Ecuaciones lineales y cuadráticas
Conflicto cognitivo:
¿Qué gráfica se obtiene a partir de una función cuadrática?
Una ecuación es una igualdad entre dos cantidades o expresiones algebraicas. Las letras que se utilizan en las expresiones algebraicas se llaman literales. Cuando las literales tienen un único valor se llaman incógnitas, pero cuando pueden tomar distintos valores reciben el nombre de variables.
En algebra se hace evidente su significado de equivalencia, es decir, lo que está del lado izquierdo del signo igual es equivalente a lo que está del lado derecho. Cuando en cualquiera de las literales el exponente más grande es 1, se dice que la ecuación es lineal o de primer grado. Por ejemplo, 3x + y = 6 es una ecuación lineal y al graficarla en el plano cartesiano resulta una línea recta.
Para resolver una ecuación se puede comparar con una balanza, en la que los dos platillos están en equilibrio. Por ejemplo, en el caso de la ecuación x – 5 = 12, al compararla con una balanza, la verías de la siguiente forma:
Debemos despejar la incógnita para resolver la ecuación, la igualdad entre sus lados izquierdo y derecho debe mantenerse en todo momento. x – 5 = 12 x – 5 + 5 = 12 + 5 x = 17
Para comprobar si este valor numérico hace cumplir la igualdad, hay que sustituir en la ecuación original: x – 5 = 12 17 – 5 = 12 12 = 12
Hacer la actividad 2.5.1
Un sistema de ecuaciones es el conjunto de dos o más ecuaciones que resultan de una situación problemática que se busca resolver. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es aquel que tiene las mismas dos literales en ambas ecuaciones.
El método de resolución de ecuaciones por suma y resta consiste en sumar las dos ecuaciones con el fin de que una de las incógnitas involucradas se elimine, para así encontrar el valor de la otra. Para eliminar una incógnita es necesario hacer que tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, pero con signos contrario.
El método de resolución de ecuaciones por sustitución consiste en despejar una de las incógnitas y sustituirla en la otra ecuación. Observa paso a paso cómo se resuelve el mismo sistema de ecuaciones lineales del tema anterior con este otro método.
Resuelve el siguiente problema. a) Karla fue a comprar utensilios de limpieza. Compró 3 escobas y 2 recogedores, pagando por todo $388.00. Cuatro meses después compró 4 escobas y 1 recogedor, pagando $409.00 en total. Si los precios no tuvieron modificaciones entre las compras, ¿cuánto le costó cada escoba y cuánto cada recogedor?
Hacer la actividad 2.5.2
En un sistema de ecuaciones se tienen dos rectas que no son paralelas, es decir, que en algún punto se cruzan entre sí. Las coordenadas donde se cruzan son los valores de “x” y de “y” que satisfacen la igualdad.
Observa cómo se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x – y = 3 x + 2y = 6 Paso 1. Se despeja la “y” en ambas ecuaciones. Ecuación 1: x – y = 3 y = x - 3 Ecuación 2: x + 2y = 6 y = -x/2 + 3 Paso 2. Se asignan valores arbitrarios a “x” y obtenemos el valor de “y”. Si x = 0 y = -3 A(0, -3) y = 3 A´(0, 3) Paso 3. Se asigna otros valores arbitrarios a “x” y se calcula el valor de “y”. Si x = 6 y = 3 B(6, 3) y = 0 B´(6, 0) Dado que cada ecuación representa una línea recta, basta con asignarle dos puntos arbitrarios a cada ecuación y unirlos con una línea para dibujarlas. Paso 4. Se localizan las coordenadas del punto donde las dos rectas se cruzan.
Las rectas se cortan en el punto cuyas coordenadas son S(4, 1), así que los valores de “x” y de “y” que dan solución al sistema de ecuaciones son: x = 4 y = 1
Hacer la actividad 2.5.3
Se llama ecuación cuadrática o de segundo grado cuando el exponente más grande de cualquiera de las literales de una igualdad es 2.
Por ejemplo, x2 – 4x + 3 = 0 es una ecuación cuadrática o de segundo grado.
Cuando se grafica una ecuación cuadrática, se obtiene una curva llamada parábola.
Para poder graficar la ecuación cuadrática, la ponemos en forma de función.
La función cuadrática se expresa en forma general como f(x) = ax2 + bx + c.
En la función cuadrática que graficamos, f(x)= x2 - 4x + 3, tenemos los siguientes valores, a = 1, b = -4, c = 3. Para encontrar el vértice o punto mínimo, sustituimos en la fórmula:
f(x)= x2 - 4x + 3 Para encontrar el vértice o punto mínimo de una parábola donde a > 0. Cuando igualamos a cero la función cuadrática, obtenemos la ecuación cuadrática, para resolverla utilizamos la fórmula general.
Las coordenadas del vértice son V(2, -1).
Todas las ecuaciones cuadráticas se igualan a cero y pueden presentarse en tres formas distintas.
2) Forma incompleta mixta. Falta el término independiente. Ejemplo, 5x2 – 3x = 0
1) Forma completa. Presenta los tres términos. Ejemplo, 5x2 – 3x – 2 = 0
3) Forma incompleta pura. Falta el término lineal. Ejemplo, 5x2 – 2 = 0
Solución: Como x indica el ancho del terreno, se escoge el valor positivo, esto es, 10 metros de ancho y 13 metros de largo.
Resuelve el siguiente problema aplicando ecuaciones cuadráticas. Se tiene 130 m2 de pasto sintético para cubrir el piso de un terreno rectangular y se desea que el largo sea 7 metros menos que el doble del ancho. ¿Cuáles son las medidas del terreno? Planteamiento: ancho = x
largo = 2x - 7 Ecuación cuadrática: x(2x – 7) = 130 2x2 – 7x – 130 = 0 Coeficientes: a = 2, b = -7, c = -130
Hacer la actividad 2.5.4
Actividad 2.5.3 Refuerza tus aprendizajes sobre el método gráfico. 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método gráfico. a) 3x – 2y = 109 14x + y = 7 b) x – y = 3 3x + 5y = 25 2. Resuelve el siguiente problema por el método gráfico. c) Patricia quiere saber cuántas calorías tiene cada una de las frutas que su médico le recomendó comer como parte de su dieta. Según el médico, 2 granadas y 3 manzanas tienen 250 calorías, y 4 granadas y 1 manzana también tienen 250 calorías. ¿Cuántas calorías tiene cada granada y cuántas cada manzana?
Observa cómo resolver un sistema de ecuaciones, paso a paso. Ecuación 1: 3x – 2y = 10 Ecuación 2: 5x + 3y = 4 Paso 1. Se identifica cuál de las dos incógnitas conviene eliminar. En este caso se elige la “y”, ya que tiene signos contrarios en las ecuaciones. Paso 2. Se multiplica por 3 la ecuación 1 y por 2 la ecuación 2 para que queden coeficientes iguales y con signo contrario. Ecuación1: 3(3x – 2y = 10) 9x – 6y = 30 Ecuación 2: 2(5x + 3y = 4) 10x + 6y = 8
Paso 5. Después, se sustituye el valor de “x” en la ecuación 2, por ser positivo el coeficiente de “y”, y se despeja para saber cuánto vale. 5x + 3y = 4 5(2) + 3y = 4 10 + 3y = 4 10 – 10 + 3y = 4 – 10 3y = -6 3y/3 = (-6)/3 y = -2 Paso 6. Se comprueban los valores obtenidos en la otra ecuación original, es decir, en la ecuación 1. 3x – 2y = 10 3(2) – 2(-2) = 10 6 + 4 = 10 10 = 10
Paso 3. Ahora se suman las dos ecuaciones. 9x – 6y = 30 10x + 6y = 8 19x = 38 Paso 4. A continuación, de esta ecuación se despeja la “x” y se obtiene su valor. 19x/19 = 38/19 x = 2
Por lo tanto, los valores de “x” y “y” son correctos.
Actividad 2.5.1 Refuerza tus aprendizajes sobre las ecuaciones. 1. Resuelve las ecuaciones y compruébalas. a) 3x + 6 = 18 b) 5x – 8 = 27 c) 28 – 4x = 12 d) 9x – 5 = 4x + 15 e) 20 – 6x = 4x – 10 2. Resuelve el siguiente problema. En una frutería se vende por pieza. Mientras María esperaba en la fila, observó que un cliente pagó con un billete de $500.00 por 6 sandías grandes y recibió $152.00 de cambio. ¿Cuánto costó cada sandía?
Actividad 2.5.2 Refuerza tus aprendizajes sobre el sistema de ecuaciones. 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método más conveniente. a) 4x + 3y = 27 2x – y = 1 b) x + 3y = 10 3x + 10y = 11 2. Resuelve el siguiente problema por el método más conveniente. c) Si al comprar un kilogramo de frijol y un kilogramo de arroz se pagan $113.00, y se sabe que el kilogramo de frijol es $17.00 más caro que el del arroz, ¿cuánto cuesta el kilogramo de frijol y cuánto el de arroz?
Resuelve el siguiente problema por el método de graficación. Rosa compró 2 hojas blancas de papel y 3 hojas de color azul en una papelería, pagando $21.00 por todo. Al día siguiente, en la escuela, uno de sus compañeros del salón le dijo que 4 hojas blancas cuestan lo mismo que 1 hoja azul más $7.00. ¿Cuánto cuesta cada hoja blanca y cada hoja azul? Planteamiento: x = precio de cada hoja blanca. y = precio de cada hoja azul. Ecuaciones: 2x + 3y = 21 4x = y + 7
Para comprobar los resultados, se sustituyen los valores de “x” y de “y” en las dos ecuaciones originales y se realizan las operaciones. Ecuación 1 x - y = 3 4 - 1 = 3 3 = 3 Ecuación 2 x + 2y = 6 4 + 2(1) = 6 4 + 2 = 6 6 = 6
Método gráfico.
Se despeja la “y” en ambas ecuaciones.
Ecuación 1. 2x + 3y = 21 y = -2x/3 + 7Ecuación 2. 4x = y + 7 y = 4x - 7 Se asigna dos valores arbitrarios a “x” para obtener los valores de “y”.
Si x = 0 y = 7 A(0, 7) y = -7 A´(0, -7) Si x = 3 y = 5 B(3, 5) y = 5 B´(3, 5) Graficamos las ecuaciones lineales y encontramos el punto solución.
El punto solución es S(3, 5). Donde x = 3 y = 5
Actividad 2.5.4 Refuerza tus aprendizajes sobre las ecuaciones cuadráticas. 1. Resuelve las ecuaciones cuadráticas por fórmula general. a) x2 + 6x + 5 = 0 b) 15x2 + 14x - 8 = 0 2. Resuelve el siguiente problema por medio de una ecuación cuadrática. c) Determina dos números cuya diferencia sea 5 y la suma de sus cuadrados sea 73.
Ecuación 1: 3x – 2y = 10 Ecuación 2: 5x + 3y = 4 Paso 1: Se elige una ecuación, de la cual se despeja una de las incógnitas. En este caso, se despejará la “y” de la ecuación 2 porque su coeficiente es positivo. 5x + 3y = 4 3y = -5x + 4 y = (-5x + 4)/3 Paso 2: A continuación, se sustituye “y” en la ecuación 1. 3x – 2y = 10 3x - 2((-5x + 4)/3) = 10 Paso 3. Después se despeja la incógnita, en este caso la “x”. 3x + 10x/3 - 8/3 = 10 9x/3 + 10x/3 = 10 + 8/3 19x/3 = 38/3 x = (38)(3)/(3)(19) x = 2 Paso 4. Se sustituye el valor de “x” en donde despejamos la “y” (paso 1). y = (-5x + 4)/3 y = (-5(2) + 4)/3 y = (-10 + 4)/3 y = -6/3 y = -2 Se obtuvieron los mismos resultados que el método de suma y resta.
Planteamiento: x = precio de cada escoba. y = precio de cada recogedor. Ecuaciones: Ecuación 1. 3x + 2y = 388 Ecuación 2. 4x + y = 409 Método de sustitución. Despejamos “y” de la ecuación 2. y = -4x + 409 Sustituimos la “y” en la ecuación 1. 3x + 2(-4x + 409) = 388 Despejamos la “x”. 3x – 8x + 818 = 388 -5x = 388 – 818 -5x = -430 x = -430/-5 x = 86
Sustituimos el valor de “x” en el despeje de “y”. y = -4x + 409 y = -4(86) + 409 y = -344 + 409 y = 65 Los precios son $86.00 cada escoba y $65.00 cada recogedor.
Igualamos a cero la función cuadrática, x2 - 4x + 3 = 0 y la resolvemos aplicando la fórmula general:
La interpretación gráfica es el punto de intersección con el eje x. A(1, 0) B( 3, 0)
Para determinar el punto de intersección con el eje y, igualamos a cero a x en la función cuadrática. Si x = 0 f(0)= (0)2 - 4(0) + 3 f(0)= 3 Donde las coordenadas de este punto es C(0, 3).
El punto D se obtiene sustituyendo x = 4 en la función cuadrática.
Donde las coordenadas de este punto es D(4, 3).
Resuelve el siguiente problema. Adriana fue a la tienda y compró 6 paquetes de galletas integrales caseras, pagó con un billete de $200 pesos y recibió $50 pesos de cambio. ¿Cuánto le costó cada paquete de galletas? Planteamiento: x = precio de cada paquete de galletas. Ecuación: 6x + 50 = 200 Despejar la incógnita: 6x + 50 – 50 = 200 - 50 6x = 150 6x/6 = 150/6 x = 25 Lo que significa que cada paquete de galletas le costó $25 pesos.
Actividad de cierre 2.5 Practica lo aprendido y realiza lo que se te pide. 1. Escribe en los espacios vacíos la opción correcta en cada caso. a) En el plano cartesiano es posible ubicar puntos mediante sus ____________________. b) Es posible graficar una recta si se conocen por lo menos _____________ de sus puntos. c) La _________________ es la expresión matemática que consta de dos partes separadas por un símbolo igual. d) La llamada fórmula ____________________ permite resolver ecuaciones de segundo grado. e) La ________________ cuadrada es la operación contraria de elevar al cuadrado. f) El _________________ es el punto mínimo de una parábola.
2. ¿Cuál es el punto solución del siguiente sistema gráfico?
3. ¿Cuál es el nombre de la siguiente gráfica?
Matemáticas 2. Sesión 2.1
Juan Martín
Created on October 28, 2025
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Ecuaciones lineales y cuadráticas
Conflicto cognitivo: ¿Qué gráfica se obtiene a partir de una función cuadrática?
Una ecuación es una igualdad entre dos cantidades o expresiones algebraicas. Las letras que se utilizan en las expresiones algebraicas se llaman literales. Cuando las literales tienen un único valor se llaman incógnitas, pero cuando pueden tomar distintos valores reciben el nombre de variables.
En algebra se hace evidente su significado de equivalencia, es decir, lo que está del lado izquierdo del signo igual es equivalente a lo que está del lado derecho. Cuando en cualquiera de las literales el exponente más grande es 1, se dice que la ecuación es lineal o de primer grado. Por ejemplo, 3x + y = 6 es una ecuación lineal y al graficarla en el plano cartesiano resulta una línea recta.
Para resolver una ecuación se puede comparar con una balanza, en la que los dos platillos están en equilibrio. Por ejemplo, en el caso de la ecuación x – 5 = 12, al compararla con una balanza, la verías de la siguiente forma:
Debemos despejar la incógnita para resolver la ecuación, la igualdad entre sus lados izquierdo y derecho debe mantenerse en todo momento. x – 5 = 12 x – 5 + 5 = 12 + 5 x = 17
Para comprobar si este valor numérico hace cumplir la igualdad, hay que sustituir en la ecuación original: x – 5 = 12 17 – 5 = 12 12 = 12
Hacer la actividad 2.5.1
Un sistema de ecuaciones es el conjunto de dos o más ecuaciones que resultan de una situación problemática que se busca resolver. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es aquel que tiene las mismas dos literales en ambas ecuaciones.
El método de resolución de ecuaciones por suma y resta consiste en sumar las dos ecuaciones con el fin de que una de las incógnitas involucradas se elimine, para así encontrar el valor de la otra. Para eliminar una incógnita es necesario hacer que tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, pero con signos contrario.
El método de resolución de ecuaciones por sustitución consiste en despejar una de las incógnitas y sustituirla en la otra ecuación. Observa paso a paso cómo se resuelve el mismo sistema de ecuaciones lineales del tema anterior con este otro método.
Resuelve el siguiente problema. a) Karla fue a comprar utensilios de limpieza. Compró 3 escobas y 2 recogedores, pagando por todo $388.00. Cuatro meses después compró 4 escobas y 1 recogedor, pagando $409.00 en total. Si los precios no tuvieron modificaciones entre las compras, ¿cuánto le costó cada escoba y cuánto cada recogedor?
Hacer la actividad 2.5.2
En un sistema de ecuaciones se tienen dos rectas que no son paralelas, es decir, que en algún punto se cruzan entre sí. Las coordenadas donde se cruzan son los valores de “x” y de “y” que satisfacen la igualdad.
Observa cómo se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x – y = 3 x + 2y = 6 Paso 1. Se despeja la “y” en ambas ecuaciones. Ecuación 1: x – y = 3 y = x - 3 Ecuación 2: x + 2y = 6 y = -x/2 + 3 Paso 2. Se asignan valores arbitrarios a “x” y obtenemos el valor de “y”. Si x = 0 y = -3 A(0, -3) y = 3 A´(0, 3) Paso 3. Se asigna otros valores arbitrarios a “x” y se calcula el valor de “y”. Si x = 6 y = 3 B(6, 3) y = 0 B´(6, 0) Dado que cada ecuación representa una línea recta, basta con asignarle dos puntos arbitrarios a cada ecuación y unirlos con una línea para dibujarlas. Paso 4. Se localizan las coordenadas del punto donde las dos rectas se cruzan.
Las rectas se cortan en el punto cuyas coordenadas son S(4, 1), así que los valores de “x” y de “y” que dan solución al sistema de ecuaciones son: x = 4 y = 1
Hacer la actividad 2.5.3
Se llama ecuación cuadrática o de segundo grado cuando el exponente más grande de cualquiera de las literales de una igualdad es 2. Por ejemplo, x2 – 4x + 3 = 0 es una ecuación cuadrática o de segundo grado. Cuando se grafica una ecuación cuadrática, se obtiene una curva llamada parábola. Para poder graficar la ecuación cuadrática, la ponemos en forma de función. La función cuadrática se expresa en forma general como f(x) = ax2 + bx + c.
En la función cuadrática que graficamos, f(x)= x2 - 4x + 3, tenemos los siguientes valores, a = 1, b = -4, c = 3. Para encontrar el vértice o punto mínimo, sustituimos en la fórmula:
f(x)= x2 - 4x + 3 Para encontrar el vértice o punto mínimo de una parábola donde a > 0. Cuando igualamos a cero la función cuadrática, obtenemos la ecuación cuadrática, para resolverla utilizamos la fórmula general.
Las coordenadas del vértice son V(2, -1).
Todas las ecuaciones cuadráticas se igualan a cero y pueden presentarse en tres formas distintas.
2) Forma incompleta mixta. Falta el término independiente. Ejemplo, 5x2 – 3x = 0
1) Forma completa. Presenta los tres términos. Ejemplo, 5x2 – 3x – 2 = 0
3) Forma incompleta pura. Falta el término lineal. Ejemplo, 5x2 – 2 = 0
Solución: Como x indica el ancho del terreno, se escoge el valor positivo, esto es, 10 metros de ancho y 13 metros de largo.
Resuelve el siguiente problema aplicando ecuaciones cuadráticas. Se tiene 130 m2 de pasto sintético para cubrir el piso de un terreno rectangular y se desea que el largo sea 7 metros menos que el doble del ancho. ¿Cuáles son las medidas del terreno? Planteamiento: ancho = x largo = 2x - 7 Ecuación cuadrática: x(2x – 7) = 130 2x2 – 7x – 130 = 0 Coeficientes: a = 2, b = -7, c = -130
Hacer la actividad 2.5.4
Actividad 2.5.3 Refuerza tus aprendizajes sobre el método gráfico. 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método gráfico. a) 3x – 2y = 109 14x + y = 7 b) x – y = 3 3x + 5y = 25 2. Resuelve el siguiente problema por el método gráfico. c) Patricia quiere saber cuántas calorías tiene cada una de las frutas que su médico le recomendó comer como parte de su dieta. Según el médico, 2 granadas y 3 manzanas tienen 250 calorías, y 4 granadas y 1 manzana también tienen 250 calorías. ¿Cuántas calorías tiene cada granada y cuántas cada manzana?
Observa cómo resolver un sistema de ecuaciones, paso a paso. Ecuación 1: 3x – 2y = 10 Ecuación 2: 5x + 3y = 4 Paso 1. Se identifica cuál de las dos incógnitas conviene eliminar. En este caso se elige la “y”, ya que tiene signos contrarios en las ecuaciones. Paso 2. Se multiplica por 3 la ecuación 1 y por 2 la ecuación 2 para que queden coeficientes iguales y con signo contrario. Ecuación1: 3(3x – 2y = 10) 9x – 6y = 30 Ecuación 2: 2(5x + 3y = 4) 10x + 6y = 8
Paso 5. Después, se sustituye el valor de “x” en la ecuación 2, por ser positivo el coeficiente de “y”, y se despeja para saber cuánto vale. 5x + 3y = 4 5(2) + 3y = 4 10 + 3y = 4 10 – 10 + 3y = 4 – 10 3y = -6 3y/3 = (-6)/3 y = -2 Paso 6. Se comprueban los valores obtenidos en la otra ecuación original, es decir, en la ecuación 1. 3x – 2y = 10 3(2) – 2(-2) = 10 6 + 4 = 10 10 = 10
Paso 3. Ahora se suman las dos ecuaciones. 9x – 6y = 30 10x + 6y = 8 19x = 38 Paso 4. A continuación, de esta ecuación se despeja la “x” y se obtiene su valor. 19x/19 = 38/19 x = 2
Por lo tanto, los valores de “x” y “y” son correctos.
Actividad 2.5.1 Refuerza tus aprendizajes sobre las ecuaciones. 1. Resuelve las ecuaciones y compruébalas. a) 3x + 6 = 18 b) 5x – 8 = 27 c) 28 – 4x = 12 d) 9x – 5 = 4x + 15 e) 20 – 6x = 4x – 10 2. Resuelve el siguiente problema. En una frutería se vende por pieza. Mientras María esperaba en la fila, observó que un cliente pagó con un billete de $500.00 por 6 sandías grandes y recibió $152.00 de cambio. ¿Cuánto costó cada sandía?
Actividad 2.5.2 Refuerza tus aprendizajes sobre el sistema de ecuaciones. 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método más conveniente. a) 4x + 3y = 27 2x – y = 1 b) x + 3y = 10 3x + 10y = 11 2. Resuelve el siguiente problema por el método más conveniente. c) Si al comprar un kilogramo de frijol y un kilogramo de arroz se pagan $113.00, y se sabe que el kilogramo de frijol es $17.00 más caro que el del arroz, ¿cuánto cuesta el kilogramo de frijol y cuánto el de arroz?
Resuelve el siguiente problema por el método de graficación. Rosa compró 2 hojas blancas de papel y 3 hojas de color azul en una papelería, pagando $21.00 por todo. Al día siguiente, en la escuela, uno de sus compañeros del salón le dijo que 4 hojas blancas cuestan lo mismo que 1 hoja azul más $7.00. ¿Cuánto cuesta cada hoja blanca y cada hoja azul? Planteamiento: x = precio de cada hoja blanca. y = precio de cada hoja azul. Ecuaciones: 2x + 3y = 21 4x = y + 7
Para comprobar los resultados, se sustituyen los valores de “x” y de “y” en las dos ecuaciones originales y se realizan las operaciones. Ecuación 1 x - y = 3 4 - 1 = 3 3 = 3 Ecuación 2 x + 2y = 6 4 + 2(1) = 6 4 + 2 = 6 6 = 6
Método gráfico. Se despeja la “y” en ambas ecuaciones. Ecuación 1. 2x + 3y = 21 y = -2x/3 + 7Ecuación 2. 4x = y + 7 y = 4x - 7 Se asigna dos valores arbitrarios a “x” para obtener los valores de “y”. Si x = 0 y = 7 A(0, 7) y = -7 A´(0, -7) Si x = 3 y = 5 B(3, 5) y = 5 B´(3, 5) Graficamos las ecuaciones lineales y encontramos el punto solución.
El punto solución es S(3, 5). Donde x = 3 y = 5
Actividad 2.5.4 Refuerza tus aprendizajes sobre las ecuaciones cuadráticas. 1. Resuelve las ecuaciones cuadráticas por fórmula general. a) x2 + 6x + 5 = 0 b) 15x2 + 14x - 8 = 0 2. Resuelve el siguiente problema por medio de una ecuación cuadrática. c) Determina dos números cuya diferencia sea 5 y la suma de sus cuadrados sea 73.
Ecuación 1: 3x – 2y = 10 Ecuación 2: 5x + 3y = 4 Paso 1: Se elige una ecuación, de la cual se despeja una de las incógnitas. En este caso, se despejará la “y” de la ecuación 2 porque su coeficiente es positivo. 5x + 3y = 4 3y = -5x + 4 y = (-5x + 4)/3 Paso 2: A continuación, se sustituye “y” en la ecuación 1. 3x – 2y = 10 3x - 2((-5x + 4)/3) = 10 Paso 3. Después se despeja la incógnita, en este caso la “x”. 3x + 10x/3 - 8/3 = 10 9x/3 + 10x/3 = 10 + 8/3 19x/3 = 38/3 x = (38)(3)/(3)(19) x = 2 Paso 4. Se sustituye el valor de “x” en donde despejamos la “y” (paso 1). y = (-5x + 4)/3 y = (-5(2) + 4)/3 y = (-10 + 4)/3 y = -6/3 y = -2 Se obtuvieron los mismos resultados que el método de suma y resta.
Planteamiento: x = precio de cada escoba. y = precio de cada recogedor. Ecuaciones: Ecuación 1. 3x + 2y = 388 Ecuación 2. 4x + y = 409 Método de sustitución. Despejamos “y” de la ecuación 2. y = -4x + 409 Sustituimos la “y” en la ecuación 1. 3x + 2(-4x + 409) = 388 Despejamos la “x”. 3x – 8x + 818 = 388 -5x = 388 – 818 -5x = -430 x = -430/-5 x = 86
Sustituimos el valor de “x” en el despeje de “y”. y = -4x + 409 y = -4(86) + 409 y = -344 + 409 y = 65 Los precios son $86.00 cada escoba y $65.00 cada recogedor.
Igualamos a cero la función cuadrática, x2 - 4x + 3 = 0 y la resolvemos aplicando la fórmula general:
La interpretación gráfica es el punto de intersección con el eje x. A(1, 0) B( 3, 0)
Para determinar el punto de intersección con el eje y, igualamos a cero a x en la función cuadrática. Si x = 0 f(0)= (0)2 - 4(0) + 3 f(0)= 3 Donde las coordenadas de este punto es C(0, 3).
El punto D se obtiene sustituyendo x = 4 en la función cuadrática.
Donde las coordenadas de este punto es D(4, 3).
Resuelve el siguiente problema. Adriana fue a la tienda y compró 6 paquetes de galletas integrales caseras, pagó con un billete de $200 pesos y recibió $50 pesos de cambio. ¿Cuánto le costó cada paquete de galletas? Planteamiento: x = precio de cada paquete de galletas. Ecuación: 6x + 50 = 200 Despejar la incógnita: 6x + 50 – 50 = 200 - 50 6x = 150 6x/6 = 150/6 x = 25 Lo que significa que cada paquete de galletas le costó $25 pesos.
Actividad de cierre 2.5 Practica lo aprendido y realiza lo que se te pide. 1. Escribe en los espacios vacíos la opción correcta en cada caso. a) En el plano cartesiano es posible ubicar puntos mediante sus ____________________. b) Es posible graficar una recta si se conocen por lo menos _____________ de sus puntos. c) La _________________ es la expresión matemática que consta de dos partes separadas por un símbolo igual. d) La llamada fórmula ____________________ permite resolver ecuaciones de segundo grado. e) La ________________ cuadrada es la operación contraria de elevar al cuadrado. f) El _________________ es el punto mínimo de una parábola.
2. ¿Cuál es el punto solución del siguiente sistema gráfico?
3. ¿Cuál es el nombre de la siguiente gráfica?