Repensar la enseñanza del álgebra: de la técnica al sentido

Repensar la enseñanza del álgebra: de la técnica al sentido

CINTHIA MARTINEZ JAQUELINA HEREDIA EMILCE TELLO

agenda

1. elecciÓn de la consigna
2. desarrollo de la teoría
3. reformular
4. reflexión final

OBJETIVOS

• Reflexionar sobre la enseñanza y el aprendizaje del álgebra, reconociendo las dificultades habituales de los estudiantes y explorando propuestas didácticas que promuevan una comprensión más amplia y significativa de lo algebraico.

• Conocer y aplicar el modelo de los tres usos de la variable (3UV) de Ursini y colaboradores como herramienta para comprender distintos significados de la variable.

• Diseñar la mejora de una consigna que promueva mejores desempeños en el aprendizaje de álgebra, integrando los marcos teóricos trabajados.

MOMENTO 1

Para esta primera instancia, solicitamos que en grupo seleccionen una consigna que consideren valiosa para la enseñanza y aprendizaje de algún saber de álgebra, indicando: - Contexto en el que se aplicaría (curso, conocimientos previos) - Objetivo cognitivamente exigente que se propone alcanzar con ella. - Dificultades que se presentan en el aula con la propuesta. Analicen conceptualmente y anoten los pasos que fueron necesarios en la resolución de la consigna.

MOMENTO DE COMPARTIR

MOMENTO 2

Nos interesa reflexionar sobre la enseñanza y el aprendizaje del álgebra, tomando aportes de la Educación Matemática. - por un lado, el diagnóstico bastante generalizado en relación con las dificultades que presentan los estudiantes frente a “lo algebraico” - por otro lado, una visión del álgebra escolar amplia, que trascienda la mirada de lo algebraico como una cuestión meramente técnica Los elementos teóricos de didáctica de la matemática que trabajaremos están vinculados a la línea cognitivista: - Modelo 3UV - Tres usos de la variable. (Ursini y otros) - Sentido Simbólico. (Arcavi) - Metacognición y conocimientos metacognitivos.

EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA, EL ÁLGEBRA ESCOLAR PUEDE CONCEPTUALIZARSE:

Tres Perspectivas del Álgebra

ARITMÉTICA GENERALIZADA

LENGUAJE MATEMÁTICO

HERRAMIENTA DE MODELIZACIÓN

Sistema simbólico para comunicar ideas y expresar generalizaciones con precisión. Dimensiones: verbal, simbólica y gráfica

Generalizando operaciones y propiedades numéricas mediante el uso de símbolos.

Actividad para resolver problemas y diseñar modelos en contextos diversos

EL OBJETIVO DEL ÁLGEBRA ESCOLAR ES DESARROLLAR:

PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Proceso cognitivo de generalización que permite formular expresiones algebraicas, identificar patrones, construir ecuaciones y funciones. Emplea el lenguaje algebraico y su simbología en busqueda de precisión, para resolver problemas y diseñar modelos tanto en matemática pura como en aplicaciones a la vida cotidiana y otras disciplinas.

El saber algebraico: dos perspectivas

DIMENSIÓN OBJETO

DIMENSIÓN ÚTIL

• HERRAMIENTAS DE RESOLUCIÓN

• CONTEXTOS INTERNOS

• CONTEXTOS EXTERNOS

• OBJETOS ALGEBRAICOS

• CARACTERÍSTICASY RELACIONES QUE DEFINEN ESTOS OBJETOS

• MODOS DE TRATAMIENTO

DIFICULTADES DE LOS ESTUDIANTES EN EL ÁLGEBRA:

Doble Ruptura Epistemológica: Aritmética vs. Álgebra

RUPTURA EN EL STATUS DE OBJETOS

• EL SIGNO "=" EN ARITMÉTICA: Anuncia un resultado.

• EL SIGNO "=" EN ÁLGEBRA: Representa una relación de equivalencia.

RUPTURA EN LAS RESOLUCIONES

• ENFOQUE ARITMÉTICO: Búsqueda y cálculo de incógnitas usando operaciones directas.

• ENFOQUE ALGEBRAICO: Representación formal del problema mediante ecuaciones, aplicando procedimientos formales.

Ejemplo: ¿Cuál es el número cuyo doble mas 8 da 40?

• Aritmética: (40 - 8) : 2
• Álgebra: 2x + 8 = 40

El razonamiento algebraico está en el corazón de la matemática. La generalización se aplica a todas las situaciones que se puedan modelizar en términos matemáticos. El lenguaje algebraico está presente, en mayor o menor grado, como herramienta de trabajo en todas las ramas de la matemática: geometría, análisis, estadística, y más

Una entrada al álgebra es a través de las ecuaciones, el considerar las letras para designar números desconocidos. Los alumnos se ven enfrentados a las tareas de “poner en ecuación” un problema y “despejar la incógnita”.

2x + 4 = 7

La ecuación define un conjunto: el conjunto de los valores de x para los cuales es verdadera. Para que ese conjunto esté bien definido hay que explicitar sobre qué dominio numérico se está considerando la ecuación.

N, Z no tiene solución. Q, si tiene solución x=3/2.

Para que los alumnos “entren en el mundo de álgebra” deben aprender las técnicas para “despejar la incógnita” en una ecuación lineal con una variable.

2(5 + x) - 7x +9 = 5x + 4(2 - x) + 6

Las técnicas de resolución de ecuaciones requieren transformaciones de dos tipos.

Transformaciones que conservan el conjunto solución

Transformaciones en expresiones equivalentes

Transformaciones que conservan el conjunto solución

Transformaciones en expresiones equivalentes

Leyendo a través de los símbolos

Interrumpir el procedimiento simbólico mecánico para inspeccionar y conectar de nuevo con el sentido que subyace bajo una expresión puede ser un buen ejercicio mental.

3x + 5 = 4x

Leyendo y manipulando

• Manipulación operativa.

• Exige cierta madurez rechazar el impulso de comenzar a resolver la ecuación y detenerse en la lectura de los símbolos.

Símbolos en su contexto

En una relación lineal donde x, y son variables y m,b son parámetros, ambos representan números. Pero el tipo de objetos matemáticos que se obtienen al darles valores pueden ser completamente distintos.

y = mx + b

En el plano cartesiano:

• dando valores numéricos a x, determina un punto en el plano.

• dando valores a m y b se determina una recta.

y=b ¿Qué representa?

Interpretaciones según el contexto

Si sustituyo x=0 en y=mx+b, entonces hemos encontrado la ordenada en que la recta corta al eje y.

Si sustituyo m=0 en y=mx+b, habremos encontrado la familia de rectas de pendiente 0.

Sentido de los símbolos

Un componente en el sentido de los símbolos consiste en el reconocimiento de los diferentes papeles que juegan los símbolos en el álgebra de la secundaria.

Existe una propuesta de enseñanza del álgebra asociada al Modelo 3UV mediante al desarrollo de la comprensión del concepto de variable. Propone una enseñanza en espiral que acerque gradualmente a los estudiantes al trabajo con los distintos usos en situaciones cada vez más complejas.

EJEMPLO 1:

Una caja en forma de prisma rectangular tiene 4,5cm de ancho y 3cm de alto; y su volumen es de 81 cm3. ¿Cuánto mide de largo?

Para resolver el problema es necesario: 1. Reconocer e identificar la existencia de algo desconocido que se puede determinar. 2. Simbolizar la incógnita. 3. Relacionar la incógnita con los datos del problema. 4. Realizar las operaciones aritméticas necesarias para determinar el valor específico de la incógnita. 5. Sustituir en la ecuación el valor encontrado.

LA VARIABLE COMO INCÓGNITA

Título 2

Título

Título 3

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Subtítulo

Subtítulo

Subtítulo

Reconocer que en cierta situación está involucrada una cantidad cuyo valor no conocemos. Representar simbólicamente una cantidad desconocida relacionándola con los datos del problema. Una incógnita puede ser considerada como variable porque, se realizan operaciones sobre ella para poder determinar su valor.

EJEMPLO 2:

Dada la siguiente lista de números, si denotamos con la letra n un lugar cualquiera de la lista, ¿qué número estará en ese lugar?

Para resolver el problema es necesario: 1. Reconocer el patrón que rige la relación entre el lugar que ocupa el número y el número mismo. 2. Interpretar la letra n como la representación de un número general. 3. Deducir la regla general distinguiendo entre lo que varía y lo que permanece invariante. 4. Simbolizar la regla general usando el símbolo dado para representar el número general. 30n

LA VARIABLE COMO NÚMERO GENERAL

Título

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Subtítulo

• Desarrollar la capacidad para reconocer patrones, hallar reglas, deducir métodos generales y describirlos.

• Distinguir entre los aspectos invariantes y los que varían.

• Interpretar los símbolos involucrados como números generales, los cuales representan cantidades indeterminadas que no se pueden, ni es necesario, determinar.

• Manipular este tipo de expresiones (factorizar o simplificar) cuando así lo requiere el problema, sin necesidad de asignarle valores específicos a las variables.

EJEMPLO 3

Dada la siguiente grafica ¿Qué ocurre con los valores de y, cuándo los valores de x crecen? ¿Para qué valores de x, los valores de y son positivos? ¿Para qué valores de x, los valores de y son negativos?

Para resolver el problema es necesario: 1. Reconocer, que las variables involucradas en la representación grafica están en correspondencia. 2. Reconocer que las variables involucradas en la representación gráfica varían de manera relacionada 3. Determinar intervalos de variación.

LA VARIABLE COMO RELACIÓN FUNCIONAL

Título

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Subtítulo

Este tipo de situaciones puede involucrar información que se presenta en forma verbal, en una tabla, con una gráfica o en forma analítica Para cada una de estas representaciones es importante que el alumno reconozca que existe una correspondencia entre dos variables y que éstas varían de manera relacionada. Reconocer la relación entre las dos variables implica además darse cuenta de que cada una puede tomar distintos valores dentro del intervalo en el cual está definida la relación. También es necesario que el alumno pueda representar una relación funcional de distintas maneras y pasar de una a otra. En cada una de las representaciones están involucradas las variables y es necesario que pueda interpretarlas de manera adecuada.

INTEGRACIÓN En equipos de 4 personas y mediante fichas de color (40 azules y 30 blancas) las cuales representan mosaicos se construyen depósitos similares a la figura de abajo.

MOMENTO 3

Identificar en la consigna original cual/es de los usos del modelo 3UV esta presente. Reformular la consiga de manera que estén presentes dos o los tres usos de la variable.Utiliza la IA, como herramienta .

MOMENTO 4 Puesta en común y reflexión

¿Qué me llevo del encuentro? Armar una producción (frase - meme - imagen) que responda a alguno de los siguientes tópicos: Un aprendizaje significativo Una pregunta o duda que queda Una idea para poner en práctica Mural colectivo: Sacar una foto al registro y subirla al padlet.

MURAL COLABORATIVO

¡¡¡MUCHAS GRACIAS!!!

Según Godino y Font (2003), el razonamiento algebraico está en el corazón de la matemática: implica representar, generalizar y formalizar patrones en cualquier aspecto matemático, progresando en el uso del lenguaje y simbolismo necesarios para apoyar el pensamiento algebraico. Esta visión ampliada del álgebra como instrumento de modelización debe construirse progresivamente desde los primeros niveles educativos.

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