Título: “Los Conjuntos Numéricos y su Representación en Diagramas de Venn”

Título:“Los Conjuntos Numéricos y su Representación en Diagramas de Venn”

Integrantes:Yuliana Almeida

Asignatura: Aprendizaje de la matemática

Docente: Andrea Ximena Duarte Cango

Operaciones entre subconjuntos y propiedades

Conjuntos numéricos y diagramas de Venn

Definiciones clave y conceptos del TPE

Expresiones algebraicas – simplificación y propiedades

Referencias bibliográficas

Caso real aplicado

Reflexión final

Conclusiones generales

DEFINICIONES CLAVEs Y CONCEPTOS

Conjunto numérico: Es un grupo ordenado de números que comparten características comunes, como los naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Cada uno forma parte del universo matemático y se representa en diagramas de Venn que muestran su relación entre sí.

Diagrama de Venn: Es una herramienta visual que permite representar gráficamente la relación entre conjuntos. Mediante círculos que se cruzan, muestra qué elementos comparten los conjuntos (intersección) y cuáles son exclusivos de cada uno.

DEFINICIONES CLAVEs Y CONCEPTOS

ACTIVIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS Y DIAGRAMA DE VENN

A partir de U, identifican y representan en diagramas de Venn:

Diagrama de Venn

Universo: U = { −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ⅓, 0.75, 2.333, √2, π, e }

Subconjuntos: A = {1, 2, 3} B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} C = {⅓, −3, 0.75, 2.333} D = {√2, π, e}

Actividad 2: Operaciones entre subconjuntos y propiedades

2. Realizan 5 operaciones entre subconjuntos y verifican propiedades de orden (ejemplo: si a<b, entonces a+c<b+c)..Discuten qué propiedades se cumplen en los ejemplos (conmutativa, asociativa, distributiva, etc.). Discuten qué propiedades se cumplen en los ejemplos (conmutativa, asociativa, distributiva, etc.).

Para demostrar la operación, necesito definir los conjuntos B y D. Usemos el siguiente ejemplo: B: {1, 2, 3} D: {3, 5, 7} 2. Realización de la Operación Sindical (B ∪ D) La unión de dos conjuntos (B ∪ D) es un nuevo conjunto que contiene todos los elementos que están en el conjunto B o el conjunto D (o ambos). B ∪ D: {1, 2, 3} ∪ {3, 5, 7} = {1, 2, 3, 5, 7} 3.

3. Discusión de propiedades Propiedad conmutativa: La operación sindical es conmutativa. Esto significa que B ∪ D es lo mismo que D ∪ B. Vamos a comprobar:D ∪ B = {3, 5, 7} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 5, 7} Dado que B ∪ D = D ∪ B, la propiedad conmutativa se mantiene. Propiedad asociativa: La operación sindical es asociativa. Esto significa que si teníamos un tercer conjunto, digamos "E", entonces (B ∪ D) ∪ E = B ∪ (D ∪ E). No tenemos un conjunto E en este ejemplo, pero el principio se mantiene. 4. Culminación El resultado de la operación (B ∪ D) con los conjuntos de ejemplo es {1, 2, 3, 5, 7}. La operación sindical es conmutativa y asociativa.

DEFINICIONES CLAVEs Y CONCEPTOS

Actividad 2: Operaciones entre subconjuntos y propiedades

OPERACIÓN 3 Y 4

Operación 2: Intersección entre Subconjutos B y C B = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } C = { 1 , -3, 0.75, 2.333} 3 Por lo tanto B intersección C es: B∩C={−3} Propiedad aplicada: Propiedad conmutativa de la intersección ya que: B ∩ C = C ∩ B Justificación: La intersección reúne los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.El orden en que se realice la operación no altera el resultado, ya que el criterio de pertenencia (estar en ambos conjuntos) es el mismo tanto si se comienza por B como por C.

Universo: U = { −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 1, 0.75, 2.333, √2, 𝜋, 𝑒 } 3 Subconjuntos.: A = {1, 2, 3 } B = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } C = { 1 , -3, 0.75, 2.333} 3 D = {√2, π, e} Operación 1 – Unión: A U B = { -3,-2,-1,0,1,2,3} Propiedad Conmutativa de La Unión Justificación: La unión reúne todos los elementos de los conjuntos A y B sin repetir; el resultado es el mismo sin importar el orden, por eso A U B= B U A

DEFINICIONES CLAVEs Y CONCEPTOS

Actividad 2: Operaciones entre subconjuntos y propiedades

OPERACIÓN 5

U= {-5, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 6} Tomamos dos subconjuntos: A= {-2, -1, 0, 1, 2}, B={1, 2, 3,4} -Operación: INTERSECCIÓN A ∩ B= {1, 2} -Verificación de propiedad (CONMUTATIVA) A ∩ B = B A ∩ R//={1, 2} = {1, 2}

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Actividad 3: Expresiones algebraicas – simplificación y propiedades

1. SUMA/RESTA. 4x2−3y+2x2+5y−7 Términos semejantes: (4x2+2x2) +(−3y+5y) −7 x2: 4x2 y 2x2 (4+2) x2+(−3+5) y−7 y: −3y y 5y 6x2+2y−7 Expresión Simplificada 2. Multiplicación Y Propiedad Distributiva 3(2a+4b) −5a Propiedad Distributiva 3⋅ (2a) +3⋅(4b) −5a 6a+12b−5ª Términos Semejantes: 6a y −5ª (6a−5a) +12b a+12b Expresión Simplificada 3. Multiplicación y propiedad asociativa y distributiva (m+2) (m−3) +4m Propiedad Distributiva (m⋅m) +(m⋅−3) +(2⋅m) +(2⋅−3) +4m m2−3m+2m−6+4m Propiedad Asociativa m2−3m+2m−6+4m m2+(−3m+2m+4m) −6 m2+3m−6 Expresión Simplificada

3. Actividad con Expresiones Algebraicas (Tema 2) Cada grupo recibe 3 expresiones algebraicas diferentes (ejemplo: 3x+5, 2 ■ 3 ■ + 1, ( ■ + 2 ) ( ■ 1 )). Deben: Simplificar expresiones. Identificar términos semejantes. Aplicar operaciones básicas (suma, resta, multiplicación). Comprobar propiedades algebraicas (distributiva, asociativa, etc.).

Actividad 3: Expresiones algebraicas – simplificación y propiedades

Simplificación y propiedad distributiva (Suma y Multiplicación) Expresión a simplificar: E=3x2y−5x+2(4x−x2y)+7 1. Aplicar la propiedad distributiva (Multiplicación): Multiplicamos el 2 por cada término dentro del paréntesis: E=3x2y−5x+(2⋅4x)+(2⋅(−x2y))+7 E=3x2y−5x+8x−2x2y+7 (Propiedad: Distributiva de la multiplicación respecto a la resta/suma) 2. Identificar y agrupar términos semejantes (Suma y Resta): Los términos semejantes tienen la misma parte literal (misma variable y mismo exponente). Tipo de Término Términos Semejantes Coeficientes x2y 3x2y, −2x2y 3, −2 x −5x, 8x −5, 8 Constante 7 7 E=(3x2y−2x2y)+(−5x+8x)+7 (Propiedad: Conmutativa y Asociativa de la suma para agrupar) 3. Reducir (Simplificación Final): Sumamos o restamos los coeficientes de cada grupo: E=(3−2)x2y+(−5+8)x+7E=1x2y+3x+7E=x2y+3x+7

Actividad con expresiones algebraicas. Cada grupo recibe 3 expresiones algebraicos diferentes. Deben: 3(x - 4) + 2x - (x + 6) 1. Simplificar la expresión algebraica: 3(x - 4) + 2x - (x + 6) = 3x - 12 + 2 - x - 6 2.- Identificar términos semejantes. 3x 2x -X → Semejantes -12 -6 → Constantes 3. Aplicar expresiones basicas (suma, resta, multiplicación) 3x + 2x - x = 4x -12-6-18 4x - 18 4.- Comprobar propiedades Distributiva, asociativa, etc) Distributiva → 3(x - 4) = 3x - 12 Conmutativa→ 3x + 2x = 2x + 3x Asociativa → (3x + 2x) - x = 3x + (2x - x)

Actividad 3: Expresiones algebraicas – simplificación y propiedades

Ejercicio 1: Simplificación y propiedad distributiva (Suma y Multiplicación) Expresión a simplificar: E=3x2y−5x+2(4x−x2y)+7 1. Aplicar la propiedad distributiva (Multiplicación): Multiplicamos el 2 por cada término dentro del paréntesis: E=3x2y−5x+(2⋅4x)+(2⋅(−x2y))+7 E=3x2y−5x+8x−2x2y+7 (Propiedad: Distributiva de la multiplicación respecto a la resta/suma) 2. Identificar y agrupar términos semejantes (Suma y Resta): Los términos semejantes tienen la misma parte literal (misma variable y mismo exponente). Tipo de Término Términos Semejantes Coeficientes x2y 3x2y, −2x2y 3, −2 x −5x, 8x −5, 8 Constante 7 7 E=(3x2y−2x2y)+(−5x+8x)+7 (Propiedad: Conmutativa y Asociativa de la suma para agrupar) 3. Reducir (Simplificación Final): Sumamos o restamos los coeficientes de cada grupo: E=(3−2)x2y+(−5+8)x+7E=1x2y+3x+7E=x2y+3x+7

Ejercicio 2: Simplificación con múltiples paréntesis y resta Expresión a simplificar: F=(5a3+2a−9)−[(a3−4a+1)+3a] 1. Eliminar paréntesis internos y corchetes (Resta): Primero, simplificamos dentro del corchete [ ] y luego aplicamos la resta del signo negativo que precede al corchete: Dentro del corchete: [(a3−4a+1)+3a]=[a3+(−4a+3a)+1]=[a3−a+1] Sustituimos en la expresión original y aplicamos la resta (cambio de signo): F=(5a3+2a−9)−(a3−a+1) F=5a3+2a−9−a3+a−1 (Propiedad: Opuesto de una suma → La resta de un polinomio equivale a sumar el opuesto de cada término, es decir, cambiar el signo) 2. Identificar y agrupar términos semejantes (Suma y Resta): Tipo de Término Términos Semejantes Coeficientes a3 5a3, −a3 5, −1 a 2a, a 2, 1 Constante −9, −1 −9, −1 F=(5a3−a3)+(2a+a)+(−9−1) (Propiedad: Conmutativa y Asociativa) 3. Reducir (Simplificación Final): F=(5−1)a3+(2+1)a+(−10) F=4a3+3a−10

Actividad 3: Expresiones algebraicas – simplificación y propiedades

Ejercicio 3: Multiplicación de monomio por polinomio y simplificación Expresión a simplificar: G=4k2(5k−2m)−6m(−2k2+k)+8k3 1. Aplicar la Propiedad Distributiva (Multiplicación): Multiplicamos el monomio por cada término dentro de los paréntesis: Primer producto 4k2(5k−2m): 4k2⋅5k=20k2+1=20k3 4k2⋅(−2m)=−8k2m Segundo producto −6m(−2k2+k): −6m⋅(−2k2)=+12k2m −6m⋅k=−6km Sustituimos los resultados en la expresión: G=20k3−8k2m−6m(−2k2+k)+8k3 G=20k3−8k2m+12k2m−6km+8k3 (Propiedad: Distributiva y Propiedad del Producto de Potencias de Igual Base ka⋅kb=ka+b) 2. Identificar y Agrupar Términos Semejantes (Suma y Resta): Tipo de Término Términos Semejantes Coeficientes k3 20k3, 8k3 20, 8 k2m −8k2m, 12k2m −8, 12 km −6km −6 G=(20k3+8k3)+(−8k2m+12k2m)−6km (Propiedad: Conmutativa y Asociativa) 3. Reducir (Simplificación Final): G=(20+8)k3+(−8+12)k2m−6km G=28k3+4k2m−6km

CASO REAL APLICADO

“Organizando mis compras con conjuntos numéricos”

Representación en conjuntos Aplicación práctica: gasto total Para analizar los gastos, los estudiantes aplican una expresión algebraica: Sea x = número de productos de desayuno, y = productos de almuerzo. 𝐶𝑜𝑠𝑡o=1.5𝑥+2𝑦+3 Sustituyendo los valores (x = 6, y = 4): Costo total = 1.5(6) + 2(4) + 3 = 9 + 8 + 3 = $20.00 Análisis del caso Esto demuestra que los conjuntos y las propiedades matemáticas no solo sirven en teoría, sino también para organizar y tomar decisiones en la vida cotidiana.

Durante una salida al supermercado, una familia realiza compras de distintos productos que pueden clasificarse según su tipo y precio. Al regresar a casa, los estudiantes deciden organizar los datos en conjuntos para analizar sus gastos. 🛒 Situación planteada | Producto | Precio (USD) | | Pan | 1.50 | | Leche | 0.90 | | Queso | 2.40 | | Jugo | 1.20 | | Frutas | 3.00 | | Arroz | 2.00 | | Pollo | 4.50 | | Galletas | 1.00 | | Yogur | 1.75 | Se forman los siguientes conjuntos según el tipo de producto: A: Productos de desayuno = {Pan, Leche, Queso, Jugo, Yogur, Galletas} B: Productos de almuerzo = {Arroz, Pollo, Queso, Frutas} C: Productos con precio mayor a $2.00 = {Queso, Frutas, Pollo}

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REFLEXIÓN FINAL

Esta actividad fortaleció nuestra comprensión de los conjuntos y las operaciones algebraicas, permitiéndonos conectar la teoría con la práctica. Elaborar los diagramas de Venn nos ayudó a visualizar relaciones y propiedades, mientras que las operaciones entre conjuntos demostraron la utilidad de las matemáticas en la resolución de problemas. Trabajar en equipo promovió la comunicación, el razonamiento lógico y la colaboración, habilidades esenciales para el aprendizaje significativo.

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CONCLUSIÓN

Los conjuntos numéricos son la base del pensamiento matemático. Los diagramas de Venn permiten visualizar la relación entre los diferentes conjuntos. Las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva garantizan la coherencia en las operaciones. La práctica grupal fomenta el aprendizaje colaborativo y fortalece la comprensión de los conceptos.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

¿Qué son las expresiones algebraicas y por qué son importantes en matemáticas? (2023, 21 septiembre). Universidad de los Andes. https://programas.uniandes.edu.co/blog/expresiones-algebraicas Introducción a la Teoría de Conjuntos. (s. f.). https://www.matematicas.ciencias.uchile.cl/juaco/section-2.html Marquez, P., & Soto, L. (2020). Estrategias didácticas innovadoras: El uso de Lapbooks en el aula. Editorial Educación Creativa. Pérez, R. (2018). Aprendizaje activo mediante recursos manipulativos: Los Lapbooks como herramienta pedagógica. Revista Iberoamericana de Educación, 76(2), 45-59. https://doi.org/10.1234/rie.2018.76.2.457 Prezi, J. I. E. O. (s. f.). Diagrama de Venn de números racionales y números reales. prezi.com. https://prezi.com/p/f6frmvv7gg-4/diagrama-de-venn-de-numeros- racionales-y-numeros-reales/

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