I paradossi di Zenone
Achille e la tartaruga
La situazione
Achille e la tartaruga sono coinvolti in una gara di corsa. Alla linea di partenza Achille concede un vantaggio alla tartaruga. Riuscirà Achille a superarla prima che questa tagli il traguardo?
Formuliamo analiticamente il paradosso
Occorre innanzitutto tenere presente la prima, imprescindibile premessa dell'argomento: lo spazio è un insieme denso di punti.
Una definizione
Un insieme denso di numeri è un insieme infinito tale per cui dati due numeri è sempre possibile trovarne un terzo posto tra quei due.L'insieme R dei numeri razionali è un sieme denso, mentre l'insieme dei numeri naturali N non lo è.
Achille parte con una velocità costante V dal punto A e si muove in linea retta verso il punto B, che è situato a una distanza d da A; da B parte la tartaruga con una velocità costante v minore di V, muovendosi anch’essa in linea retta e nella stessa direzione
Formule legate alla velocità
Si ottiene quindi la formula inversa per cui il tempo è dato dalla distanza divisa per la velocità
La velocità si ottiene dividendo lo spazio percorso per il tempo trascorso
Dunque, nel caso di Achille, la distanza tra A e B viene colmata in t1. Ma nello stesso tempo t1 anche la tartaruga si sarà spostata con velocità v, infariore a quella di Achille, arrivando nel punto C, posto a una distanza d1, più piccola di d, da B.E così via verso il traguardo. La distanza tra Achille e la tartaruga allora diminuisce progressivamente.
Dato che la distanza percorsa dalla tartaruga per arrivare da B a C è pari a d1 = t1v e che, secondo la formula già vista, t1 = d/V, abbiamo che d1 = (dv)/V .Allora, come si vede nella formula a lato, la progressiva diminuzione del distacco tra Achille e la tartaruga è infinita: per raggiungere la tartaruga Achille deve attraversare un insieme infinito di tratti spaziali.
Conclusione: per percorrere un insieme infinito di tratti spaziali occorre un tempo infinito, quindi Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Fonti
La presentazione è una rielaborazione di:V. Fano, I paradossi di Zenone, Carocci, Roma 2012
I paradossi di Zenone
Valentina Rosina
Created on October 11, 2025
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I paradossi di Zenone
Achille e la tartaruga
La situazione
Achille e la tartaruga sono coinvolti in una gara di corsa. Alla linea di partenza Achille concede un vantaggio alla tartaruga. Riuscirà Achille a superarla prima che questa tagli il traguardo?
Formuliamo analiticamente il paradosso
Occorre innanzitutto tenere presente la prima, imprescindibile premessa dell'argomento: lo spazio è un insieme denso di punti.
Una definizione
Un insieme denso di numeri è un insieme infinito tale per cui dati due numeri è sempre possibile trovarne un terzo posto tra quei due.L'insieme R dei numeri razionali è un sieme denso, mentre l'insieme dei numeri naturali N non lo è.
Achille parte con una velocità costante V dal punto A e si muove in linea retta verso il punto B, che è situato a una distanza d da A; da B parte la tartaruga con una velocità costante v minore di V, muovendosi anch’essa in linea retta e nella stessa direzione
Formule legate alla velocità
Si ottiene quindi la formula inversa per cui il tempo è dato dalla distanza divisa per la velocità
La velocità si ottiene dividendo lo spazio percorso per il tempo trascorso
Dunque, nel caso di Achille, la distanza tra A e B viene colmata in t1. Ma nello stesso tempo t1 anche la tartaruga si sarà spostata con velocità v, infariore a quella di Achille, arrivando nel punto C, posto a una distanza d1, più piccola di d, da B.E così via verso il traguardo. La distanza tra Achille e la tartaruga allora diminuisce progressivamente.
Dato che la distanza percorsa dalla tartaruga per arrivare da B a C è pari a d1 = t1v e che, secondo la formula già vista, t1 = d/V, abbiamo che d1 = (dv)/V .Allora, come si vede nella formula a lato, la progressiva diminuzione del distacco tra Achille e la tartaruga è infinita: per raggiungere la tartaruga Achille deve attraversare un insieme infinito di tratti spaziali.
Conclusione: per percorrere un insieme infinito di tratti spaziali occorre un tempo infinito, quindi Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Fonti
La presentazione è una rielaborazione di:V. Fano, I paradossi di Zenone, Carocci, Roma 2012