BUAD13380_PensMateIII_M4

Aplicacionesde la derivada

Módulo IV

Estructura temática

Propósito del módulo

Modela funciones de problemas de aplicación-optimización usando los criterios de las derivadas para resolver situaciones teóricas y de su entorno.

4.1. Razón de cambio (cinemática)

4.1.1 Ecuación de la recta tangente y normal a una curva

4.2. Función creciente y decreciente

4.2.1 Máximo y mínimo de una función 4.2.2 Criterio de la segunda derivada 4.2.3 Gráfica de la función

4.3. Problemas de optimización (a partir de una función dada)

4.4. Gráfica de la función logarítmica con diferentes bases y exponencial

4.4.1 Función inversa (logarítmica y exponencial: funciones inversamente entre sí)

4.5. Periodo de la gráfica de las funciones:

4.6. Problemas de modelación- optimización (estableciendo la función)

Importante:

4.7. Teorema fundamental del cálculo para funciones polinomiales simples

La utilización de materiales gráficos, bibliográficos y audiovisuales en esta asignatura será con fines académicos y se cita al autor, dado que no se poseen los derechos patrimoniales de la obra, lo anterior conforme a lo dispuesto por los artículos 148 y 151 fracciones III de la Ley Federal del Derecho de Autor.

Realiza la siguiente actividad, que servirá de introducción al módulo, para resolver problemas de aplicación y de optimización que implican variabilidad en situaciones teóricas y de tu entorno. Como una pista, recuerda que, de manera simplificada, la fórmula que relaciona velocidad, distancia y tiempo es: Velocidad = Distancia / Tiempo. Recuerda que la velocidad se expresa generalmente en metros por segundo (m/s) o kilómetros por hora (km/h), dependiendo de las unidades usadas para distancia y tiempo. Al finalizar los ejercicios, verifica tus resultados. La página te dará pistas y explicaciones detalladas sobre el procedimiento correcto.

I1_M4. Superprof. Material didáctico (2020). Ejercicios interactivos de cinemática en aplicaciones prácticas https://www.superprof.es/apuntes/escolar/fisica/mecanica-clasica/cinematica/ejercicios-interactivos-de-aplicaciones-cotidianas-de-la-cinematica.html

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¿Para qué sirve esto? Esto te permitirá resolver problemas y describir el mundo que te rodea. Veremos cómo diferentes tipos de funciones nos ayudan a crear modelos de la realidad. Con las funciones exponenciales, podremos describir el crecimiento o la pérdida de especies. Con las funciones trigonométricas, podremos analizar fenómenos que se repiten en ciclos, como las ondas de sonido. En resumen, este módulo te dará las herramientas necesarias no sólo para resolver ecuaciones, sino para entender, predecir y mejorar el mundo a tu alrededor. El presente Módulo tiene como propósito fundamental explorar las aplicaciones de la derivada como una herramienta para el análisis del cambio y la resolución de problemas en diversos contextos. Se busca modelar y comprender fenómenos relacionados con nuestro medio ambiente y problemas sociales. Iniciaremos con el concepto de la derivada, entendida como una razón de cambio instantánea. Aplicaremos tal enfoque en la cinemática. De manera complementaria, se estudiará su interpretación geométrica mediante la determinación de la ecuación de la recta tangente y normal a una curva.

Introducción

Te has preguntado alguna vez: ¿cómo un videojuego calcula la trayectoria perfecta de un objeto o de un personaje? ¿Cómo una empresa encuentra la mejor manera de ganar más dinero usando menos recursos? ¿Cómo los científicos predicen el crecimiento de una población de animales? La respuesta está en entender el cambio, y en este módulo aprenderás a pensar desde la perspectiva científica de las matemáticas. Emplearemos, de manera práctica, una herramienta increíblemente poderosa llamada la derivada, para resolver problemas del mundo real, muchos de ellos relacionados con nuestro planeta y el medio ambiente.

Posteriormente, el curso se centrará en el uso de la derivada para el análisis de funciones. Se emplearán el criterio de la primera y segunda derivada para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente, así como para la localización de sus máximos y mínimos. Esta funda-mentación permitirá la resolver problemas de optimización, donde el objetivo es encontrar la solución más eficiente a una problemática dada. Se ampliará el análisis para incluir funciones trascenden-tales. Se examinarán las características gráficas de las funciones logarítmica y exponencial, profundizando en su naturaleza como funciones inversas. Asimismo, se analizará la periodicidad en fenómenos a través del estudio de las funciones trigonométricas:

Hemos tratado de desarrollar ejercicios interesantes y de aplicación práctica relacionados con tu entorno y con nuestro medio ambiente.

Para saber más sobre la aplicación del cálculo, puedes ver el siguiente vídeo. Toma nota de lo que te parezca más importante.

V1_M4. BlueDot. (21 dic 2022) Asombrosas aplicaciones de la derivada y el cálculo. BlueDot.https://www.youtube.com/watch?v=KYvTWs54EgE

y=a⋅Sen(bx) y y=a⋅Cos(bx)

Finalmente, el Módulo concluirá con una introducción a las ideas subyacentes al Teorema Fundamental del Cálculo, estableciendo una conexión con temas más avanzados del cálculo diferencial e integral.

El canal de BlueDot muestra aplicaciones reales de la derivada en ciencia, tecnología, optimización y física, con secciones que cubren conceptos preliminares y casos prácticos.

4 1

Ejemplo 1. Imagina que se derrama petróleo sobre un lago y lo contamina. La mancha de petróleo crece y su área cambia con el tiempo. Supongamos que el área de la mancha (en metros cuadrados) después de t horas se puede describir con la función:

Razón de cambio (cinemática)

4.1

A(t)=3t2+5t

Queremos saber qué tan rápido está creciendo el área de la mancha justo a las 4 horas después del derrame. Paso 1: encontrar la derivada (la razón de cambio instantánea). Para encontrar la velocidad a la que crece el área, necesitamos derivar la función A(t). Usando las reglas de derivación, obtenemos: A′(t)=6t+5 Esta nueva función, A′(t), nos da la velocidad de crecimiento del área en cualquier instante t. Paso 2: calcular la razón de cambio en el instante deseado. Ahora, sustituimos t=4 horas en nuestra función derivada: A′ (4) = 6(4)+5 A′ (4) = 24+5=29

La razón de cambio puede entenderse como una medida que nos indica qué tan rápido está ocurriendo un cambio. En matemáticas, la derivada nos da la razón de cambio instan-tánea, es decir, la velocidad precisa en la que algo está cambiando en un momento específico. Un ejemplo de aplicación es la cinemática. La cinemática es la parte de la física que analiza el movimiento, describiendo la ruta, la velocidad y la aceleración de un objeto, pero sin meterse a estudiar las fuerzas que lo provocan. Pensemos, por ejemplo, en el velocímetro de un coche. No te dice la velocidad promedio de todo tu viaje, sino tu velocidad justo en ese segundo. La derivada hace lo mismo, pero para cualquier proceso de cambio, como la contaminación de un lago o el crecimiento de una población de algas.

Resultado: En el tercer día, la población de algas está aumentando a una tasa de 22,000 algas por día.

4.1.1 Ecuación de la recta tangente y normal a una curva

Figura 1. Interpretación gráfica de la definición de recta tangente, Marqués de l'Hôpital, 1696

Si la función que describe un problema ambiental es una curva, la recta tangente es una línea recta que "roza" la curva en un solo punto. La pendiente (inclinación) de esta recta es la razón de cambio instantánea en ese punto exacto. A ello se le denomina derivada.

La recta normal, por otro lado, es una línea recta que es completamente perpendicular a la recta tangente en ese mismo punto. Uno de los primeros científicos en entender esta relación, de manera gráfica, fue Guillaume François Antoine (1661-1704), mejor conocido como Marqués de l'Hôpital. Publicó un libro de texto titulado Análisis de los infinitamente pequeños, en el que incluyó una defi- nición gráfica de la recta tangente (¡en 1696!).

Fuente: Muñoz, A. O., & Planes, F. J. B. (2019). Evolución histórica del concepto de recta tangente. Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, (92), 27-36.

Paso 2: calcular la pendiente en el punto de interés. Dado que, en el punto (2, 4), el valor de x es 2, sustituimos este valor en la derivada: mtangente=f′(2)=2(2)=4

Ejemplo 1. Imagina que una cámara en un satélite monitorea el borde de un área deforestada. El borde de esta área sigue la trayectoria de la curva: y=x2, Donde x e y se miden en kilómetros. Un equipo de guardabosques se encuentra en el punto (2, 4) de este borde y quiere saber la dirección exacta en la que la deforestación está avanzando en ese punto. Calcula tal dirección, a partir del criterio de la ecuación de la recta tangente y normal a una curva. Respuesta: Paso 1: encontrar la pendiente de la recta tangente (la derivada). La función es: f(x)=x2 Su derivada es: f′(x)=2x Esta derivada nos da la pendiente de la recta tangente en cualquier punto x.

La pendiente de la recta tangente en (2, 4) es 4. Esto nos dice la dirección del "avance" de la deforestación en ese punto. Paso 3: ecuación de la recta tangente. Usamos la fórmula punto-pendiente: y−y1=m(x−x1) y−4=4(x−2) y−4=4x−8 y=4x−4 Esta es la ecuación que describe la dirección del borde de la deforestación en ese punto. Paso 4: encontrar la ecuación de la recta normal. La pendiente de la recta normal es la inversa y de signo contrario a la de la tangente: mnormal=−1/mtangente. mnormal=−1/4

Usamos la fórmula punto-pendiente otra vez con la nueva pendiente: y−4= (−1/4) (x−2) y−4=−x/4+1/2 y=−x/4+4.5 Interpretación: la recta tangente (y=4x−4) es la dirección del avance. La recta normal y=−x/4+4.5 es la dirección perpendicular. Esta línea, cuya dirección es perpendicular a la dirección de la deforestación, podría representar, por ejemplo, una línea base para medir el retroceso del bosque. Ejemplo 2. La concentración de un contaminante en el aire desde una chimenea se dispersa siguiendo la curva. f(x)= √x A medida que se aleja de la fuente (x en metros). Queremos analizar la dispersión en el punto que está a 9 metros de la fuente, es decir, en el punto (9, 3). Paso 1: encontrar la derivada. La función es: f(x)= √x También se puede escribir como: f(x)= x1/2

Su derivada es: f′(x)= (1/2) x−1/2= 1/ (2 √x) Paso 2: calcular la pendiente de la tangente en x = 9 mtangente=f′ (9) = 1/ (2 √9) = 1/ (2∗3) = 1/6 La pendiente nos indica cómo está cambiando la concen-tración en ese punto. Una pendiente pequeña significa que la concentración disminuye lentamente a esa distancia. Paso 3: ecuación de la recta tangente. Usando el punto (9, 3) y la pendiente 1/6: y−3= (1/6) (x−9) y−3=x/6−9/6 y=x/6−1.5+3 y=x/6+1.5 o también y = 1/6 x + 3/”

Te recomiendo que observes este breve video, que explica, de una manera geométrica, la razón del cambio instantáneo y su relación con la derivada. En caso de tener alguna duda, coméntala con tu profesor(a).

Paso 4 (extra): ecuación de la recta normal. La pendiente de la normal es: mnormal=−1/ (1/6) =−6 La ecuación de la recta normal es: y−3=−6(x−9) y−3=−6x+54 y=−6x+57 Interpretación: en el punto (9,3), la dispersión sigue la recta tangente y=x/6+1.5 (y = 1/6 x + 3/”), con una pendiente de 1/6 (suave inclinación). Esto indica que, a esa distancia, la nube contaminante prácticamente se desplaza de forma casi horizontal, con un ascenso muy lento.

V2_M4. Sal Khan. (25 feb 2022) La pendiente de la recta tangente como razón de cambio instantáneo. Khan Academy.https://es.khanacademy.org/math/calculus-all-old/taking-derivatives-calc/derivative-as-instantaneous-rate-of-change-calc/v/slopes-of-secant-lines

Una vez que hayas revisado la guía y visto el vídeo, realiza la actividad de aprendizaje 1_M4: “Tasa de Aumento del Contaminante” Portafolio de evidencias.

01

Tasa de aumento del contaminante

Indicaciones para realizar esta actividad

4 2

Para saber exactamente dónde una función crece o decrece, usamos la primera derivada. La derivada es como una lupa que nos dice la pendiente (inclinación) de la gráfica en cualquier punto. Si la primera derivada es positiva (f′(x)>0), la función es creciente. Si la primera derivada es negativa (f′(x)<0), la función es decreciente.

Función creciente y decreciente

4.2

Figura 2. Función creciente y decreciente.

Dada la complejidad que conlleva el estudio de la función creciente y decreciente, vamos a simplificar la idea: imagina que estás viendo una gráfica que muestra cómo cambia algo a lo largo del tiempo. Si la línea de la gráfica va hacia arriba (de izquierda a derecha), la función es creciente. Si la línea va hacia abajo, es decreciente. Función creciente: al aumentar el valor de entrada (normalmente x), el valor de salida (y o f(x)) también aumenta. Es como subir una montaña. Función decreciente: al aumentar el valor de entrada (x), el valor de salida (y o f(x)) disminuye. Es como bajar una montaña.

Fuente: elaboración propia en Power Point.

Ejemplo Se ha determinado que la función que describe el número de árboles en una zona reforestada después de t años es: f(t)=−t2+10t+50 Pregunta 1. ¿Cuál es la tasa de crecimiento del número de árboles? Pregunta 2. ¿Cuál la tasa de decrecimiento del número de árboles? Respuesta a la pregunta 1: Calculamos la primera derivada: La derivada nos dirá la tasa de cambio del número de árboles. f′(t)=−2t+10 Ahora, para determinar cuánto está aumentando la población de árboles, realizamos el cálculo asumiendo que la tasa de crecimiento es positiva (creciente, es decir. mayor que cero): −2t+10>0 10>2t 5>t

Interpretación: la población de árboles crece durante los primeros 5 años (t<5). Del año 0 al año 5 la reforestación aumenta el número de árboles.

Respuesta a la pregunta 2: La pregunta contraria es: ¿cuándo empieza a disminuir la población (quizás por competencia de recursos)? Para determinar cuánto está disminuyendo la población de árboles, realizamos el cálculo asumiendo que la tasa de crecimiento (derivada) es negativa (decreciente, es decir menor que cero): −2t+10<0 10<2t 5<t Conclusión Después del quinto año (t>5), la población de árboles comienza a decrecer.

Respuesta: Calculamos la primera derivada: P′(x)=2x−6 Igualamos a cero: 2x−6=0 2x=6 x=3

4.2.1. Máximo y mínimo de una función

Podemos simplificar los conceptos si consideramos que los máximos y mínimos son los puntos más altos o los puntos más bajos de una gráfica, como las cimas de las montañas o el fondo de los valles. Máximo: es un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente. Es el valor más alto en una sección de la gráfica. Mínimo: es un punto donde la función pasa de ser decreciente a creciente. Es el valor más bajo en una sección. Estos puntos importantes se llaman puntos críticos y ocurren cuando la primera derivada es igual a cero (f′(x)=0) o no existe. Ejemplo: la población de una especie en peligro de extinción durante x años se modela mediante la función: P(x)=x2−6x+100

Analizamos el cambio: Antes de x=3 (por ejemplo, en x=2), P′ (2) = 2(2) − 6=−2 (negativo, la población decrece) Después de x=3 (por ejemplo, en x=4) P′ (4) = 2(4) − 6= 2 (positivo, la población crece) Interpretación: como la función pasa de decreciente a creciente, en el año 3 se alcanza el mínimo de la población. Un cálculo opcional, sería calcular el valor mínimo de la población: Sustituyendo: P(x)=x2−6x+100 x=3 P (3) = (3)2 −6(3) +100=9−18+100=91

Donde: x = años P(x) está en cientos de animales

Como está en cientos de animales: P (3) =91⇒ 9,100 animales La población alcanza su mínimo a los 3 años, con aproximadamente 9,100 animales.

¿A los cuántos años se alcanza el mínimo de población de la especie?

Ejemplo: La población de una especie en peligro de extinción durante x años se modela mediante la función: P(x)=x2−6x+100 (en cientos de animales) Considerando que su derivada es P′(x)=2x−6. Mediante el método de la segunda derivada confirma que en el año 3 (x = 3) se alcanza el mínimo de la población. Respuesta: A partir de la función de la población: P(x)=x2−6x+100 Y considerando que el punto crítico está en x=3 Realizamos las siguientes operaciones: Calculamos la primera derivada: P′(x)=2x−6 Calculamos la segunda derivada: P′′(x) = 2 Evaluamos la segunda derivada en el punto crítico (x=3): P′′ (3) = 2 Interpretación: como la segunda derivada es positiva (2), se confirma que en x=3 hay un mínimo. La gráfica es cóncava hacia arriba, como una carita feliz 😊.

4.2.2. Criterio de la segunda derivada

La segunda derivada (f′′(x)) es la derivada de la primera derivada. Nos ayuda a saber la concavidad de la gráfica, es decir, si la curva se abre hacia arriba (como una carita feliz 😊) o hacia abajo (como una carita triste 😟). 😊 Carita feliz: Cóncava hacia arriba: la gráfica se curva hacia arriba. f′′(x)>0. 😟 Carita triste: Cóncava hacia abajo: la gráfica se curva hacia abajo. f′′(x)<0.

Este criterio es un atajo para saber si un punto crítico (donde f′(x)=0) es un máximo o un mínimo: Si f′′(x) es negativa en el punto crítico, tienes un máximo (carita triste 😟). Si f′′(x) es positiva en el punto crítico, tienes un mínimo (carita feliz 😊). Vamos a explicarlo mejor, retomando el ejemplo del tema anterior.

4.2.3. Gráfica de la función

Consideramos que su derivada es P′(x)=2x−6 y que se ha confirmado que en el año 3 (x = 3) se alcanza el mínimo de la población. Para calcular los puntos críticos respondemos la siguiente pregunta: ¿dónde están los posibles máximos y mínimos? (f′(x)=0). Función: P(x)=x2−6x+100 Punto crítico: x=3 (recuerda que, mediante el método de la segunda derivada ya habíamos confirmado que en el año 3 (x = 3) se alcanza el mínimo de la población). Para calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento respondemos la siguiente pregunta: ¿dónde sube y dónde baja la gráfica? (máximo/mínimo). Analizando el signo de f′(x): Crecimiento/Decrecimiento: decrece antes de x=3 y crece después. Se trata de un mínimo. En el problema previo habíamos determinado que, como la segunda derivada es positiva (2), se confirma que en x=3 hay un mínimo. La gráfica es cóncava hacia arriba, como una carita feliz 😊.

Para dibujar la gráfica de una función, usamos toda la información que hemos reunido:

• Para calcular los puntos críticos respondemos la siguiente pregunta: ¿dónde están los posibles máximos y mínimos? (f′(x)=0)
• Para calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento respondemos la siguiente pregunta: ¿dónde sube y dónde baja la gráfica? (máximo/mínimo) (analizando el signo de f′(x)).
• Para calcular las coordenadas de los puntos respondemos la siguiente pregunta: ¿cuál es el valor de y para nuestros puntos críticos?
• Para calcular el tipo de concavidad respondemos la siguiente pregunta: ¿la curva se abre hacia arriba o hacia abajo? (analizando el signo de f′′(x)).

Ejemplo: Vamos a graficar los resultados del problema previo. La población de una especie en peligro de extinción durante x años se modela mediante la función:

P(x)=x2−6x+100 (en cientos de animales).

Para calcular las coordenadas de los puntos respondemos la siguiente pregunta: ¿cuál es el valor de y para nuestros puntos críticos? Coordenadas del mínimo: P (3) = (3)2−6(3)+100= 9−18+100= 91 El punto es (3, 91) Para calcular el tipo de concavidad, respondemos la siguiente pregunta: ¿la curva se abre hacia arriba o hacia abajo? (analizando el signo de f′′(x)). En el problema previo habíamos determinado que, como la segunda derivada es positiva (2), se confirma que en x=3 hay un mínimo. La gráfica es cóncava hacia arriba, como una carita feliz 😊. Gráfica: la gráfica será una parábola que se abre hacia arriba (una "U"), con su punto más bajo en (3, 91).

Gráfica 1. Gráfica de la función: P(x)=x2−6x+100.

Fuente: elaboración propia en Symbolab.

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Ejemplo: Un agricultor quiere cercar un huerto rectangular para protegerlo. Tiene 40 metros de malla. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del huerto para que el área sea la máxima posible? Respuesta: Función para optimizar: El área A=xy. Empleamos la fórmula del perímetro, que es de 40 m: 2x+2y=40, Que simplificado es: x+y=20 Ponemos la función en términos de una sola variable: despejamos y de la restricción: y=20−x

Problemas de optimización

4.3

Optimizar significa encontrar la mejor solución posible a un problema: el valor máximo o mínimo. Por ejemplo: ¿cómo podemos obtener el máximo beneficio con el mínimo costo? o ¿cómo reducir al mínimo la contaminación? En los siguientes problemas, se te proporcionará una función y tu objetivo es encontrar la optimización a través de la búsqueda de su máximo o mínimo valor, siguiendo los mismos pasos que ya vimos.

Ahora sustituimos en la función del área: El área A=xy. Sustituimos y: y=20−x A(x)=x(20−x) = 20x−x2 Encontramos el máximo: Derivamos: A′(x)=20−2x. Igualamos a cero: 20−2x=0⟹2x=20⟹x=10 Usamos la segunda derivada para confirmar: A′′(x)=−2

Como es negativa, es un máximo. Encontrar las dimensiones: Si x=10, entonces y=20−10=10 Interpretación: para obtener el área máxima, el huerto debe ser un cuadrado de 10 metros por 10 metros.

Te incito a realizar la actividad de aprendizaje 2_M4: “Problemas de optimización” Portafolio de evidencias.

02

Problema de optimización

Indicaciones para realizar esta actividad

4 4

Ejemplo: Calcula f (x) = loga (x) Si a = 2 Genera una tabla de valores y su gráfica Respuesta: Log2 (8) = 3 Porque: 23 = 8 A partir de ese dato podemos graficar la función logarítmica base 2 f (x) = log2 (x) Primeramente, generamos una tabla de valores

Gráfica de lafunción logarítmica con diferentes bases y exponencial

4.4

Función logarítmica y su gráfica Una función logarítmica es aquella que te dice cuántas veces hay que multiplicar un número para llegar a otro. Lo podemos expresar de la siguiente forma: f (x) = loga (x) Donde: a = base x = número al que queremos llegar La función logarítmica se usa para descubrir el tiempo o los pasos necesarios en procesos como el crecimiento, el sonido, los terremotos, etc.

Función exponencial y su gráfica

Posteriormente, graficamos conforme la siguiente figura:

Por su parte, una función exponencial es una función que crece o disminuye muy rápido y puede expresarse de la siguiente forma: f (x) = ax Donde: a = base, es decir, un número propuesto x = exponente, es decir, el número que va cambiando La función exponencial se emplea para representar cosas que aumentan o disminuyen rápidamente: población, virus, contaminación, dinero, etc. Ejemplo: Calcula f (x) = 2x Cuando x=1 Cuando x=2 Cuando x=3

Gráfica 2. Ejemplo de gráfica de la función logarítmica con base 2.

Respuesta: f (x) = 2x Cuando x=1x f(x)=2 Cuando x=2 f(x)=4 Cuando x=3 f(x)=8

Genera una tabla de valores y su gráfica.

Fuente: elaboración propia en Symbolab.

Una gráfica exponencial, de base 2, se puede realizar tabulando los resultados de esta forma:

Gráfica 4. Ejemplo comparativo entre gráfica exponencial y logarítmica de distintas bases.

Gráfica 3: ejemplo de gráfica de la función exponencial de base 2.

Elaboración propia con Symbolab.

En la gráfica de funciones exponenciales observamos que las curvas crecen muy rápido si la base es mayor (como 10). La curva de base 2 crece de forma más moderada. Este tipo de función es útil para modelar crecimientos acelerados, como poblaciones o defores-tación. Se puede observar también que la gráfica que forma una función logarítmica tiene una curvatura inversa a la exponencial. Desarrollaremos la implicación de estos conceptos con ejemplos.

Fuente: elaboración propia en Symbolab.

4.4.1 Función inversa (logarítmica y exponencial: funciones inversamente entre sí)

Considerando: y = ax Entonces: x = loga(y) Si: y = loga(x) Entonces: x = ay Con el siguiente ejemplo entenderemos la relación entre la función exponencial y la logarítmica. Ejemplo: Un grupo de biólogos introduce 20 parejas de una especie de lagartija en peligro de extinción en una reserva natural. La población inicial es de 40. Estiman que la población se triplicará cada año.

Tal como vimos en las gráficas precedentes, la función logarítmica es la función inversa de la función exponencial, y viceversa. Esto significa que, si cuentas con una función exponencial, puedes encontrar su inversa utilizando una función logarítmica. Una función exponencial se expresa como: f(x) = ax, a = base x = variable independiente La función logarítmica se expresa como: f(x) = loga(x) a = base (es la misma que en la función exponencial). Esta función determina el exponente al que hay que elevar la base a para obtener el valor x. Las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas porque hacen operaciones antagónicas. Si se aplica una función exponencial y luego la función logarítmica (o viceversa) con la misma base, se obtendrá el valor original.

Realiza el análisis de crecimiento de la población P considerando que, después de t años, se puede modelar con la función: P(t)=40⋅3t Si en el futuro se cuentan 9,720 lagartijas, ¿cuántos años han pasado? Solución para el análisis del crecimiento de la población: Dado que se trata de una función exponencial (el creci- miento), primero graficamos la función de crecimiento: P(t)=40⋅3t

Una interpretación a partir de lo que podemos visualizar en la tabla y la gráfica, es la siguiente: la gráfica muestra un crecimiento explosivo. Comienza lento y luego se dispara hacia arriba. En la función exponencial, el punto (2, 360) significa: después de 3 años la población es de 1,080 lagartijas. Si usáramos la función inversa (función logarítmica) para interpretarla, diríamos: para alcanzar la población de 1,080 lagartijas, necesitan pasar 3 años. Respuesta a la interrogante: si en el futuro se cuentan 9,720 lagartijas, ¿cuántos años han pasado? Ahora se trata de encontrar y analizar la función inversa (el tiempo): Para responder a la pregunta ¿cuántos años han pasado para tener 9,720 lagartijas?", necesitamos despejar t de la ecuación. Aquí es donde aplicamos el logaritmo. P=40⋅3t Despejamos: P/40 =3t La definición de un logaritmo se puede resumir en esta regla de conversión:

Realizamos una tabla de valores:

Y luego graficamos

Gráfica 5. Gráfica exponencial de un crecimiento de lagartijas.

Elaboración propia con Symbolab.

¿Cómo hacemos esta conversión? Si: logb (x) = y Entonces: x = by. Donde: b = base x = argumento (el número al que le aplicas el logaritmo) y = exponente (el resultado del logaritmo). En este caso, identificamos las partes de la ecuación: P/40 =3t b = 3 = base t = exponente = y x = el término completo P/40 (el resultado en este caso) Ahora, reordenamos estas tres partes usando la formula logarítmica: logb (x) = y

Escribimos: log3 (P/40) = t t = log3 (P/40) Como se trata de una función, escribimos: t (P) = log3 (P/40) Entonces, retomamos a la ecuación:

Esta es la función inversa. La primera función toma tiempo y te da población. Esta función inversa toma población y te da tiempo. Ahora, respondamos la pregunta:

Resolvemos: log3 (243) La forma matemática de expresar esto es: log3 (243) = x Que es lo mismo que decir: 3x=243

Un camino para resolverlo es dividir 243 entre la base (3) repetidamente: 243 ÷ 3 = 81 81 ÷ 3 = 27 27 ÷ 3 = 9 9 ÷ 3 = 3 3 ÷ 3 = 1 Contamos cuántas veces dividimos por 3. En total, fueron 5 veces. Esto significa que 243 es igual a 3 elevado a la quinta potencia: 243=3×3×3×3×3=35 Ahora, podemos resolver la ecuación: Si 3x =243 Y sabemos que: 35=243 Entonces: 3x=35 Por lo tanto, x = 5

¿Cuántos años han pasado para tener 9,720 lagartijas? O sea: t (9720) = log3 (243) = 5 Interpretación: han pasado 5 años para que la población llegue a 9,720 lagartijas. Como resumen final podemos aseverar sobre la función inversa (logarítmica y exponencial) lo siguiente:

• La función exponencial multiplica la base a repetidamente.
• La función logarítmica cuenta cuántas de esas multiplicaciones ocurrieron.
• La función exponencial nos ayuda a predecir el futuro de un fenómeno ambiental (como el crecimiento de una población). Su función inversa, la logarítmica, nos ayuda a mirar hacia el pasado, calculando cuánto tiempo se necesitó para llegar al estado actual. Son dos caras de la misma moneda, describen la misma relación entre tiempo y población, pero desde perspectivas opuestas.

a = Amplitud: esta letra controla qué tan alta o baja es la onda. Si a es un número grande, la onda será muy alta; si es pequeño, será más chaparrita. Esto no cambia lo largo de la onda. b = Frecuencia: indica qué tan "apretada" o "estirada" está la onda. b > 1 = b mayor que 1, significa que la onda se comprime, se repite más rápido y, por lo tanto, su periodo es más corto. b < 1 = b es menor que 1 (pero mayor que cero), significa que la onda se estira, tarda más en repetirse y su periodo es más largo. Para calcular el periodo, usamos una fórmula muy simple: Periodo = 2π / b Solo tienes que dividir 2π (que es la duración de un ciclo normal de seno o coseno) entre el número b que acompaña a la 'x'. Ejemplo 1: Un periodo o fenómeno donde este criterio es perfectamente aplicable es el sonido. Cada sonido que escuchas, desde una nota musical hasta la voz de una persona, viaja por el aire en forma de ondas. Estas ondas de sonido se pueden describir perfectamente con las funciones seno y coseno que acabas de ver. Cuando analizamos un sonido, la gráfica de su onda nos dice todo sobre él, y los valores de “a” y “b” tienen un significado muy real y fácil de entender:

4 5

Periodo de la gráfica de las funciones

4.5

𝑦 = 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝑏𝑥 𝑦 = 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑏𝑥 Imagina que las gráficas de las funciones seno y coseno son como una onda o una montaña rusa que se repite una y otra vez. El periodo es simplemente la distancia que tienes que recorrer en el eje horizontal (el eje 'x') para que la onda complete un ciclo completo y empiece a repetirse de nuevo. Si empiezas en la cima de una ola, el periodo es la distancia que recorres hasta llegar a la siguiente cima. En las fórmulas: 𝑦 = 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝑏𝑥 𝑦 = 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑏𝑥

a = Amplitud; (a) = Volumen: la amplitud de la onda, controlada por el valor de “a”, corresponde al volumen del sonido. Un valor de “a” grande significa que la onda es muy alta. Esto se traduce en una onda de sonido con mucha energía, lo que nuestros oídos perciben como un sonido fuerte o con mucho volumen. Por el contrario, un valor de “a” pequeño, significa que la onda es más bajita. Esto es una onda con poca energía, lo que oímos como un sonido suave o con poco volumen. Periodo = 2π/b = Tono (agudo o grave): el periodo de la onda, que depende del valor de “b”, determina el tono del sonido (si es agudo o grave). Técnicamente, lo que medimos es la frecuencia (el inverso del periodo), pero la idea es la misma. Un valor de “b” grande hace que el periodo sea muy corto (2π/b es pequeño). La onda se repite muy rápidamente. Esto lo percibimos como un sonido agudo, como el de un silbato o un violín. Un valor de “b” pequeño hace que el periodo sea muy largo. La onda tarda mucho en repetirse. Esto lo oímos como un sonido grave, como el de un bajo o un trueno. Ejemplo 2: Imagina que grabas dos sonidos con un micrófono: Sonido 1: el sonido grave de un contrabajo. Su gráfica podría ser algo como: y = 10 Cos(50x)

Tiene una amplitud grande (sonido fuerte) y un valor de 'b' pequeño (periodo largo, tono grave).

Gráfica 6: gráfica de y = 10 Cos(50x).

Elaboración propia con Symbolab.

Esta onda tiene una gran amplitud (es "alta"), lo que representa un volumen fuerte. Además, su periodo es largo (la onda está "estirada"), lo que se traduce en un tono grave. Sonido 2: el silbido agudo de una flauta. Su gráfica podría ser: y = 3 Sen(800x)

Gráfica 7: gráfica de y = 3 Sen(800x).

Periodo = 2π / 4 Simplifica: Periodo = π / 2 Periodo = 1.57079632679 Esto quiere decir que la gráfica de: y = 2 Sen 4x, completa un ciclo completo cada vez que avanzas π/2 (1.57079632679) en el eje x.

Tiene una amplitud pequeña (sonido suave) y un valor de “b” muy grande (periodo corto, tono agudo).

Gráfica 8: gráfica de y = 2 Sen 4x.

Elaboración propia con Symbolab.

El estudio de las ondas de sonido es un buen ejemplo para la aplicación del análisis del periodo y la amplitud de las funciones seno y coseno. Por parte de los ingenieros de sonido, se usa todos los días para entender, crear y manipular la música de nuestros cantantes favoritos.

Elaboración propia en Symbolab.

Interpretación: es una onda que está bastante "apretada" o comprimida.

Ejemplo 3: Calcula el periodo, cuando: y = 2 Sen 4x

Solución: Identifica “b”: en esta función, el número que multiplica a la “x” es 4. Así que: b=4. Aplica la fórmula: Periodo = 2π / b

03

Función inversa

Indicaciones para realizar esta actividad

4 6

• Problema 1: determina las variables y parámetros involucrados en el problema.
• Problema 2: escribe las fórmulas necesarias para resolver el problema.
• Problema 3: establece la función matemática a optimizar y desarrolla la función que modela el problema.
• Problema 4: desarrolla el procedimiento y realiza las operaciones con los valores previamente determinados.
• Problema 5: escribe tus respuestas y aporta una reflexión general sobre el problema.

Problemas de modelación-optimización(estableciendo la función)

4.6

Se trata de presentar problemas en los que, a partir de esta-blecer una función matemática, se desarrollen problemas que involucren la modelación y la optimización. Descripción: Imagina que una ciudad quiere instalar nuevos contenedores de basura cilíndricos en sus parques. Con el fin de que sean más ecológicos y económicos, quieren construirlos usando la menor cantidad de lámina de metal posible. Sin embargo, cada contenedor debe tener un volumen fijo de 250 litros (que es igual a 250,000 cm³) para ser útil. El desafío es encontrar las dimensiones (radio y altura) que debe tener el contenedor cilíndrico para que se use la mínima cantidad de material en su construcción.

Preliminares: leyes matemáticas para tomar en cuenta para el problema Ley de los exponentes negativos:

Cualquier número o variable elevado a un exponente negativo es igual a su inverso con el exponente en positivo. La fórmula general es:

Pensemos en el caso más simple, cuando el exponente es -1:

Esto significa que elevar x a la potencia de -1 es lo mismo que dividir 1 entre x. Respuesta al problema 1: determina las variables y parámetros involucrados en el problema. Comenzaremos por realizar la “traducción” del problema a un lenguaje matemático. Objetivo del problema: minimizar el material. El material es la superficie del cilindro (las dos tapas circulares y el lado rectangular que lo envuelve). A esto le llamaremos: área total (A). A = Área total Condición o restricción del problema: el volumen debe ser exactamente de 250,000 cm³. A esto le llamamos Volumen (V). V = Volumen Determinar las variables del problema: son las dimensiones que no conocemos y que podemos cambiar: radio (r) de la base y la altura (h) del cilindro. Respuesta al problema 1: r = Radio de la base del cilindro, en centímetros (cm). h = Altura del cilindro, en centímetros (cm).

Respuesta al problema 2: escribe las fórmulas necesarias para resolver el problema. Recordemos las fórmulas de geometría para un cilindro: Fórmula: π r2 = Área de una tapa circular. 2 π r2 = Área total de las dos tapas (debido a que son dos tapas (la de arriba y la de abajo)). 2 π r h = Área del lado (que es un rectángulo si lo desenrollamos). A = Área total (A): es la suma del área de las dos tapas circulares más el área del lado. Respuesta al problema 2: Área superficial de un cilindro (incluyendo base y tapa): A =2 π r2+2π r h. Volumen del cilindro(V): es el área de la base por la altura: V = π r2 h. Respuesta al problema 3: Establece la función matemática a optimizar y desarrolla la función que modela el problema.

Respuesta al problema 3:

Optimización y modelo matemático: Deseamos minimizar el Área (A), pero nuestra fórmula: A = 2 π r2+2π r h, tiene dos variables (r y h). Para usar derivadas de forma sencilla, necesitamos que solo tenga una variable. La estrategia que emplearemos es usar la información que sí conocemos (la restricción del volumen) para eliminar una variable. Desarrollo: Sabemos que el volumen debe ser 250,000 cm³. Es decir: V = π r2 h π r2 h = 250,000 De aquí, podemos despejar la altura h:

Esta función, A(r), nos dice la cantidad de material que necesitamos para construir el contenedor con solo saber su radio r. Es también la función que modelará el problema. Respuesta al problema 4: desarrolla el procedimiento y realiza las operaciones con los valores previamente determinados. Recuerda que el concepto más importante aquí es que en el punto exacto donde una función alcanza su valor mínimo (o máximo), la pendiente de la recta tangente es cero. Por lo anterior, es fácil inferir que es la derivada de una función la que nos da precisamente esa pendiente. Para encontrar el radio r que nos da el área mínima, debemos:

Ahora, sustituimos esta expresión de h en la fórmula del área:

a) Derivar la función A(r). b) Igualar la derivada a cero. c) Resolver para r. d) Calcular la altura y desarrollar la respuesta final. e) Derivar la función A(r)

Simplificamos la expresión. Nota importante: observa cómo se cancelan π y una r:

La reescribimos así (con la fracción modificada): A (r) = 2 π r2 + 500,000 ⋅ r−1 Nota: lo que acabemos de hacer se realiza para que sea mucho más fácil aplicar las reglas de derivación. La regla de la potencia para derivar funciona directamente con exponentes (positivos o negativos), lo que simplifica enormemente el cálculo de la derivada A′(r) en problemas de optimización. ii) Calculamos la derivada Sea la función: A (r) = 2 π r2 + 500,000 ⋅ r−1 Aplicamos las reglas básicas de derivación (la regla de la potencia): La derivada de 2 π r2 = 2 ⋅ 2π r 2-1 = 4 π r

i) Empleamos la ley de exponentes negativos para simplificar la derivada Para que sea más fácil derivar, reescribimos la función A(r) usando la ley de exponentes negativos

Vamos a transformar la fracción:

Podemos reescribir esta fracción separando el número de la variable, de esta forma:

Ahora, por la regla del exponente negativo, sabemos que:

La derivada de 500,000 r−1 = (−1) ⋅ 500,000 r −1−1 = −500,000 r − 2 Entonces, la derivada es: A′ (r) = 4π r − 500,000 r – 2

Finalmente, simplemente reemplazamos 1/r por su equivalente r−1 en la expresión:

Con el empleo de la ley de exponentes negativos:

La reescribimos así:

Y ahora la función original:

b) Igualar la derivada a cero

Con el empleo de la ley de exponentes negativos:

c) Resolver para r Movemos el término negativo al otro lado:

Respuesta al problema 5: escribe tus respuestas y aporta una reflexión general sobre el problema.

Si el contenedor es cerrado (con tapa y base), para construir un contenedor de basura con un volumen de 250 litros usando la menor cantidad de metal posible, las dimensiones ideales son: Radio (r): aproximadamente 34.14 cm. Altura (h): aproximadamente 68.28 cm. Un detalle interesante es que la altura (68.28 cm) es exactamente el doble que el radio (2×34.14 cm). Este problema ilustra un princi-pio fundamental de optimización en diseño: para un volumen fijo, el cilindro con área superficial mínima ocurre cuando la altura es igual al diámetro (h=2r). Esto balancea la contribución del área de las bases y el área lateral, y asegura no emplear materiales en exceso. En términos prácticos, este resultado ayuda a diseñar contenedores de basura que son tanto ecológicos como econó-micos, reduciendo el consumo de recursos sin comprometer la capacidad. Además, el enfoque matemático utilizado (derivación y sustitución) es aplicable a una variedad de problemas de optimi-zación en ingeniería y diseño. Este resultado demuestra que las matemáticas nos ayudan a encontrar soluciones perfectas y eficientes que ahorran recursos, cuidando así nuestro planeta.

Multiplicamos ambos lados por r2 para quitarla del denominador:

Despejamos r3:

Finalmente, aplicamos la raíz cúbica para encontrar r:

r ≈ 34.14 cm Este es el radio que minimiza la cantidad de material. d) Calcular la altura y desarrollar la respuesta final Ya tenemos el radio óptimo; ahora, encontramos la altura h usando la fórmula que habíamos despejado previamente:

h ≈ 68.28 cm

Respuesta al problema 4: r ≈ 34.14 cm h ≈ 68.28 cm

4 7

de este capítulo te recomendaré interesantes videos sobre la disputa entre Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) sobre quién de los dos desarrolló primero estas ideas. Una forma sencilla de comenzar a revisar algunas ideas subya-centes al teorema fundamental del cálculo es entender que, si tienes una función que representa una velocidad de cambio, puedes calcular la cantidad total acumulada entre dos puntos de una manera muy fácil:

1. Encuentra la antiderivada de la función de velocidad. La antiderivada es la función "inversa" a la derivada; representa la "función de acumulación total".
2. Evalúa esta antiderivada en el punto final y en el punto inicial.
3. Resta los dos resultados.

En resumen, la fórmula es: Total, acumulado (entre a y b) = Antiderivada(b) - Antiderivada(a) Para entender mejor el concepto, podemos realizar un ejemplo:

Teorema fundamentaldel cálculo para funciones polinomiales simples

4.7

En este último tema del Módulo, comenzarás a acercarte a uno de los temas más fascinantes de las matemáticas superiores. El teorema fundamental del cálculo es considerado una revolución porque conectó dos ramas de las matemáticas que hasta entonces parecían completamente separadas: el cálculo dife-rencial (el estudio de las pendientes y las razones de cambio instantáneas, o derivadas) y el cálculo integral (el estudio de las áreas bajo las curvas y las acumulaciones, o integrales). Esta conexión reveló que la derivación y la integración son operaciones inversas, de la misma manera que sumar es lo inverso de restar, o multiplicar es lo inverso de dividir. Este descubrimiento transformó problemas extremadamente difíciles (como calcular el área de formas complejas) en problemas mucho más sencillos de álgebra y antiderivadas. En la parte final

Necesitamos encontrar una función, que llamaremos C(t) (Contaminación total), tal que al derivarla nos de 6t. Pensemos al revés de la regla de la potencia para derivar. Para la antiderivada, en lugar de restar 1 al exponente, le sumamos 1, y en lugar de multiplicar, dividimos entre el nuevo exponente. Suma 1 al exponente: El exponente de t es 1, así que 1+1=2. Tendremos un t2. Divide entre el nuevo exponente: Dividimos el 6 entre este nuevo exponente, 2: 6/2 =3 Entonces, nuestra antiderivada es: C(t)=3t2 Esta función C(t) es útil porque nos indica la cantidad total de contaminante que se ha acumulado en el río, desde el inicio (t=0) hasta cualquier hora t. Verificación rápida: Si derivamos C(t)=3t2; Obtenemos: 2⋅3t2−1 = 6 t, que es nuestra función de velocidad original v(t), por tanto, nuestro cálculo es correcto.

La velocidad de contaminación en el tiempo t (medido en horas) es: v(t)=6t (kilogramos por hora) Esto significa que en la: hora t=1, la contaminación entra a una velocidad de 6 kg/hora. hora t=2, la velocidad ya es de 12 kg/hora, y así sucesivamente. Responde: ¿cuánto contaminante total se ha derramado en el río durante las primeras 4 horas (es decir, entre t=0 y t=4)? Respuesta: no podemos simplemente multiplicar la velocidad por el tiempo, porque la velocidad está cambiando constan-temente. Aquí es donde entra el teorema fundamental del cálculo. Su idea principal es esta: si tienes una función que describe la velocidad de cambio de algo (como nuestra velocidad de contaminación v(t)), puedes encontrar la cantidad total acumulada encontrando su antiderivada. Una antiderivada es simplemente la operación "inversa" a derivar. Si al derivar una función F(t) obtienes v(t), entonces F(t) es la antiderivada de v(t). Nuestra función de velocidad es: v(t) = 6t (que es lo mismo que 6t1)

Ahora, retomamos el teorema fundamental del cálculo: El teorema fundamental del cálculo nos da una fórmula para encontrar el total acumulado entre dos puntos en el tiempo (en nuestro caso, entre la hora a=0 y la hora b=4): Total acumulado = C (tiempo final) - C (tiempo inicial) En notación matemática, esto se escribe como:

Significado: al principio no había nada de contaminación acumulada por la fuga. Resta los dos valores: Total derramado: = C (4) – C (0) = 48 − 0 = 48 kg Respuesta: entre la hora 0 y la hora 4, se derramaron un total de 48 kilogramos de contaminante en el río. Así, hemos usado la idea más importante del cálculo para resolver un problema real. Empezamos con una función que describía la velocidad de un problema y, a través de la antiderivada, pudimos calcular el efecto total acumulado a lo largo del tiempo. Te comparto un resumen de lo que hicimos: Función de velocidad: Teníamos la velocidad a la que entraba el contaminante: v(t)=6t Antiderivada: Encontramos la "función de contaminación total acumulada", que era la antiderivada: C(t)=3t2

Ahora, solo tenemos que calcular los valores: Calcula la contaminación total a las 4 horas, C (4): C (4) = 3 ⋅ (4)2 = 3⋅16 = 48 kg Significado: A las 4 horas, se han acumulado un total de 48 kg de contaminante en el río. Calcula la contaminación total a las 0 horas, C (0): C (0) = 3 ⋅ (0)2 = 3⋅0 = 0 kg.

Evaluación y resta: Queríamos saber el total derramado entre la hora 0 (a=0) y la hora 4 (b=4), así que aplicamos la fórmula: Total = C (4) – C (0) Calculamos C (4) = 3 (4)2 =48. Calculamos C (0) = 3 (0)2 =0. Restamos: 48−0=48 kg En esencia, el teorema nos permitió pasar de conocer la velo-cidad de contaminación en cada instante, a saber la cantidad total de contaminación acumulada en un intervalo de tiempo.

Para seguir practicando observa el siguiente vídeo:

V4_M4. ¿Tienes dudas? (24 mayo 2020). Problemas de optimización: máximos y mínimos. ¿Tienes dudas? https://www.youtube.com/ watch?v=OO7pNNNc0d8. En este vídeo se explica la optimización de funciones, tema perteneciente al cálculo.

Para fortalecer tu aprendizaje: Te invitamos a seguir resolviendo problemas. Te recomendamos una página que, mediante ejemplos de optimización con las respuestas dadas paso a paso, reforzarás tu comprensión de los temas tratados. Encontrarás ejercicios y validación de resultados.

I2 OpenStax. (2022). [Actividad interactiva]. Problemas de optimización aplicados. [Actividad interactiva]. https://openstax.org/books/ c%C3% A1lculo-volumen-1/pages/4-7-problemas-de-optimizacion-aplicados

Para conocer cómo se desarrolló el cálculo y cuáles fueron las princi-pales diferencias entre las ideas de Newton y Leibniz, puedes ver el siguiente video:

04

Problemas de modelación-optimización

V3_M4. Del Campo, R. (1 feb 2022). Newton vs. Leibniz: El descubrimiento del cálculo infinitesimal. El axioma del infinito https://www.youtube.com/watch?v=OyFQi0yfsjo

Indicaciones para realizar esta actividad

Una parte fundamental del Módulo consistió en la aplicación de estos conocimientos a la resolución de problemas de optimización, primero partiendo de una función dada y más adelante, modelando la situación para establecer la función a optimizar. Examinamos las características de las funciones logarítmicas y exponenciales analizando sus gráficas con diferentes bases y comprendiendo la relación que guardan como funciones inversas. También se estudió la periodicidad en las funciones trigonométricas (y=a Sen bx y y=a Cos bx) como un elemento clave en la descripción de diversos fenómenos. Finalmente, el módulo concluyó con una revisión de las ideas subyacentes al teorema fundamental del cálculo para funciones polinomiales. A través de una serie de actividades prácticas relacionadas con el medio ambiente y nuestro entorno, modelamos fenómenos y con ello sentamos las bases para estudios más avanzados.

Conclusiones

A lo largo del Módulo 4, estudiamos las aplicaciones de la derivada. Nuestro propósito fue aplicar el cálculo a diversas problemáticas y análisis de funciones. Iniciamos con el análisis de la derivada como una razón de cambio en el contexto de la cinemática y trabajamos en la determinación de la ecuación de la recta tangente y normal a una curva. Posteriormente, analizamos funcio-nes, y aprendimos a identificar cuándo una función es creciente o decreciente y a localizar sus máximos y mínimos a través del criterio de la segunda derivada, para finalmente trazar su gráfica.

Muñoz, A. O., & Planes, F. J. B. (2019). Evolución histórica del concepto de recta tangente. Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, (92), 27-36. Roriguez, J. et. al. (2016). Fundamentos de matemáticas. Facultad de Contaduría y administración. UNAM. https://librosoa.unam.mx/bitstream/handle/123456789/334/V56.pdf?sequence=3&isAllowed=y Sal Khan. (25 feb 2022) La pendiente de la recta tangente como razón de cambio instantáneo. Khan Academy. https://es.khanacademy.org/math/calculus-all-old/taking-derivatives-calc/derivative-as-instantaneous-rate-of-change-calc/v/slopes-of-secant-lines Superprof. Material didáctico (2020). Ejercicios interactivos de cinemática en aplicaciones prácticas [Actividad interactiva]. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/fisica/mecanica-clasica/cinematica/ejercicios-interactivos-de-aplicaciones-cotidianas-de-la-cinematica.html Todo Matemática. (14 feb 2025) Ejercicio de Optimización con Derivadas. Todo Matemática. https://www.youtube.com/watch?v=qjont_jKJV4 Triviño, J., Triviño, A., Oviedo, L. (2003). Cálculo diferencial. Una introducción. Universidad Amazonia Editorial https://www.uniamazonia.edu.co/documentos/docs/Vicerectoria%20de%20Investigaciones%20y%20Posgrados/Publicaciones/Libros/Calculo%20Diferencial%20-%20Una%20Introduccion%20-%201ra%20Edicion%20Julio-2020.pdf +15 Libros de Cálculo ¡Gratis! [PDF]. (2024, April 5). InfoLibros.org. https://infolibros.org/libros-pdf-gratis/matematicas/calculo/

Referencias

BlueDot. (21 dic 2022) Asombrosas aplicaciones de la derivada y el calculo. BlueDot. https://www.youtube.com/watch?v=KYvTWs54EgE Contreras, L., Núñez, J., Laredo, J. et al. (2003). Cálculo diferencial e integral: libro de texto con ejercicios programados. Universidad Autónoma del Estado de México Del Campo, R. (1 feb 2022). Newton vs. Leibniz: El descubrimiento del cálculo infinitesimal. El axioma del infinito https://www.youtube.com/watch?v=OyFQi0yfsjo Hernández, E. (2016). Cálculo diferencial. Instituto Tecnológico de Costa Rica. https://galois.azc.uam.mx/mate/LIBROS/matematicas3.pdf Khan Academy. (2022) Unidad 11: Funciones exponenciales y logarítmicas (2022) Khan Academy. https://es.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-exp-and-log Mate316 (4 dic 2019) log 243 base 3. Mate316 https://www.youtube.com/watch?v=IFNPgHO1MV0 Matemática abierta. (16 nov 2020) Problema de OPTIMIZACIÓN resuelto utilizando la derivada. Matemática abierta. https://www.youtube.com/watch?v=IsKOaBQF_Wg

BACHILLERATO UNIVERSITARIO MIXTO Periodo 2025B