Ecuaciones al descubierto: del problema a la solución.
Ecuaciones lineales.
¿Qué significa resolver una ecuación?
TIPOS
Ejemplo:
Resolver una ecuación es encontrar el valor de la variable que hace verdadera la igualdad planteada.
- Lineales: 𝑎𝑥+𝑏=0
- Cuadráticas:
𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0
- Polinómicas: Grado mayor que 2
- Otras: Racionales, exponenciales, logarítmicas o trigonométricas.
3x+5=11 x=2 3x2+5=11 11=11
Aplicaciones.
SISTEMAS DE ECUACIONES.
Una tienda quiere mezclar café tipo A ($20.000/kg) y tipo B ($30.000/kg) para obtener 10 kg de mezcla que se venda a $24.000/kg.¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café deben mezclarse?
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables, que deben cumplirse simultáneamente.
¡El arte de resolver sistemas! Tres métodos, un solución.
Método de Sustitución.
Método de Igualación
Método de Reducción
Método de Sustitución
Pasos. 1️⃣ Despeja una variable. 2️⃣ Sustituye en la otra ecuación. 3️⃣ Resuelve y sustituye el valor hallado.. Ejemplo:
CaracterÍsticas.
- Todas las ecuaciones comparten las mismas variables (por ejemplo, 𝑥 -𝑦).
- Cada ecuación representa una línea recta (en 2D) o un plano (en 3D).
- El sistema busca los valores que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.
- Puede tener de forma gráfica: Una solución única (rectas que se cruzan). Infinitas soluciones (rectas coincidentes). Ninguna solución (rectas paralelas).
- Se puede expresar de forma algebraica, matricial o gráfica.
- Aplicaciones reales
- Modelan situaciones de equilibrio, costos, mezclas, redes eléctricas o análisis económico.
Método de Reducción (Eliminación)
Sumar o restar ecuaciones para eliminar una variable. Pasos breves: 1️⃣ Igualar coeficientes. 2️⃣ Sumar o restar. 3️⃣ Resolver y sustituir. Ejemplo:
CAMPOS DE APLICACIÓN.
Los sistemas de ecuaciones lineales se aplican en una gran variedad de campos, porque permiten encontrar valores desconocidos que cumplen simultáneamente varias condiciones o restricciones.
1. Ingeniería Civil: para calcular fuerzas en estructuras (por ejemplo, tensiones en vigas o cables de un puente). Eléctrica: en circuitos con varias mallas y nodos (usando las leyes de Kirchhoff). Mecánica: para determinar velocidades o aceleraciones de partes conectadas de una máquina.
2. Economía y finanzas
Determinar precios de equilibrio entre oferta y demanda.
Calcular combinaciones óptimas de inversión o costos de producción.
Resolver problemas de mezcla de productos (por ejemplo, mezclar dos calidades de café para lograr cierto precio y sabor).
CAMPOS DE APLICACIÓN.
3. Ciencias naturales (física, química, biología)En química, se usa para balancear ecuaciones químicas. En física, para resolver sistemas de fuerzas, corrientes o movimientos combinados. En biología, para modelar crecimiento poblacional con varias especies (sistemas de ecuaciones diferenciales lineales).
4. Informática y programaciónEn gráficos por computadora (coordenadas, transformaciones de imágenes). En algoritmos de inteligencia artificial (por ejemplo, para ajustar pesos en redes neuronales lineales). En análisis de datos y machine learning, donde se resuelven sistemas grandes para obtener parámetros óptimos. 5. Administración y logística Para asignar recursos (por ejemplo, cuántos empleados deben ir a cada tarea). En problemas de transporte, donde se busca la ruta más eficiente o económica.
Costo de producción y utilidad.
Una empresa produce camisetas. El costo fijo mensual es de $800.000, y el costo variable por cada camiseta es de $25.000. Cada camiseta se vende a $40.000. ¿Cuántas camisetas debe vender la empresa para no tener pérdidas (es decir, alcanzar el punto de equilibrio)?
La empresa debe vender al menos 54 camisetas para cubrir todos sus costos y no tener pérdidas.
Método de Igualación.
Despeja la misma variable en ambas ecuaciones e iguala las expresiones. Pasos: 1️⃣ Despeja la misma variable. 2️⃣ Igualar las expresiones. 3️⃣ Resolver el sistema. Ejemplo:
Lineales:Ecuaciones de primer grado con una sola incógnita. Su gráfica es una recta. Cuadráticas: Ecuaciones de segundo grado cuya gráfica es una parábola. Polinómicas: Ecuaciones de grado mayor que dos, con términos de potencias superiores. Otras: Ecuaciones que involucran funciones especiales como fracciones, exponentes, logaritmos o razones trigonométricas.
Ecuaciones al descubierto: del problema a la solución.
EDWIN MAURICIO ORTIZ SOLORZANO
Created on October 17, 2025
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Ecuaciones al descubierto: del problema a la solución.
Ecuaciones lineales.
¿Qué significa resolver una ecuación?
TIPOS
Ejemplo:
Resolver una ecuación es encontrar el valor de la variable que hace verdadera la igualdad planteada.
- Lineales: 𝑎𝑥+𝑏=0
- Cuadráticas:
𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=03x+5=11 x=2 3x2+5=11 11=11
Aplicaciones.
SISTEMAS DE ECUACIONES.
Una tienda quiere mezclar café tipo A ($20.000/kg) y tipo B ($30.000/kg) para obtener 10 kg de mezcla que se venda a $24.000/kg.¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café deben mezclarse?
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables, que deben cumplirse simultáneamente.
¡El arte de resolver sistemas! Tres métodos, un solución.
Método de Sustitución.
Método de Igualación
Método de Reducción
Método de Sustitución
Pasos. 1️⃣ Despeja una variable. 2️⃣ Sustituye en la otra ecuación. 3️⃣ Resuelve y sustituye el valor hallado.. Ejemplo:
CaracterÍsticas.
Método de Reducción (Eliminación)
Sumar o restar ecuaciones para eliminar una variable. Pasos breves: 1️⃣ Igualar coeficientes. 2️⃣ Sumar o restar. 3️⃣ Resolver y sustituir. Ejemplo:
CAMPOS DE APLICACIÓN.
Los sistemas de ecuaciones lineales se aplican en una gran variedad de campos, porque permiten encontrar valores desconocidos que cumplen simultáneamente varias condiciones o restricciones.
1. Ingeniería Civil: para calcular fuerzas en estructuras (por ejemplo, tensiones en vigas o cables de un puente). Eléctrica: en circuitos con varias mallas y nodos (usando las leyes de Kirchhoff). Mecánica: para determinar velocidades o aceleraciones de partes conectadas de una máquina.
2. Economía y finanzas Determinar precios de equilibrio entre oferta y demanda. Calcular combinaciones óptimas de inversión o costos de producción. Resolver problemas de mezcla de productos (por ejemplo, mezclar dos calidades de café para lograr cierto precio y sabor).
CAMPOS DE APLICACIÓN.
3. Ciencias naturales (física, química, biología)En química, se usa para balancear ecuaciones químicas. En física, para resolver sistemas de fuerzas, corrientes o movimientos combinados. En biología, para modelar crecimiento poblacional con varias especies (sistemas de ecuaciones diferenciales lineales).
4. Informática y programaciónEn gráficos por computadora (coordenadas, transformaciones de imágenes). En algoritmos de inteligencia artificial (por ejemplo, para ajustar pesos en redes neuronales lineales). En análisis de datos y machine learning, donde se resuelven sistemas grandes para obtener parámetros óptimos. 5. Administración y logística Para asignar recursos (por ejemplo, cuántos empleados deben ir a cada tarea). En problemas de transporte, donde se busca la ruta más eficiente o económica.
Costo de producción y utilidad.
Una empresa produce camisetas. El costo fijo mensual es de $800.000, y el costo variable por cada camiseta es de $25.000. Cada camiseta se vende a $40.000. ¿Cuántas camisetas debe vender la empresa para no tener pérdidas (es decir, alcanzar el punto de equilibrio)?
La empresa debe vender al menos 54 camisetas para cubrir todos sus costos y no tener pérdidas.
Método de Igualación.
Despeja la misma variable en ambas ecuaciones e iguala las expresiones. Pasos: 1️⃣ Despeja la misma variable. 2️⃣ Igualar las expresiones. 3️⃣ Resolver el sistema. Ejemplo:
Lineales:Ecuaciones de primer grado con una sola incógnita. Su gráfica es una recta. Cuadráticas: Ecuaciones de segundo grado cuya gráfica es una parábola. Polinómicas: Ecuaciones de grado mayor que dos, con términos de potencias superiores. Otras: Ecuaciones que involucran funciones especiales como fracciones, exponentes, logaritmos o razones trigonométricas.