qué percentil se encuentra? d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?

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3. La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 GPa? b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación. c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.

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4. La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un caldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La concentración optima de azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración excede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo el día. a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL en qué proporción de días se suspenderá el proceso? b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con menos días de producción perdida?

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5. El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye con media de 12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas. a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas? b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En qué valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o más? c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En qué valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o más?

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¡Gracias!

Nota: por favor notar que las gráficas se pueden ampliar al dar click sobre ellas.

Inicio

Utilizando la plataforma Desmos y el análisis de datos sabiendo que Z = -0.85 logramos ubicar en la tabla de Z que ese -0.85 equivale a 0.1977 por lo tanto al restarlo de la unidad (1-0.1977 = 0.8023) nos brinda el área sombrada en la curva equivalente a 0.8023

En este inciso B, se analiza y busca un área sombreada entre dos puntos siendo el primero z=0.40 con su equivalencia en la tabla a 0.6554 y el segundo z=1.30 con equivalencia en la tabla de 0.9032, al substraerlos (0.9032 - 0.6554 = 0.2478) encontramos el valor númerico que representa el tamaño del área sombreada

Para el inciso C, se analiza y busca un área sombreada entre dos puntos , se debe tomar en cuenta que a pesar que se está usando simbología de ''menor/mayor o igual que''; se va a tomar el valor que se brinda ya que es una distribución continua, es decir para el primer dato de z <=0.30 se tomará en cuenta el 0.30 para buscarlo en la tabla con la salvedad que se buscará en la tabla de la izquierda de Z y en el segundo dato de z => 0.90 se usará el 0.90 en la tabla de la derecha de z, quedando su diferencia como – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338 para el área entre dichos puntos

Para nuestro inciso D, debemos tener bien en claro el lenguaje que se está utilizando y lo que se nos solicita en el problema, nos piden el área bájo la curba ''desde" un punto "hasta" otro punto por lo tanto esta no es una adición de áreas sino una resta entre puntos para determinar el área correspondiente entre ellos por lo tanto ubicamos en la tabla para z=-0.45 = 0.3264 y para z=-1.5 = 0.0668 de los cuales encontramos su diferencia (0.3264 - 0.0668) obteniendo así el área sombreada bajo la curva de 0.2596. Me gustaría mencionar que en el ejercicio resuelto de la tarea nos brindan precisamente el complemento de este dato , es decir el área NO sombreada al cual se refieren con la cantidad = 0.7404

Para resolver el inciso A necesitamos encontrar el valor Z del dato que nos brindan como X >= 700, para ello utilizamos la ecuación de Z? z=(x-μ)/σ Datos: Media = 480 Desviación estándar = 90 Dato para conocer = puntuaciones mayores a 700 f(x) Sustituyendo datos tenemos que: z=(700-480)/90 z=2.44 Utilizamos nuestra tabla para hallar el valor a la derecha de Z y vemos que es 0.0073 Lo cual tiene mucho sentido ya que, si la media nos indica que en promedio los estudiantes obtienen una nota de 480, es muy poco probable que obtengan nota mayor a 700 con una pequeña probabilidad de 0.73%

Para resolver el inciso A necesitamos encontrar el valor Z del dato que nos brindan como X >= 12 GPa, para ello utilizamos la ecuación de Z: z=(x-μ)/σ Datos: Media = 10 GPa Desviación estándar = 1.4 GPa Dato para conocer = resistencia mayor a 12 GPa Sustituyendo datos tenemos que: z=(12-10)/1.4 z=1.43 Utilizamos nuestra tabla para hallar el valor a la derecha de Z y vemos que es (1 – 0.9236) = 0.0764. Sabiendo esto, podemos inferir que hay muy poca probabilidad de que haya resistencia mayor a 12 GPa

Para esta nueva propuesta nuevamente necesitamos encontrar el valor Z del dato que nos brindan como el momento en el que el hongo muere siendo este 6 mg/ml tomando en cuenta el cambio en la media y la desviación. X >= 6 mg/ml, para ello utilizamos la ecuación de Z: z=(x-μ)/σ Datos: Media = 5.2 mg/mL Desviación estándar = 0.4 mg/mL Dato para conocer = proporción de días en que se suspende le proceso al morir el hongo alcanzando una concentración de 6 mg/mL Sustituyendo datos tenemos que: z=(6-5.2)/0.4 z=2.00 Utilizamos nuestra tabla para hallar el valor a la derecha de Z y vemos que es 1 – 0.9772 = 0.0228. Sabiendo esto, podemos inferir que el proceso se suspendería el 2.28% de los días siendo un tiempo más corto debido a que la concentración de azúcar tiene una media más alejada de lo ideal por lo tanto hay menor probabilidad que el hongo sobreviva bajo esas condiciones.

Para resolver el inciso A necesitamos encontrar el valor Z del dato que nos brindan como el momento en el que el hongo muere siendo este 6 mg/ml X >= 6 mg/ml, para ello utilizamos la ecuación de Z: z=(x-μ)/σ Datos: Media = 4.9 mg/mL Desviación estándar = 0.6 mg/mL Dato para conocer = proporción de días en que se suspende le proceso al morir el hongo alcanzando una concentración de 6 mg/mL Sustituyendo datos tenemos que: z=(6-4.9)/0.6 z=1.83 Utilizamos nuestra tabla para hallar el valor a la derecha de Z y vemos que es 1 – 0.9664 = 0.0336. Sabiendo esto, podemos inferir que el proceso se suspendería el 3.36% de los días.